分部積分法的解題技巧

張磊，王利巖，吳玉斌，王輝

分部積分法的解題技巧

張磊，王利巖，吳玉斌，王輝

（沈陽航空航天大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 沈陽 110136）

分部積分公式的作用是將積分問題化繁為簡，從而達(dá)到計(jì)算目的．通過算例依次探討了分部積分法的降冪、消去和循環(huán)作用，對照這些作用將分部積分問題分為３大類，梳理出分部積分法的使用規(guī)則．為了提高分部積分法的運(yùn)算效率，對分部積分公式做了推廣，借助圖表生動形象地展示了求原函數(shù)的過程．通過例題分析表格法的有效性，進(jìn)一步加深了學(xué)生對概念和公式的理解，提高了計(jì)算效率．

分部積分法；不定積分；圖表法

不定積分算法的研究不同于極限、導(dǎo)數(shù)和定積分，教材中不定積分的概念通過分析語言直接給出，這種不具構(gòu)造性的定義方式導(dǎo)致了解題方法的靈活多變．有些積分問題，用了常規(guī)方法后甚至?xí)⒈环e表達(dá)式變得更復(fù)雜，以致無法計(jì)算．因此，有關(guān)不定積分計(jì)算方法和運(yùn)算技巧的探究一直受到微積分學(xué)者的廣泛關(guān)注．劉春平[1]介紹了含指數(shù)函數(shù)的原函數(shù)求不定積分的運(yùn)算技巧，推廣并證明了不定積分的鏈條相消法；高翔[2]討論了被積函數(shù)為正指數(shù)次冪的指數(shù)函數(shù)與任意指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、雙曲正弦函數(shù)、雙曲余弦函數(shù)的不定積分問題，逐次分部積分后找出運(yùn)算規(guī)律，用數(shù)學(xué)歸納法證得含有參數(shù)的不定積分公式；朱海[3]等梳理了部分消元法、配項(xiàng)與湊微分法、變量代換法和添項(xiàng)法等在有理函數(shù)不定積分計(jì)算中的應(yīng)用，通過典型題目展示了有理函數(shù)求不定積分的常見方法與解題技巧；趙未蓮[4]分析了“口訣”在微積分學(xué)習(xí)中的輔助作用，分析了不定積分計(jì)算口訣的利弊，對分部積分法的“十字口訣”進(jìn)行補(bǔ)充，通過記憶口訣，常見的５種基本初等函數(shù)的分部積分得以解決；吳星[5]等從題目出發(fā)，結(jié)合具體算例通過觀察被積函數(shù)結(jié)構(gòu)梳理出求不定積分問題的思路；成凱歌[6]證明了被積函數(shù)為有限個(gè)函數(shù)乘積時(shí)不定積分的存在性及計(jì)算規(guī)律．這些研究對不定積分的常見解題方法和技巧做了進(jìn)一步探究，也為多元函數(shù)積分學(xué)中的二重積分、三重積分、線面積分等問題的研究奠定了理論基礎(chǔ)．

1 分部積分法解題規(guī)律

高等數(shù)學(xué)中，對乘積的求導(dǎo)公式兩端取不定積分可得到分部積分公式[7]．

這些原則可以整理為分部積分口訣：反對冪三指，后者湊微分；冪角若相遇，兩次同樣湊．一般地，不定積分計(jì)算時(shí)最先考慮換元積分法，換元積分法不能計(jì)算時(shí)改用分部積分法．如果被積函數(shù)有三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)，將三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)湊微分，通過分部積分公式的降冪作用完成計(jì)算．如果被積函數(shù)含對數(shù)函數(shù)和反三角函數(shù)，將對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)之外的函數(shù)湊微分后再用分部積分公式，利用消去作用去掉對數(shù)與反三角函數(shù)．當(dāng)被積函數(shù)為指數(shù)函數(shù)乘正弦函數(shù)或指數(shù)函數(shù)乘余弦函數(shù)等形式時(shí)，可以通過2次分部積分將待求積分循環(huán)出來．

2 分部積分公式的推廣

2.1 分部積分的推廣公式

整理可得分部積分的推廣公式

2.2 圖表法計(jì)算不定積分

值得注意的是，可以通過圖示將式（2）呈現(xiàn)給學(xué)生，方便記憶（見圖1）．由此可得到計(jì)算不定積分的圖表法．

圖1 分部積分推廣公式遞推圖

Step5 填正負(fù)號：將各箭頭上的2個(gè)對應(yīng)項(xiàng)相乘后按照正負(fù)交錯(cuò)添寫+、-號，首項(xiàng)為+號；

Step6 整理：將帶有正負(fù)號的各項(xiàng)相加，寫出原函數(shù)．

從圖表法的解題步驟可以看出，與反復(fù)使用分部積分公式相比圖表法在處理不定積分問題時(shí)可以較大程度地簡化解題步驟．構(gòu)造圖表時(shí)如遇下述情況應(yīng)停止求導(dǎo)或求積：（1）第１行出現(xiàn)0；（2）第１行的某元素再次出現(xiàn)或第１行某元素的常數(shù)倍再次出現(xiàn)；（3）箭頭上兩元素的乘積便于積分；（4）箭頭上兩元素的乘積有規(guī)律可尋．

2.2.3 圖表法的優(yōu)勢與不足 （1）圖表法的優(yōu)勢：通過對被積函數(shù)中的乘積因子分別進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算和積分運(yùn)算，學(xué)生可以借助表格清晰直觀地確定原函數(shù)．尤其是被積函數(shù)中含高次多項(xiàng)式時(shí)，圖表法可以避免前次運(yùn)算結(jié)果的重復(fù)抄寫，減少疏漏和筆誤．另外，對于被積函數(shù)為冪函數(shù)乘冪函數(shù)、三角函數(shù)乘指數(shù)函數(shù)或原函數(shù)含抽象函數(shù)形式的不定積分問題，也可以嘗試用圖表法求原函數(shù)．值得注意的是，圖表法不僅可以用于不定積分的計(jì)算，對定積分的計(jì)算也是有效的．圖表法與積分公式法對比教學(xué)，更容易激發(fā)學(xué)生對積分的學(xué)習(xí)興趣．（2）圖表法的局限：圖表法適用于部分特定類型的被積函數(shù)，為了便于迅速找到原函數(shù)，使用前需要觀察被積函數(shù)的部分因子，當(dāng)因子符合消去、降冪、循環(huán)作用時(shí)公式才有效．如果被積函數(shù)為對數(shù)函數(shù)乘三角函數(shù)形式或被積函數(shù)僅含反三角函數(shù)時(shí)，則無法利用圖表法求解．

圖2 例2解題過程演示

例2中多項(xiàng)式次數(shù)等于3，解題時(shí)可以利用3次分部積分對多項(xiàng)式函數(shù)降次以達(dá)到計(jì)算目的，但過程冗長且重復(fù)，因此選用圖表法求解，將多項(xiàng)式函數(shù)寫入第１行，借助基本求導(dǎo)公式對其逐次求導(dǎo)至0，將指數(shù)函數(shù)寫入表格的第2行，借助基本積分公式逐次求積分，觀察圖表即可快速求解該題．

3 結(jié)語

分部積分法是積分計(jì)算的常用方法，也是本科階段考查的重點(diǎn)內(nèi)容．教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對公式本身掌握較好，但應(yīng)用公式解決實(shí)際問題的能力有待提高．本文闡述了分部積分法在使用時(shí)的選取規(guī)則，并給出了被積函數(shù)含有多項(xiàng)式因子時(shí)的圖表法，對照圖表學(xué)生可以快速地寫出不定積分結(jié)果，一定程度上提高了計(jì)算速度和準(zhǔn)確度．

值得注意的是，在積分計(jì)算時(shí)循規(guī)蹈矩的方法有時(shí)未必是最簡方法，這就要求學(xué)生在課下勤思考，多動手，熟練掌握分部積分法與基本公式法、換元積分法的綜合運(yùn)用．另外，后續(xù)學(xué)習(xí)過程中遇到復(fù)雜函數(shù)的不定積分時(shí)，可以借助積分表，也可以使用編程軟件進(jìn)行計(jì)算．并非全體初等函數(shù)都可積，且可積函數(shù)的不定積分不唯一．

[1] 劉春平．一類含指數(shù)函數(shù)的不定積分的計(jì)算[J]．高等數(shù)學(xué)研究，2020，23（6）：15-16．

[2] 高翔．一類函數(shù)的分部積分規(guī)律（一）[J]．高等數(shù)學(xué)研究，2019，22（6）：4-6．

[3] 朱海，代月紅，楊曉芳．不定積分技巧探究[J]．黑龍江科學(xué)，2021（13）：66-67．

[4] 趙未蓮．口訣在微積分教學(xué)中的應(yīng)用舉例[J]．科技風(fēng)，2020（5）：61-62．

[5] 吳星，劉盼．面向問題教學(xué)的不定積分解法探究[J]．教育教學(xué)論壇，2020（26）：298-299．

[6] 成凱歌．多個(gè)函數(shù)乘積的不定積分計(jì)算[J]．高師理科學(xué)刊，2020，41（2）：13-17．

[7] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系．高等數(shù)學(xué)：上[M]．北京：高等教育出版社，2015．

[8] 李小斌，朱佑琳．不定積分的一個(gè)注記[J]．高等數(shù)學(xué)研究，2018，21（7）：13-15．

[9] 吳麗華．淺談不定積分教學(xué)中的幾點(diǎn)思考[J]．高教學(xué)刊，2019（11）：111-113．

[10] 劉琳．求不定積分幾種常用方法[J]．科技經(jīng)濟(jì)導(dǎo)刊，2019（11）：141-142．

[11] 陸生琪．不定積分求解技巧解析[J]．高教學(xué)刊，2017（15）：194-196．

[12] 王瑋．淺析分部積分法的運(yùn)算規(guī)律[J]．課程教育研究，2019（42）：189-190．

The skills of calculating integration by parts

Zhang Lei，Wang Liyan，Wu Yubin，WANG Hui

（School of science，Shenyang Aerospace University，Shenyang 110136，China）

The function of formulas of integration by parts is to simplify the integration problem，so as to achieve the purpose of calculation．The effects of power reduction，elimination and circulation of integration by parts are discussed by examples，according to these functions，the issues on integration by parts are divided into three categories and the rules of integration by parts are sorted out．In order to improve the efficiency of integration by parts，the formula of integration by parts was extend，and the process of finding the original function was vividly shown with the help of tables．The effectiveness of the table method is analyzed through examples to deepen students' understanding of concepts and formulas and improve calculation efficiency.

integration by parts；the indefinite integral；laws of drawing

O172∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2022.02.017

1007-9831（2022）02-0088-04

2021-09-18

遼寧省教育廳青年項(xiàng)目（L201730）；遼寧省科技廳博士啟動項(xiàng)目（201601173）；沈陽航空航天大學(xué)教改項(xiàng)目（JG2020081）

張磊（1986-），女，黑龍江雞西人，講師，博士，從事控制論與微積分研究．E-mail：hitzhanglei@163.com