區(qū)間值廣義正交模糊Frank算子及群決策方法*

萬本庭,方地長

(江西財(cái)經(jīng)大學(xué)軟件與物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院,江西 南昌 330013)

1 引言

自1965年Zadeh[1]提出模糊集理論以來，模糊集理論和方法已被廣泛應(yīng)用于多屬性多目標(biāo)群決策M(jìn)AGDM(Multi-Attribute Group Decision Making) 問題[2]。由于客觀事物的復(fù)雜性和不確定性，為了更好地描述決策者支持、反對和中立的情況，Atanassov[3]提出了隸屬度(μ)和非隸屬度(ν)之和小于或等于1的直覺模糊集，為了進(jìn)一步拓展應(yīng)用場景，Atanassov[4]還定義了區(qū)間直覺模糊數(shù)，用來解決MAGDM問題。為了進(jìn)一步滿足實(shí)際應(yīng)用的需要，Yager[5]于2017年提出了μ和ν的q次方之和小于或等于1的廣義正交模糊集q-ROFS (q-Rung Orthopair Fuzzy Set) ，其不但融合了直覺模糊集和畢達(dá)哥拉斯模糊集，而且還拓展了更大的自由度，決策信息的表示范圍更廣，因此廣義正交模糊集成為近年來的研究熱點(diǎn)。Yager等[6,7]研究了廣義正交模糊集的基本屬性；Liu等[8,9]提出了廣義正交模糊加權(quán)平均算子和廣義正交模糊加權(quán)幾何算子；Xing等[10，11]提出了廣義正交模糊點(diǎn)加權(quán)算子，并將其應(yīng)用到了MAGDM問題當(dāng)中。

由于Frank算子兼容性強(qiáng)，可以選擇不同的參數(shù)來解決MAGDM問題，因此Frank T-norm和T-conorm已被廣泛應(yīng)用到模糊理論中[12]。例如Yager[13]研究了Frank三角模公式的構(gòu)建方法；Zhang等[14]在直覺模糊的背景下探討了Frank運(yùn)算法則，提出了區(qū)間值模糊集IFS(Interval Valued Fuzzy Sets) 的Frank算子并應(yīng)用于解決MAGDM問題[15]；Ji等[16]將Frank算子與單值中性集結(jié)合，并將其運(yùn)用到第三方物流供應(yīng)商選擇的MAGDM問題中。

但是，目前在區(qū)間值廣義正交模糊環(huán)境下的Frank算子及決策問題還缺乏相關(guān)研究，為此本文受Frank算子和區(qū)間值廣義正交模糊數(shù)的啟發(fā)，將Frank算子和區(qū)間值廣義正交模糊相結(jié)合進(jìn)行研究，定義了Frank T-norm和T-conorm在區(qū)間值廣義正交模糊環(huán)境下的運(yùn)算法則；然后提出了區(qū)間值廣義正交模糊Frank加權(quán)平均算子IVq-ROFFWA(Interval Valued q-Rung Orthopair Fuzzy Frank Weighted Average Operator)和區(qū)間值廣義正交模糊Frank加權(quán)幾何算子IVq-ROFFWG(Interval Valued q-Rung Orthopair Fuzzy Frank Weighted Geometric operator) ，并研究了它們的基本性質(zhì);同時(shí)在IVq-ROFFWA算子的基礎(chǔ)上建立了區(qū)間值廣義正交模糊的群決策方法，并將其用于高血壓預(yù)警系統(tǒng)多屬性群決策案例中，探討了參數(shù)變化對決策結(jié)果的影響，驗(yàn)證了本文所提出的多屬性群決策方法的有效性和可行性。

2 相關(guān)理論

2.1 區(qū)間值廣義正交模糊集相關(guān)概念

定義1[17]設(shè)X為論域，在X上的區(qū)間值廣義正交模糊集(q-ROFS)A定義如式(1)所示：

A={〈x,μA(x),vA(x)〉|x∈X}

(1)

(2)

(3)

(4)

定義4[17]區(qū)間值廣義正交模糊數(shù)比較定義:對任意2個(gè)區(qū)間值廣義正交模糊數(shù)α1和α2，其大小比較如下所示：

(1) 如果S(α1)>S(α2)，則α1>α2；

(2) 如果S(α1)

(3) 如果S(α1)=S(α2)，則進(jìn)一步計(jì)算它們的精確值，并且進(jìn)行比較。如果H(α1)>H(α2)，則α1>α2；如果H(α1)

d(α1,α2)=

(5)

2.2 Frank算子

定義6[18]對于任意2個(gè)實(shí)數(shù)a和b，其中?(a,b)∈[0,1]×[0,1],且θ>1，F(xiàn)rank T-conorm和Frank T-norm算子運(yùn)算法則定義如式(6)和式(7)所示：

(6)

(7)

當(dāng)參數(shù)θ→1時(shí)，F(xiàn)rank T-conorm和Frank T-norm轉(zhuǎn)化為代數(shù)T-conorm和代數(shù)T-norm。

3 區(qū)間值廣義正交Frank算子及群決策方法

3.1 區(qū)間值廣義正交Frank算子運(yùn)算規(guī)則

根據(jù)定義6給出的Frank算子的T-norm和T-conorm的運(yùn)算法則，本文首先定義區(qū)間值廣義正交模糊Frank算子的加、乘、數(shù)乘和冪的運(yùn)算法則。

α1⊕α2=

(8)

α1?α2=

(9)

(10)

(11)

可以驗(yàn)證，本文給出的區(qū)間值廣義模糊Frank算子的加和乘滿足T-norm和T-conorm的運(yùn)算規(guī)則，數(shù)乘和冪也滿足T-norm和T-conorm的運(yùn)算規(guī)則。

(1) 加法交換律：α1⊕α2=α2⊕α1;

(2) 乘法交換律：α1?α2=α2?α1;

(3) 加法分配律：λ(α1⊕α2)=λα1⊕λα2;

(4) 乘法分配律：λ1α1⊕λ2α1=(λ1+λ2)?α1;

(6) 冪的結(jié)合律：αλ1?αλ2=α(λ1+λ2)。

根據(jù)Frank運(yùn)算法則的定義，由式(8)～式(11)容易推導(dǎo)出Frank算子滿足上面6條性質(zhì)。

3.2 區(qū)間值廣義正交Frank加權(quán)平均算子

ω1α1⊕ω2α2⊕…⊕ωnαn

(12)

(13)

定理2用數(shù)學(xué)歸納法容易證明，限于篇幅，證明過程略。下面討論IVq-ROFFWA算子的2種特殊情況：

(1) 當(dāng)θ→1時(shí)，IVq-ROFFWA算子退化成區(qū)間值廣義正交模糊加權(quán)平均算子(IVq-ROFWA)，如式(14)所示：

IVq-ROFWA(α1,α2,…,αn)=

(14)

(2) 當(dāng)θ→+∞時(shí)，IVq-ROFFWA算子退化成傳統(tǒng)的加權(quán)平均算子WA(Weighted Averaging)，如式(15)所示：

WA(α1,α2,…,αn)=

(15)

IVq-ROFFWA(α1,α2,…,αn)=α0

(16)

證明

IVq-ROFFWA(α1,α2,…,αn)=

□

α-

(17)

IVq-ROFFWA(α1,α2,…,αn)≤

IVq-ROFFWA(β1,β2,…,βn)

(18)

3.3 區(qū)間值廣義正交Frank加權(quán)幾何算子

(19)

(20)

(1) 當(dāng)θ→1時(shí)，IVq-ROFFWG算子退化成區(qū)間值廣義正交模糊加權(quán)幾何算子(IVq-ROFWG)：

IVq-ROFWG(α1,α2,…,αn)=

(21)

(2) 當(dāng)θ→+∞時(shí)，IVq-ROFFWG算子退化成傳統(tǒng)的加權(quán)平均算子WA(Weighted Averaging)：

WA(α1,α2,…,αn)=

(22)

IVq-ROFFWG(α1,α2,…,αn)=α0

(23)

αmin≤IVq-ROFFWG(α1,α2,…,αn)≤αmax

(24)

IVq-ROFFWG(α1,α2,…,αn)≤

IVq-ROFFWG(β1,β2,…,βn)

(25)

利用定義的運(yùn)算法則，容易證明定理7、定理8和定理9，此處省略。

3.4 群決策方法

i=1,2,…,m;j=1,2,…,n

(26)

(27)

在本文提出的群決策方法中，以IVq-ROFFWA算子為例。首先利用IVq-ROFFWA算子集結(jié)各專家決策矩陣得到R，然后對R進(jìn)行集結(jié)處理，得到各方案的廣義正交模糊數(shù)，進(jìn)行排序處理，得分值最大為最優(yōu)方案，具體步驟如下所示：

(1)標(biāo)準(zhǔn)化處理。即利用式(26)和式(27)將A(k)轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)矩陣R(k),k=1,2,…,t。

(3)利用IVq-ROFFWA算子對R(k)進(jìn)行集結(jié)。集結(jié)時(shí)利用式(28)進(jìn)行計(jì)算，得到集結(jié)矩陣R=(rij)m×n如式(28)所示：

i=1,2,…,m;j=1,2,…,n

(28)

(4)利用IVq-ROFFWA對R進(jìn)行集結(jié)：集結(jié)過程中利用式(29)對R中的每行進(jìn)行計(jì)算，集結(jié)結(jié)果為對應(yīng)行的區(qū)間值廣義正交模糊數(shù)ri。

ri=IVq-ROFFWA(ri1,ri2,…,rin),i=1,2,…,m

(29)

(5)利用得分函數(shù)(式(3))和精確值函數(shù)(式(4))對ri進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)定義4對計(jì)算結(jié)果根據(jù)大小排序，進(jìn)而得到xi的排序。

(6)根據(jù)xi的排序，得分最大的方案為最優(yōu)方案。

(30)

(31)

將其得分值進(jìn)行比較分析可得：

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

由定理已知條件得：q1>q0≥1，令：

q1=q0+t,t∈N

(38)

(39)

(40)

ΔEq0>0

(41)

將式(38)代入式(40)，比較分析可得：

ΔEq1>0

(42)

□

4 應(yīng)用舉例

4.1 案例

為了提高鄉(xiāng)村醫(yī)生管理效率[19]，計(jì)劃研發(fā)高血壓日常隨訪預(yù)警管理系統(tǒng)。經(jīng)研究，確定預(yù)警顏色為5種，即xi(i=1,2,3,4,5)，x1表示需緊急處理并通知居民立即就醫(yī)，顯示紅色；x2表示需緊急處理并通知居民及時(shí)就醫(yī)，顯示橙色；x3表示需要及時(shí)隨訪促進(jìn)管理，顯示黃色；x4表示近期需要促進(jìn)服務(wù)，顯示藍(lán)色；x5表示暫時(shí)不需要促進(jìn)管理服務(wù)，顯示綠色。用C1(血壓測量值)、C2(心血管疾病)、C3(是否家族高血壓病史)、C4(肥胖)表示其屬性，它們之間的權(quán)重為：w=(0.7,0.1,0.1,0.1)。在沒有吃藥物的情況下，對于某一60歲男性居民來說，某次測量值及采集的相關(guān)因素為：收縮壓測量值為153 mmHg，擴(kuò)張壓為98 mmHg，沒有相關(guān)疾病記錄，肥胖且有家族遺傳史，醫(yī)生沒有隨訪記錄，3位專家給出的評價(jià)值由區(qū)間值廣義正交模糊數(shù)表示，權(quán)重為：d=(0.4,0.3,0.3)，評價(jià)值在表1～表3中給出，因?yàn)楸疚氖褂檬?20)和式(21)進(jìn)行數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化，直接將C4的隸屬度和非隸屬度交換，得到標(biāo)準(zhǔn)的評價(jià)矩陣，分別如表1～表3所示。下面將用IVq-ROFFWA算子對專家的評價(jià)值進(jìn)行決策運(yùn)算。

Table 1 Decision matrix R(1) given by expert 1

Table 2 Decision matrix R(2) given by expert 2

Table 3 Decision matrix R(3) given by expert 3

(1)通過觀察和計(jì)算，當(dāng)q=2時(shí),滿足廣義正交的隸屬度和非隸屬度的2次方之和小于1。

(2)利用IVq-ROFFWA算子對每位專家給出的評價(jià)值R(i)(i=1,2,3)進(jìn)行集結(jié)得R，q=2時(shí)，θ=2，集結(jié)后的決策矩陣R如表 4所示(四舍五入保留2位小數(shù))。

Table 4 First aggregation result R

(3)利用IVq-ROFFWA再對R進(jìn)行集結(jié)，對R中的每行進(jìn)行計(jì)算，q=2時(shí)，θ=2，各方案的綜合屬性值ri如下(四舍五入保留2位小數(shù))所示：

r1=〈[0.65,0.75],[0.24,0.35]〉

r2=〈[0.70,0.86],[0.14,0.23]〉

r3=〈[0.85,0.91],[0.15,0.24]〉

r4=〈[0.34,0.42],[0.58,0.69]〉

r5=〈[0.29,0.39],[0.69,0.81]〉

(4)利用得分函數(shù)和精確值函數(shù)對ri進(jìn)行計(jì)算，得分函數(shù)計(jì)算結(jié)果(四舍五入保留4位小數(shù))為：r=[0.4025,0.6300,0.7352,-0.2602,-0.4480]，根據(jù)比較得分大小可得：S(r3)>S(r2)>S(r1)>S(r4)>S(r5)。

(5)根據(jù)得分函數(shù)優(yōu)劣得到方案排序?yàn)椋簒3>x2>x1>x4>x5，即x3為最優(yōu)方案，表示黃色預(yù)警，醫(yī)生需要進(jìn)行立即隨訪處理。

根據(jù)實(shí)際狀況下的醫(yī)生診斷結(jié)果，病人需要及時(shí)隨訪。本文群決策方法的結(jié)果與現(xiàn)實(shí)病人診斷結(jié)果一致，得出的黃色預(yù)警結(jié)果真實(shí)有效。

4.2 比較分析

為證明本文提出的方法可行且有效，本文采用文獻(xiàn)[20,21] 給出的IVPFWA (Interval-Valued Pythagorean Fuzzy Weighted Average)、IVPFOWA ( Interval-Valued Pythagorean Fuzzy Ordered Weighted Average)和IVPFWG (Interval-Valued Pythagorean Fuzzy Weighted Geometric) 算子來計(jì)算本文案例,并對結(jié)果進(jìn)行對比分析，運(yùn)算結(jié)果(q=2，θ=2)比較如表 5所示。

Table 5 Comparison of results

從表 5中可以看出，本文提出的IVq-ROFFWA、IVq-ROFFWG算子與IVPFWA、IVPFOWA算子和IVPFWG算子的運(yùn)算結(jié)果排序相同，得到黃色預(yù)警，同時(shí)與3位醫(yī)生專家給出的預(yù)警管理方案相吻合，從而表明本文提出的算子能夠滿足對居民高血壓日常管理的需求。

為了進(jìn)一步研究本文所提出的2種集結(jié)算子，驗(yàn)證區(qū)間值廣義正交模糊環(huán)境下q和θ的變化對本文群決策方法的影響，令q分別取2,3,4,5和6，θ取2～10000的整數(shù)時(shí)，各方案的得分值變化如圖 1所示。

Figure 1 Trends in scores for changes in q and θ圖1 q和θ變化時(shí)得分值變化趨勢

5 結(jié)束語

針對多屬性群決策問題，本文定義了Frank算子在區(qū)間值廣義正交模糊環(huán)境下的計(jì)算法則，提出了IVq-ROFFWA和IVq-ROFFWG算子，并研究了它們的冪等性、有界性和單調(diào)性。在IVq-ROFFWA算子的基礎(chǔ)上提出了新的多屬性群決策方法。本文通過案例對所提出的群決策方法及算子進(jìn)行了驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文所提出的群決策方法與其他專家提出的算子運(yùn)算結(jié)果相一致，從而驗(yàn)證了所提方法的可行性和實(shí)用性。本文提出的區(qū)間值廣義正交模糊Frank集結(jié)算子及其群決策方法可以應(yīng)用到物流管理、投資組合、風(fēng)險(xiǎn)決策和專家聚類分析等諸多領(lǐng)域，今后我們將結(jié)合更多的實(shí)際問題拓展區(qū)間值廣義正交模糊Frank算子的應(yīng)用研究。