求解廣義KdV方程的非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式

程 宏

（閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,福建 漳州 363000）

Korteweg-de Vries(KdV)方程是一種描述淺水波中長(zhǎng)波單向傳播過(guò)程的偏微分方程[1],由于KdV方程是非線性的,求其精確解是非常困難的,因此求其數(shù)值解就成為一種研究KdV 方程的重要方法.當(dāng)前,對(duì)KdV 方程的數(shù)值求解主要有有限差分法、有限元方法、有限體積法等.對(duì)非線性KdV 方程有限差分方法的研究目前已經(jīng)有了許多的工作,何育宇等[2]對(duì)KdV方程提出一個(gè)三層線性緊致有限差分格式,且數(shù)值格式是質(zhì)量守恒和能量守恒的.程宏[3]對(duì)周期邊界的KdV 方程建立了三層線性差分格式,該格式具有四階精度,并用離散能量法證明了所構(gòu)造數(shù)值格式解的存在唯一性、穩(wěn)定性與收斂性.近年來(lái),一些學(xué)者認(rèn)為標(biāo)準(zhǔn)有限差分(standard finite difference,SFD)方法有時(shí)不能正確反映原系統(tǒng)的性質(zhì),或者造成解的不穩(wěn)定性,或者可以保持解的穩(wěn)定性但對(duì)步長(zhǎng)卻有苛刻的限制[4].

非標(biāo)準(zhǔn)有限差分(nonstandard finite difference,NSFD)方法起源于Mickens 的工作[5],其基本思想是使用分母函數(shù)(步長(zhǎng)函數(shù))代替標(biāo)準(zhǔn)差分中的步長(zhǎng),使得非標(biāo)準(zhǔn)差分方法得到的數(shù)值解盡可能的在網(wǎng)格點(diǎn)處接近精確解[6-7].非標(biāo)準(zhǔn)有限差分法的本質(zhì)是在標(biāo)準(zhǔn)有限差分法的基礎(chǔ)上做了改進(jìn),所以在某種程度上它可以克服標(biāo)準(zhǔn)有限差分法的不足,從而保持方程的物理特性.考慮廣義KdV方程[8]:

其中α,β為參數(shù),p≥1 為正整數(shù),u=u(x,t)是關(guān)于x,t的函數(shù).當(dāng)x→±∞時(shí)有u→0.當(dāng)p=2 時(shí)式(1)滿(mǎn)足如下守恒量[9]:

本文研究廣義KdV方程式(1)在有限區(qū)間[xl,xr]×[0,T]上的數(shù)值方法,初值條件和邊界條件分別為

其中u0(x),f1(t),f2(t),g(t)為已知函數(shù),建立廣義KdV 方程初邊值問(wèn)題式(1～3)的非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式,并與標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式做比較,同時(shí)驗(yàn)證非標(biāo)準(zhǔn)差分格式數(shù)值解的守恒性.

1 標(biāo)準(zhǔn)差分格式

本節(jié)建立廣義KdV 方程初邊值問(wèn)題式(1～3)的標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式.令xj=xl+jh,0≤j≤J,tn=nτ,0≤n≤N,其中h=(xr-xl)/J和τ=T/N分別為求解區(qū)域空間和時(shí)間方向上的步長(zhǎng).設(shè)Unj為u(xj,tn)的近似解,即Unj≈u(xj,tn).由泰勒展式,得

由式(4～5),對(duì)初邊值問(wèn)題式(1～3)建立標(biāo)準(zhǔn)差分格式為

其中2≤j≤J-2,1≤n≤N-1,初邊值條件離散為

此標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式為時(shí)間兩層的顯式格式.由于在內(nèi)點(diǎn)以及邊界上對(duì)一階偏導(dǎo)ux均采用向后差商進(jìn)行離散,因此標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式(9)在空間上只有一階精度.

2 非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式及其局部截?cái)嗾`差

為建立初邊值問(wèn)題式(1～3)的非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式,對(duì)空間步長(zhǎng)h→0和時(shí)間步長(zhǎng)τ→0,引入如下分母函數(shù)為

當(dāng)h→0,τ→0時(shí)可得?→τ,φ→h.由式(10),對(duì)KdV初邊值問(wèn)題式(1～3)建立非標(biāo)準(zhǔn)差分格式為

其中2≤j≤J-2,1≤n≤N-1.令式(11)變?yōu)?/p>

此非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式也為時(shí)間兩層的顯式格式.

記unj=u(xj,tn),利用泰勒展開(kāi)式計(jì)算非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式(12)的局部截?cái)嗾`差.定義如下3 個(gè)差分算子:

利用泰勒展開(kāi)式得

從而非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式(12)的局部截?cái)嗾`差為O(τ+h),且當(dāng)h→0,τ→0 時(shí)局部截?cái)嗾`差ηkj→0.

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

例1選取參數(shù)p=2,α=1,β=-0.005,xl=-15,xr=15,h=0.25,τ=0.001,討論廣義KdV 方程(1)的非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式[8],初值條件取為

u0(x)=κtanh(x)，

邊值條件為

u(a，t)=κtanh(a+2βt)，u(b，t)=κtanh(b+2βt)，ux(b，t)=κ[1-tanh2(b+2βt)]，

該問(wèn)題的解析解為

考慮如下L∞,L2誤差和均方根(root mean square,RMS)誤差[2,7]:

表1給出不同時(shí)刻標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式(9)和非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式(12)的誤差比較,其中S表示標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式(9),N表示非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式(12).從表1中可以看到,相同條件下非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式比標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式誤差較小.

表1 不同時(shí)刻標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式和非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式的誤差比較Tab.1 Error comparison between SFD scheme and NSFD scheme at different times

表2給出T=1,h=0.5,τ=0.01時(shí)誤差和收斂階,這里定義收斂階[2]為

從表2可以看出,非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式精度接近于理論分析的一階精度,這就驗(yàn)證了局部截?cái)嗾`差理論分析的正確性.

表2 非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式誤差和收斂階Tab.2 Error and convergence rate of the NSFD scheme

圖1給出同等條件下標(biāo)準(zhǔn)差分格式和非標(biāo)準(zhǔn)格式對(duì)應(yīng)的數(shù)值解和絕對(duì)誤差,從圖1可以看出,非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式得到的數(shù)值解的絕對(duì)誤差小于標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式得到的數(shù)值解的絕對(duì)誤差.

圖1 標(biāo)準(zhǔn)差分格式和非標(biāo)準(zhǔn)格式對(duì)應(yīng)的數(shù)值解和絕對(duì)誤差Fig.1 Numerical solutions and absolute errors of SFD scheme and NSFD scheme

為驗(yàn)證非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式所得數(shù)值解的守恒性,考慮如下守恒量的離散形式

表3列出不同時(shí)刻非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式得到的四個(gè)不變量值及L∞誤差結(jié)果,從表3中可以看出,在不同時(shí)刻下,四個(gè)變量保持了很好的守恒性,再次說(shuō)明非標(biāo)準(zhǔn)有限差分法可以很好地保持原方程的守恒特性.

表3 不同時(shí)刻非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式得到的四個(gè)不變量值及誤差結(jié)果Tab.3 Four invariants and errors obtained by NSFD scheme at different times

例2選取參數(shù)p=2,α=6,β=1,xl=-50,xr=50,h=0.5,τ=0.005,討論廣義KdV 式(1)的非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式,初值條件取[10]為

u0(x)=κ1sech(κ2x)，

邊值條件為

u(a，t)=κ1sech [κ2(a-ct)]，u(b，t)=κ1sech [κ2(b-ct)]，

ux(b，t)=-κ1κ2sech [κ2(x-ct)]tanh [κ2(x-ct)]，

該問(wèn)題的解析解為

圖2給出非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式計(jì)算不同時(shí)刻波的傳播,這里取c=0.1,可以看到不同時(shí)刻波的形狀保持一致.

圖2 不同時(shí)刻下波的傳播Fig.2 Propagation of waves at different times

4 結(jié)語(yǔ)

對(duì)廣義KdV 方程的初邊值問(wèn)題建立了非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式,研究了該差分格式的數(shù)值局部截?cái)嗾`差.數(shù)值模擬結(jié)果表明,同等條件下非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式比標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式誤差較小,且能很好地保留原方程的守恒特性.