一種考慮載荷周期分解疲勞壽命計算的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化方法

劉宏亮，付 玲

（1.中聯(lián)重科股份有限公司建設(shè)機械關(guān)鍵技術(shù)國家重點實驗室，湖南 長沙 410013；2.湖南大學(xué)機械與運載工程學(xué)院，湖南 長沙 410082）

拓撲優(yōu)化計算被廣泛運用到工程機械動力學(xué)、靜力學(xué)相關(guān)的眾多結(jié)構(gòu)計算和優(yōu)化設(shè)計問題中，但困擾工程機械的結(jié)構(gòu)疲勞損傷問題，拓撲優(yōu)化卻很難做出對應(yīng)的求解。據(jù)評估，目前工程機械結(jié)構(gòu)的損傷和破壞，80%以上由疲勞損傷引起，如挖掘機動臂的開裂、旋挖鉆鉆桿、起重機箱型主梁的疲勞損傷等。一方面，疲勞壽命評估是工程機械結(jié)構(gòu)設(shè)計中必須考慮的一個環(huán)節(jié)，結(jié)構(gòu)材料運用的改變?nèi)缡褂酶邚婁摚Y(jié)構(gòu)設(shè)計形式的變化都需要經(jīng)過疲勞試驗測試、疲勞數(shù)值計算等技術(shù)手段來評估；另一方面，如將疲勞壽命約束計入結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化，能在結(jié)構(gòu)初始階段得出疲勞性能較優(yōu)的結(jié)構(gòu)設(shè)計形式，可以避免后續(xù)的二次設(shè)計，增加設(shè)計效率。但疲勞計算需要對結(jié)構(gòu)進行載荷時間歷程下的瞬態(tài)計算，同時疲勞損傷是對應(yīng)不同周期載荷下的分項疲勞損傷之和，因此，損傷函數(shù)是關(guān)于優(yōu)化變量的離散函數(shù)（不可微函數(shù)），增加了優(yōu)化計算中尋找全局最優(yōu)解的難度。目前將疲勞壽命計入拓撲優(yōu)化模型的研究和技術(shù)運用還比較少見，因此，如能通過相關(guān)算法將疲勞壽命計入結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化計算中，解決離散函數(shù)問題，則能提升結(jié)構(gòu)設(shè)計效率，提升智能化設(shè)計水平。

連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化目前已經(jīng)大范圍推廣運用。Bends?e等［1］提出將優(yōu)化結(jié)構(gòu)離散為多個微元體，通過微元體的刪減來實現(xiàn)結(jié)構(gòu)材料的優(yōu)化布置，Mlejnek 等［2］通過引入中間密度懲罰函數(shù)將離散的0～1 問題轉(zhuǎn)化為連續(xù)函數(shù)求解，后續(xù)Bends?e 等［3］根據(jù)中間密度罰函數(shù)的思路提出了變密度插值方法。在此基礎(chǔ)上，運用相關(guān)成熟的數(shù)學(xué)優(yōu)化算法如優(yōu)化準則法［4-6］、序列規(guī)劃算法［7-8］進一步推廣了連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化計算在工程結(jié)構(gòu)設(shè)計中的運用，如泵車臂架［9］、飛機垂尾結(jié)構(gòu)設(shè)計［10］、散熱結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計［11］等。變密度法在優(yōu)化過程中會出現(xiàn)一些數(shù)值求解問題，如數(shù)值奇異［12］、局部最優(yōu)問題［13］。為了避免變密度法相關(guān)的數(shù)值計算問題，Xie等［14］提出了一種新的拓撲優(yōu)化方法，根據(jù)一定的評價標準如單元應(yīng)力值等進行單元的刪除和增加，稱為單元生長進化；后續(xù)又改進了單元增加和刪除策略，提出了雙向單元生長計劃拓撲優(yōu)化算法［15］。

現(xiàn)階段，考慮疲勞壽命的拓撲優(yōu)化計算主要是將疲勞極限作為應(yīng)力約束計入到傳統(tǒng)的應(yīng)力水平約束拓撲優(yōu)化計算中［16-17］。為了進一步考慮疲勞相關(guān)特性對拓撲優(yōu)化計算的影響，相關(guān)研究開始探索不同疲勞載荷（高周、低周、比例、非比例等）下疲勞損傷對結(jié)構(gòu)材料布置上的影響。Holmberg 等［18］將計算分成疲勞計算和拓撲優(yōu)化計算2 個部分，將疲勞許用應(yīng)力p范數(shù)處理，然后將得到的疲勞許用應(yīng)力作為約束進行拓撲優(yōu)化計算。Jeong 等［19］考慮了常幅值動態(tài)和靜態(tài)的載荷下疲勞約束拓撲優(yōu)化計算方法，并給出了對應(yīng)的結(jié)構(gòu)動態(tài)頻率響應(yīng)的拓撲優(yōu)化計算方法［20］。此外，Oest等［21］運用雨流計數(shù)法，并根據(jù)Basquin 方程得到疲勞破壞循環(huán)次數(shù)，給出了比例加載模型的疲勞約束拓撲優(yōu)化計算。上述方法適應(yīng)于比例載荷模型，對于更加復(fù)雜的非比例載荷問題的拓撲優(yōu)化，需要大量的計算資源和計算時長，因此，需要通過相關(guān)的計算手段來簡化疲勞計算。

一種是等效靜態(tài)載荷方法，Jeong 等［22］給出了將瞬態(tài)計算轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的等效靜態(tài)載荷計算的偽靈敏度分析方法。另一種是線性攝動周期載荷分解，Zhang 等［23］將外部載荷表達成一系列單位載荷的線性疊加，然后對每個單位載荷進行疲勞計算之后疊加得到總的疲勞壽命值，并計入到拓撲優(yōu)化數(shù)學(xué)模型中。上述計入疲勞約束的拓撲優(yōu)化計算均根據(jù)變密度法的思路來進行結(jié)構(gòu)材料的優(yōu)化布置，計算中會產(chǎn)生離散函數(shù)不可導(dǎo)［23］等問題。除了運用變密度法，還可運用前述提到的單元生長進化算法來進行疲勞約束下的拓撲優(yōu)化計算。魏居業(yè)［24］嘗試了單元雙向生長進化拓撲優(yōu)化計算在疲勞約束方面的運用。根據(jù)Wang-Brown 多軸載荷循環(huán)計數(shù)法［25-26］，采用線性累計損傷計算疲勞壽命，最終成功運用單元生長進化算法得到了基于疲勞計算的拓撲優(yōu)化設(shè)計構(gòu)型，但拓撲構(gòu)型存在較多離散結(jié)構(gòu)，構(gòu)型不清晰。

目前計入疲勞約束的拓撲優(yōu)化計算研究還在不斷完善中，上述的研究給出了一些可行的研究思路，包括比例、非比例載荷加載、單軸、多軸等，但仍然存在計算效率不高、三維結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化構(gòu)型不理想等一些問題，需要后續(xù)研究和完善。本文結(jié)合相關(guān)疲勞計算方法以及單元雙向生長進化拓撲優(yōu)化算法，運用二次程序開發(fā)等途徑將疲勞壽命作為優(yōu)化目標因素之一計入結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化計算中，提出一種考慮載荷周期分解疲勞計算的拓撲優(yōu)化計算方法。

1 單元雙向生長進化拓撲優(yōu)化算法

單元雙向生長進化［15，27-28］拓撲優(yōu)化計算在生長進化算法的基礎(chǔ)上改進，使得單元在優(yōu)化迭代過程中根據(jù)力學(xué)指標能同時增加和刪除，增加了優(yōu)化計算效率。單元生長進化算法的優(yōu)化變量設(shè)定為每個單元體的材料密度值ρi，賦值1或0（1為生長保留單元，0為刪除單元）為離散變量。這樣能快速地計算結(jié)構(gòu)的體積V(ρ) =∑ρi（下標i為單元編號變量）；同時，對應(yīng)單元的剛度Ki計算為Eρi，E為材料的固有剛度，通常為彈性模量。優(yōu)化目標通常是結(jié)構(gòu)柔度：

在此基礎(chǔ)上將結(jié)構(gòu)柔度對優(yōu)化變量進行求導(dǎo)，可得到每個單元體對應(yīng)的優(yōu)化計算靈敏度值［29］：

式中：Wi為單元i的結(jié)構(gòu)計算應(yīng)變能；Ki為單元的剛度矩陣。

在雙向單元生長進化算法中，為了避免數(shù)值奇異，當單元需要刪除時，ρi取一個極小值0.001。此外，通常會考慮距單元i中心點半徑為r的子區(qū)域來過濾該單元的靈敏度值來確定單元的生長和刪除［29］：

式中：T為半徑r范圍內(nèi)其他單元的總數(shù)；rij為單元j中心點到單元i中心點的距離；權(quán)重因子ω(rij)計算為［29］

雙向單元生長進化算法為了增加迭代收斂速度，通常會根據(jù)前后2 個迭代步的靈敏度值來修正上述過濾靈敏度值［29］：

2 載荷周期分解以及疲勞壽命計算

疲勞計算通常較為復(fù)雜，本文為了提升拓撲優(yōu)化計算效率，給出一種高效疲勞計算方法。疲勞計算首先需要通過相應(yīng)的計數(shù)方法得到載荷譜作用下對應(yīng)的周期載荷計數(shù)。不管是單軸還是多軸，疲勞載荷作用時域曲線都能通過對應(yīng)計數(shù)方法獲得最終周期載荷分解，如圖1所示，本文將分解得到的周期載荷稱為單元基礎(chǔ)載荷。常用的計數(shù)方法有雨流計數(shù)法和Wang-Brown多軸載荷循環(huán)計數(shù)法［25-27］。

圖1 單元基礎(chǔ)載荷分解示意圖Fig.1 The schematic of basic unit load cycle decomposition

獲得載荷譜對應(yīng)的單元基礎(chǔ)載荷后，對每個基礎(chǔ)載荷單元運用有限元方法進行求解，獲得對應(yīng)單元載荷周期內(nèi)的交變應(yīng)力幅值σa和平均應(yīng)力σm。根據(jù)Morrow 方法修正平均應(yīng)力σm對交變應(yīng)力幅值σa的影響［23］：

式中：σf為材料的疲勞強度修正。

最后，根據(jù)Basquin 方程計算對應(yīng)基礎(chǔ)載荷單元的疲勞損傷壽命［23］：

式中：b為材料疲勞強度指數(shù)，一般情況下為負值［23］。

從上述計算過程不難看出，應(yīng)力幅值σa越大，平均應(yīng)力σm越大，則疲勞壽命值越低。

在所有的基礎(chǔ)單元載荷周期中，存在一個疲勞壽命最短的基礎(chǔ)載荷周期，可稱為最危險基礎(chǔ)載荷周期。為了提高拓撲優(yōu)化迭代計算效率，減少計算耗時同時提高迭代收斂速度，本文將從疲勞計數(shù)得到的單元基礎(chǔ)載荷周期中提取出最危險載荷周期并以此載荷為計算載荷進行拓撲優(yōu)化計算，即認為在最危險載荷周期下有最優(yōu)疲勞壽命的拓撲構(gòu)型同時也是全載荷譜范圍內(nèi)疲勞壽命最優(yōu)的拓撲構(gòu)型。根據(jù)上述思路，時域內(nèi)的瞬態(tài)疲勞計算可以簡化為單元周期載荷下的準靜態(tài)計算，利于后續(xù)計入疲勞壽命的拓撲優(yōu)化計算。

3 優(yōu)化模型和優(yōu)化計算流程

3.1 拓撲優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

本文拓撲優(yōu)化計算基于有限元，將初始結(jié)構(gòu)劃分單元后賦予每個單元材料密度值ρi并設(shè)定其為拓撲優(yōu)化計算設(shè)計變量，結(jié)合單元生長進化拓撲優(yōu)化計算方法，ρi賦值1 或0（1 為單元生長，0 為刪除單元）為離散變量。

單元雙向生長進化拓撲優(yōu)化計算通常以結(jié)構(gòu)柔度最小為優(yōu)化目標，本文通過引入單元基礎(chǔ)載荷來定義不同的疲勞周期，并給出了對應(yīng)的高效疲勞計算方法。為了計入疲勞壽命對拓撲優(yōu)化計算結(jié)果的影響，本文將綜合考慮結(jié)構(gòu)柔度和疲勞壽命來設(shè)定拓撲優(yōu)化目標，使得優(yōu)化構(gòu)型有較好結(jié)構(gòu)強度的同時能有最優(yōu)的疲勞壽命。結(jié)構(gòu)一般要求有較大的疲勞壽命，因此為了和結(jié)構(gòu)柔度最小化保持一致，采用單個基礎(chǔ)單元載荷周期對應(yīng)的最小疲勞損傷D=1/N來定義優(yōu)化目標函數(shù)：

式中：C為結(jié)構(gòu)的柔度D在周期載荷作用下的疲勞損傷，通常設(shè)定為所有單元中最大的損傷值max(Di)；i為單元編號。

此外，結(jié)構(gòu)優(yōu)化考慮重量限制，因此可以約束體積上限。設(shè)計變量ρi取值為0 或1，能快速地計算結(jié)構(gòu)的體積V(ρ) =∑ρi。因此，以結(jié)構(gòu)強度和疲勞性能為優(yōu)化目標，計入體積約束以及有限元計算的拓撲優(yōu)化數(shù)學(xué)模型建立如下：

3.2 疲勞損傷靈敏度分析

雙向單元生長進化拓撲優(yōu)化算法根據(jù)相關(guān)評價指標或迭代準則在優(yōu)化迭代中自動進行單元增加和刪除計算，單元生長和刪除的評價指標根據(jù)靈敏度計算確定。結(jié)構(gòu)柔度的靈敏度分析已在前文有詳細敘述，這里給出疲勞損傷D=1/N的靈敏度分析計算過程。同樣，對單個有限單元進行求解，單元i疲勞損傷的靈敏度可求解為

式中：為經(jīng)過平均應(yīng)力修正后的幅值應(yīng)力，可等效計算為

式中：為修正后幅值應(yīng)力對應(yīng)的應(yīng)變。

因此，單元i疲勞損傷的靈敏度最終可等效為

在本文后續(xù)的數(shù)值計算中，同樣為避免數(shù)值奇異問題，當刪除時，ρi取一個極小值0.001。至此，根據(jù)結(jié)構(gòu)柔度和疲勞壽命的靈敏度計算，可設(shè)定合適的迭代準則來增加和刪除單元，實現(xiàn)結(jié)構(gòu)尋優(yōu)。根據(jù)式（8），本文拓撲優(yōu)化目標函數(shù)的靈敏度計算為

根據(jù)式（2）和式（12）即可求解。本文采用上述靈敏度值的絕對值進行計算即保證單元生長和刪除迭代準則為正；確定靈敏度后根據(jù)式（5）進行修正，提升計算收斂效率。

3.3 優(yōu)化流程

通過上述介紹，本文結(jié)合雙向單元生長進化拓撲優(yōu)化算法，尋求結(jié)構(gòu)強度最優(yōu)柔度同時也追求更長的結(jié)構(gòu)疲勞壽命，將疲勞壽命作為目標元素計入到拓撲優(yōu)化計算中。優(yōu)化計算從建立基礎(chǔ)構(gòu)型以及設(shè)定載荷邊界條件開始，通過有限元離散確定優(yōu)化設(shè)計變量。建立疲勞計算模塊，通過單元基礎(chǔ)載荷周期分解將時域瞬態(tài)計算簡化為周期載荷下的準靜態(tài)計算，經(jīng)過Morrow 修正幅值應(yīng)力后經(jīng)Basquin 方程求得各單元的疲勞壽命，并將單元最小疲勞壽命對應(yīng)的疲勞損傷計入優(yōu)化目標。同時考慮結(jié)構(gòu)柔度的優(yōu)化，將兩者的乘積作為拓撲優(yōu)化目標函數(shù)；將結(jié)構(gòu)體積作為約束條件，在優(yōu)化結(jié)構(gòu)強度和疲勞壽命的前提下減輕結(jié)構(gòu)重量，增加算法的實用性。通過對優(yōu)化目標結(jié)構(gòu)柔度和疲勞損傷進行靈敏度分析，可確定優(yōu)化計算單元增加和刪除的迭代準則。隨后設(shè)定優(yōu)化迭代計算終止條件，進行優(yōu)化計算并獲得最終拓撲優(yōu)化構(gòu)型。

優(yōu)化過程如圖2 所示。整個計算流程基于Python 進行程序模塊開發(fā)而進行相關(guān)數(shù)值計算和數(shù)據(jù)提取。程序包含疲勞計算模塊、有限元計算模塊、單元生長和刪除模塊、優(yōu)化迭代計算模塊以及后處理模塊。

圖2 優(yōu)化流程Fig.2 The schematic of optimization flow

4 算例分析

4.1 懸臂梁模型

首先，采用常見的三維懸臂梁模型來測試算法的有效性?；A(chǔ)構(gòu)型和載荷邊界條件如圖3 所示，左端面剛性固定，在右端面下邊線中點處施加載荷。材料采用鋼材計算，彈性模量E為206 GPa，泊松比為0.3。根據(jù)文獻［23］，疲勞計算參數(shù)b取值為-0.090 9，σf取值為749 MPa。設(shè)定疲勞隨機載荷譜如圖3 所示，根據(jù)疲勞計數(shù)法進行單元基礎(chǔ)載荷周期分解，得到最危險基礎(chǔ)載荷周期，對應(yīng)最小作用載荷為-800 N，最大作用載荷為1 000 N。

圖3 懸臂梁模型初始構(gòu)型和載荷邊界條件Fig.3 Basic configuration and load condition for the cantilever model

在此最危險載荷周期下按所建立的拓撲優(yōu)化數(shù)學(xué)模型和優(yōu)化計算流程進行拓撲優(yōu)化計算，體積分數(shù)約束為0.1，即拓撲構(gòu)型體積不大于初始構(gòu)型的1/10。由圖4 可知，體積分數(shù)逐漸減小到約束值0.1，同時結(jié)構(gòu)疲勞壽命逐漸增加，最終優(yōu)化構(gòu)型的疲勞壽命值達到3.5×107。根據(jù)建立的Python 程序模塊進行計算，優(yōu)化迭代過程體積分數(shù)變化，疲勞壽命值的變化和優(yōu)化構(gòu)型的變化如圖5 所示，最終拓撲優(yōu)化構(gòu)型為雙層支撐結(jié)構(gòu)。

圖4 懸臂梁模型體積分數(shù)0.1 條件下的計入疲勞的拓撲優(yōu)化計算結(jié)果Fig.4 Simulation result for the cantilever model with volume fraction

圖5 計入疲勞的懸臂梁拓撲優(yōu)化最終構(gòu)型Fig.5 Topology configuration for the cantilever model considering the fatigue

此外，為了探索在優(yōu)化目標中計入疲勞壽命的拓撲優(yōu)化計算與常規(guī)只考慮結(jié)構(gòu)柔度最小的拓撲優(yōu)化計算的差異，在同樣的載荷邊界條件以及體積分數(shù)約束下，將優(yōu)化目標函數(shù)調(diào)整為僅考慮結(jié)構(gòu)柔度最小。最終拓撲構(gòu)型以及應(yīng)力云圖如圖6 所示，2 種計算最終拓撲構(gòu)型有明顯的結(jié)構(gòu)形式差異，相較于考慮疲勞的雙層板格支撐結(jié)構(gòu)，不計入疲勞的拓撲構(gòu)型表現(xiàn)為多層桿支撐結(jié)構(gòu)。從應(yīng)力上看，計入疲勞目標后結(jié)構(gòu)的應(yīng)力水平要小于未計入疲勞的拓撲計算構(gòu)型。說明考慮疲勞后，拓撲構(gòu)型的結(jié)構(gòu)布置形式發(fā)生了明顯改變，結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布更加均勻，同時應(yīng)力峰值也相應(yīng)降低。從疲勞壽命上看（見圖7），計入疲勞后拓撲構(gòu)型的最小疲勞壽命由未計入時的3.075×107次提高到3.457×107次，最小疲勞壽命提升12.42%。因此，將疲勞壽命值計入到拓撲優(yōu)化目標后，最終的拓撲構(gòu)型在考慮結(jié)構(gòu)剛度足夠大的同時能兼顧疲勞壽命的優(yōu)化，使得結(jié)構(gòu)應(yīng)力分布更加均勻合理，結(jié)構(gòu)疲勞壽命更優(yōu)，疲勞性能提升。

圖6 計入疲勞與未計入疲勞計算拓撲優(yōu)化構(gòu)型的應(yīng)力云圖對比Fig.6 Comparation between fatigue consideration and not

圖7 計入疲勞與未計入疲勞計算拓撲優(yōu)化構(gòu)型的疲勞壽命對比Fig.7 Fatigue life comparation between fatigue consideration and not

4.2 L型支架模型

為了進一步驗證算法的有效性，對經(jīng)典L 型支架模型進行考慮疲勞計算的拓撲優(yōu)化計算，并與文獻［22］考慮疲勞計算得到的優(yōu)化構(gòu)型進行對比。拓撲優(yōu)化初始構(gòu)型以及邊界條件設(shè)置如圖8 左下所示，與文獻［22］邊界條件設(shè)置保持一致。同樣考慮最優(yōu)疲勞壽命優(yōu)化，本文的拓撲構(gòu)型與文獻［22］中的拓撲構(gòu)型相類似，都是桁架支撐結(jié)構(gòu)，L 型支架底部都采用圓弧邊界，同時用多個支撐結(jié)構(gòu)于上邊界相連，并合并與L 型結(jié)構(gòu)折點處，總體上布置形式差異不大，驗證了本文算法的有效性。此外，本文得出的優(yōu)化構(gòu)型，在L 型支架右端出現(xiàn)X 型支撐結(jié)構(gòu)，可降低載荷加載處的應(yīng)力集中以及疲勞損傷值，提升結(jié)構(gòu)疲勞壽命。

圖8 L型支架模型拓撲優(yōu)化構(gòu)型對比Fig.8 Comparation for L-shape bracket

同時為了驗證本文基于載荷周期分解疲勞計算的拓撲優(yōu)化求解的計算效率，將本文優(yōu)化計算的迭代過程和文獻［22］的優(yōu)化計算迭代進行比較，為了直接顯示優(yōu)化尋優(yōu)收斂速度，以優(yōu)化迭代計算次數(shù)作為指標進行對比分析。本文基于載荷周期分解計算，最終經(jīng)過123次優(yōu)化迭代計算完成優(yōu)化求解，迭代求解過程中，結(jié)構(gòu)體積分數(shù)逐次減小，整體過程趨勢光滑平緩，拓撲構(gòu)型各主要框架支撐結(jié)構(gòu)也逐步清晰，迭代40、80、123 次計算的拓撲構(gòu)型如圖9 所示。文獻［22］采用載荷靜態(tài)等效的方法進行疲勞損傷求解，求解效率較完整時域內(nèi)瞬態(tài)計算的疲勞求解有較大提升，但整個計算過程需經(jīng)過近1 000次優(yōu)化迭代。優(yōu)化過程分為2 個階段：前期基本構(gòu)型確定階段和后期細節(jié)優(yōu)化階段，如圖10所示。前期只需50次左右迭代即可確定基本構(gòu)型，此階段體積分數(shù)快速下降，但拓撲構(gòu)型較模糊，支撐結(jié)構(gòu)輪廓不清；后期細節(jié)優(yōu)化階段需經(jīng)過950次左右迭代計算，此階段體積分數(shù)平緩下降直到最后迭代終止。綜合比較分析，本文基于載荷周期分解考慮疲勞計算的拓撲優(yōu)化計算，迭代計算收斂速度始終處于較合理水平，總迭代次數(shù)較少，文獻［22］前期體積分數(shù)快速下降，但后期需要較多次優(yōu)化迭代才能使拓撲構(gòu)型清晰。因此，本文基于載荷周期分解考慮疲勞計算的拓撲優(yōu)化計算從迭代次數(shù)上反饋需要相對較少的迭代計算次數(shù)，有較高的計算效率。

圖9 L型支架本文優(yōu)化迭代求解過程Fig.9 The iteration process for the L-shape bracket

圖10 L型支架優(yōu)化迭代求解過程（改編自文獻［22］）Fig.10 The iteration process for the L-shape bracket（adapted from［22］）

5 計算參數(shù)的影響分析

本文計入疲勞壽命的單元生長進化拓撲優(yōu)化模型中設(shè)定了一些計算參數(shù)，為了考察算法的穩(wěn)定性，需分析參數(shù)取值不同時，拓撲優(yōu)化構(gòu)型的變動情況。疲勞計算過程中設(shè)定的參數(shù)b和σf是疲勞計算參數(shù)，主要影響疲勞壽命值的計算精度，對拓撲優(yōu)化構(gòu)型影響有限；并且本文關(guān)于b和σf的取值根據(jù)參考文獻選取，已經(jīng)過多方測試和驗證對鋼制構(gòu)件的疲勞計算有較高的計算精度［23］，因此不作比較計算。其他參數(shù)還有靈敏度計算過濾半徑以及初始構(gòu)型的單元網(wǎng)格大小。

現(xiàn)以懸臂梁模型為例分析上述2個參數(shù)對拓撲構(gòu)型的影響。在前述計算中，初始構(gòu)型網(wǎng)格尺寸為3，靈敏度過濾半徑為9。首先，測試不同過濾半徑對最終拓撲優(yōu)化構(gòu)型的影響。如圖11所示，靈敏度值過濾半徑在一定范圍內(nèi)對最終拓撲構(gòu)型基本沒有影響。相對地，單元網(wǎng)格尺寸對拓撲構(gòu)型的影響則比較明顯，如圖12 所示。單元網(wǎng)格尺寸越小，優(yōu)化構(gòu)型細微結(jié)構(gòu)越多，反之網(wǎng)格尺寸越大則拓撲構(gòu)型更簡潔。因此，本文所建立的將疲勞壽命計入目標函數(shù)的拓撲優(yōu)化計算方法，對靈敏度計算過濾半徑的變動不敏感，主要的影響因素是單元網(wǎng)格尺寸。對于過小的單元網(wǎng)格尺寸，優(yōu)化構(gòu)型的棋盤格現(xiàn)象比較明顯，主要由算法對每個單元網(wǎng)格單獨求解并進行離散生長和刪除引起。后續(xù)的改進措施不在本文的討論范圍內(nèi)，將在后面的工作中提及。因此，計算時需設(shè)定合適的網(wǎng)格尺寸，可嘗試幾種網(wǎng)格尺寸大小，取計算構(gòu)型最好的構(gòu)型進行結(jié)構(gòu)設(shè)計。

圖11 靈敏度計算過濾半徑變化對拓撲構(gòu)型的影響Fig.11 The influence of the sensitivity calculation radius on the topology configuration

圖12 單元網(wǎng)格尺寸對拓撲構(gòu)型的影響Fig.12 The influence of the mesh size on the topology configuration

6 結(jié)語

本文結(jié)合雙向單元生長進化拓撲優(yōu)化算法，將疲勞計算考慮到結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化中，給出了一種計入疲勞壽命的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化計算方法。通過相關(guān)對比分析，本文建立的疲勞壽命計入目標函數(shù)的拓撲優(yōu)化算法能給出精度較高的拓撲優(yōu)化構(gòu)型，同時相較于有關(guān)文獻，優(yōu)化有較高的計算效率。同時本文還對算法中相關(guān)參數(shù)的影響進行分析，給出了對應(yīng)的參數(shù)選擇方案。

本文給出的考慮疲勞計算的拓撲優(yōu)化方法能用較少的迭代次數(shù)給出合理的拓撲構(gòu)型，但仍然有如下幾點需后續(xù)進一步研究進行改進和驗證：

（1）雖然計入了過濾算法改善拓撲構(gòu)型成型結(jié)構(gòu)邊界的光滑度，但受到有限元單元形狀的限制，拓撲構(gòu)型沒能給出光順的邊界輪廓，后續(xù)還需算法改進，完成拓撲構(gòu)型邊界光順化處理。

（2）在懸臂梁模型算例中，對比未考慮疲勞計算的拓撲優(yōu)化構(gòu)型，考慮疲勞后的拓撲構(gòu)型采用同樣的疲勞壽命計算方法所得的疲勞壽命更優(yōu)，但提升程度沒達到數(shù)量級提升。因此，考慮疲勞計算的復(fù)雜性和計算精度，后續(xù)還需通過樣件制造和試驗測試來進一步驗證。

（3）本文只考慮最危險載荷下的疲勞計算，其他載荷的影響尤其是對于多軸疲勞問題暫未考慮，上述簡化的影響還需后續(xù)的研究進一步分析，算法總體有效性還需后續(xù)實機產(chǎn)品測試進行驗證。