對(duì)一道求拋物線中弦的長(zhǎng)度問(wèn)題解法的探究

陳美娟

求拋物線中弦的長(zhǎng)度問(wèn)題，不僅考查了拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)，還考查了直線與拋物線的位置關(guān)系、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、兩點(diǎn)間的距離公式等.本文以一道典型題目為例，談一談求拋物線中弦的長(zhǎng)度問(wèn)題的解法.

題目：如圖，已知拋物線的方程為y2=4x，斜率為1的直線 l 經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于 A、 B 兩點(diǎn)，求弦 AB的長(zhǎng)度.

題目的已知條件中給出了拋物線的方程、直線的斜率.我們根據(jù)直線的點(diǎn)斜式可求得直線 AB 的方程，然后可利用直線的參數(shù)方程、弦長(zhǎng)公式、兩點(diǎn)間的距離公式來(lái)求弦 AB 的長(zhǎng).

思路一：采用參數(shù)法求解

我們知道，每條曲線都有與其對(duì)應(yīng)的參數(shù)方程，如過(guò)點(diǎn) M（x0，y0）、傾斜角為α的直線的參數(shù)方程為（ t 為參數(shù)）橢圓 +=1（a >b >0）的x =a cos φ，的長(zhǎng)度時(shí)，可根據(jù)曲線的參數(shù)方程設(shè)出曲線上的點(diǎn)，并將其代入題設(shè)中建立關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式，最后消去參數(shù)即可解題.

解：由y2=4x 可知拋物線的焦點(diǎn)為 F1，0，而直線傾的斜率為1，

設(shè)直線 AB 的參數(shù)方程為

將其代入拋物線方程可得t2-4 t -8=0，

由韋達(dá)定理可得 t1+t2=4 ，t1t2=-8，

所以AB =t1-t2= ==8.

解答本題，需首先設(shè)出直線的參數(shù)方程，將其與拋物線的方程聯(lián)立，通過(guò)消元構(gòu)造關(guān)于t 的一元二次方程，借助韋達(dá)定理建立關(guān)于t1、 t2的關(guān)系式，從而求得弦 AB 的長(zhǎng)度.

思路二：根據(jù)弦長(zhǎng)公式求解

若直線與圓錐曲線的交點(diǎn)為 Ax1，y1、Bx2，y2，則弦長(zhǎng)公式：AB =x1-x2= y1-y2.弦長(zhǎng)公式主要用于求圓錐曲線中弦的長(zhǎng)度.本題中 AB 為拋物線的弦，可根據(jù)弦長(zhǎng)公式來(lái)求 AB 的長(zhǎng)度.只需將直線方程與拋物線的方程聯(lián)立，構(gòu)造一元二次方程，求得 x1+x2、x1x2的值，然后將其代入弦長(zhǎng)公式即可求得弦 AB 的長(zhǎng).

解：由y2=4x 可知拋物線的焦點(diǎn)為 F1，0，所以

將直線 AB 與拋物線的方程聯(lián)立可得y（y）4x-，1，得x2-6x +1=0，

所以x1+x2=6，x1x2=1，

所以AB ==8，

思路三：利用兩點(diǎn)間的距離公式求解

若已知 Ax1， y1、 Bx2， y2，則 AB 兩點(diǎn)間的距離公式為AB= .在求拋物線的中弦的長(zhǎng)度時(shí)，可將直線與拋物線的方程聯(lián)立，通過(guò)解方程組求得弦的端點(diǎn)的坐標(biāo)，再運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式求解.

解：由y2=4x 可知拋物線的焦點(diǎn)為 F1，0，所以

將直線 AB 與拋物線的方程聯(lián)立得y（y）4x-，1，x1=3-2 ， y1=2+2 ，

所以 A3+2 ，2+2，B3-2 ，2-2，

所以AB = =8.

我們將求拋物線中弦的長(zhǎng)度問(wèn)題看作兩點(diǎn)間的距離問(wèn)題，通過(guò)建立方程組求得弦的端點(diǎn)的坐標(biāo)，便可運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式求得問(wèn)題的答案.

求拋物線中弦的長(zhǎng)度問(wèn)題雖然綜合性較強(qiáng)，但是都可以歸結(jié)為求線段的長(zhǎng)度問(wèn)題.因此在解題時(shí)，我們只需先根據(jù)拋物線的定義、方程、性質(zhì)明確所求弦的位置，便可根據(jù)曲線的參數(shù)方程、弦長(zhǎng)公式、兩點(diǎn)間的距離公式建立關(guān)于弦的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系式，求得弦的長(zhǎng)度.

（作者單位：江蘇省大豐高級(jí)中學(xué)）