基于輸入-狀態(tài)穩(wěn)定性理論的雙饋風(fēng)機(jī)穩(wěn)定性分析

王若谷， 李恒毅， 高欣 ， 郭寧， 戴立森

(1. 國(guó)網(wǎng)陜西省電力公司電力科學(xué)研究院，陜西 西安 710100；2. 西安交通大學(xué)電氣工程學(xué)院，陜西 西安 710049)

0 引言

隨著全球能源短缺和環(huán)境污染問(wèn)題的日益突出，大力發(fā)展可再生能源發(fā)電技術(shù)已成為全世界的共識(shí)。然而，近年來(lái)風(fēng)電并網(wǎng)引起電力系統(tǒng)事故時(shí)有發(fā)生[1—2]，因此需要評(píng)估風(fēng)電并網(wǎng)對(duì)電力系統(tǒng)的影響。雙饋型風(fēng)機(jī)具有成本低、控制靈活的特點(diǎn)[3—4]，被廣泛應(yīng)用于風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)中。然而，雙饋型風(fēng)機(jī)對(duì)電網(wǎng)電壓變化敏感，在系統(tǒng)故障時(shí)會(huì)惡化系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)[5—6]。因此，分析雙饋型風(fēng)機(jī)對(duì)電力系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定性的影響具有重要意義[7]。

目前，已有相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)雙饋型風(fēng)機(jī)并網(wǎng)的電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定性分析和控制開展研究。文獻(xiàn)[8]分析了風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)接入對(duì)電力系統(tǒng)功角穩(wěn)定性的影響。文獻(xiàn)[9]提出一種基于修正暫態(tài)能量函數(shù)的量化暫態(tài)穩(wěn)定性評(píng)估方法。文獻(xiàn)[10]研究了雙饋型風(fēng)機(jī)接入系統(tǒng)比例的增加對(duì)電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定性的影響。為了抑制雙饋型風(fēng)機(jī)自身不穩(wěn)定運(yùn)行帶來(lái)的功率振蕩，文獻(xiàn)[11]提出一種改進(jìn)的離散控制器。然而，以上文獻(xiàn)并未涉及雙饋型風(fēng)機(jī)并網(wǎng)對(duì)電力系統(tǒng)電壓動(dòng)態(tài)的影響。文獻(xiàn)[12]研究了風(fēng)機(jī)非線性特性對(duì)系統(tǒng)電壓的影響。文獻(xiàn)[13]通過(guò)時(shí)域仿真研究了靜止同步補(bǔ)償器等無(wú)功補(bǔ)償裝置對(duì)系統(tǒng)電壓的影響。文獻(xiàn)[14]分析了無(wú)功補(bǔ)償裝置在增強(qiáng)電力系統(tǒng)短期電壓穩(wěn)定性方面的作用。文獻(xiàn)[15]研究了雙饋型風(fēng)機(jī)造成系統(tǒng)電壓振蕩的機(jī)理。上述研究均使用時(shí)域仿真方法對(duì)系統(tǒng)電壓動(dòng)態(tài)進(jìn)行分析，計(jì)算量大，難以實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性的在線判斷，且無(wú)法獲得系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的量化分析結(jié)果。Lyapunov理論是評(píng)估電力系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性的另一種方法[16]，通過(guò)計(jì)算初始狀態(tài)到穩(wěn)定域邊界的距離可以得到量化的穩(wěn)定性分析結(jié)果。然而，由于缺乏構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的系統(tǒng)算法，制約了該理論在實(shí)際系統(tǒng)中的應(yīng)用。

輸入-狀態(tài)穩(wěn)定(input-to-state stability,ISS)理論為研究非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題提供了一種新的途徑。該理論將狀態(tài)空間穩(wěn)定理論與輸入-輸出穩(wěn)定理論相結(jié)合，通過(guò)將互聯(lián)系統(tǒng)分解為若干子系統(tǒng)，利用子系統(tǒng)的ISS特性及其連接關(guān)系研究互聯(lián)系統(tǒng)的穩(wěn)定性[17—18]。ISS理論可以研究非線性系統(tǒng)在外部擾動(dòng)下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性以及量化系統(tǒng)可承受的外部擾動(dòng)的大小，因此，ISS理論適用于含雙饋型風(fēng)機(jī)的電力系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性分析。

基于上述分析，文中提出一種雙饋風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定性量化分析方法?；谛≡鲆娑ɡ恚瑢?duì)雙饋風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)穩(wěn)定特性進(jìn)行量化分析，為其運(yùn)行和控制提供指導(dǎo)。首先對(duì)ISS理論進(jìn)行介紹；其次以ISS理論為基礎(chǔ)，提出了雙饋風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定性量化分析方法；然后通過(guò)時(shí)域仿真驗(yàn)證了量化穩(wěn)定性分析方法的有效性；最后總結(jié)全文并指出未來(lái)的研究方向。

1 理論基礎(chǔ)

文中給出局部輸入-狀態(tài)穩(wěn)定(local input-to-state stability,LISS)和局部輸入-輸出穩(wěn)定(local input-to-output stability,LIOS)的基本理論，并討論與ISS等價(jià)的積分-積分估計(jì)，為子系統(tǒng)和互聯(lián)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析奠定基礎(chǔ)。

考慮具有外部輸入的非線性系統(tǒng)：

(1)

式中：x∈Rn；y∈Rp；u∈Rm；f:Rn×m→Rn；h:Rn×m→Rp。f和h在x和u上連續(xù)且滿足局部Lipschitz條件，且f(0,0)=0,h(0,0)=0。

定義1：取ΩISS為L(zhǎng)ISS初始狀態(tài)域，UISS為L(zhǎng)ISS外部輸入域，則對(duì)于任意x0∈ΩISS∈Rn,u∈UISS∈Rm，如果存在比較函數(shù)βISS∈KL，γISS∈K∞，對(duì)于任意初始狀態(tài)x0和外部輸入u，式(2)成立，則非線性系統(tǒng)(1)是LISS的。

|x(t,x0,u)|≤βISS(|x0|,t)+γISS(‖u‖∞)
?t≥0

(2)

式中：|·|為歐幾里德范數(shù)；γISS為輸入到狀態(tài)漸近增益；‖u‖∞為外部輸入u的上確界。

定義2：取ΩIOS為L(zhǎng)IOS初始狀態(tài)域，UIOS為L(zhǎng)OSS外部輸入域，則對(duì)于任意x0∈ΩIOS∈Rn,u∈UIOS∈Rm，如果存在比較函數(shù)βIOS∈KL，γIOS∈K∞，式(3)成立，則非線性系統(tǒng)(1)是LIOS的。

|y(t,x0,u)|≤βIOS(|x0|,t)+γIOS(‖u‖∞)
?t≥0

(3)

式中：γIOS為輸入到輸出漸近增益。

對(duì)于非線性系統(tǒng)的LISS/LIOS分析，估計(jì)初始狀態(tài)的局部域和外部輸入的局部域是至關(guān)重要的。在實(shí)際系統(tǒng)中，非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定域可以用Ω和U來(lái)表示，其中Ω=ΩISS∩ΩIOS，U=UISS∩UIOS。

漸近增益能反映外部輸入對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)和輸出的影響，并可量化系統(tǒng)對(duì)外部擾動(dòng)的承受能力。由于定義1和2中外部輸入由其上確界表示，因此僅能反映外部擾動(dòng)的幅值信息，不能反映其隨時(shí)間的波動(dòng)信息。為解決該問(wèn)題，文中采用與ISS等價(jià)的積分-積分估計(jì)[19]。

定義3：對(duì)于任意x0∈ΩIOS∈Rn,u∈UIOS∈Rm，若式(4)成立，則稱系統(tǒng)(1)滿足局部狀態(tài)積分-積分估計(jì)。

(4)

定義4：對(duì)于任意x0∈ΩIOS∈Rn,u∈UIOS∈Rm，若式(5)成立，則稱系統(tǒng)(1)滿足局部輸出積分-積分估計(jì)。

(5)

由積分-積分估計(jì)的定義可見，系統(tǒng)狀態(tài)、外部輸入和系統(tǒng)輸出均由積分表示，因此該分析方法能包含外部擾動(dòng)的幅值信息以及在時(shí)間尺度上的波動(dòng)信息。

文獻(xiàn)[20]給出了子系統(tǒng)的量化LISS/LIOS評(píng)估的詳細(xì)算法，基于此，提出互聯(lián)系統(tǒng)的量化穩(wěn)定性評(píng)估準(zhǔn)則，量化評(píng)估雙饋型風(fēng)機(jī)接入對(duì)電網(wǎng)穩(wěn)定性產(chǎn)生的影響。

2 雙饋風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)穩(wěn)定性量化評(píng)估準(zhǔn)則

考慮一個(gè)由n個(gè)子系統(tǒng)組成的互聯(lián)系統(tǒng)，在雙饋風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)中，子系統(tǒng)可以選取雙饋型風(fēng)機(jī)、同步發(fā)電機(jī)、感應(yīng)電動(dòng)機(jī)等，其中第i個(gè)子系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型表達(dá)式如下：

(6)

式中：xi∈RNi，ui∈RMi為與其他子系統(tǒng)的狀態(tài)和輸出相關(guān)的內(nèi)部輸入；ωi∈RWi為外部擾動(dòng)；yi∈RPi為各子系統(tǒng)的輸出。研究雙饋風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性時(shí)，電源、負(fù)載子系統(tǒng)將選擇電壓、電流作為輸入和輸出，外部擾動(dòng)對(duì)應(yīng)雙饋風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)中受故障影響產(chǎn)生的電壓波動(dòng)。

假設(shè)每個(gè)子系統(tǒng)都滿足LISS/LIOS屬性，并且子系統(tǒng)之間的連接關(guān)系可以表示為輸入ui和輸出yi的關(guān)系。通常，電力系統(tǒng)模型由微分代數(shù)方程組成，每個(gè)子系統(tǒng)的輸入和輸出滿足一系列代數(shù)方程g(u,y)=0，子系統(tǒng)連接關(guān)系Z由系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣消去運(yùn)算獲得[21]。

文中給出基于積分-積分估計(jì)的互聯(lián)系統(tǒng)量化穩(wěn)定性評(píng)估準(zhǔn)則如下。

如果由n個(gè)子系統(tǒng)組成的互聯(lián)系統(tǒng)，滿足下列2個(gè)準(zhǔn)則，則該互聯(lián)系統(tǒng)是LISS和LIOS的。

(1) 小增益條件成立，即：

G(v*) <

(7)

G(p)

(8)

式中：G=ΓIOS°Z,ΓIOS為I/O增益矩陣；v*為滿足(7)的局部穩(wěn)定域邊界；p為(0,v*]區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)。

(2) 系統(tǒng)穩(wěn)定裕度M大于0，即：

(9)

式中：μ∈K∞；?IOS為外部擾動(dòng)的近似增益；γ為滿足穩(wěn)定性評(píng)估準(zhǔn)則(1)的最大輸出集合。

接下來(lái)證明量化穩(wěn)定性評(píng)估準(zhǔn)則。

第一步，證明當(dāng)系統(tǒng)(6)即式(6)滿足局部小增益定理，即穩(wěn)定性評(píng)估準(zhǔn)則(1)時(shí)，互聯(lián)后子系統(tǒng)依然滿足積分-積分估計(jì)。由文獻(xiàn)[22]可知，當(dāng)系統(tǒng)(6)滿足量化穩(wěn)定性評(píng)估準(zhǔn)則(1)時(shí)， 存在一個(gè)函數(shù)

μ∈K∞使得式(10)成立。

(10)

(11)

考慮到μ，?IOS為K∞函數(shù)，對(duì)于有界輸入a≤A，b≤B，f(a,b)≤F，則f(a,b)單調(diào)有界，那么對(duì)于有界輸入a≤A，b≤B，一定存在函數(shù)g(a,b)，滿足g(a,b)≥f(a,b)。

(12)

因此，互聯(lián)系統(tǒng)(6)是LIOS的。接下來(lái)證明互聯(lián)系統(tǒng)(6)是LISS的。

子系統(tǒng)滿足式LISS屬性，式(13)成立。

(13)

將子系統(tǒng)連接關(guān)系Z代入式(12)，同時(shí)代入式(14)。

(14)

結(jié)合式(12)，可得：

(15)

(16)

(17)

因此，互聯(lián)系統(tǒng)(6)是LISS的 。

(18)

結(jié)合式(10)，可得：

(19)

式(18)表明輸出既滿足自然約束，也滿足工程約束。

量化穩(wěn)定性評(píng)估準(zhǔn)則(2)可通過(guò)計(jì)算復(fù)合函數(shù)進(jìn)行校驗(yàn)。因此，還需驗(yàn)證評(píng)估準(zhǔn)則(1)中的局部小增益條件。

由文獻(xiàn)[22]中的定理可知，小增益條件可以通過(guò)驗(yàn)證序列{v(k)}的收斂性來(lái)判斷。由于文中使用積分-積分估計(jì)，如果系統(tǒng)的狀態(tài)和輸出收斂到平衡點(diǎn)附近區(qū)域，則可認(rèn)為該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。設(shè)系統(tǒng)存在保持穩(wěn)定的最小輸入能量v0，則局部小增益的驗(yàn)證條件可以轉(zhuǎn)換為當(dāng)k→∞ 時(shí)，v(k)→v0。

不動(dòng)點(diǎn)v*可由各子系統(tǒng)的輸入向量表示。一般地，系統(tǒng)的安全運(yùn)行約束范圍總是小于系統(tǒng)的穩(wěn)定范圍，因此不動(dòng)點(diǎn)v*可以由系統(tǒng)的安全運(yùn)行約束表示。在雙饋風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)中，設(shè)系統(tǒng)的電壓、電流安全運(yùn)行約束為Ulim和Ilim，則不動(dòng)點(diǎn)v*可表示為[Ilim,Ulim]T。

綜上所述，僅需驗(yàn)證序列{v(k)}的收斂性，其中v(k+1)=G(v(k))，v(0)=v*。具體地，給定一個(gè)最大迭代次數(shù)kmax，校驗(yàn)序列{v(k)}是否能夠在kmax次迭代內(nèi)收斂至v0的某一鄰域內(nèi)。若可以，則系統(tǒng)滿足小增益條件；反之，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

為驗(yàn)證小增益條件，增益函數(shù)應(yīng)是平滑的。因此利用一個(gè)滿足下列條件的光滑非線性增益函數(shù)來(lái)逼近分段線性漸近增益函數(shù)：

(20)

雙饋風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)可視作由雙饋型風(fēng)機(jī)、同步發(fā)電機(jī)、負(fù)載等子系統(tǒng)構(gòu)成的互聯(lián)系統(tǒng)，各子系統(tǒng)的LISS/LIOS屬性均可通過(guò)估計(jì)得到，因此所提出的互聯(lián)系統(tǒng)穩(wěn)定性量化評(píng)估準(zhǔn)則可應(yīng)用于雙饋風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定性量化分析。具體地，對(duì)雙饋風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定性評(píng)估可從2個(gè)方面展開：(1) 在子系統(tǒng)層面，需研究各子系統(tǒng)在外部擾動(dòng)下的穩(wěn)定特性，根據(jù)式(4)、式(5)對(duì)其LISS/LIOS屬性進(jìn)行估計(jì)，結(jié)合運(yùn)行約束得到各子系統(tǒng)的最大輸入能量及輸出能量；(2) 在互聯(lián)系統(tǒng)層面，需充分考慮各子系統(tǒng)電壓穩(wěn)定特性及子系統(tǒng)間互聯(lián)特征，根據(jù)式(8)、式(9)驗(yàn)證系統(tǒng)是否滿足小增益定理以及對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)穩(wěn)定裕度，進(jìn)而得到互聯(lián)系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性判據(jù)，從而實(shí)現(xiàn)雙饋風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性的量化評(píng)估。雙饋風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定性量化分析研究框架如圖1所示。

圖1 量化穩(wěn)定性分析研究框架

3 雙饋風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性量化分析

為驗(yàn)證所提出的互聯(lián)系統(tǒng)穩(wěn)定性量化評(píng)估準(zhǔn)則的有效性，將在含雙饋型風(fēng)機(jī)的電力系統(tǒng)中進(jìn)行測(cè)試及分析，測(cè)試系統(tǒng)的總體結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 測(cè)試系統(tǒng)的總體結(jié)構(gòu)

圖2所示電力系統(tǒng)的子系統(tǒng)包括雙饋風(fēng)機(jī)風(fēng)場(chǎng)WF1、WF2，同步發(fā)電機(jī)G1，感應(yīng)電動(dòng)機(jī)M1、M2、M3和恒阻抗負(fù)載。為評(píng)估風(fēng)電并網(wǎng)對(duì)電力系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性的影響，須合理選擇輸入與輸出，并且估計(jì)子系統(tǒng)外部輸入和初始狀態(tài)的局部域。其中，同步發(fā)電機(jī)的輸入和輸出分別選擇為端電流和端電壓，雙饋型風(fēng)機(jī)風(fēng)場(chǎng)的輸入和輸出分別選擇為端電壓和定子電流，負(fù)載整體的輸入和輸出分別選擇為端電壓和端電流。設(shè)定電力系統(tǒng)的安全運(yùn)行約束為：在故障清除后系統(tǒng)內(nèi)各節(jié)點(diǎn)電壓應(yīng)不小于0.8 p.u.，雙饋型風(fēng)機(jī)的轉(zhuǎn)子電流最大值為2.0 p.u.。

3.1 子系統(tǒng)的LISS/LIOS屬性估計(jì)

圖3 雙饋型風(fēng)機(jī)風(fēng)場(chǎng)的漸近增益估計(jì)

圖4 初始狀態(tài)、外部輸入和系統(tǒng)輸出的關(guān)系

3.2 量化穩(wěn)定性分析和仿真結(jié)果

圖5 檢驗(yàn)小增益條件

根據(jù)量化穩(wěn)定性分析結(jié)果，定義：

(21)

(22)

(23)

不滿足量化穩(wěn)定性評(píng)估準(zhǔn)則(2)。

時(shí)域仿真驗(yàn)證上述理論分析結(jié)果，首先設(shè)置風(fēng)電場(chǎng)均含9臺(tái)雙饋型風(fēng)機(jī)，在t=3 s時(shí)，B4發(fā)生三相接地短路故障，短路故障持續(xù)時(shí)間為0.27 s，風(fēng)電場(chǎng)端電壓的動(dòng)態(tài)響應(yīng)如圖6所示。由圖6可知，在故障清除后，端電壓降到0.8 p.u.以下，電壓越過(guò)安全穩(wěn)定約束，與理論分析結(jié)果一致。

圖6 風(fēng)場(chǎng)端電壓動(dòng)態(tài)變化

圖7 不同風(fēng)機(jī)數(shù)量的 with different n of fans

(24)

分析結(jié)果表明，當(dāng)n=7時(shí)，系統(tǒng)在故障清除后將滿足安全穩(wěn)定約束。仿真設(shè)置相同的故障條件，風(fēng)場(chǎng)的端電壓仿真結(jié)果如圖8所示。由圖8可知，將風(fēng)電場(chǎng)1中雙饋型風(fēng)機(jī)的數(shù)量減少到7臺(tái)時(shí)，風(fēng)場(chǎng)的端電壓保持在安全穩(wěn)定約束內(nèi)，仿真結(jié)果驗(yàn)證了理論分析的正確性。

圖8 n=7時(shí)風(fēng)電場(chǎng)端電壓的動(dòng)態(tài)變化

由算例結(jié)果可知，文中所提互聯(lián)系統(tǒng)穩(wěn)定性量化分析方法可在互聯(lián)系統(tǒng)層面對(duì)雙饋風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定性進(jìn)行定量評(píng)估，揭示了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)與外部擾動(dòng)之間的關(guān)系，同時(shí)量化系統(tǒng)能夠承受的最大擾動(dòng)，從而能夠有效促進(jìn)雙饋型風(fēng)機(jī)在電力系統(tǒng)中的應(yīng)用。此外，由于子系統(tǒng)的穩(wěn)定性特征可通過(guò)離線仿真獲得，降低了互聯(lián)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的計(jì)算量，從而使系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性的在線判斷成為可能。

4 結(jié)語(yǔ)

文中提出了含雙饋型風(fēng)機(jī)的電力系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性量化評(píng)估方法，該方法的主要優(yōu)點(diǎn)是能從子系統(tǒng)層面和互聯(lián)系統(tǒng)層面2個(gè)角度對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行量化評(píng)估,并用漸近增益量化外部擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性的影響，用外部輸入和初始狀態(tài)的局部域量化系統(tǒng)的穩(wěn)定域。時(shí)域仿真驗(yàn)證了該方法的有效性。

降低這種方法的保守性是值得進(jìn)一步研究的工作。同時(shí)，如果系統(tǒng)的維數(shù)較高，則式(9)中μ函數(shù)的計(jì)算會(huì)比較復(fù)雜。因此，未來(lái)還需要研究μ函數(shù)估計(jì)的一般算法。

本文得到國(guó)網(wǎng)陜西省電力公司科技項(xiàng)目 (B626KY190005)資助，謹(jǐn)此致謝！