半主動(dòng)型電磁動(dòng)力吸振器及其周銑制振的應(yīng)用研究

李浩田，王海芳，李凌軒

（東北大學(xué)秦皇島分校控制工程學(xué)院，河北 秦皇島 066004）

在周銑加工中，刀具的振動(dòng)會(huì)增大零件的誤差，降低表面質(zhì)量、零件的使用性能和企業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益，嚴(yán)重時(shí)甚至?xí)p壞加工設(shè)備。因此，周銑加工中振動(dòng)的控制有著重要的現(xiàn)實(shí)意義。

目前，國(guó)內(nèi)外對(duì)銑削加工中的減振研究主要集中在探究銑床主軸系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，采用控制切削速度、背吃刀量、進(jìn)給速度等加工參數(shù)的方法減小銑削加工中的振動(dòng)或避免切削顫振。Tobias［1］研究了不同機(jī)床在加工中的振動(dòng)模式和影響；Altintas［2］研究了不同機(jī)床加工中切削力和加工參數(shù)的數(shù)值關(guān)系；汪博等［3-4］、唐委笑等［5］、Ahmadi等［6］研究了機(jī)床加工中的穩(wěn)定性；Tlusty［7］討論了主軸配有長(zhǎng)端銑刀的常規(guī)模態(tài)；廖伯瑜等［8］研究了各機(jī)床的模態(tài)仿真，可以有效減少切削顫振，但使生產(chǎn)效率降低。

動(dòng)力吸振器作為一種常見的減振手段，廣泛應(yīng)用于工程實(shí)踐中，其與主系統(tǒng)通過彈簧元件連接，將主系統(tǒng)振動(dòng)的能量轉(zhuǎn)移給自身，降低主系統(tǒng)的振幅。背戶一登等［9］研究了動(dòng)力吸振器參數(shù)的優(yōu)化方法。但是機(jī)床結(jié)構(gòu)的特殊性和主軸轉(zhuǎn)速的變化限制了動(dòng)力吸振器在周銑加工中的應(yīng)用。動(dòng)力吸振器分為3 類：被動(dòng)型動(dòng)力吸振器、主動(dòng)型動(dòng)力吸振器、半主動(dòng)型動(dòng)力吸振器。所有的動(dòng)力吸振器，只有在自身固有頻率等于主系統(tǒng)工作頻率時(shí)才有很好的制振效果。被動(dòng)型動(dòng)力吸振器，如張震坤等［10］研究的鼠籠式調(diào)諧質(zhì)量阻尼器和盧琪等［11］研究的阻尼式動(dòng)力吸振器，雖然結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，能應(yīng)用的場(chǎng)合多，但是無(wú)法改變自身的固有頻率，無(wú)法應(yīng)用在周銑加工的制振中；主動(dòng)型動(dòng)力吸振器種類很多，如邢健等［12］研究的磁流變液阻尼器、翁光遠(yuǎn)等［13］研究的記憶合金阻尼器、胡俊峰等［14］研究的壓電陶瓷吸振器，可以調(diào)節(jié)自身剛度改變自身的固有頻率，這類吸振器結(jié)構(gòu)復(fù)雜，同樣無(wú)法應(yīng)用在周銑加工的制振中；半主動(dòng)型動(dòng)力吸振器具有改變自身固有頻率的能力并且結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，能同時(shí)適應(yīng)機(jī)床結(jié)構(gòu)的特殊性和主軸轉(zhuǎn)速的變化。根據(jù)吳文江等［15］、姚紅良等［16-17］、張曉平等［18-19］的研究，磁體之間經(jīng)過合適的配置可以形成可調(diào)剛度。

以上研究表明了實(shí)現(xiàn)應(yīng)用于周銑加工的制振中的半主動(dòng)型動(dòng)力吸振器的可行性，可以解決目前用控制加工參數(shù)降低切削振動(dòng)導(dǎo)致的生產(chǎn)效率降低的問題。本文提出了一種具體的半主動(dòng)型電磁動(dòng)力吸振器結(jié)構(gòu)，將其應(yīng)用于周銑加工中機(jī)床主軸系統(tǒng)的減振，通過數(shù)值仿真探究了其減振性能。

1 半主動(dòng)型電磁動(dòng)力吸振器結(jié)構(gòu)及原理

動(dòng)力吸振器結(jié)構(gòu)如圖1 所示。圖中可見，動(dòng)力吸振器有2 個(gè)電磁鐵由桿組連接，圖中左側(cè)連接機(jī)床床身的電磁鐵1 和右側(cè)可以產(chǎn)生振動(dòng)的電磁鐵2，桿組由6 個(gè)直徑一樣且均布的桿組成。電磁鐵2和內(nèi)環(huán)2 之間有著徑向的間隙，內(nèi)環(huán)2 內(nèi)接大剛度軸承，軸承內(nèi)接刀柄。電磁鐵1 和2 內(nèi)外圈都纏繞線圈且內(nèi)外圈導(dǎo)線通電方向相反，2 個(gè)電磁鐵通電情況相同，此時(shí)2 個(gè)電磁鐵相當(dāng)于2 個(gè)異極靠近的環(huán)形磁鐵。當(dāng)電磁鐵2 產(chǎn)生撓度時(shí)，2 個(gè)磁鐵不再同心，此時(shí)2 個(gè)磁鐵之間的吸力在此撓度方向上的分力不再為0。結(jié)合6 個(gè)桿組的剛度，動(dòng)力吸振器和機(jī)床床身之間就會(huì)產(chǎn)生可用電流調(diào)節(jié)的剛度。電磁鐵2 右側(cè)有環(huán)形凸起，可以加裝環(huán)形質(zhì)量塊以調(diào)節(jié)質(zhì)量。

2 系統(tǒng)的振動(dòng)模型與運(yùn)動(dòng)方程

2.1 振動(dòng)模型與運(yùn)動(dòng)方程的插值

對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行簡(jiǎn)化和有限元?jiǎng)澐郑Y(jié)果如圖2 所示。①～○1為單元編號(hào)，各單元對(duì)應(yīng)的內(nèi)徑為ri，外徑為Ri，①～⑤為主軸的單位，⑥～⑨為刀柄的單元，⑩～○1為刀具的單位；1～36 為點(diǎn)編號(hào)，各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的位置為xi，f為動(dòng)力吸振器對(duì)刀柄的力，F(xiàn)為切削力，kωi為平動(dòng)剛度，kθi為轉(zhuǎn)動(dòng)剛度，cωi為平動(dòng)阻尼，cθi為轉(zhuǎn)動(dòng)阻尼。單元尺寸如表1所示。

圖2 系統(tǒng)有限元模型Fig.2 Finite element model of system

力作用點(diǎn)位置如下：x15= 171 mm，x16=189 mm，x17=315 mm，x18=350 mm，x19=370 mm，x20=363 mm，x21=371 mm，x22=379 mm，x23=387 mm，x24=395 mm，x25=403 mm，x26=411 mm，x27=419 mm，x28=463 mm，x29=468 mm，x30=473 mm，x31=478 mm，x32=483 mm，x33=488 mm，x34=493 mm，x35=484 mm，x36=544 mm。

考慮進(jìn)給方向，主軸、刀柄、刀具上點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角分別為ωs、θs、ωh、θh、ωt、θt。用hermite 插值［20］逼近主軸的撓度函數(shù)，有

其中，

對(duì)刀柄、刀具分別有

2.2 主軸的運(yùn)動(dòng)方程

主軸的彈性模量為Es，密度為ρs，由應(yīng)力、應(yīng)變、撓度的關(guān)系求主軸應(yīng)變能為

求變分：

慣性力對(duì)主軸做的虛功為

軸承對(duì)主軸做的虛功為

式中：kω1為軸承的平動(dòng)剛度；cω1為平動(dòng)阻尼；kθ1為彎曲剛度；cθ1為彎曲阻尼。

將主軸-刀柄的區(qū)域耦合視為8個(gè)點(diǎn)耦合，刀柄對(duì)主軸做的虛功為

式中：kω2為耦合的平動(dòng)剛度；cω2為平動(dòng)阻尼；kθ2為彎曲剛度；cθ2為彎曲阻尼。

由最小勢(shì)能原理，得

則主軸運(yùn)動(dòng)方程為

2.3 刀柄的運(yùn)動(dòng)方程

刀柄彈性模量為Eh，密度為ρh，應(yīng)變能變分為

慣性力對(duì)刀柄做的虛功為

動(dòng)力吸振器的簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)如圖3 所示。動(dòng)力吸振器對(duì)主軸的作用力f（t）的作用點(diǎn)位置如圖2和表2所示，主軸對(duì)電磁鐵2的作用力為-f（t），平行板簧的剛度為k，電磁鐵2 撓度為ωe（t），平行板簧對(duì)電磁鐵2的作用力為

圖3 動(dòng)力吸振器物理模型Fig.3 Physical model of dynamic vibration absorber

桿組對(duì)電磁鐵2 的力為f1（t），桿組由6 個(gè)長(zhǎng)度為l、橫截面直徑為d、彈性模量為El的桿組成。設(shè)撓度正方向?yàn)樯?，轉(zhuǎn)角正方向?yàn)槟鏁r(shí)針，根據(jù)桿某端完全固定的邊界條件和桿的撓度與桿的彎矩的關(guān)系，可得

電磁鐵1對(duì)電磁鐵2的力為f2（t），磁鐵1和2之間距離為h，內(nèi)徑為re，外徑為Re，厚度為n，線圈匝數(shù)為N，電磁鐵2 質(zhì)量為m1，磁導(dǎo)率為μ，線圈中電流為I，2 個(gè)電磁鐵通電后表面剩余磁通密度B=μIN/n。電磁鐵2 產(chǎn)生撓度時(shí)，面2 的微元對(duì)面3 的微元的吸力在撓度方向上的分力為

分母的ωe(t)相對(duì)h很小，忽略、整理并積分得

同理，分別求出撓度方向上面1 對(duì)面4 的斥力、面1 對(duì)面3 的斥力、面1 對(duì)面4 的吸力。電磁鐵1 給電磁鐵2在撓度方向上的分力為各面之間作用力的和：

對(duì)電磁鐵2列出受力平衡方程為

動(dòng)力吸振器對(duì)刀柄所做的虛功為

將主軸-刀柄的區(qū)域耦合視為8個(gè)點(diǎn)耦合，主軸對(duì)刀柄做的虛功為

將刀柄-刀具的區(qū)域耦合視為7個(gè)點(diǎn)耦合，刀具對(duì)刀柄做的虛功為

由最小勢(shì)能原理，得

則刀柄運(yùn)動(dòng)方程為

2.4 刀具的運(yùn)動(dòng)方程

刀具彈性模量為Et，密度為ρt，應(yīng)變能變分為

慣性力對(duì)刀具做的虛功為

切削力F（t）視為在銑刀的刀尖處，刀具受力簡(jiǎn)圖如圖4所示，進(jìn)給方向?yàn)樗椒较?。刀具所受的的徑向力Fr=krah，切向力Ft=ktah，其中，a為主軸方向切削寬度，h為刀具每齒進(jìn)給量，kr與kt為切向與徑向切削力系數(shù)。由于刀具在進(jìn)給方向存在振動(dòng)，有

圖4 刀具受力情況Fig.4 Tool stress condition

式中：h0為刀具額定每齒進(jìn)給；T為刀具每齒周期；m為刀齒數(shù)；ω為機(jī)床主軸角速度。

當(dāng)只考慮1 個(gè)切削刃時(shí)，由圖可知，當(dāng)2kπ ≤φ≤(2k+1)π，k為自然數(shù)時(shí)，單個(gè)切削刃受到的進(jìn)給方向的力為

切削角φ=ωt+φ0，φ0為取初始切削角。刀具在某一時(shí)刻的受的進(jìn)給方向的力等于同一時(shí)刻所有切削刃受到的進(jìn)給方向的力的疊加，且kr遠(yuǎn)大于kt（見表3），有

切削力對(duì)刀具所做的虛功為

將刀柄—刀具的區(qū)域耦合視為7 個(gè)點(diǎn)耦合，主軸對(duì)刀柄做的虛功為

由最小勢(shì)能原理，得

則刀具運(yùn)動(dòng)方程為

2.5 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程及參數(shù)取值

由主軸、刀柄、刀具運(yùn)動(dòng)方程可得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為

主軸材料為40Cr，刀柄材料為45號(hào)鋼，刀具材料為W18Cr4V，電磁鐵材料為坡莫合金，桿組材料為45號(hào)鋼，參數(shù)取值如下：Es=Eh=El=2.11×105N/mm2，Et=2.25×105N/mm2，kω1=kω2=5×105N/mm，kθ1=kθ2=5×108N?mm/rad，k=60 000 N/mm，d=h=10 mm，Re=95 mm，N=5，m=2，kr=0.3 MPa，ρs=ρh=7.85×10-6kg/mm3，ρt=8.26×10-6kg/ mm3，cω1=cω2=10 N ? s/mm，cθ1=cθ2=104N?mm?s/rad，l=12 mm，re=55 mm，n=20 mm，μ=100 H/mm，kr=2 000 MPa，φ0=π/4。

3 制振效果仿真

得出了振動(dòng)微分方程后，在主軸轉(zhuǎn)速分別為600、800、1 000 和1 200 r/min，切削寬度為6 mm，每齒進(jìn)給為0.2 mm 的條件下，對(duì)動(dòng)力吸振器的制振性能進(jìn)行了時(shí)域和頻域的仿真探究，銑刀刀尖振動(dòng)圖像如圖5和圖6所示。各頻率下動(dòng)力吸振器的質(zhì)量分別為4.0、3.7、3.3和3.0 kg，電流分別為16.0、17.5、19.0和20.5 A。

圖5 不同主軸轉(zhuǎn)速下刀尖時(shí)域響應(yīng)Fig.5 Tool point’s transient time domain responses with different spindle speeds

圖6 不同主軸轉(zhuǎn)速下刀尖頻域振動(dòng)圖像Fig.6 Tool point’s steady frequency domain responses with different spindle speeds

由圖5 可知，在不使用動(dòng)力吸振器時(shí)，各主軸轉(zhuǎn)速下刀尖點(diǎn)振動(dòng)穩(wěn)態(tài)前最大振動(dòng)幅值分別為205、199、194 和191 μm，穩(wěn)態(tài)后最大振動(dòng)幅值分別為103、180、128 和103 μm，到達(dá)穩(wěn)態(tài)用時(shí)分別為0.34、0.14、0.14 和0.22 s；使用動(dòng)力吸振器時(shí)，各主軸轉(zhuǎn)速下刀尖點(diǎn)穩(wěn)態(tài)前最大振動(dòng)幅值分別為145、144、143 和142 μm，穩(wěn)態(tài)后最大振動(dòng)幅值分別為80、130、105 和78 μm，到達(dá)穩(wěn)態(tài)用時(shí)分別為0.20、0.07、0.05和0.14 s。

由圖6 可知，各主軸轉(zhuǎn)速下，刀尖振動(dòng)的主振頻率分別為17、22、27 和33 Hz，動(dòng)力吸振器對(duì)主振頻率的振動(dòng)皆有抑制效果，主軸轉(zhuǎn)速為800 r/min時(shí)，抑制效果最佳，達(dá)到30%。

4 結(jié)論

本文提出了一種剛度和質(zhì)量可調(diào)的半主動(dòng)型電磁動(dòng)力吸振器結(jié)構(gòu)，并進(jìn)行了周銑機(jī)床主軸-刀柄-刀具-動(dòng)力吸振器系統(tǒng)的數(shù)值仿真探究，主要結(jié)論如下：①此動(dòng)力吸振器具備機(jī)床主軸轉(zhuǎn)速在600～1 200 r/min 范圍內(nèi)的帶寬制振能力。根據(jù)仿真探究的結(jié)果，對(duì)時(shí)域，穩(wěn)態(tài)前減振效果最高為25%，穩(wěn)態(tài)后減振效果最高為30%，到達(dá)穩(wěn)態(tài)所用時(shí)長(zhǎng)最多削減50%。對(duì)頻域，對(duì)主振頻率下的振幅減振效果最高為30%。②要達(dá)到較優(yōu)的減振效果，必須根據(jù)主軸轉(zhuǎn)速合理設(shè)置電流大小和附加質(zhì)量塊的質(zhì)量。在600、800、1 000和1 200 r/min的主軸轉(zhuǎn)速下，質(zhì)量分別為4.0、3.7、3.3 和3.0 kg，電流分別設(shè)置為16.0、17.5、19.0 和20.5 A，使減振達(dá)到較優(yōu)的效果。