奇偶原理的理論探析與實踐嘗試

李亞瓊 徐文彬 張海燕

摘? 要：奇偶原理是重要的數(shù)學(xué)思維方式，它蘊含著思維的互斥性、排中律，其思維特點為對問題的整體把握和邏輯劃分，其思維形式強調(diào)形象思維能力和邏輯思維能力，體現(xiàn)思維的深刻性和批判性. 借助對奇偶原理的理論分析，以期更準確地引導(dǎo)學(xué)生進入思維學(xué)習(xí)場，形成學(xué)習(xí)共同體，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維系統(tǒng)地思考問題.

關(guān)鍵詞：奇偶性分析;互斥性;排中律;邏輯劃分

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師有時會偏重對題型或解題方法的研究，強調(diào)發(fā)散思維的重要性. 然而，教師需要研究更一般的思維方式，對上述的做法起到辯證的互補作用，克服解題教學(xué)思想的片面性. 在數(shù)學(xué)教材中，數(shù)學(xué)思維方法并不一定以明顯的方式呈現(xiàn)，更多是隱含在數(shù)學(xué)知識或解題過程中，這就需要教師通過對教材的鉆研和分析來概括、提煉，從而在數(shù)學(xué)教學(xué)中結(jié)合具體情況加以運用.

一、問題的提出

是否可以通過將問題區(qū)分成兩個互不重疊的類別，來解答問題？下面先看一個引例.

引例：騎士問題.

在一個[n×n]的國際象棋棋盤中，若將一個騎士棋子擺在任何一個棋格上，該棋子要按照國際象棋中的規(guī)定走法，將棋盤上的每一格都走一遍，問[n]是不是奇數(shù)？

引例的思路很容易理解，一個整數(shù)要么是奇數(shù)，要么是偶數(shù)，兩者必居其一，這是整數(shù)自身的屬性，用這種奇偶數(shù)性質(zhì)解題的方法便是奇偶性分析或奇偶原理.

二、奇偶原理的理論探析

對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，重要的是從數(shù)學(xué)思維的特點出發(fā)來調(diào)控數(shù)學(xué)思維活動，提高思維活動的效率. 從理解奇偶原理的本質(zhì)出發(fā)，研究奇偶原理的思維結(jié)構(gòu)，以期用其指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)，改進教師的教學(xué)方法，增強學(xué)生的思維功能，提高學(xué)生的思維水平和效率.

1. 奇偶原理的思維本質(zhì)

奇偶性不僅可以用于區(qū)分奇數(shù)和偶數(shù)，還可以用于更一般的情況，可以延伸到任何兩個互斥的集合[A]和[B]. 如果兩個對象具有相同的奇偶性，意味著兩個對象屬于同一類. 奇偶原理的思維內(nèi)涵滲透互斥性和排中律.

（1）互斥性.

奇偶原理的本質(zhì)是利用問題對象的互斥屬性來解決問題. 引例利用了[n]不是奇數(shù)就是偶數(shù)的屬性來解題，假設(shè)[n]是奇數(shù)，利用反證法，推出矛盾，從而得出[n]是偶數(shù). 這一過程抓住問題中奇偶的互斥屬性作為思考問題的視角. 對問題的分類，要使得各子類別涵蓋的范圍之間彼此相互獨立，不相互重疊或部分重疊，即分類不能重復(fù)，這就是互斥性原則，所以奇偶原理體現(xiàn)互斥性.

（2）邏輯性及排中律.

在使用奇偶原理時，需要符合知識（概念、命題等）的邏輯體系，具有邏輯特點，恪守邏輯規(guī)則，這就體現(xiàn)奇偶原理的邏輯性. 因而奇偶原理的思維特點體現(xiàn)邏輯思維的排中律，如引例中的[n]非奇即偶，這也體現(xiàn)了二分法的思想. 亞里士多德在《形而上學(xué)》中提到排中律，排中律是形式邏輯的基本規(guī)律之一，它是指在同一個思維過程中，一個命題不是真就是假，即命題[A]和命題[?A]必有一個成立，在同一思維過程中，對兩個相互排斥的命題不能同時予以否定. 排中律強調(diào)的是非此即彼的二分法思想，即在對立的命題之間沒有居間者，但很多情況下，這種分法是不完備的. 例如，在統(tǒng)計的檢驗問題中，一個檢驗統(tǒng)計量否定了原假設(shè)，并不意味就必須接受對立假設(shè)，所以奇偶原理的思維方式也有其局限性.

2. 奇偶原理的思維結(jié)構(gòu)

結(jié)合奇偶原理的思維本質(zhì)，筆者試圖從思維形式、思維特點和思維品質(zhì)三個方面去剖析奇偶原理的思維結(jié)構(gòu)，目的在于運用其理論指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)，改進教師的教學(xué)方法，從而更好地指導(dǎo)教學(xué)實踐.

（1）“奇偶原理”的思維形式.

從思維活動總體規(guī)律的角度來看，奇偶原理的運用體現(xiàn)形象思維和邏輯思維的結(jié)合. 在奇偶原理的思維過程中，由于問題對象的數(shù)形特征和思維過程的知識抽象性，需要形象思維作為思維的先導(dǎo)，邏輯思維作為思維的核心. 從基本能力的視角來看，數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目的應(yīng)是培養(yǎng)邏輯思維能力和形象思維能力. 在奇偶原理的使用中，由于矛盾的雙方相互否定，不存在中間地帶，有非此即彼的邏輯，因而在反證法中經(jīng)常使用，如引例就是利用[n]的非奇即偶性，運用反證法進行了證明.

（2）奇偶原理的思維特點.

在利用概念展開邏輯思維時，有時需要在數(shù)學(xué)推理證明的某一環(huán)節(jié)區(qū)分各種不同情形，需要對有關(guān)概念進行邏輯劃分. 二分法是常用的一種劃分方法，它把一個概念分為兩個相互矛盾的概念. 例如，復(fù)數(shù)可以分為實數(shù)和虛數(shù). 奇偶分析法中需要對問題對象進行邏輯劃分. 有時也需要把問題劃分成不相重疊的各種情形分別解決，再將結(jié)果疊加得到原問題的解. 所以，邏輯劃分法的具體表現(xiàn)就是分類、分域進行討論等.

（3）奇偶原理的思維品質(zhì).

數(shù)學(xué)思維的運演是以思維場的形式存在并活動的，奇偶原理的運用需要學(xué)習(xí)主體的智力參與. 思維活動的抽象程度和邏輯水平?jīng)Q定思維方法的運用程度，具體表現(xiàn)為需要對問題進行思考，抓住問題的本質(zhì)和規(guī)律深入細致地加以分析和解決，即思維的深刻性. 奇偶原理的思維特點是需要對問題進行分析和定位，即奇偶原理的運用需要學(xué)習(xí)主體的自我判斷，體現(xiàn)了思維的深刻性. 當然，任何一種思維方式都不是固定不變的，它需要學(xué)習(xí)主體在具體的思維活動中獨立分析和理性思考，善于提出疑問，能夠在解決數(shù)學(xué)問題的過程中不斷總結(jié)、回顧和反思，自覺調(diào)控思維進程，自我評價解題思路，尋求解決方法，即思維的批判性. 例如，奇偶原理的不足之處就是當問題不滿足排中律時，需要注意解題中的思維方法的遷移使用，而非生搬硬套思維模式. 當然，思維品質(zhì)的發(fā)展與數(shù)學(xué)知識的教學(xué)密切相關(guān)，需要從整體原理出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生自覺掌握數(shù)學(xué)思維的基本方法和辯證策略，善于辯證地運用數(shù)學(xué)思維方法去分析具體問題、解決實際問題，只有這樣，才能達到數(shù)學(xué)教學(xué)的目的.

三、奇偶原理的教學(xué)實踐嘗試

奇偶原理更多地運用于數(shù)論和組合數(shù)學(xué)中，通過對奇偶原理思維結(jié)構(gòu)的分析和梳理，結(jié)合思維結(jié)構(gòu)總結(jié)教學(xué)實踐，以期更好地指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué).

1. 在“函數(shù)與方程”中的運用

例1是奇偶性分析與函數(shù)的融合考查，利用“0是偶數(shù)”的屬性和整數(shù)根的奇偶性特點，進行分析討論，最后較為巧妙地證明出結(jié)論. 實際上，奇偶性分析也經(jīng)常運用于方程問題. 例如，求[n-1！=nk-1]的全部整數(shù)解，這個問題中也需要從等式左右兩邊的奇偶性角度，分析[n]和[k]的整數(shù)解. 奇偶原理在“函數(shù)與方程”中的運用滲透培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，提升學(xué)生思維的深刻性.

2. 在數(shù)列中的運用

例2是考查奇偶性分析與數(shù)列的融合，思考過程蘊含思維的靈活性和邏輯的嚴謹性，這類考查經(jīng)常從[n]或[an]的奇偶性出發(fā)分類討論，從而解決問題.

3. 在概率統(tǒng)計中的運用

組合數(shù)是高中數(shù)學(xué)知識，在高中數(shù)學(xué)的研究性學(xué)習(xí)中，會運用演繹推理、排列組合、奇偶性分析等知識，對組合數(shù)[Cmn]的奇偶性問題進行探究，具體探究過程如下.

在預(yù)備定理的前提下（預(yù)備定理的證明過程略），可以運用奇偶性分析得出如下表所示的四個性質(zhì).

雖然以上三個例子的知識背景不同，但其共同點都是運用了奇偶性分析. 在運用的過程中，例1和例2都運用奇偶性進行分類討論，最后得出結(jié)論;例3則是由預(yù)備定理探索性質(zhì)，實質(zhì)上是一個變更問題的過程，逐步變換問題的表達形式，使問題從初始狀態(tài)化歸為所要得到的目標狀態(tài)，化歸過程的根本思想體現(xiàn)思維的同一性. 而“～”的傳遞性體現(xiàn)思維的相似性，所以解決此類問題的過程實質(zhì)是思維相似性的探求和同一性的運演.

四、結(jié)束語

從數(shù)學(xué)思維的角度來看，學(xué)生是思維的主體，教材或數(shù)學(xué)知識是思維的載體，教師在學(xué)生思維的形成過程中起主導(dǎo)作用. 奇偶原理的思維方式要求教師先研究消化思維載體（教材），梳理奇偶原理的理論內(nèi)涵，嘗試總結(jié)教學(xué)實踐，從而更準確地引導(dǎo)學(xué)生進入教學(xué)思維場，形成學(xué)習(xí)共同體，這樣才能促成學(xué)生會用數(shù)學(xué)思維系統(tǒng)地思考問題.

參考文獻：

[1]任樟輝. 數(shù)學(xué)思維論[M]. 南寧：廣西教育出版社，1990.

[2]克里斯蒂安·黑塞. 像數(shù)學(xué)家一樣思考[M]. 何秉樺，黃建綸，譯. ?？冢汉Ｄ铣霭嫔?，2018.

[3]史寧中. 試論數(shù)學(xué)推理過程的邏輯性：兼論什么是有邏輯的推理[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2016，25（4）：1-16，46.

[4]蘇宇君，蘇昌盛. 判斷組合數(shù)[Cmn]奇偶性有高招[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究（教研版），2016（7）：97.