基于純方位的無(wú)人機(jī)遂行編隊(duì)飛行中的無(wú)源定位問題

周心雯

（廣西師范大學(xué)，廣西 桂林 530000）

1 預(yù)備知識(shí)和問題描述

無(wú)人機(jī)技術(shù)發(fā)展迅猛，廣泛應(yīng)用于民用和軍用領(lǐng)域，在軍用的目標(biāo)追蹤方面，為了保證無(wú)人機(jī)的隱蔽性，盡可能避免外界干擾，無(wú)源定位跟蹤系統(tǒng)逐漸成為研究熱點(diǎn)。純方位跟蹤系統(tǒng)是對(duì)目標(biāo)進(jìn)行連續(xù)觀測(cè)，積累測(cè)角信息，從而獲得目標(biāo)狀態(tài)的精確估計(jì)[1]，受成本和質(zhì)量的限制，無(wú)源純方位傳感器被廣泛應(yīng)用于被動(dòng)跟蹤中的無(wú)源定位問題。根據(jù)測(cè)量方式的不同，無(wú)源定位的方式可以分為到達(dá)角度（Angle Of Arrival, AOA）技術(shù)、到達(dá)時(shí)間（Time Of Arrival, TOA）技術(shù)、到達(dá)頻率差（Frequency Difference of Arrival, FDOA）技術(shù)以及到達(dá)時(shí)間差（Time Difference of Arrival, TDOA）技術(shù)[2-3]。不同無(wú)源定位的優(yōu)、缺點(diǎn)見表1。

表1 不同無(wú)源定位方法的優(yōu)、缺點(diǎn)

基于TDOA的無(wú)源定位具有便于觀測(cè)、易獲得信息以及易組網(wǎng)的優(yōu)點(diǎn)，因此適用于無(wú)人機(jī)集群作戰(zhàn)場(chǎng)景。利用TDOA對(duì)目標(biāo)進(jìn)行定位主要分為TDOA估計(jì)、TDOA結(jié)算以及目標(biāo)定位3個(gè)步驟。因此，該文基于TDOA（到達(dá)時(shí)間差）定位法，利用目標(biāo)到達(dá)接收站的時(shí)間差完成定位任務(wù)。

該文主要研究圓形陣列無(wú)人機(jī)隊(duì)伍無(wú)源定位問題。首先，選擇圓形陣列，以圓心為主發(fā)射器，其他作為輔助發(fā)射器，輔助發(fā)射器接收目標(biāo)輻射的信號(hào)并轉(zhuǎn)發(fā)至主發(fā)射器，主發(fā)射器同時(shí)接收輔助發(fā)射器和目標(biāo)輻射的信號(hào)，測(cè)量信號(hào)從輔助發(fā)射器到達(dá)主發(fā)射器與信號(hào)從目標(biāo)輻射到達(dá)主發(fā)射器的時(shí)間差[1]，從測(cè)量與目標(biāo)的物理關(guān)系出發(fā)，當(dāng)發(fā)射信號(hào)的無(wú)人機(jī)位置無(wú)偏差且編號(hào)已知時(shí)，建立被動(dòng)接收信號(hào)的無(wú)人機(jī)測(cè)角定位方程。其次，在已知目標(biāo)接收到2個(gè)固定編號(hào)的無(wú)人機(jī)發(fā)射的信號(hào)的基礎(chǔ)上，通過上述測(cè)角定位模型比較不同數(shù)量無(wú)人機(jī)在保持最優(yōu)定位幾何結(jié)構(gòu)情況下的定位精度。根據(jù)接收的方向信息選擇加權(quán)最小二乘迭代對(duì)觀測(cè)方程進(jìn)行求解，構(gòu)建定位精度高、結(jié)構(gòu)形式簡(jiǎn)單的協(xié)同定位模型，調(diào)整無(wú)人機(jī)的位置，給出協(xié)同定位目標(biāo)的約束條件并介紹設(shè)計(jì)方案。最后，根據(jù)時(shí)差無(wú)源定位系統(tǒng)的誤差幾何稀釋度，考慮純方位無(wú)源定位情形，重點(diǎn)分析幾何因子對(duì)目標(biāo)定位的影響，得出無(wú)人機(jī)調(diào)整編隊(duì)的隊(duì)形方案[4]。

2 模型假設(shè)

模型假設(shè)如下：1） 假設(shè)無(wú)人機(jī)能正常發(fā)射和接收信號(hào)。2） 無(wú)人機(jī)信號(hào)傳播速度恒定。3） 忽略多個(gè)無(wú)人機(jī)在群隊(duì)之間的斥力和引力。4） 假設(shè)無(wú)人機(jī)不受內(nèi)部噪聲、傳感器更新延遲、數(shù)據(jù)處理時(shí)延、通信局域性以及一般環(huán)境噪聲等情況的影響[5]。

3 算法設(shè)計(jì)

該文只需要考慮當(dāng)編隊(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)均保持在空中的某一高度上，假設(shè)在圓形陣列中，發(fā)射信號(hào)的無(wú)人機(jī)對(duì)被動(dòng)接收信號(hào)的無(wú)人機(jī)目標(biāo)定位和跟蹤問題。假定編隊(duì)中各無(wú)人機(jī)保持恒定高度飛行，圓心的無(wú)人機(jī)與編隊(duì)中任意2架無(wú)人機(jī)位置無(wú)偏差，將其余任意1架無(wú)人機(jī)作為目標(biāo)被動(dòng)接收信號(hào)，此定位為無(wú)源定位，接收信號(hào)的無(wú)人機(jī)與發(fā)射信號(hào)的無(wú)人機(jī)位置不同，在無(wú)卡曼爾濾波的影響下，考慮距離差，發(fā)射信號(hào)的無(wú)人機(jī)信號(hào)到達(dá)目標(biāo)無(wú)人機(jī)的時(shí)間不同，根據(jù)TDOA定位方法，目標(biāo)無(wú)人機(jī)只需要測(cè)量與信號(hào)到達(dá)的時(shí)間差就可以計(jì)算目標(biāo)在空間中的位置。

選定一被動(dòng)接收信號(hào)的無(wú)人機(jī)為目標(biāo)，位于圓心的無(wú)人機(jī)（FYOO）為主發(fā)射信號(hào)器，編隊(duì)中另外2架無(wú)人機(jī)（用符號(hào)表示）輔助發(fā)射信號(hào)，則信號(hào)到達(dá)被動(dòng)接收信號(hào)的目標(biāo)無(wú)人機(jī)的時(shí)間差如公式（1）所示。

式中：c為光速；r0為主發(fā)射器到目標(biāo)無(wú)人機(jī)的距離；ri為輔助發(fā)射器到目標(biāo)的距離；di為主發(fā)射器到輔助發(fā)射器的連線長(zhǎng)度，di是已知常數(shù)。

假設(shè)ΔRi為各目標(biāo)無(wú)人機(jī)到達(dá)主發(fā)射器與到達(dá)輔助發(fā)射信號(hào)無(wú)人機(jī)距離差，根據(jù)其物理關(guān)系可以得到公式（2）。

將公式（2）代入公式（1）并簡(jiǎn)化，如公式（3）所示。

簡(jiǎn)化后的方程僅包括均勻分布的圓形無(wú)人機(jī)編隊(duì)的距離關(guān)系，因此，該問題可以根據(jù)TDOA定位法的內(nèi)涵，利用研究距離差代替研究時(shí)間差，以此簡(jiǎn)化研究參數(shù)，忽略信號(hào)接收不穩(wěn)定和數(shù)據(jù)處理時(shí)間等誤差。當(dāng)無(wú)人機(jī)編隊(duì)在某一高度時(shí)，在X-Y的二維平面設(shè)目標(biāo)相對(duì)于發(fā)射信號(hào)的無(wú)人機(jī)在x方向上的速度為vi，距離為ri，Y方向?yàn)閘i，則多發(fā)射器單目標(biāo)時(shí)差定位系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程如公式（4）所示。

在該二維平面內(nèi)，時(shí)差定位系統(tǒng)由3個(gè)發(fā)射信號(hào)的無(wú)人機(jī)以及1個(gè)被動(dòng)接收信號(hào)的無(wú)人機(jī)構(gòu)成，其中O為主發(fā)射器，C為輔助發(fā)射器，A、B為被動(dòng)接收信號(hào)的無(wú)人機(jī)。如圖 1所示。

圖1 TDOA時(shí)差定位系統(tǒng)示意圖

根據(jù)公式（4）所示的時(shí)差無(wú)源定位原理[5]可知，運(yùn)動(dòng)方程公式（3）可以代入公式（4），如公式（5）所示。

式中：（xi，yi）為X-Y的二維平面上初始位置有偏差的無(wú)人機(jī)位置坐標(biāo)。

在時(shí)差定位系統(tǒng)中，2個(gè)輔助發(fā)射器以及被動(dòng)接收信號(hào)的目標(biāo)無(wú)人機(jī)與圓心主發(fā)射器的無(wú)人機(jī)的坐標(biāo)關(guān)系如公式（6）所示。

式中：（xn，y0）為圓心主發(fā)射器無(wú)人機(jī)的坐標(biāo)；（x，y）為被動(dòng)接收信號(hào)的目標(biāo)無(wú)人機(jī)的坐標(biāo)。

將公式（6）代入公式（5），整理得到簡(jiǎn)化的定位系統(tǒng)位置關(guān)系，如公式（7）所示。

求解上述二元一次方程組就可以得定位系統(tǒng)各無(wú)人機(jī)坐標(biāo)以及角度之間的關(guān)系，如公式（8）～公式（10）所示。

式中：μ（u，v）為任意坐標(biāo)（u，v）的相角，μ∈[-π，π）。

聯(lián)立公式（8）和公式（9）得到公式（11）～公式（13）。

綜上所述，在模型假設(shè)的基礎(chǔ)上，根據(jù)無(wú)人機(jī)選取的任意性，可確定單目標(biāo)定位系統(tǒng)在圓形無(wú)人機(jī)編隊(duì)中的通用運(yùn)動(dòng)模型。

在圓形矩陣的無(wú)人機(jī)編隊(duì)中，以圓心的FY00無(wú)人機(jī)為主發(fā)射器，從其余9架無(wú)人機(jī)選擇任意2架為輔助發(fā)射信號(hào)無(wú)人機(jī)，已知TDOA定位模型中的時(shí)間差是利用圓心無(wú)人機(jī)發(fā)射信號(hào)與其余輔助無(wú)人機(jī)發(fā)射信號(hào)到達(dá)目標(biāo)無(wú)人機(jī)的時(shí)間差，除了以圓心的FY00無(wú)人機(jī)為主發(fā)射器、選取FY01的無(wú)人機(jī)為輔助發(fā)射信號(hào)之一外，在圓形矩陣中，現(xiàn)將X=[xtyt]T設(shè)為被動(dòng)接收信號(hào)的目標(biāo)無(wú)人機(jī)的位置，坐標(biāo)圓心無(wú)人機(jī)的二維坐標(biāo)是F0=[x0y0]，其余2個(gè)輔助發(fā)射器的二維坐標(biāo)為F1=[x1y1]和F2=[x2y2]。設(shè)主發(fā)射器無(wú)人機(jī)到接收信號(hào)的目標(biāo)無(wú)人機(jī)的距離為r0，其余2個(gè)輔助發(fā)射器到接收信號(hào)的目標(biāo)無(wú)人機(jī)的距離分別表示為ri，i=1，2。

發(fā)射信號(hào)的無(wú)人機(jī)與接收信號(hào)的目標(biāo)無(wú)人機(jī)距離的數(shù)學(xué)關(guān)系如公式（14）～公式（16）所示。

發(fā)射信號(hào)的無(wú)人機(jī)i與主無(wú)人機(jī)發(fā)射信號(hào)的實(shí)際時(shí)間差如公式（17）所示。

將公式（14）、公式（15）代入公式（16），可以得到各坐標(biāo)關(guān)系等式，如公式（18）所示。

公式（18）可以列出2個(gè)，將其寫成矩陣形式，如公式（19）所示。

式中：A、X和B為矩陣。

問題轉(zhuǎn)化為求關(guān)于X的非其次線性方程組的解，求接收信號(hào)無(wú)人機(jī)的位置可以轉(zhuǎn)化為求矩陣X的解，在二維平面中矩陣X包括xT和yT的解，要想獲得xT和yT的唯一解，就需要在矩陣A中A的秩為滿秩（rank（A）=2），而A的秩為滿秩的充要條件是A的行列式不為0，但是在圓形陣列中，i的任意性會(huì)導(dǎo)致（x0-xi）和（y0-yi）成比例，即A的行列式中某2行會(huì)成比例導(dǎo)致行列式的值為0，因此在已知以圓心的FY00無(wú)人機(jī)為主發(fā)射器、FY01的無(wú)人機(jī)為輔助發(fā)射信號(hào)之一的情況下，至少需要再添加1架輔助發(fā)射信號(hào)的無(wú)人機(jī)才可求解出xT、yT，又由公式（8）可知，當(dāng)X1cosθ+Y1cosθ+ΔR1=0或=X2cosθ+Y2cosθ+ΔR2=0時(shí)，目標(biāo)不可被觀測(cè)[4]。如圖 1所示，當(dāng)θ=0的時(shí)候，如公式（20）所示。

因此，當(dāng)θ角度滿足以上公式時(shí)，有X1cosθ+Y1cosθ+ΔR1=0，那么這時(shí)目標(biāo)難以接收信號(hào)產(chǎn)生信號(hào)差。

在已知以圓心的FY00無(wú)人機(jī)為主發(fā)射器、FY01的無(wú)人機(jī)為輔助發(fā)射信號(hào)之一的情況下，至少需要再添加1架輔助發(fā)射信號(hào)的無(wú)人機(jī)，且任意2發(fā)射信號(hào)的無(wú)人機(jī)連線及其延長(zhǎng)線不含有接收信號(hào)的目標(biāo)無(wú)人機(jī)，這樣才可以對(duì)接收信號(hào)的目標(biāo)無(wú)人機(jī)進(jìn)行有效定位。

根據(jù)題目中無(wú)人機(jī)編隊(duì)要求，需要把初始位置略有偏差的9架無(wú)人機(jī)經(jīng)過多次調(diào)整到以FY00為圓心半徑為100米的圓周上。對(duì)建立的單目標(biāo)信號(hào)接收定位模型來(lái)說，通過2步加權(quán)最小二乘法求解被動(dòng)接收信號(hào)的目標(biāo)無(wú)人機(jī)位置的非線性方程組，即Chan算法，以此確定每一次調(diào)整時(shí)任意單目標(biāo)的位置，對(duì)結(jié)果進(jìn)行擬合就可以得出整體的調(diào)整方案。

首先，由題目附件所給的9架無(wú)人機(jī)的初始位置和坐標(biāo)分別求出每架無(wú)人機(jī)與處于圓心無(wú)人機(jī)的距離差和角度差，將距離差和角度差放于直角二維坐標(biāo)系中，得到點(diǎn)（xi，yi），如圖2所示。

圖2 無(wú)人機(jī)位置擬合直線圖

這些點(diǎn)大致分布在一條直線附近，如圖3所示。

圖3 無(wú)人機(jī)的初始位置圖

可用1個(gè)直線方程反應(yīng)x與y之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，現(xiàn)要確定該條直線方程，使這9個(gè)點(diǎn)的偏差平方和最?。ㄗ钚《朔剑?，假設(shè)所求直線如公式（21）所示。

所測(cè)得到的9架無(wú)人機(jī)的偏差點(diǎn)為（Δxi，Δyi）。現(xiàn)要確定直線中未知參數(shù)a、b，以滿足公式（22）。

使f（ab）為最小函數(shù)值，因此有公式（23）。

對(duì)這組關(guān)于a、b的線性方程進(jìn)行整理，得到公式（24）。

求解公式（24），即得到f（a，b）的穩(wěn)定點(diǎn)，如公式（25）、公式（26）所示。

為了進(jìn)一步確定該點(diǎn)是極小值點(diǎn)，經(jīng)過計(jì)算得公式（27）～公式（30）。

式中：faa為f對(duì)a的二階導(dǎo)；fbb為f對(duì)a再對(duì)b的導(dǎo)；fbb為f對(duì)b的二階導(dǎo)。

f（a，b）在取得最小值，那么就有公式（31）。

公式（31）為擬合后的圓周表達(dá)式。

調(diào)整初始位置有偏差的無(wú)人機(jī)，使其均勻分布在擬合圓周上，用（xj'，yj'）來(lái)表示需要移動(dòng)到的均勻分布在圓周上的位置，同時(shí)考慮距離和角度偏移調(diào)整方案（如圖 4所示），文字說明如下。

圖4 調(diào)整方案

由單目標(biāo)信號(hào)接收定位模型可知，在已知以圓心的FY00無(wú)人機(jī)為主發(fā)射器的情況下，至少需要再添加1架輔助發(fā)射信號(hào)的無(wú)人機(jī)，且任意2發(fā)射信號(hào)的無(wú)人機(jī)連線及其延長(zhǎng)線不含有接收信號(hào)的目標(biāo)無(wú)人機(jī)才可以對(duì)接收信號(hào)的目標(biāo)無(wú)人機(jī)進(jìn)行有效定位。在該結(jié)論的基礎(chǔ)上，對(duì)結(jié)算過程進(jìn)行推導(dǎo)，選擇圓心無(wú)人機(jī)及任意3架圓周上的無(wú)人機(jī)為發(fā)射器，同時(shí)考慮目標(biāo)在調(diào)整中的角度和距離，目標(biāo)無(wú)人機(jī)沿著角度θ移動(dòng)的距離如公式（32）所示。

根據(jù)上述單目標(biāo)調(diào)整以及圓形陣的無(wú)人機(jī)定位模型的條件約束，每次取圓心無(wú)人機(jī)以及任意3架輔助發(fā)射信號(hào)無(wú)人機(jī)，對(duì)其余的無(wú)人機(jī)中任一目標(biāo)進(jìn)行調(diào)整，使其調(diào)整至圓周上，位置坐標(biāo)位于擬合圓周表達(dá)式（公式（31）），再逐一對(duì)位置有偏差的無(wú)人機(jī)進(jìn)行調(diào)整，在條件約束下的調(diào)整順序具有任意性。

4 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)無(wú)人機(jī)集群在遂行編隊(duì)飛行時(shí)保持編隊(duì)隊(duì)形的問題，首先，該文采用TDOA定位法建立被動(dòng)接收信號(hào)無(wú)人機(jī)的定位模型，對(duì)同一高度飛行的無(wú)人機(jī)進(jìn)行有效定位。對(duì)同一高度飛行但初始位置略有偏差的無(wú)人機(jī)進(jìn)行調(diào)整，使用MATLAB把初始位置存在偏差的無(wú)人機(jī)可視化，采用最小二乘法來(lái)擬合圓周，把位置偏差的無(wú)人機(jī)調(diào)整問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)集調(diào)整到擬合圓周直線上的問題，再?gòu)念}目限制條件出發(fā)來(lái)選擇調(diào)整方案，根據(jù)定位模型來(lái)調(diào)整無(wú)人機(jī)的位置，使其均勻分布在圓周上。其次，給出錐形編隊(duì)隊(duì)形在題目限制條件下純方位無(wú)源定位情形的無(wú)人機(jī)位置調(diào)整方案。為無(wú)人機(jī)有效定位和跟蹤提供了一定的思路和方案，但是在實(shí)際飛行中仍然有很多影響因素，例如飛行速度、信號(hào)接收延遲、控制器的影響以及不同隊(duì)形的調(diào)整等，擬合和計(jì)算誤差也會(huì)影響定位的準(zhǔn)確性，仍須進(jìn)一步研究計(jì)算復(fù)雜度更小和模型更簡(jiǎn)單的方法，并將思路和方案應(yīng)用到無(wú)人機(jī)跟蹤領(lǐng)域。