極點(diǎn)極線背景試題的計(jì)算策略

湖北省天門中學(xué)(431700)代成紅

以極點(diǎn)極線為背景的試題在中學(xué)各級(jí)考試中屢見不鮮.這一類問題往往算法復(fù)雜、計(jì)算困難.在教學(xué)實(shí)踐中,筆者總結(jié)了一些處理極點(diǎn)極線背景試題的計(jì)算策略,現(xiàn)在寫出來,求教于方家.

一、設(shè)線策略

以極點(diǎn)極線為背景的試題考查的主要是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,所以設(shè)線策略(設(shè)直線方程并與圓錐曲線方程聯(lián)立求解)依然是我們解題中的首選策略.但設(shè)線策略在計(jì)算過程中經(jīng)常會(huì)用到韋達(dá)定理,自然需要計(jì)算式子是對(duì)稱的.如果計(jì)算過程中出現(xiàn)不對(duì)稱的情況,可以采用以下策略.

(一)同構(gòu)方程策略

解析幾何中,分析圖形是設(shè)計(jì)算法的基石.理清圖形含有的元素(點(diǎn)、直線、圓錐曲線)以及它們的相互關(guān)系是分析圖形的出發(fā)點(diǎn).如果圖形中有兩個(gè)點(diǎn)從元素間相互關(guān)系來看,地位相同,我們圍繞其中一個(gè)建立等式,另一個(gè)同理可得相似的等式,此時(shí)就可以構(gòu)造方程,簡(jiǎn)化計(jì)算,提高運(yùn)算效率.

例1(2020年高考北京卷第20 題)已知橢圓C:過點(diǎn)A(-2,-1),且a=2b.

(1)求橢圓C的方程;

(2)過點(diǎn)B(-4,0)的直線l交橢圓C于點(diǎn)M、N,直線MA、NA分別交直線x=-4 于點(diǎn)P、Q,求的值.

圖2

分析常規(guī)設(shè)線法首先是聯(lián)立直線MN與橢圓C方程,得到點(diǎn)M,N的縱坐標(biāo)yM,yN的關(guān)系,然后將點(diǎn)P,Q的縱坐標(biāo)yP,yQ用yM,yN表示,再消去參數(shù)yM,yN算出答案.但是在直線MN與橢圓C的相交關(guān)系中,點(diǎn)M、點(diǎn)N地位相同,這是容易計(jì)算出對(duì)稱式y(tǒng)M+yN,yMyN的原因;圖1中點(diǎn)P、點(diǎn)Q是直線x=-4 與兩條不同直線MA,NA相交而成,地位并不相同,這是在計(jì)算yP,yQ的比值時(shí),算出yM,yN非對(duì)稱式的原因.處理非對(duì)稱式需要一定運(yùn)算技巧,運(yùn)算量大,是常規(guī)設(shè)線法難點(diǎn)所在.

圖1

如果仔細(xì)分析圖1 中六個(gè)點(diǎn)以及它們與其它元素的關(guān)系,可以發(fā)現(xiàn):點(diǎn)M是橢圓與直線MN、PA的公共點(diǎn),點(diǎn)N是橢圓與直線MN、QA的公共點(diǎn),它們的地位相同.如果我們以點(diǎn)M代入橢圓方程得到一個(gè)等式,用點(diǎn)N同理可得到完全類似的等式,從而可以構(gòu)造二次方程,使用韋達(dá)定理.這樣處理,回避了非對(duì)稱式,極大地減少運(yùn)算量.

分析圖3 中包含一個(gè)橢圓,四條直線,六個(gè)點(diǎn),從它們相互關(guān)系來看,點(diǎn)A是兩直線MA、AB與橢圓的公共點(diǎn),點(diǎn)B是兩直線MB、AB與橢圓的公共點(diǎn),地位是相同的,因此可從點(diǎn)A、B入手構(gòu)造同構(gòu)方程來簡(jiǎn)化計(jì)算,提高運(yùn)算效率.

圖3

圖4

(二)非對(duì)稱式消元策略

當(dāng)用設(shè)線法求解極點(diǎn)極線背景試題時(shí),很容易碰到計(jì)算非對(duì)稱式的情形.在這種情形下,最直接的思路是消元.只不過在消元的時(shí)候一是要打破思維桎梏,敢于把使用韋達(dá)定理得到的對(duì)稱式拆開;二是消元前根據(jù)解題要求確定好消那個(gè)元,一消到底.

評(píng)注①如圖5,點(diǎn)Q在點(diǎn)P的極線xP x= 1 上,因此②在例3 中,因?yàn)閤P與k有關(guān),因此計(jì)算x0時(shí)應(yīng)保留k繼續(xù)參與運(yùn)算,所以選擇消去x1(或x2),消元時(shí)要敢于破壞x1+x2的對(duì)稱性,將x2(或x1)一消到底,留下x1(或x2),k進(jìn)行運(yùn)算.

圖5

(三)非對(duì)稱式轉(zhuǎn)化為對(duì)稱式策略

在很多極點(diǎn)極線為背景的試題中,遇到計(jì)算非對(duì)稱式的情況,可以先分析圖形中的各個(gè)元素,尋找它們之間的數(shù)量關(guān)系,如果能利用這些關(guān)系將非對(duì)稱的式子轉(zhuǎn)化成對(duì)稱的式子,就可以用常規(guī)的方法解決問題了.

例4(2020年高考全國(guó)卷Ⅰ理科第20 題)已知A、B分別是橢圓E:1(a ＞1)的左、右頂點(diǎn),G為E的上頂點(diǎn),為直線x=6 上的動(dòng)點(diǎn),PA與E的另一個(gè)交點(diǎn)為C,PB與E的另一個(gè)交點(diǎn)為D.(1)求E的方程;(2)證明:直線CD過定點(diǎn).

圖6

二、設(shè)點(diǎn)策略

設(shè)線策略在進(jìn)行計(jì)算時(shí),直線與圓錐曲線的交點(diǎn)總是成對(duì)出現(xiàn),單獨(dú)計(jì)算其中某一點(diǎn)坐標(biāo),計(jì)算較為繁瑣,實(shí)際運(yùn)算中很少這樣算.在解決極點(diǎn)極線背景的問題時(shí),常常需要由一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)求出另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),然后再進(jìn)行下一步的計(jì)算,因此我們大可放下設(shè)線聯(lián)立的套路,采用設(shè)點(diǎn)法來進(jìn)行運(yùn)算.在教學(xué)實(shí)踐中,如果面對(duì)的是拋物線中的問題,由于拋物線方程簡(jiǎn)單,引入?yún)?shù)描述拋物線上的點(diǎn),用設(shè)點(diǎn)法來解決問題經(jīng)常是師生的首選.橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程比拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程復(fù)雜一點(diǎn),所以容易形成一個(gè)錯(cuò)誤認(rèn)知,橢圓、雙曲線的問題設(shè)點(diǎn)法計(jì)算困難,只能選擇設(shè)線法來解.其實(shí)設(shè)點(diǎn)與設(shè)線,只是思考問題時(shí)出發(fā)點(diǎn)不一致,從原理上講,能用設(shè)線策略解決的問題,設(shè)點(diǎn)策略也可以解決.在極點(diǎn)極線背景的試題中,以下兩種情形如果用設(shè)點(diǎn)策略,運(yùn)算效率比設(shè)線法要高出不少:

圖7

圖8

三、向量策略

極點(diǎn)極線涉及的是圖形的射影性質(zhì).在中學(xué)范圍內(nèi),射影性質(zhì)往往表現(xiàn)為點(diǎn)在直線上、直線過定點(diǎn)這類與結(jié)合性相關(guān)的性質(zhì),因此極點(diǎn)極線背景的試題,經(jīng)常要根據(jù)點(diǎn)共線的條件求點(diǎn)的坐標(biāo).處理共線問題,向量是一個(gè)有效的工具,因此向量策略在極點(diǎn)極線問題的求解中也是常用策略.使用向量處理點(diǎn)共線問題時(shí),常會(huì)用到以下與共線有關(guān)的結(jié)論:

A、B、C三點(diǎn)共線?存在三點(diǎn)共線?存在其中O是平面內(nèi)任意一點(diǎn).

例6(2015年高考北京卷文科第20 題)已知橢圓x2+ 3y2= 3,過點(diǎn)D(1,0)且不過點(diǎn)E(2,1)的直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),直線AE與直線x=3 交于點(diǎn)M.

(1)求橢圓C的離心率;

(2)若直線AB垂直于x軸,求直線BM的斜率;

(3)試判斷直線BM與直線DE的位置關(guān)系,并說明理由.

分析觀察圖形易得直線BM與直線DE平行,于是考慮證明,因此可以選擇向量法完成證明.

圖9

圖10

四、幾何策略

解析幾何問題終究是幾何問題,因此利用幾何知識(shí)探究圖形性質(zhì),配合解析法解決問題是解析幾何中非常自然的策略,處理極點(diǎn)極線背景的問題亦是如此.

例7如圖11所示,已知橢圓E:過點(diǎn)P(2,1)的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn),過N作斜率為的直線交橢圓于另一點(diǎn)Q,求證:直線MQ過定點(diǎn).共點(diǎn),因此MQ過GP與P∞B的交點(diǎn)A.理清例7 背景,就不難作出例7 輔助線,減少運(yùn)算量.如果沒有這些輔助線,一味硬算,計(jì)算量會(huì)非常巨大.

圖11

圖12

五、曲線系策略

因?yàn)槠矫嫔衔鍌€(gè)點(diǎn)(其中無三點(diǎn)共線)唯一確定一條非退化二次曲線,所以二次曲線上如果有三個(gè)或者四個(gè)不共線的點(diǎn),我們就可以引入二次曲線系方程來表示這條二次曲線,再比較方程的系數(shù)得到參數(shù)間的關(guān)系,這就是所謂曲線系策略.曲線系策略是解決極點(diǎn)極線問題的一種非常有效的策略.

例8已知橢圓E:A,B分別為橢圓E的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn),與AB平行的直線MN與橢圓E相交于M、N兩點(diǎn),記k1,k2分別為AM與BN的斜率,求證:k1k2為定值.

圖13

圖14