流動性視角下波動率指數(shù)期貨定價：基于HAR模型的直接定價法

蘇樂怡， 喬高秀， 蔣龔月

（西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，成都 611756）

流動性是金融市場中的重要指標(biāo)，是市場微觀結(jié)構(gòu)的重要變量.盡管市場流動性與波動率屬于不同的維度，但它與波動率之間仍然存在信息交互，有著密切的聯(lián)系.近年來，已經(jīng)有大量文獻(xiàn)研究了含有流動性因素的資產(chǎn)定價，均得到了實(shí)證結(jié)果的支持［1-3］.因此，無論從理論分析還是實(shí)證結(jié)果來看，流動性都是資產(chǎn)定價的一個非常重要的影響因素.然而現(xiàn)有研究主要是基于股票市場，相比之下，研究流動性對金融衍生品價格影響的文獻(xiàn)較少.Chou 等［4］使用隱含波動率衡量期權(quán)價格結(jié)構(gòu)，研究了流動性對期權(quán)價格的影響.Zhang等［5］提出了一種新的衍生品定價模型，并發(fā)現(xiàn)在對石油和黃金的定價方面加入流動性的模型比基準(zhǔn)模型更加準(zhǔn)確.

1993 年，CBOE 開始編制VIX 指數(shù)，經(jīng)過十幾年的發(fā)展，VIX 指數(shù)逐漸得到了金融市場的認(rèn)同.2004 年3月26日，CBOE基于VIX指數(shù)推出了VIX期貨合約，這一全新的金融產(chǎn)品成交量不斷地攀升，交易品種也越來越豐富.Zhang和Zhu［6］最早基于連續(xù)時間模型研究了VIX期貨定價.Kanniainen等［7］將股票收益率和風(fēng)險(xiǎn)中性信息加入到了估計(jì)參數(shù)的似然函數(shù)中，實(shí)證表明在目標(biāo)函數(shù)中包含風(fēng)險(xiǎn)中性信息可以提高參數(shù)估計(jì)的精度，獲得更好的定價性能.Wang 等［8］基于離散時間模型HN-GARCH 推導(dǎo)出了VIX 期貨的定價公式.VIX期貨定價逐漸得到研究者們的廣泛關(guān)注［9-11］.

近年來，已實(shí)現(xiàn)波動模型的使用頻率越來越高，其中最有代表性的模型是異質(zhì)自回歸（HAR）模型.已有研究表明HAR類模型可以很好地匹配期權(quán)價格的隱含波動信息［12-13］，他們對HAR模型進(jìn)行了拓展（分別為HARG 和LHARG），后者還推導(dǎo)出了期權(quán)定價公式.最近，Huang 等［14］使用Majewski 等［13］提出的拓展模型（LHARG）推導(dǎo)出了不同期限結(jié)構(gòu)下的VIX期貨封閉定價公式.與上述通過對最底層標(biāo)的資產(chǎn)股票價格指數(shù)建模來研究VIX期貨定價的“間接定價法”研究不同，Yin等［15］使用HAR模型對波動率指數(shù)直接建模并推導(dǎo)出VIX期貨定價公式.這種建模方法簡單易于估計(jì)，且具有很高的預(yù)測精度，稱為“直接定價法”.通過引入其他外生信息對該模型進(jìn)行擴(kuò)展，繼續(xù)深入研究這種“直接定價法”下的VIX期貨定價具有重要的理論與應(yīng)用價值.實(shí)際上，流動性是影響衍生品價格的一個不可缺少的維度，然而尚無文獻(xiàn)探討流動性對波動率衍生品價格的影響，本文將從這一角度對已有研究進(jìn)行補(bǔ)充.

本文主要探討代表市場微觀結(jié)構(gòu)的流動性對VIX期貨價格的影響機(jī)制.在定價方法上，基于異質(zhì)自回歸模型（HAR模型）提出波動率指數(shù)（VIX）期貨的直接定價法，假設(shè)在風(fēng)險(xiǎn)中性測度下對數(shù)VIX遵循HAR模型，滯后一天的對數(shù)流動性作為外生變量加入HAR模型中.由于流動性自身的自相關(guān)性也很強(qiáng)，本文假設(shè)流動性也服從HAR模型的設(shè)定形式.另外，又采用了間接定價法中受到廣泛使用的HN-GARCH模型來比較兩種不同方法下的預(yù)測性能.本文的建模方式不僅充分考慮了市場微觀結(jié)構(gòu)信息流動性的影響，同時與間接定價法對最底層標(biāo)的資產(chǎn)建模相比也有效地簡化了定價過程.本文研究為我國衍生品市場保持高效運(yùn)行與正常的功能發(fā)揮提供有效信息，也為深入研究“金融化”市場下期貨定價和運(yùn)行機(jī)制帶來一些經(jīng)驗(yàn).

1 模型

1.1 流動性測度

流動性對投資者極為重要，然而它具有不可觀測性，因此有很多學(xué)者從不同角度提出了各種流動性的度量指標(biāo).Amihud［16］在研究美國證券市場時開發(fā)出了一種非流動性指標(biāo)，將其定義為每日日間的絕對收益與當(dāng)日交易量之間的比率.本文將采用這種方法計(jì)算非流動性，定義如下：

其中：ILLIQt表示S&P 500 指數(shù)在第t天的非流動性；Rt表示S&P 500 指數(shù)第t天的對數(shù)收益率；Vt表示S&P 500指數(shù)第t天的交易量.

1.2 基于HN-GARCH模型的VIX期貨定價

HN-GARCH模型是由Heston和Nandi［17］提出的.在物理測度P下，假定S&P 500指數(shù)日收益表示為：

其中：Rt代表日收益率；r代表無風(fēng)險(xiǎn)利率；λ是與條件方差ht相關(guān)的股權(quán)風(fēng)險(xiǎn)溢價，λ>0；zt=ht εt，εt～iid N( )0,1 ；ω，β，α與γ均為自回歸參數(shù)，滿足條件：ω>0，α，β≥0，γ>-0.5.

風(fēng)險(xiǎn)中性測度Q下，模型表示為：

風(fēng)險(xiǎn)中性測度Q下條件方差滿足：

令Ω*=ω+α>0，Γ*=β+αγ*2，其中Γ*表示風(fēng)險(xiǎn)中性下條件方差的持久性且滿足Γ?<1，風(fēng)險(xiǎn)中性的長期

Hao和Zhang［18］證明了該模型隱含的VIX是HN-GARCH模型下條件方差的線性函數(shù)，其線性關(guān)系滿足

Wang等［8］提出了基于HN-GARCH模型的VIX期貨定價公式，第t天到期時間為T的期貨價格為

可以推導(dǎo)出

其中f( )?;t,T,ht+1是條件方差ht+1的矩母函數(shù)，表示為

簡記為：At=A(t;T,?)，Bt=B(t;T,?).其迭代關(guān)系滿足：

終值條件為：AT=0，BT=?.證明過程見Wang等［8］.

1.3 基于HAR模型的直接定價法

HAR模型通過波動率自回歸過程描述了不同時段的異質(zhì)交易行為.假設(shè)對數(shù)VIX遵循HAR框架.由于VIX指數(shù)本身代表了風(fēng)險(xiǎn)中性的波動率，則對VIX指數(shù)建模意味著直接在風(fēng)險(xiǎn)中性測量下的建模.在風(fēng)險(xiǎn)中性測度下，HAR模型表示為

根據(jù)Carr和Wu［19］的研究，期貨價格表達(dá)式如下：

可以證明，在HAR模型下VIX期貨滿足以下形式：

終值條件滿足：CT=0，?=1，當(dāng)s>1時，?=0.證明過程如下：

所以有：

因此，

1.4 流動性視角下基于HAR模型的直接定價法

本節(jié)將流動性作為外生變量加入模型中：假設(shè)流動性在風(fēng)險(xiǎn)中性測度下也服從HAR模型的設(shè)定形式，并將滯后一天的流動性加入方程（9）中，記為HAR-LIQ模型，表示如下：

根據(jù)Carr和Wu［19］的研究，期貨價格表達(dá)式如下：

可以證明，在HAR-LIQ模型下VIX期貨滿足以下形式：

終止條件滿足CT=0，?=1，當(dāng)s>1時，?=0，ψ=0.證明過程如下：

所以有：

因此，

2 研究方法

2.1 估計(jì)方法

本文用僅含VIX 期貨信息的極大似然函數(shù)對參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，并將這種估計(jì)方法稱為僅“VIX 期貨”法.似然函數(shù)如下：

2.2 估計(jì)誤差

為了衡量模型的預(yù)測能力，本文采用了四種損失函數(shù)：MAE、RMSE、MAPE和QLIKE.計(jì)算如下：

其中：F表示VIX期貨的真實(shí)值；F表示VIX期貨的預(yù)測值；J為預(yù)測樣本的長度.

3 實(shí)證結(jié)果

3.1 數(shù)據(jù)

本文收集了S&P 500 指數(shù)來計(jì)算非流動性指標(biāo)，數(shù)據(jù)來源于雅虎財(cái)經(jīng).VIX 指數(shù)數(shù)據(jù)以及VIX 期貨數(shù)據(jù)來源于CBOE網(wǎng)站.樣本期從2004年3月31日至2019年12月31日，刪除所有到期時間超過2019年12月31 日的期貨合約，最終樣本共27 561個價格.根據(jù)之前的研究［8-9］，VIX期貨價格采用了多個過濾器.首先計(jì)算每個交易日期貨合約的到期日，并刪除所有到期日小于5 d的合約，為了避免流動性偏差，刪除未平倉量小于200的合約價格，并用日結(jié)算價作為期貨價格的表示.為了檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷念A(yù)測能力是否與到期時間長短有關(guān)，本文將VIX 期貨分為三組，分別為：T≤60，60120，它們分別代表短期、中期和長期的VIX期貨合約；由于VIX期貨價格通常也反映了VIX指數(shù)未來的市場預(yù)期，所以按照VIX指數(shù)水平將VIX期貨分為三組，分別為：VIX ≤15，1520.

表1為所有數(shù)據(jù)的描述性統(tǒng)計(jì)，分別采用格蘭杰因果關(guān)系檢驗(yàn)法與皮爾遜相關(guān)系數(shù)來檢驗(yàn)VIX指數(shù)與Amihud非流動性之間的因果關(guān)系以及相關(guān)性.Amihud非流動性、VIX指數(shù)和VIX期貨的峰度分別為18.984 1、10.267 9和4.187 0，均偏高.VIX期貨隨著到期時間的增加，均值有所增加，方差和偏度峰度都有所降低，最大值降低而最小值增加；VIX期貨隨著VIX指數(shù)的增大，除了峰度以外的其他描述統(tǒng)計(jì)量均隨著增加.值得注意的是，在1%顯著性水平下，Amihud非流動性構(gòu)成VIX指數(shù)的Granger成因，而VIX指數(shù)不構(gòu)成Amihud非流動性的Granger成因.此外，VIX指數(shù)與Amihud非流動性的皮爾遜相關(guān)系數(shù)為0.344 4，呈正向弱相關(guān).

表1 描述性統(tǒng)計(jì)Tab.1 Descriptive statistics

由于樣本量較大，包含了2008—2009年金融危機(jī)期，所以本文的研究將全體樣本分為兩組，2004年3月31日至2011年12月31日為第1組，2012年1月1日至2019年12月31日為第2組.

圖1 和圖2 分別展示了VIX 指數(shù)和Amihud 非流動性隨時間的演變.可以看出，在2008 年金融危機(jī)期間，隨著波動率的大幅度提高，流動性水平也出現(xiàn)了極高的波動，它們在經(jīng)歷了這段不穩(wěn)定的時期之后均處于相對較低的水平.

圖1 VIX指數(shù)Fig.1 VIX Index

圖2 Amihud非流動性Fig.2 Amihud illiquidity

表2展示了Amihud非流動性的回歸分析結(jié)果.α2和α3均在1%顯著性水平下顯著，說明滯后的非流動性對當(dāng)前非流動性起到了預(yù)測作用.基于此，本文將滯后一天、一周和一月的流動性保留在流動性的回歸模型中.

表2 Amihud非流動性的回歸分析結(jié)果Tab.2 Regression analysis results of Amihud illiquidity

3.2 參數(shù)估計(jì)

本節(jié)將使用極大似然法擬合本文中的回歸模型來估計(jì)參數(shù)，表3、表4報(bào)告了HN-GARCH模型、HAR 模型以及HAR-LIQ 模型的樣本內(nèi)參數(shù)估計(jì)結(jié)果.

從表3 中可以看到，HN-GARCH 模型在兩個子樣本估計(jì)下的β值都接近1，持久性Γ*也都接近1，表明風(fēng)險(xiǎn)中性動態(tài)導(dǎo)致了更高的持久性.

表3 HN-GARCH模型樣本內(nèi)參數(shù)估計(jì)結(jié)果Tab.3 In-sample parameter estimation results of HN-GARCH model

從表4中可以看到，HAR和HAR-LIQ兩模型的回歸系數(shù)均為正，其中滯后一天的回歸系數(shù)β1最大，對VIX指數(shù)的預(yù)測發(fā)揮了最大的作用；滯后一周與滯后一月的回歸系數(shù)較小，在一些樣本的估計(jì)中趨于零，且滯后一月系數(shù)β3均大于滯后一周系數(shù)β2，表明滯后一月的VIX指數(shù)比滯后一周的發(fā)揮了更大的作用.其中第1組的系數(shù)β1小于第2組的β1，而第2組滯后多階的系數(shù)更小，表明第2組VIX期貨預(yù)測更依賴于近期的VIX指數(shù).另外，HAR-LIQ模型的似然函數(shù)均大于HAR模型的.

表4 HAR和HAR-LIQ模型樣本內(nèi)參數(shù)估計(jì)結(jié)果Tab.4 In-sample parameter estimation results of HAR model and HAR-LIQ model

3.3 樣本內(nèi)外定價誤差

本節(jié)報(bào)告了兩個子樣本的樣本內(nèi)外定價誤差分析.表5為三個模型的總樣本預(yù)測結(jié)果，從表中可以看出，在第1 組樣本內(nèi)外，HAR 模型和HAR-LIQ 模型的預(yù)測結(jié)果均優(yōu)于HN-GARCH 模型；在第2 組樣本期，HAR 模型和HAR-LIQ 模型在樣本內(nèi)定價效果更好，而HN-GARCH 模型在樣本外的定價效果更好.對于HAR模型，在四種不同誤差評估標(biāo)準(zhǔn)下，流動性的加入在兩個子樣本內(nèi)外均降低了對VIX期貨的定價誤差.

表5 VIX期貨樣本內(nèi)和樣本外定價誤差Tab.5 In-sample and out-of-sample pricing errors of VIX futures

表6和表7分別報(bào)告了三個模型按照到期時間和VIX指數(shù)大小分組的定價誤差.從樣本內(nèi)表現(xiàn)來看，在兩個子樣本中，不同到期時間以及VIX指數(shù)水平下，HN-GARCH模型的定價誤差均大于HAR和HAR-LIQ模型，這一結(jié)果與表5 中總定價誤差一致.進(jìn)一步分析可以發(fā)現(xiàn)，在第1 組中，HAR-LIQ 模型對長期期貨（T>120）的定價誤差低于HAR模型，對于中短期期貨（T≤120）的預(yù)測只有RMSE函數(shù)低于HAR模型.但對于不同VIX 指數(shù)水平，HAR-LIQ 模型的四種誤差函數(shù)均低于HAR 模型；在第2組中，HAR-LIQ 模型在不同長度的到期時間下定價誤差均低于HAR模型，且除了對VIX ≤15 的情況外，其他兩個VIX指數(shù)水平分組下HAR-LIQ模型定價誤差也均小于HAR模型.

表6 VIX期貨樣本內(nèi)定價誤差分組結(jié)果Tab.6 Grouping results of in-sample pricing errors of VIX futures

表7 VIX期貨樣本外定價誤差分組結(jié)果Tab.7 Grouping results of out-of-samples pricing errors of VIX futures

續(xù)表

從樣本外的表現(xiàn)可以發(fā)現(xiàn)，第1組樣本外中，不同到期時間以及VIX指數(shù)水平下，HAR模型和HAR-LIQ模型的定價誤差更小，而第2組樣本外中，只有在VIX ≤15 的樣本中HAR模型和HAR-LIQ模型定價誤差小于HN-GARCH模型，其余分組中HN-GARCH模型的定價誤差更小.進(jìn)一步分析可以發(fā)現(xiàn)，第1組對于短期VIX期貨（T≤60）的預(yù)測中，HAR-LIQ模型定價誤差大于HAR模型，然而對其他任意到期時間以及VIX指數(shù)水平來說，HAR-LIQ模型的定價誤差均小于HAR模型的，相對于HAR模型有效降低了定價誤差.總體來看，流動性的加入穩(wěn)定地提高了HAR模型對VIX期貨的樣本外預(yù)測能力.

為了進(jìn)一步探究HAR 模型和HAR-LIQ 模型的定價誤差與到期時間和VIX指數(shù)水平的關(guān)系，本節(jié)畫出了第2 組樣本外中，兩模型在三組不同VIX 指數(shù)水平下期貨定價誤差函數(shù)（RMSE）隨著期貨到期時間的變化，如圖3所示.

圖3 不同波動率下VIX期貨樣本外定價誤差（RMSE）Fig.3 Out-of-sample pricing errors（RMSE）of VIX futures under different volatility levels

可以看到，兩模型變化規(guī)律相似，呈現(xiàn)出明顯的變化趨勢：隨著到期時間的增加定價誤差函數(shù)RMSE也增大，且隨著VIX指數(shù)的增加定價誤差函數(shù)RMSE也明顯增大.HAR-LIQ模型的定價誤差函數(shù)RMSE總是小于HAR模型的誤差，在VIX ≤15 和1520 下的定價誤差隨著到期時間的增加變化平均，表現(xiàn)出了比較明顯的優(yōu)勢.

4 結(jié)論

本文基于異質(zhì)自回歸模型（HAR模型），將市場微觀結(jié)構(gòu)重要指標(biāo)——流動性加入模型中，采用直接定價法研究模型定價性能，并與采用間接定價法的HN-GARCH模型進(jìn)行了比較.相比之下，本文提出的新模型在充分引入有效金融市場信息的同時大大簡化了定價過程.更重要的是，流動性的這種建模方式非常有效，對VIX期貨的定價起著重要作用，具體表現(xiàn)為：無論樣本內(nèi)外，在四種誤差評估標(biāo)準(zhǔn)下，HAR-LIQ模型的VIX期貨定價表現(xiàn)均優(yōu)于HAR模型.這為我國研究衍生品定價和衍生品市場運(yùn)行機(jī)制帶來了有效的經(jīng)驗(yàn).同時實(shí)證結(jié)果也表明，HAR模型和HAR-LIQ模型與HN-GARCH模型在不同樣本期對VIX期貨定價表現(xiàn)有差異，這需要后期對兩類的適用情形進(jìn)行更深入的探討.