張弛皆有度 動靜總相宜
——圓錐曲線中的調和平均問題初探

馮廣軍 郭琳芳

(廣東省深圳科學高中 518129)

圓錐曲線中蘊藏著豐富的規(guī)律，如定點與定值問題等.這些規(guī)律大多都反映了圓錐曲線中的一種動態(tài)而和諧的平衡，正是“張弛皆有度，動靜總相宜”，比如低調而絕妙的調和平均問題.

1 研教材，啟示多從教材來

(人教A版教材2019版第45頁)如圖1，

AB

是圓的直徑，點

C

是

AB

上一點，

AC

=

a

，

BC

=

b.

過點

C

作垂直于

AB

的弦

DE

，連結

AD

，

BD.

你能利用這個圖形，得出基本不等式的幾何解釋嗎？

圖1

這里給了我們一個提示，即基本不等式的幾何解釋.實際上，對于兩個正數

a

，

b

，不等關系都可以在圓中找到其幾何解釋：如圖2，在以

BC

為直徑的圓

O

中，設

AC

=

a

，

AB

=

b

，

AD

與圓

O

相切于點

D

，

DE

⊥

BC

于點

E

，

OF

⊥

BC

，交圓

O

于點

F

，連結

OD

，

AF.

易知結合圖形可知，

AE

<

AD

<

AO

<

AF

，當且僅當圓的半徑為0，即

a

=

b

時取等號.

圖2 圖3

事實上，如果作出圓的另一條切線

AM

，易知點

E

即為過圓心的割線

AC

與切點弦

DM

的交點，一個自然的想法是：如果割線

AC

不過圓心，

AE

是否仍然是

a

，

b

的調和平均？結論是肯定的.

例1

如圖4，點

P

為圓

x

+

y

=

r

外一點，

PA

，

PB

為圓的兩條切線，切點分別為

A

，

B

，割線

PD

交圓于

C

，

D

兩點，交

AB

于點

Q

，求證：

圖4

證明

設

P

(

x

,

y

)，如圖4，不妨設

x

<-

r.

設直線

PQ

的方程為

y

=

k

(

x

-

x

)+

y

，

C

(

x

,

y

)，

D

(

x

,

y

)，

Q

(

x

,

y

)，則只需證由得(1+

k

)

x

+故從而又因為直線

AB

的方程為

x

x

+

y

y

=

r

，由得所以當點

P

位于

y

軸上時，易證(略).所以證畢.結論1 過圓

O

外一點

P

作圓

O

的兩條切線

PA

，

PB

，切點分別為

A

，

B

，過點

P

任作圓

O

的一條割線，交圓

O

于

C

，

D

兩點，交切點弦

AB

于點

Q

，則

PQ

為

PD

，

PC

的調和平均.

2 善變通，味道盡在類比中

例2

如圖5，點

P

為橢圓外一點，

PA

，

PB

為橢圓的兩條切線，切點分別為

A

，

B

，割線

PQ

交橢圓

E

于

C

，

D

兩點，交線段

AB

于點

Q

，求證：

圖5

證明

設

P

(

x

,

y

)，如圖5，不妨設

x

<-

a.

設直線

PQ

的方程為

y

=

k

(

x

-

x

)+

y

，

C

(

x

,

y

)，

D

(

x

,

y

)，

Q

(

x

,

y

)，則只需證因為直線

AB

的方程為由得

x

=故又由得故從而當點

P

位于

y

軸上時，不妨設

P

(0,

m

)(

m

<-

b

)，因為直線

AB

的方程為所以從而又

PC

=

b

-

m

，

PD

=-

b

-

m

，所以

綜上，證畢.

該結論在雙曲線和拋物線中仍然成立，證明略.

結論2 過圓錐曲線

E

外一點

P

作

E

的兩條切線

PA

，

PB

，切點分別為

A

，

B

，過點

P

任作

E

的一條割線，交

E

于

C

，

D

兩點，交切點弦

AB

于點

Q

，則

PQ

為

PD

，

PC

的調和平均.

3 再尋覓，沿途處處有驚喜

例3

如圖6，直線

l

過橢圓的左焦點

F

，且與橢圓

E

交于

A

，

B

兩點，則(其中

e

是橢圓

E

的離心率，

p

是焦點到相應準線的距離，

ep

即為半通徑)

圖6

證明

如圖6，設∠

BF

F

=

θ

，

BF

=

r

，

AF

=

r

，由橢圓的第二定義有：因此證畢.

對于雙曲線(交于同一支時的情形)和拋物線，可通過類似的證明過程得到這一結論，不再一一給出.

結論3 圓錐曲線的焦點弦的兩個焦半徑的調和平均是其通經的一半.(雙曲線中的焦點弦是指過焦點的直線與雙曲線交于同一支的情形)

例4

如圖7，過橢圓的左焦點

F

且相互垂直的兩直線與橢圓

E

分別交于點

A

，

B

和

C

，

D

，求證：

圖7

證明

設∠

BF

F

=

θ

，

BF

=

r

，

AF

=

r

，由橢圓的第二定義有：

r

=因此因為

AB

與

CD

垂直，所以只需要將中的

θ

換成即可得到所以當圓錐曲線為雙曲線時，綜合可知

結論4 圓錐曲線過同一焦點的互相垂直的兩條弦長的調和平均為定值.

調和平均原本是統計學中的術語，是一種某一特定條件下的平均量，我們能在圓錐曲線中不斷發(fā)現它的存在，這為我們從多個角度去理解調和平均又打開了一扇門.或許數學的魅力也正在于此，而更多的美正等著我們去發(fā)現！