水工高性能混凝土配合比多目標智能優(yōu)化設計與分析方法

任秋兵，李文偉，李明超，楊 琳，張夢溪，沈 揚

（1.天津大學 水利工程仿真與安全國家重點實驗室，天津 300354；2.中國長江三峽集團有限公司，北京 100038）

1 研究背景

高性能混凝土（high performance concrete，HPC）因具有高強度、高工作性和高耐久性等特點而被廣泛用于高速公路、高層建筑和水利樞紐工程中［1］。近年來，隨著我國基礎設施建設的不斷推進，對HPC 不同特性（如力學性能、經(jīng)濟性和環(huán)保性等）的綜合需求愈來愈高，部分需求甚至超出了現(xiàn)行標準/規(guī)范［2-3］。例如，三峽主體工程混凝土要求在滿足設計技術指標及施工需求的前提下，具有較高的耐久性、抗裂性、低熱性、體積穩(wěn)定性、良好工作性和經(jīng)濟合理性［1，4］。加之，HPC 材料配比復雜、結(jié)構(gòu)組分多樣，普通混凝土制備方法難以指導多目標需求下的HPC 配合比設計［5-6］。因此，研究能夠滿足多目標需求的HPC 配合比優(yōu)化設計方法具有十分重要的理論與實踐意義。

為實現(xiàn)高效、準確的HPC 配合比設計，國內(nèi)外學者在數(shù)值計算優(yōu)化方面進行了大量有益的探索。Sobolev［7］根據(jù)試驗數(shù)據(jù)推導了抗壓強度和坍落度的經(jīng)驗公式，并將其用于制備28 d 抗壓強度介于50 ～ 130 MPa 的HPC。季韜等［8］提出了基于最少漿體理論的混凝土配合比優(yōu)化方法。王帆［9］發(fā)展了一種基于比強度的HPC 配合比設計方法。哈娜［10］應用線性規(guī)劃法優(yōu)化確定符合施工性能要求的HPC 配合比參數(shù)。Ferdosian 等［11］證實了響應面法在HPC 配合比優(yōu)化設計中的適用性。此外，以全計算法、致密體積法、最佳砂率模型為代表的半定量或定量方法也促進了混凝土配合比設計的解析化與自動化［12］。盡管這些方法對優(yōu)化HPC 配合比發(fā)揮了重要作用，但仍存在著設計變量偏少、人工參與度較高、難以充分利用積累的配合比試驗數(shù)據(jù)等不足。

人工智能作為先進的數(shù)據(jù)驅(qū)動方法，在混凝土配合比設計中的應用已成為當下的研究熱點［13-15］。一方面，得益于強大的數(shù)據(jù)挖掘能力，智能回歸算法能夠準確表征混凝土性能與配合比參數(shù)之間的非線性映射關系［16］。例如，陳慶等［17］、Nguyen 等［18］采用人工神經(jīng)網(wǎng)絡建立了適用于不同齡期的HPC抗壓強度預測模型，均取得了較好的預測效果。也有學者通過隨機森林［19］、梯度提升樹［20］等集成方法來進一步提高模型的預測精度。另一方面，群智能優(yōu)化算法具有較強的全局搜索能力，且易于實現(xiàn)，在求解配合比優(yōu)化設計問題方面表現(xiàn)出明顯優(yōu)勢［21］。例如，陳曉東等［22］、Cheng 等［23］、徐毅慧［24］、Parichatprecha 等［25］將遺傳算法用于推算HPC 的理論最優(yōu)配合比，結(jié)果表明，優(yōu)化后的HPC各項性能指標均滿足要求，單方造價也大為降低。

但是，在HPC 性能預測方面，多數(shù)模型是基于小數(shù)據(jù)集（一般不超過100 組試驗數(shù)據(jù)）建立的，少量訓練樣本涵蓋的數(shù)據(jù)信息有限，容易導致模型過擬合。而在HPC 配合比優(yōu)化方面，已有研究大都只考慮了單一目標（抗壓強度或經(jīng)濟性），無法充分考慮不同性能指標之間的關聯(lián)性，這極大地限制了其應用范圍。針對上述問題，本文開展多目標需求下的HPC 配合比智能優(yōu)化設計研究，其主要包括以下4 個方面的內(nèi)容：（1）建立試驗數(shù)據(jù)庫。廣泛收集不同工程的HPC 配合比數(shù)據(jù)及各項性能試驗資料，整理匯編形成HPC 配合比試驗數(shù)據(jù)庫。（2）構(gòu)建智能預測模型。隨機森林算法具有精度高、穩(wěn)定性強、不易過擬合（即泛化能力好）等特點［26］，被用于建立混凝土抗壓強度與各組分材料摻量之間的數(shù)學關系。（3）多目標聯(lián)合優(yōu)化。以抗壓強度、經(jīng)濟性和環(huán)保性為優(yōu)化目標，建立HPC 配合比多目標優(yōu)化數(shù)學模型，并引入自適應進化多目標粒子群優(yōu)化算法進行求解，獲得Pareto 解集。（4）配合比參數(shù)優(yōu)選。由于多目標優(yōu)化算法得到的最優(yōu)解不存在唯一性，需根據(jù)技術規(guī)范和實際需求從Pareto前沿中選取一個解作為最優(yōu)配合比。

2 配合比試驗數(shù)據(jù)庫

從文獻［27-30］總共收集到1133 組HPC 配合比試驗數(shù)據(jù)，統(tǒng)計信息見表1。這些HPC 試件具有不同用量的水泥、高爐礦渣、粉煤灰、水、減水劑、粗骨料和細骨料，養(yǎng)護齡期從1 d 到365 d 不等，保證了訓練樣本的豐富性和多樣性。所有的抗壓強度數(shù)據(jù)都是在高30 cm、直徑15 cm 的標準圓柱體試件上遵循標準化流程測定的，未經(jīng)過放縮處理。根據(jù)算法規(guī)則，需將試驗數(shù)據(jù)按照9∶1 的比例隨機劃分成訓練集和測試集，前者用來構(gòu)建HPC 抗壓強度預測模型，后者則用來評價模型性能的優(yōu)劣。

表1 HPC 配合比試驗數(shù)據(jù)統(tǒng)計信息

3 配合比智能優(yōu)化設計方法

3.1 配合比-抗壓強度映射表征隨機森林（random forest，RF）是由Bagging 方法和隨機子空間方法相結(jié)合而形成的一種高效、并行式的集成學習算法［31］，其基本組成單元是決策樹。它利用Bootstrap 重抽樣方法從原始訓練集D中抽取k個樣本子集并對每個Bootstrap 樣本子集進行決策樹建模，然后組合多棵決策樹的預測值，通過投票表決得到最終的預測結(jié)果。算法流程如圖1所示。其中，每棵決策樹都選擇部分樣本及部分特征，一定程度上能避免模型過擬合；每棵樹隨機選擇樣本并隨機選擇特征，使模型具有較好的抗噪能力，且性能表現(xiàn)穩(wěn)定。

圖1 隨機森林算法流程

為了表征HPC 配合比參數(shù)與抗壓強度之間的復雜映射關系，將水泥用量（q1）、高爐礦渣用量（q2）、粉煤灰用量（q3）、拌合水用量（q4）、減水劑摻量（q5）、粗骨料用量（q6）、細骨料用量（q7）和養(yǎng)護齡期（t）作為輸入變量，構(gòu)建了基于隨機森林算法的HPC 抗壓強度智能預測模型，表達式如下：

式中：f(×)為隨機森林算法；CCSt為不同齡期的HPC 抗壓強度；隨機特征數(shù)目Mtry和決策樹棵數(shù)Ntree是影響隨機森林模型性能和效率的兩個重要參數(shù)，Mtry值控制了隨機森林模型屬性的擾動程度，Ntree值會影響模型的訓練程度和預測精度，兩者均可通過試錯法來確定。

3.2 多目標聯(lián)合優(yōu)化數(shù)學模型對HPC 而言，28 d 抗壓強度是衡量其力學性能的重要指標，控制其經(jīng)濟成本和碳排放量又是工程建設的現(xiàn)實要求。鑒于此，本文以抗壓強度最大、單方成本最低和碳排放量最少為研究目標，結(jié)合原材料及性能指標相關限制，建立綜合考慮力學性能、經(jīng)濟性和環(huán)保性的HPC 配合比多目標優(yōu)化數(shù)學模型，包括目標函數(shù)集和約束條件集兩部分。

（1）目標函數(shù)集。構(gòu)造目標函數(shù)集的關鍵是建立HPC 的抗壓強度、單方成本和碳排放量與配合比參數(shù)（即設計變量）qi，i=1，2，…，7之間的數(shù)學關系。大量研究成果［22-25，32］表明，抗壓強度與材料組分之間呈高度非線性關系，而單方生產(chǎn)成本和碳排放量與配合比參數(shù)一般呈線性關系。因此，HPC 的抗壓強度目標函數(shù)采用前述隨機森林智能模型表征，單方成本和碳排放量的目標函數(shù)則由線性函數(shù)表征，公式如下：

式中：Opt(×)為優(yōu)化目標函數(shù)；CCS28為28 d 抗壓強度；MPC為單方混凝土生產(chǎn)成本；ci，i=1，2，…，7依次為水泥、高爐礦渣、粉煤灰、水、減水劑、粗骨料和細骨料的單價；MPC0為單方混凝土的平均拌合、運輸成本，通常隨混凝土生產(chǎn)規(guī)模的擴大而降低；CDE為單方混凝土產(chǎn)生的碳排放量；ei，i=1，2，…，7為各材料組分的單位產(chǎn)出能耗值；CDE0為拌合樓、運輸工具等機械設備產(chǎn)生的碳排放量，一般隨混凝土總方量的增大而增加。為了便于計算，文中MPC0和CDE0均取常數(shù)（MPC0=15，CDE0=5）。

（2）約束條件集。配合比優(yōu)化設計是建立在滿足規(guī)范和工程設計要求（即約束條件）的基礎上的。同時，增加約束條件有利于縮小搜索范圍，加快優(yōu)化求解速度［33］。本文將約束條件細分為映射關系約束、單方體積約束、原材料用量及比率約束與目標函數(shù)值約束4 類，前兩者屬于等式約束，后兩者屬于不等式約束。其中，映射關系約束即是配合比-抗壓強度關系式，該關系以訓練好的隨機森林模型表達。單方體積約束（以1 m3計）則由下式表征：

式中：CV為HPC 中各材料組分的總體積；ui，i=1，2，…，7依次為水泥、高爐礦渣、粉煤灰、水、減水劑、粗骨料和細骨料的密度。

不等式約束條件源自設計規(guī)范或以往經(jīng)驗對原材料用量、相關參數(shù)比率和各項性能指標的最大、最小值的若干限定，采用下式統(tǒng)一表征：

3.3 模型求解方法對于不同的混凝土配合比，單方HPC 所產(chǎn)生的碳排放量會有較大差異，同時由于各組分之間的交互影響，使得HPC 的力學性能與生產(chǎn)成本也會大不相同。在許多情況下，28 d 抗壓強度最大化、單方成本最低化與碳排放量最少化3 個目標甚至存在沖突，難以找到一個解使得所有目標同時達到最優(yōu)。因此，如何在保證HPC 抗壓強度達到設計要求的前提下，最大限度地降低生產(chǎn)成本，減少碳排放量將是一個復雜的多目標、多變量聯(lián)合優(yōu)化問題。針對此問題，本文提出利用自適應進化多目標粒子群優(yōu)化算法（adaptive evolutionary particle swarm optimization，AEPSO）［34］求解上述數(shù)學模型。

多目標粒子群優(yōu)化算法（MOPSO）因?qū)?yōu)能力強、收斂速度快和設置參數(shù)少等優(yōu)點，同時一次運行可得到多個解，且能逼近非凸或不連續(xù)的Pareto 最優(yōu)前沿，因而被認為是求解多目標優(yōu)化問題最具潛力的方法之一。本文選用的AEPSO 在傳統(tǒng)MOPSO［35］的基礎上做了如下改進：（1）采用非支配排序策略和動態(tài)加權法選擇最優(yōu)粒子，引導種群飛行，以提高Pareto 解的多樣性；（2）運用自適應慣性權重來提高全局搜索能力；（3）當種群的搜索能力減弱時，利用變異操作來引導粒子群跳出局部最優(yōu)。通過實例驗證，AEPSO 能夠在保證優(yōu)化解多樣性的同時具有更好的收斂性和穩(wěn)定性。此外，為了使AEPSO 能夠求解帶約束的多目標優(yōu)化問題，本文采用罰函數(shù)法來處理模型約束條件，其基本原理和實現(xiàn)過程詳見文獻［36］。

3.4 配合比智能優(yōu)化設計流程基于上述配合比試驗數(shù)據(jù)庫與多目標聯(lián)合優(yōu)化數(shù)學模型（含目標函數(shù)及約束條件體系）的構(gòu)建，提出了多目標需求下的HPC 配合比智能優(yōu)化設計方法，其實施流程（見圖2）包括以下步驟。

圖2 HPC 配合比智能優(yōu)化設計流程

（1）步驟1。根據(jù)工程建設對HPC 配合比設計的多目標需求（即力學性能、經(jīng)濟性和環(huán)保性），確定設計變量Q和約束條件，同時建立單方生產(chǎn)成本和碳排放量的目標函數(shù)。

（2）步驟2。利用訓練集構(gòu)建基于隨機森林算法的28 d 抗壓強度預測模型，并用測試集對建立的隨機森林模型進行誤差分析，若不滿足精度要求，則需增加試驗數(shù)據(jù)量，重新訓練模型；若滿足要求，則直接作為力學性能的目標函數(shù)。

（3）步驟3。從當前配合比試驗數(shù)據(jù)庫中篩選出滿足約束條件的所有配合比，記為。

（4）步驟4。采用AEPSO 算法求解HPC 配合比多目標聯(lián)合優(yōu)化數(shù)學模型，獲得的Pareto 前沿即是優(yōu)化設計出的候選最優(yōu)配合比，記為。

①初始化種群中各個粒子的位置和速度，并設置初始種群P，群體規(guī)模N，迭代次數(shù)I和最大允許速度Vmax。

②評價當前種群P中所有粒子的各目標值（即適應度值）。

③按照動態(tài)加權和非支配排序的策略更新種群P中各個粒子的個體最優(yōu)位置pi和全局最優(yōu)位置pg。

④通過引入自適應慣性權重和變異操作，計算各粒子新的位置和速度，并重新計算每個粒子的各目標值。

⑤以所得粒子是否接近全局最優(yōu)解作為收斂準則，若未達到收斂，則返回步驟②，繼續(xù)更新種群；若收斂，則輸出種群P作為Pareto 解集。

（6）步驟6。結(jié)合現(xiàn)行規(guī)范和設計要求，對上述設計出的理論最優(yōu)配合比Q *進行試拌、調(diào)整，最終得到實際使用的最優(yōu)配合比Q **。

（7）步驟7。將Q **的試驗結(jié)果添加到當前數(shù)據(jù)庫中，豐富配合比試驗數(shù)據(jù)，以實現(xiàn)知識的不斷累積。

4 實例分析

結(jié)合某工程實例，驗證本文提出的HPC 配合比智能優(yōu)化設計方法的可行性與有效性。已知該工程所用HPC 的設計要求如下：28 d 抗壓強度應介于30 與40 MPa 之間，單方生產(chǎn)成本應低于520 元，單方生產(chǎn)碳排放量應少于200 kg，各材料組分的用量限制和相關參數(shù)比率的允許范圍分別見表2、表3。根據(jù)當?shù)貤l件，表2 列出了各種原材料的必要屬性（密度、單價和單位產(chǎn)出能耗值）。由于原材料的來源穩(wěn)定（即供應廠家、料場較為固定），其質(zhì)量特性可認為基本保持不變，只需考慮用量的影響?；谏鲜鲂畔?，按照3.4 節(jié)中的設計流程對HPC 配合比進行優(yōu)化。

表2 HPC 各材料組分的必要屬性和用量限制

表3 相關參數(shù)比率允許范圍與目標函數(shù)值的約束條件

4.1 抗壓強度預測模型誤差分析為兼顧抗壓強度預測模型的精度與效率，采用試錯法優(yōu)化了隨機森林算法的兩個控制參數(shù)，分別取Mtry=2，Ntree=280。該模型在訓練集（1020 組數(shù)據(jù)）和測試集（113組數(shù)據(jù)）上的預測表現(xiàn)如圖3所示。模型性能用相關系數(shù)（correlation coefficient，R）、均方根誤差（root mean squared error，RMSE）和平均絕對誤差（mean absolute error，MAE）［30］3 個指標定量評價。R值越接近于1，RMSE和MAE值越小，表示模型性能越好。由圖3 可知，抗壓強度預測值與實測值之間呈現(xiàn)強相關關系（R值在0.95 以上），即隨機森林模型對于HPC 抗壓強度的預測精度較高（RMSE和MAE值均較小）。

圖3 隨機森林智能模型的抗壓強度預測性能

為進一步驗證基于隨機森林算法的HPC 抗壓強度預測模型的性能優(yōu)勢，將其與文獻報道的其他方法進行了比較。對比方法包括多基因遺傳規(guī)劃（M-GGP）模型［38］、人工神經(jīng)網(wǎng)絡-支持向量回歸（ANN-SVR）集成模型［39］和智能螢火蟲算法-最小二乘支持向量回歸（SFA-LSSVR）混合模型［40］。表4列出了不同模型在測試集上的預測效果。從表4 可以看出，隨機森林模型的R值最大，達到0.96，且RMSE 和MAE 值均小于其余3 種方法，表明隨機森林算法在抗壓強度預測方面具有明顯的優(yōu)越性。由此可見，隨機森林智能模型能夠準確表征原料配合比與抗壓強度之間的非線性關系。

表4 測試集上不同模型的預測性能對比

4.2 多目標優(yōu)化模型的求解結(jié)果將表2、表3 中相關數(shù)據(jù)代入式（2）—式（5），即可得到HPC 配合比多目標優(yōu)化數(shù)學模型的表達式。根據(jù)約束條件集從當前數(shù)據(jù)庫中篩選出滿足要求的全部配合比（共24組），如表5所示。隨后按照3.4 節(jié)中步驟4 所述流程，使用AEPSO 算法對此數(shù)學模型進行求解，其中群體規(guī)模N=100，迭代次數(shù)I=250。圖4 為經(jīng)迭代優(yōu)化后得到的Pareto 前沿散點分布圖，總計60 個Pareto 解（即60 組候選最優(yōu)配合比）。從圖4 可以看出，Pareto 前沿分布均勻（多樣性較好），收斂性也較好。此外，抗壓強度、單方生產(chǎn)成本和碳排放量兩兩之間存在明顯的相互制約關系，難以同時達到最優(yōu)，體現(xiàn)出HPC 配合比設計考慮多目標優(yōu)化的必要性。

表5 當前數(shù)據(jù)庫中滿足設計要求的24 組配合比參數(shù)

為了驗證優(yōu)化結(jié)果的合理性，隨機選取3 組配合比進行試拌物理試驗，對比結(jié)果見表6。從表6可以看出，按照優(yōu)化配合比制備的HPC 的試拌實測強度與其計算強度之間的誤差較小，最大僅為3.92%，說明經(jīng)過配合比優(yōu)化后的HPC 抗壓強度與設計給定值相近，沒有產(chǎn)生強度冗余或不足。

表6 優(yōu)化結(jié)果試拌驗證

4.3 不同偏向的配合比參數(shù)優(yōu)選在最優(yōu)Pareto 前沿中，全局最優(yōu)解不存在唯一性。本文采用理想點法從84 組候選配合比中遴選出不同偏向的理論最優(yōu)配合比參數(shù)。首先，對各組目標函數(shù)值進行向量規(guī)范化處理，得到規(guī)范化指標；其次，依據(jù)各優(yōu)化目標的重要程度分配權值，強度偏向型、經(jīng)濟偏向型、 環(huán)保偏向型和均衡型4 種配比方案對應的權重向量W分別取(0.5，0.25，0.25)、(0.25，0.5，0.25)、(0.25，0.25，0.5)和(1/3，1/3，1/3)；再次，確定正理想解和負理想解；然后，分別計算各配比方案到正理想解和負理想解的距離；最后，計算各方案與正理想解的接近程度，選取接近度最高的一組配合比參數(shù)作為決策解。按照上述步驟，即可得到不同偏向的最優(yōu)配比方案，如圖4 和表7所示。由圖4、表7 可知，方案A 的28 d 抗壓強度較高，方案B 較為經(jīng)濟，方案C 在保證強度的情況下，還具有較好的環(huán)保性，方案D 整體較為均衡且處于較高水平。因此，獲得的4 個不同偏向的最優(yōu)配比方案均符合預期。

圖4 Pareto 前沿散點分布

表7 不同偏向的理論最優(yōu)配合比參數(shù)

4.4 理論最優(yōu)配合比參數(shù)的驗證將表7 中的最優(yōu)配合比參數(shù)與用傳統(tǒng)經(jīng)驗設計方法獲得的配比方案（即初始方案，其配合比參數(shù)見表5）進行對比，通過分析各組分材料用量和3 個目標函數(shù)值來驗證本文智能設計方法的優(yōu)越性。表8 為兩種設計方法得到的配合比優(yōu)化結(jié)果的對比。從表8 可以看出：（1）優(yōu)化方案A 較之初始方案具有更高的抗壓強度和更低的單方造價，雖然碳排放量有所增加，但仍在可接受范圍內(nèi)；（2）優(yōu)化方案B 與初始方案的抗壓強度相當，碳排放量也較為接近，但其單方生產(chǎn)成本降低約8.51%；（3）在確保力學性能的前提下，優(yōu)化方案C 的單方造價和碳排放量分別比初始方案下降了10.37%和4%；（4）優(yōu)化方案D 與優(yōu)化方案B 類似，在大幅降低單方造價的同時，保持抗壓強度和碳排放量基本不變。總體而言，用本文智能設計方法得到的最優(yōu)配比方案相比于傳統(tǒng)經(jīng)驗設計方法的結(jié)果更加合理、經(jīng)濟、環(huán)保，從而證明了該方法對于HPC 配合比優(yōu)化設計的有效性和可靠性。

表8 本文智能設計方法與傳統(tǒng)經(jīng)驗設計方法得到的配合比優(yōu)化結(jié)果對比

5 結(jié)論

（1）針對性地提出了一種基于隨機森林算法和AEPSO 的HPC 配合比優(yōu)化設計新方法，避免了單目標、單參數(shù)優(yōu)化方法的盲目性，充分考慮了不同目標之間的關聯(lián)性，實現(xiàn)了多目標需求下的HPC 配合比智能化設計。（2）本文智能設計方法不僅可以實現(xiàn)對HPC 抗壓強度的高精度預測，還可以通過聯(lián)立約束條件求解出符合該條件下的理論最優(yōu)配合比參數(shù)，大大減少了物理試驗的工作量，提高了配合比優(yōu)化設計的效率。（3）多目標聯(lián)合優(yōu)化數(shù)學模型能在一次求解后得到多個Pareto 最優(yōu)解，這些解給配比設計人員提供了更多的選擇空間，使其可以根據(jù)實際需求選取不同偏向的最優(yōu)配比方案，具有較好的指導作用和應用價值。（4）將優(yōu)化結(jié)果與初始方案進行對比，可以看出本文方法在一定程度上能節(jié)約資源、降低造價和減少污染，且不同偏向的最優(yōu)配比方案對應的各項指標均能達到預期要求。（5）所提出的配合比智能設計方法除適用于高性能混凝土之外，還適用于常態(tài)混凝土、碾壓混凝土等。盡管該方法取得了比傳統(tǒng)經(jīng)驗設計方法更好的優(yōu)化結(jié)果，但其在設計過程中難以考慮原材料的質(zhì)量特性對混凝土性能指標的影響，后續(xù)將結(jié)合混合知識表征技術進一步提高所提方法的實用性。