基于上下解方法的p(x)-Kirchhoff型方程正解的存在性

容 梅, 繆 清

(云南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 云南 昆明 650500)

0 引言

近年來,學(xué)者們采取多種方法對Kirchhoff型方程進(jìn)行研究.如：Fan X L[1]對Dirichlet問題做出討論,對于非變分問題,通過利用s+映射理論說明p(x)-Laplacian方程至少有一個解,并且利用山路引理證明變分問題有一系列解; Massar M等人[2和Cheng B T等人[3利用三臨界定理解決了帶有非局部的不同邊界的多解問題； Fan X L[1]和Wang W H[4]利用山路引理和變分方法等來證明方程在定義域內(nèi)有一系列的解.還有文獻(xiàn)在處理非局部問題時(shí),則是通過上下解方法得到Kirchhoff型方程或方程組至少存在一個正解[5-11].

上下解方法除了可以處理上述Kirchhoff型問題,還可以解決其他類型方程解的存在問題. 上下解方法不但能給出解的性質(zhì),而且對于非齊次項(xiàng)f，允許其有更為復(fù)雜的增長條件[12-13].

本文在前面文章的基礎(chǔ)上，利用上下解方法研究了p(x)-Kirchhoff型方程

(1)

的正解存在性.其中Ω是N(N≥1)中具有光滑邊界的有界區(qū)域,,),Mi(i=1,2)是連續(xù)函數(shù)并且滿足條件:

(M0)Mi:[0,+∞)→[m0,+∞)連續(xù)單調(diào)遞增函數(shù),m0>1.

算子-Δp(x)(u)=-div(|u|p(x)-2u)稱為p(x)-Laplacian算子,當(dāng)p(x)=p(p為常數(shù))時(shí)，該算子為p-Laplacian算子.方程(1)中的p(x)-Laplacian算子相比較p-Laplacian算子更為復(fù)雜：p-Laplacian算子滿足(p-1)-齊次性,而p(x)-Laplacian算子是非齊次的.

本文研究的問題帶有非局部項(xiàng),使得方程不再是一個逐點(diǎn)的恒等式,這一類問題常被稱為Kirchhoff型問題或者非局部問題,數(shù)學(xué)模型來自Kirchhoff方程

(2)

此類問題在實(shí)際應(yīng)用中不斷增多,研究較多的模型之一是電流變液的運(yùn)動模型,其特點(diǎn)是在外部電磁波的影響下能夠急劇改變機(jī)械性能[14].同時(shí)變指數(shù)增長條件的問題也出現(xiàn)在電流變流體的運(yùn)動、非牛頓流體的流變學(xué)以及利用正壓過濾等數(shù)學(xué)建模中[15-16].

定理1 若p(x)∈C1(N)滿足(H1),Ω滿足(H2),f和g∈C1滿足(H3)、(H4),Mi(t)滿足(M0),則方程(1)至少存在一個正解.

(H1)p(x)是徑向?qū)ΨQ,即p(x)=p(|x|),且sup|p(x)|<∞；

(H3)f,g:[0,+∞)→,且f,g為單調(diào)遞增函數(shù),滿足

1 預(yù)備知識

定義

和W1,p(x)(Ω)空間

W1,p(x)(Ω)={u∈Lp(x)(Ω):Dαu∈Lp(x)(Ω),|α|≤1},

W1,p(x)(Ω)空間中的范數(shù)滿足

‖u‖=|u|p(x)+|u|p(x),?u∈W1,p(x).

(3)

(4)

(5)

下面,將給出比較原則.

定理2[10]u,v∈W1,p(x)(Ω),并且滿足(M0),若有下列不等式成立

其中(u-v)+=max{u-v,0},則u≤v(u,v∈Ω).

證明見文[11].

2 定理1的證明

接下來，將構(gòu)造出下解(φ1,φ2)和上解(z1,z2),φ1≤z1,φ2≤z2,說明(φ1,φ2),(z1,z2)分別滿足定義2中的不等式組,其中?q∈W01,p(x)(Ω),q≥0,則方程(1)有一個正解.

步驟1 構(gòu)造方程(1)的一個下解.

定義

則

通過計(jì)算可知φ≥0,由于φ′≤0,所以φ(r)是單調(diào)遞減函數(shù).而φ∈C1([0,R]),所以φ(x)=φ(|x|).

令r=|x|,根據(jù)

得到

接下來，將在這三個區(qū)間中分別討論M1Δp(x)φ與f(φ)的大小關(guān)系

首先，討論當(dāng)r∈(R0,2R0]的情況.因?yàn)棣?x)≥0,f是單調(diào)遞增函數(shù),所以f(φ(x))≥f(0).當(dāng)k足夠大時(shí),-Δp(x)φ≤-ka

所以

由(M0)知M1≥m0,所以

-M1Δp(x)φ≤-m0Δp(x)φ

所以

-M1Δp(x)φ≤-m0Δp(x)φ≤1≤f(eak-1)≤f(φ),則-M1Δp(x)φ≤f(φ(x)).

-m0Δp(x)φ=0≤1≤f(φ).

因此可得，當(dāng)φ(x)∈C1(Ω)時(shí),總有-M1Δp(x)φ≤f(φ(x)).

類似地，可以證明-M2Δp(x)φ≤g(φ(x)),所以(φ1,φ2)=(φ,φ)是方程(1)的一個下解.

步驟2 說明(z1,z2)是方程(1)的一個上解.

設(shè)z1為方程

的徑向?qū)ΨQ解,即z1=z1(r)=z1(|x|),且z1滿足

所以

討論

說明(z1,z2)是方程(1)的一個上解.

因?yàn)镸i≥m0>1,所以

由(H4)知

則當(dāng)μ充分大時(shí)有

類似可得

可得

所以

由以上證明可知(z1,z2)是方程(1)的一個上解.由于μ充分大,且根據(jù)φ的定義可知φ1≤z1,φ2≤z2,所以方程(1)有一個正解.