折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料動(dòng)力學(xué)研究進(jìn)展1)

方虹斌 * 吳海平 * 劉作林 *, 張琦煒 徐 鑒 ,

* (復(fù)旦大學(xué)智能機(jī)器人研究院,上海 200433)

? (同濟(jì)大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院,上海 200092)

引言

折紙(origami)結(jié)構(gòu)起源于中國(guó)的折紙藝術(shù),其在日本得到了長(zhǎng)足發(fā)展.如今,折紙結(jié)構(gòu)不再局限于“紙張”,而是泛指一切將二維薄片通過折疊(folding)形成的三維結(jié)構(gòu),其受到了教育學(xué)家、數(shù)學(xué)家、建筑學(xué)家、物理學(xué)家和工程科學(xué)家們的廣泛關(guān)注.折痕圖(crease pattern)是所有折紙結(jié)構(gòu)的起點(diǎn),其具有無窮的設(shè)計(jì)空間,可以據(jù)此折疊出復(fù)雜、精妙的三維結(jié)構(gòu).因此,近些年來,學(xué)者們提出了許多折紙啟發(fā)的結(jié)構(gòu):從大尺度(≥100m)的可展開航天結(jié)構(gòu)[1-2]和折疊建筑[3-4],到中等尺度(10-3～10-1m)的自折疊機(jī)器人[5-6]和自折疊生物醫(yī)學(xué)器件[7-8],到小尺度(≤10-4m)的微納折疊元件[9-10]等.

受到折紙結(jié)構(gòu)研究的催化,“折紙超材料(origami metamaterial)”應(yīng)運(yùn)而生.當(dāng)前,隨著增材制造尤其是3D 打印技術(shù)的迅速發(fā)展,材料的設(shè)計(jì)和研發(fā)進(jìn)入了“超材料(metamaterial)”階段.超材料具有自然界材料和工程結(jié)構(gòu)所不具有的特殊性質(zhì),其特殊性質(zhì)不是來源于化學(xué)組分,而是來源于精密設(shè)計(jì)的幾何結(jié)構(gòu)和尺寸大小.力學(xué)(機(jī)械) 超材料(mechanical metamaterial)是超材料家族中的重要一類,具有自然界材料和工程結(jié)構(gòu)所不具有的特殊力學(xué)性質(zhì)[11-12].對(duì)于折紙超材料而言,是由精心設(shè)計(jì)的折紙結(jié)構(gòu)堆疊、排列而成,折疊對(duì)于折紙超材料某些力學(xué)特性的形成具有決定性意義.

折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料由于其異常廣闊的設(shè)計(jì)空間和突出的大變形、拓?fù)渥兓刃再|(zhì),在最近幾年內(nèi)迅速成為材料、智能結(jié)構(gòu)、機(jī)器人等領(lǐng)域的研究前沿和熱點(diǎn).2012 年和2013 年,美國(guó)國(guó)家科學(xué)基金會(huì)(NSF)和美國(guó)空軍科學(xué)研究辦公室(AFOSR)連續(xù)兩年在前沿研究計(jì)劃(emerging frontiers in research and innovation,EFRI)框架下發(fā)布以“面向工程變革的一體化自組裝系統(tǒng)折紙結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)(origami design for integration of self-assembling systems for engineering innovation,ODISSEI)”為主題的研究方向[13].EFRI-ODISSEI 共資助項(xiàng)目13 項(xiàng),總計(jì)資助經(jīng)費(fèi)2900 余萬美元,平均每項(xiàng)經(jīng)費(fèi)為223 萬美元,項(xiàng)目周期2～ 9 年,項(xiàng)目研究對(duì)象涵蓋折紙超材料、主動(dòng)折紙技術(shù)、基于折紙的人體組織工程、可重構(gòu)折紙結(jié)構(gòu)、基于折紙的新型光學(xué)器件等(表1).自2014年以來,折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料研究取得許多重要?jiǎng)?chuàng)新性成果,已在《Science》、《Nature》和《PNAS》上發(fā)表論文44 篇,更有大量的論文出現(xiàn)在以《Advanced Materials》為代表的材料學(xué)頂尖刊物和以《PRL》為代表的物理學(xué)頂尖刊物上(圖1).圖2 展示了在Web of Science (WOS)數(shù)據(jù)庫(kù)中,以“origami(排除DNA)”為主題搜索的期刊、會(huì)議和綜述論文數(shù)目及其引用量在2001 年至2020 年間的演變趨勢(shì).近20 年來,在折紙領(lǐng)域發(fā)表的論文數(shù)目增長(zhǎng)了近110 倍,引用量從2001 年的0 次躍升至2020 年的10 654 次,這充分表明學(xué)術(shù)界對(duì)折紙這一前沿研究領(lǐng)域的興趣迅速上升.特別是,隨著EFRI-ODISSEI項(xiàng)目于2012 年和2013 年啟動(dòng),以“origami”為主題的發(fā)文量和引用量迅速增長(zhǎng),呈現(xiàn)出明顯的拐點(diǎn).此外,折紙界的“奧林匹克”會(huì)議“International Meeting on Origami in Science,Mathematics and Education(OSME)”每4 年召開一屆,吸引了全世界著名學(xué)者參會(huì)并匯報(bào)他們的研究進(jìn)展,每屆會(huì)議出版文集《OrigamiN》.注意到,會(huì)議文集厚度逐次增長(zhǎng),《Origami3》(2002 年)為單卷366 頁,《Origami4》(2006 年)為單卷572 頁,《Origami5》(2010 年)為單卷668 頁,《Origami6》(2014 年)為兩卷共735 頁,《Origami7》(2018 年)為4 卷共1357 頁,這也從一個(gè)側(cè)面反映出折紙相關(guān)研究的熱度和受關(guān)注度.

圖1 2014—2021 年間在頂級(jí)期刊上發(fā)表的以O(shè)rigami 為主題的論文Fig.1 Papers on origami published in top journals during 2014—2021

表1 EFRI-ODISSEI 資助的項(xiàng)目[13]Table 1 Projects funded by EFRI-ODISSEI[13]

中國(guó)也高度重視折紙結(jié)構(gòu)這一前沿研究領(lǐng)域,自2018 年起在多個(gè)國(guó)家重大研究計(jì)劃中立項(xiàng)支持,但支持方向較為狹窄,支持強(qiáng)度也較小.2019 年,國(guó)家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃“智能機(jī)器人”重點(diǎn)專項(xiàng)發(fā)布指南“基于編織/折展原理的機(jī)器人結(jié)構(gòu)功能一體化設(shè)計(jì)”,其支持項(xiàng)目數(shù)為1 項(xiàng),經(jīng)費(fèi)約500 萬元;2021年,國(guó)家自然科學(xué)基金委員會(huì)發(fā)布“十四五”第一批重大項(xiàng)目指南,其中工程與材料科學(xué)部發(fā)布指南“瞬態(tài)折展變形機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)理論與關(guān)鍵技術(shù)基礎(chǔ)”,支持項(xiàng)目數(shù) ≤1 項(xiàng),直接費(fèi)用預(yù)算不超過1500 萬元.相對(duì)應(yīng)的,我國(guó)學(xué)者在折紙領(lǐng)域的發(fā)文數(shù)量明顯少于美國(guó).在上述統(tǒng)計(jì)的以“origami”為主題的論文中,中國(guó)學(xué)者發(fā)表的論文僅占20.5%,獲得的引用量占比為22.2%(圖2),遠(yuǎn)低于美國(guó)的44.2%和57.8%.

圖2 以O(shè)rigami 為主題的研究發(fā)展歷程分析Fig.2 Analysis of the development process of origami-themed research

除了基礎(chǔ)研究和論文發(fā)表,折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料也具有巨大的工程應(yīng)用潛力.事實(shí)上,目前已有許多折紙器件面世并得到應(yīng)用,包括折紙型能量吸收護(hù)欄[14]、折紙型血管支架[8]、折紙型空間展開結(jié)構(gòu)[15]、折紙機(jī)械臂[16]、折紙蠕蟲機(jī)器人[17]、折紙吸振材料[18]和聲調(diào)控折紙超材料[19]等.這些應(yīng)用主要利用了折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的超輕、超大變形、變構(gòu)型和變拓?fù)涞忍卣?例如,可展開航天結(jié)構(gòu)在發(fā)射過程中處于折疊收攏狀態(tài),固定安置在運(yùn)載工具有效載荷艙內(nèi),體積最小,待發(fā)射入軌后,由地面指揮中心控制結(jié)構(gòu)按設(shè)計(jì)要求展開成一個(gè)大型復(fù)雜航天結(jié)構(gòu)[1];自折疊機(jī)器人通常由平面材料制成,通過折疊形成復(fù)雜的三維構(gòu)型而實(shí)現(xiàn)功能[6];折紙聲學(xué)器件可以通過調(diào)整拓?fù)?實(shí)現(xiàn)對(duì)聲波透射和反射等的調(diào)控[20-21].注意到,上述這些特征常由折疊運(yùn)動(dòng)所誘發(fā),具有尺度無關(guān)性和組分無關(guān)性.因此,幾何設(shè)計(jì)和運(yùn)動(dòng)學(xué)分析一直是折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料基礎(chǔ)研究和應(yīng)用研究的重點(diǎn)之一.

為將折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料應(yīng)用于實(shí)際工程,靜力學(xué)和準(zhǔn)靜態(tài)行為分析也不可或缺,常需要明確折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料在不同方向上的力-位移本構(gòu)關(guān)系,實(shí)現(xiàn)大變形和大承載間的協(xié)調(diào).靜力學(xué)研究的另一個(gè)主要關(guān)注點(diǎn)就是折疊誘發(fā)的超常規(guī)靜力學(xué)特性.例如,折疊可以帶來豐富的變形模式[22],可以實(shí)現(xiàn)負(fù)泊松比[23-24]、負(fù)體積模量[25]等特征;折紙結(jié)構(gòu)常具有幾何非線性和幾何“一對(duì)多”關(guān)系,可以實(shí)現(xiàn)非線性本構(gòu)[26]、雙穩(wěn)態(tài)[24,27]和多穩(wěn)態(tài)[28-29]等特性;折疊運(yùn)動(dòng)會(huì)由于折面的接觸而停止,使得結(jié)構(gòu)進(jìn)入彈性變形模式,誘發(fā)剛度跳躍特性[30].通過調(diào)控折紙超材料中的單胞的變形,實(shí)現(xiàn)力學(xué)特性的可編程性[31-32]也是當(dāng)前研究的熱點(diǎn)方向之一.

此外,折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料也將不可避免地在動(dòng)力學(xué)環(huán)境中工作,迫切需要研究由折疊誘發(fā)的動(dòng)力學(xué)行為.例如,折紙器件將有可能受到基礎(chǔ)激勵(lì),需要考查位移傳遞率等穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)特性;航天可折展結(jié)構(gòu)的展開部署本質(zhì)上是一個(gè)瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)過程,需要關(guān)注穩(wěn)定時(shí)間和超調(diào)量等瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)指標(biāo);折紙超材料本身還可以作為波傳播的媒介,需要探討帶隙等波動(dòng)力學(xué)特性;折紙機(jī)器人在工作中有可能受到外界撞擊或從高處跌落,需要分析沖擊吸收功等沖擊力學(xué)特性.但是,相比于設(shè)計(jì)、運(yùn)動(dòng)學(xué)和靜力學(xué)研究,折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的動(dòng)力學(xué)研究起步較晚,面臨較多挑戰(zhàn).目前,折紙動(dòng)力學(xué)研究主要針對(duì)特例設(shè)計(jì)和分析,主要關(guān)注點(diǎn)有4 個(gè)方面:(1)折紙結(jié)構(gòu)中由全局強(qiáng)幾何非線性本構(gòu)(例如,準(zhǔn)零剛度[18]、雙穩(wěn)態(tài)[27,33]等)引起的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為及其應(yīng)用;(2)折紙結(jié)構(gòu)在展開或構(gòu)型切換過程中的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)行為[34-36];(3)折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料在沖擊載荷下的動(dòng)力學(xué)行為[14,37];(4)折紙超材料作為波傳播媒介的波動(dòng)力學(xué)特性[38-39].

總的來說,折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料動(dòng)力學(xué)研究的方法框架還不成熟和完善,在動(dòng)力學(xué)建模和參數(shù)辨識(shí)、動(dòng)力學(xué)理論和實(shí)驗(yàn)分析方法、超常規(guī)動(dòng)力學(xué)行為機(jī)制解析等方面都面臨較大挑戰(zhàn),也充滿機(jī)遇(詳見第6 節(jié)).考慮到折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的設(shè)計(jì)、運(yùn)動(dòng)學(xué)和靜力學(xué)已發(fā)展得較為成熟,并已有多篇綜述關(guān)注[40-45],本文主要關(guān)注折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料動(dòng)力學(xué).但是,為了使本文具有完整性,下面首先簡(jiǎn)要介紹折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的幾何設(shè)計(jì)與靜力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)特性.隨后,本文從動(dòng)力學(xué)建模、動(dòng)力學(xué)分析和實(shí)驗(yàn)方法、折疊誘發(fā)的超常規(guī)動(dòng)力學(xué)特性和動(dòng)力學(xué)應(yīng)用等方面對(duì)國(guó)內(nèi)外相關(guān)研究成果和最新進(jìn)展進(jìn)行回顧,并梳理值得關(guān)注的若干問題,為相關(guān)的研究者提供參考.

1 幾何設(shè)計(jì)與運(yùn)動(dòng)學(xué)、靜力學(xué)特性

所有折紙研究的起點(diǎn)都是折痕圖設(shè)計(jì),清晰折紙結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和靜力學(xué)特性,又是開展動(dòng)力學(xué)研究的前提.為此,首先簡(jiǎn)要介紹折紙的基本定義、假設(shè)和分類,隨后對(duì)常見的折痕設(shè)計(jì)和折紙結(jié)構(gòu)進(jìn)行回顧,并討論折紙超材料的構(gòu)成方式.本節(jié)也將對(duì)折紙結(jié)構(gòu)所特有的運(yùn)動(dòng)學(xué)和靜力學(xué)特性進(jìn)行綜述,并概要性地介紹折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的應(yīng)用前景.

1.1 基本定義、假設(shè)和分類

對(duì)折紙進(jìn)行數(shù)學(xué)描述必須包含等距性和內(nèi)射性兩個(gè)條件.等距性(isometry)描述了折紙材料的不可延展性(non-stretchiness),具體指:兩點(diǎn)之間沿著紙面的最短距離不會(huì)隨著折疊改變.內(nèi)射性(injectivity)描述了折疊過程中紙面的不可自交性(non-selfintersection),具體指:在整個(gè)折疊過程中,紙面不能發(fā)生自相交.

每一個(gè)折紙結(jié)構(gòu)都有其對(duì)應(yīng)的折痕圖(crease pattern).折痕圖包含的元素有折痕(包括山折痕和谷折痕)、頂點(diǎn)、折面;描述折痕圖和折疊過程的常用幾何量是扇形角和折疊角.下面給出它們的具體定義.

(1) 折痕(crease):折痕圖上的線性要素,折疊圍繞其發(fā)生.折痕可以不發(fā)生折疊(unfolded),部分折疊(partially folded),或完全折疊(fully folded).

(2) 頂點(diǎn)(vertex):兩條或多條折痕的相交點(diǎn).一個(gè)頂點(diǎn)的度數(shù)(degree)為n,是指有n條折痕相交于該頂點(diǎn).

(3) 折面(facet):由折痕和(或)邊界圍成的多邊形區(qū)域.

(4) 扇形角(sector angle):兩條相鄰折痕圍繞其相交頂點(diǎn)的角度,常表示為 α .

(5) 折疊角(folding angle):折面偏離水平面的角度,常表示為 θ .

(6) 二面角(dihedral angle):兩個(gè)相鄰折面圍繞其相連折痕的二面角,常表示為 ρ .

(7) 山折痕(mountain fold):向外折疊的折痕,通常對(duì)應(yīng)負(fù)的折疊角.當(dāng)山折痕被完全折疊時(shí),折疊角為 - 180°.

(8) 谷折痕(valley fold):向內(nèi)折疊的折痕,通常對(duì)應(yīng)正的折疊角.當(dāng)谷折痕被完全折疊時(shí),折疊角為180°.

在上述定義的基礎(chǔ)上,根據(jù)不同的假設(shè),折紙結(jié)構(gòu)可以被描述為不同的數(shù)學(xué)模型:

(9) 剛性可折折紙(rigidly foldable origami):在折面不發(fā)生彎曲和屈曲,折痕和頂點(diǎn)不在折面內(nèi)移位的情況下,如果折紙結(jié)構(gòu)可以在展開狀態(tài)(unfolded state)和完全折疊狀態(tài)(fully-folded state)間連續(xù)變化,則稱為剛性可折.

(10) 可折平折紙(flat-foldable origami):假設(shè)折面厚度為零(可忽略),在折面不發(fā)生彎曲、屈曲、自交,且不產(chǎn)生新折痕和新頂點(diǎn)的情況下,如果折紙結(jié)構(gòu)可以被完全折平,則稱為可折平.Kawasaki-Justin定理表明,折痕圖中一個(gè)內(nèi)部頂點(diǎn)可以被折平的充要條件是圍繞該頂點(diǎn)的所有扇形角滿足α1-α2+α3-α4+···+αN-1-αN=0,且N為偶數(shù).但需要注意的是,Kawasaki-Justin 定理是某折痕圖所對(duì)應(yīng)的折紙結(jié)構(gòu)具有可折平性的必要不充分條件.

(11) 可展平折紙(developable origami):一個(gè)處于折疊狀態(tài)的結(jié)構(gòu),如果其可以被展開為一張平紙,則稱為可展平.數(shù)學(xué)上,圍繞著一個(gè)內(nèi)部頂點(diǎn)的所有扇形角的和為 3 60°,即,則該頂點(diǎn)可以被展平;如果折痕圖中所有內(nèi)部頂點(diǎn)都滿足該條件,則基于該折痕圖所折的折紙結(jié)構(gòu)具有可展平性.

(12) 厚板折紙(thick origami):考慮折面厚度的折紙.

(13) 曲面折紙(curved origami):假設(shè)折面厚度為零(可忽略),折疊過程中折面和折痕可以被彎曲的折紙.

1.2 常見的折痕圖設(shè)計(jì)和折紙結(jié)構(gòu)

折紙為三維結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供了無限可能.在幾何上,通過精細(xì)設(shè)計(jì)折痕,二維薄片可以被折疊為復(fù)雜的三維形狀.例如,通過定制折痕,可以逼近任意常曲率或變曲率的三維表面[46],或任意給定形狀的幾何多面體[47].在現(xiàn)有的折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料研究中,以下幾類折痕圖受到廣泛關(guān)注.

4°頂點(diǎn)折紙(degree-4 vertex origami)是最基本的剛性折紙,它由4 塊剛性折面通過相交于一點(diǎn)的4 條折痕連接而成(圖3(a)).為保證可展平性,4 條折痕構(gòu)成的4 個(gè)扇形角之和等于 3 60°(α1+α2+α3+α4=360°).在此基礎(chǔ)上,如果4 個(gè)扇形角滿足Kawasaki-Justin 條件(即 α1-α2+α3-α4=0),則該4°頂點(diǎn)折紙具有可折平性[22];如果4 個(gè)扇形角滿足α1+α4=α2+α3=180°,則該4°頂點(diǎn)折紙有一對(duì)折痕共線[48];如果4 個(gè)扇形角同時(shí)滿足α1+α3=α2+α4=180o和α1-α2+α3-α4=0,則4°頂點(diǎn)折紙退化為經(jīng)典的三浦折紙(Miura-ori)(圖3(b))[49].Fang 等[22]發(fā)現(xiàn),三浦折紙僅能實(shí)現(xiàn)伸縮變形,可折平4°頂點(diǎn)折紙可以同時(shí)實(shí)現(xiàn)伸縮變形和面外剪切變形,具有一對(duì)共線折痕的4°頂點(diǎn)折紙可以同時(shí)實(shí)現(xiàn)伸縮變形和面內(nèi)剪切變形,而一般的4°頂點(diǎn)折紙可以同時(shí)實(shí)現(xiàn)伸縮、面內(nèi)剪切、面外剪切和彎曲變形.Yasuda 等[24,50]還在三浦折紙的基礎(chǔ)上提出了Tachi-Miura polyhedron (TMP)結(jié)構(gòu) (圖3(d)),其也保持了剛性可折平性.上述這些4°頂點(diǎn)折紙及其堆疊結(jié)構(gòu)在超材料開發(fā)方面得到了廣泛的關(guān)注[23-24,50-51].

水彈(waterbomb)是一種具有更高度數(shù)頂點(diǎn)的折痕圖,包含8°頂點(diǎn)或6°頂點(diǎn),均具有剛性可折性.其中,8°頂點(diǎn)waterbomb 折痕圖由4 條山折痕和4 條谷折痕交錯(cuò)排列構(gòu)成(圖3(e)),而6°頂點(diǎn)waterbomb 折痕圖是由4 條山折痕和2 條谷折痕構(gòu)成(圖3(f))[52].通過周期性排列6°頂點(diǎn)waterbomb單元,可以折疊成著名的“魔力折紙球”(magic origami ball)(圖3(f))[17].

圖3 常見的折紙結(jié)構(gòu)的折痕圖和三維構(gòu)型Fig.3 Crease patterns and 3D configurations of classical origami structures

Yoshimura[53]折痕圖(有時(shí)也命名為鉆石折痕圖(diamond pattern))同樣隸屬于6°頂點(diǎn)折痕圖,其最早發(fā)現(xiàn)于薄壁圓筒在軸向壓力下屈曲失穩(wěn)形成的圖案.Yoshimura 折痕圖表現(xiàn)為沿對(duì)角線折疊的菱形,且對(duì)角線的折痕全部為山折痕或谷折痕(圖3(g))[54].Yoshimura 折紙屬于剛性可折折紙,其同時(shí)具有可展平性、可折平性,且具有多個(gè)獨(dú)立的折疊自由度.將Yoshimura 折紙單元在平面兩個(gè)方向上排布并將兩側(cè)的邊界重合黏接,可以形成Yoshimura 柱狀結(jié)構(gòu).與Yoshimura 折紙不同,Yoshimura 柱狀結(jié)構(gòu)不再保持剛性可折[1],但有望應(yīng)用于航天可展結(jié)構(gòu).

與Yoshimura 折紙類似,Kresling 折紙(Kresling origami)(有時(shí)也命名為對(duì)角折紙(diagonal origami)、三角圓柱折紙(triangulated cylindrical origami)等)[33,55-57]來源于薄壁圓柱受軸向壓縮和扭屈時(shí)屈曲形成的圖案.Kresling 折痕圖由平行四邊形構(gòu)成,每個(gè)平行四邊形的對(duì)角線上布置有相同山折痕或谷折痕.將Kresling 折紙單元在平面上排布并將兩側(cè)的邊界重合粘接,也可以形成Kresling 柱狀結(jié)構(gòu),其也丟失了剛性可折性.在容許折面發(fā)生變形的情況下,Kresling 柱狀結(jié)構(gòu)在折疊過程中表現(xiàn)出顯著的拉壓和扭轉(zhuǎn)耦合的變形模式[58].

1.3 折紙超材料構(gòu)成:平鋪和堆疊

將折紙結(jié)構(gòu)作為一個(gè)單胞在平面上依照某種平移對(duì)稱的方式進(jìn)行平鋪(tessellation),可以構(gòu)成平面折紙薄板,其被廣泛用于三明治板材的核心[59].典型的代表包括三浦折紙、waterbomb 折紙[52]、Ron-Resch 折紙[60]等.此外,如圖3(f)～ 圖3(h)所示,6°頂點(diǎn)waterbomb 折紙、Yoshimura 折紙和Kresling折紙等,都可以進(jìn)行平面平鋪,并通過連接邊界折痕形成柱狀結(jié)構(gòu).

進(jìn)一步地,將相同的平面折紙薄板在另一個(gè)維度進(jìn)行堆疊(stacking),可以構(gòu)成空間拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),成為折紙超材料.通過調(diào)整幾何設(shè)計(jì),可以對(duì)折紙超材料在3 個(gè)主軸方向上幾何和力學(xué)特性進(jìn)行調(diào)控.最早的堆疊結(jié)構(gòu)案例包括三浦折紙堆疊(stacked miuraori,SMO) 結(jié)構(gòu)[23](圖3(c)) 和TMP 堆疊結(jié)構(gòu)[24,50](圖3(d)).經(jīng)過堆疊,SMO 和TMP 超材料依然保持了可折平性和剛性可折性,因此,三浦折紙單胞和TMP 折紙單胞的很多特性在堆疊結(jié)構(gòu)中獲得了保留.

將不同的平面折紙薄板進(jìn)行堆疊需要額外的約束條件,以確保在剛性折疊過程中,兩塊薄板不會(huì)發(fā)生脫離.例如,在連接兩個(gè)不同的4°頂點(diǎn)折紙單元時(shí),需要保證相連折痕的長(zhǎng)度相同、相關(guān)頂點(diǎn)之間的距離始終保持一致,相關(guān)折痕之間的角度也始終保持一致.通過考慮這些剛性折疊幾何約束,可以得到堆疊不同平面折紙薄板需要滿足的幾何相容性條件[22].具體地,兩個(gè)不同的三浦折紙單元也可以堆疊成為一個(gè)SMO 結(jié)構(gòu),其可以呈現(xiàn)出內(nèi)嵌(nested-in)和外凸(bulged-out)兩種拓?fù)洳煌臉?gòu)型,且依然保持剛性可折性和可折平性[23,27](圖3(c)).可折平的4°頂點(diǎn)折紙和具有一對(duì)共線折痕的4°頂點(diǎn)折紙也可以進(jìn)行堆疊,但是一般的4°頂點(diǎn)折紙無法進(jìn)行堆疊操作[22].

1.4 運(yùn)動(dòng)學(xué)和靜力學(xué)特性

由于無窮的幾何可設(shè)計(jì)性和豐富的折疊變形,折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料可以呈現(xiàn)出許多有異于傳統(tǒng)組分材料和工程結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和靜力學(xué)特性.折紙結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)超常規(guī)特性包括尺度無關(guān)特性、單自由度或有限自由度作動(dòng)特性等;靜力學(xué)超常規(guī)特性包括負(fù)泊松比、多穩(wěn)態(tài)、可編程剛度等.這些特性極大地豐富了折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用.下面簡(jiǎn)要介紹現(xiàn)有研究報(bào)道的折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的超常規(guī)運(yùn)動(dòng)學(xué)和靜力學(xué)特性,及其可能的應(yīng)用場(chǎng)景.

(1) 輕量化.折紙結(jié)構(gòu)可以由質(zhì)量很輕的二維材料(例如:紙張和塑料薄板等)通過折疊制成,這樣可以在保證剛度等性能的前提下顯著地降低結(jié)構(gòu)的整體質(zhì)量[61-63].基于這樣的優(yōu)點(diǎn),折紙結(jié)構(gòu)被成功應(yīng)用于航天可展部件,既降低了發(fā)射質(zhì)量,又可以實(shí)現(xiàn)巨大的展開面積[64-65].輕量化的折紙結(jié)構(gòu)也為減少機(jī)器人自重、降低機(jī)器人開發(fā)成本提供了全新的方案,學(xué)者們提出了許多具有可重構(gòu)、自折疊特性的機(jī)器人設(shè)計(jì),并已成為未來機(jī)器人發(fā)展的重要方向之一[6,16-17,66].

(2) 尺度無關(guān)性.折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的尺度無關(guān)性是指:將折痕圖放大到結(jié)構(gòu)尺寸或縮小到微納級(jí)別大小時(shí)由折疊所誘發(fā)的特性不會(huì)改變.因此,理論上,折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料可以在不改變運(yùn)動(dòng)學(xué)性能的前提下應(yīng)用到不同尺度的結(jié)構(gòu)中,小至納米尺度的 DNA Origami[67],大至超大型空間可展開結(jié)構(gòu)[15,64].然而,在實(shí)際應(yīng)用中,折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的尺寸會(huì)受到加工和慣性的影響:微納級(jí)別的折紙超材料對(duì)制作工藝和保持可折疊性提出了很高挑戰(zhàn)[10,68],而過大的折紙結(jié)構(gòu)則會(huì)影響剛性可折性,在折疊過程中將無法忽略折面慣性對(duì)折疊運(yùn)動(dòng)的影響[69].

(3) 單自由度或有限自由度作動(dòng)特性.單自由度作動(dòng)特性是指僅需改變一個(gè)折疊角,就可以將剛性折紙結(jié)構(gòu)從初始的展開狀態(tài)轉(zhuǎn)變到完全折疊狀態(tài).對(duì)于單自由度折紙結(jié)構(gòu)而言,盡管存在多個(gè)折疊角,但是這些角度間存在著運(yùn)動(dòng)學(xué)約束,僅有一個(gè)折疊角是獨(dú)立的.因此,單自由度折紙結(jié)構(gòu)從展開狀態(tài)到完全折疊狀態(tài)之間只存在一條折展路徑,可以僅用一個(gè)折疊角予以描述.三浦折紙及相關(guān)的SMO 堆疊結(jié)構(gòu)就屬于單自由度作動(dòng)類型[23].有限自由度作動(dòng)特性是指可以通過調(diào)整多個(gè)折疊角改變剛性折紙結(jié)構(gòu)的構(gòu)型,這些折疊角的變化相互獨(dú)立.因此,需要有限多個(gè)折疊角才可以描述有限自由度折紙結(jié)構(gòu)在折疊過程中的構(gòu)型變化[70].針對(duì)一般性的剛性折疊折紙結(jié)構(gòu),已有相關(guān)研究給出了基于鄰接矩陣(adjacent matrix)計(jì)算自由度數(shù)目的方法[71].6° 水彈折紙結(jié)構(gòu)就屬于有限自由度作動(dòng)類型,其具有3 個(gè)折疊自由度,但通過施加對(duì)稱性約束,其自由度可以縮減到一個(gè)[52].事實(shí)上,折紙結(jié)構(gòu)雖然常具有復(fù)雜的幾何形狀,但卻可以通過單自由度或有限自由度作動(dòng)實(shí)現(xiàn)構(gòu)型切換,極大地減少了對(duì)驅(qū)動(dòng)器數(shù)目的需求,降低了驅(qū)控的難度.

(4) 負(fù)泊松比.泊松比定義為負(fù)的材料橫向應(yīng)變與縱向應(yīng)變之比,因此負(fù)泊松比表示材料受縱向拉伸時(shí)在橫向方向上發(fā)生膨脹,而在縱向受壓縮時(shí)在橫向發(fā)生收縮.對(duì)于剛性折紙結(jié)構(gòu)而言,其負(fù)泊松比特性可以通過運(yùn)動(dòng)學(xué)分析精確得到.三浦折紙結(jié)構(gòu)具有負(fù)的面內(nèi)泊松比特性:在平面內(nèi)沿一個(gè)方向拉伸三浦折紙結(jié)構(gòu),其在與之垂直的方向上也發(fā)生伸長(zhǎng)(圖4(a)).這樣的負(fù)泊松比特性使得三浦折疊可以用于調(diào)控微孔結(jié)構(gòu)中彈性波的傳播[72].有趣的是,在面外彎曲時(shí)三浦折紙將呈現(xiàn)出馬鞍形,即正的面外泊松比,這種正、負(fù)泊松比組合的情況在其他材料中比較少見[23,73].此外,TMP 堆疊結(jié)構(gòu)在折疊過程中,還將發(fā)生泊松比符號(hào)的切換[24].值得指出的是,負(fù)泊松比在折紙結(jié)構(gòu)中普遍存在,如4°頂點(diǎn)折紙單元[22]和水彈折紙結(jié)構(gòu)[74]等.

圖4 折紙結(jié)構(gòu)的超常規(guī)運(yùn)動(dòng)學(xué)和靜力學(xué)特性[23,28,30,83]Fig.4 Extraordinary kinematic and mechanical properties of origami structures[23,28,30,83]

(5) 多穩(wěn)態(tài).多穩(wěn)態(tài)是指結(jié)構(gòu)具有兩個(gè)及以上的穩(wěn)定平衡位置,在外力作用下,結(jié)構(gòu)可以在這些位置間切換,而撤去外力時(shí),結(jié)構(gòu)可以穩(wěn)定地維持在這些位置.這樣的特性使得多穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)能夠適應(yīng)于不同的環(huán)境而無需持續(xù)的外部能量輸入.多穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)有著多種多樣的應(yīng)用,例如傳感、振動(dòng)控制和能量收集等[75].折紙結(jié)構(gòu)的多穩(wěn)態(tài)來源于剛性折疊時(shí)折疊角之間的幾何一對(duì)多關(guān)系(即剛性折疊多穩(wěn)態(tài)折紙結(jié)構(gòu)),或非剛性折疊時(shí)折面變形和折痕扭轉(zhuǎn)共同導(dǎo)致的非線性幾何關(guān)系(即非剛性折疊多穩(wěn)態(tài)折紙結(jié)構(gòu)).多穩(wěn)態(tài)折紙結(jié)構(gòu)可以誘發(fā)許多獨(dú)特的力學(xué)行為.例如,將折紙結(jié)構(gòu)從一個(gè)穩(wěn)定構(gòu)型切換至另一個(gè)穩(wěn)定構(gòu)型,當(dāng)通過它們之間的不穩(wěn)定構(gòu)型時(shí),將呈現(xiàn)出快速的“突彈跳躍(snap-through)”響應(yīng),并對(duì)應(yīng)于負(fù)的切線剛度(tangent stiffness).

計(jì)算折紙結(jié)構(gòu)的彈性勢(shì)能隨折疊過程的演化是分析折紙結(jié)構(gòu)是否具有多穩(wěn)態(tài)特性的重要方法.具體地,剛性折紙結(jié)構(gòu)的勢(shì)能僅來源于折痕彈性變形(即將折痕認(rèn)為是具有扭轉(zhuǎn)剛度的理想鉸鏈),利用折疊角之間的一對(duì)多映射關(guān)系,可以得到多個(gè)勢(shì)能局部極小值,分別對(duì)應(yīng)于多個(gè)穩(wěn)定構(gòu)型.例如,通過精心設(shè)計(jì),4°頂點(diǎn)折紙結(jié)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)2～5 個(gè)穩(wěn)定的平衡構(gòu)型[28](圖4(b)).6°頂點(diǎn)水彈折紙[76]和8°頂點(diǎn)leaf-out 折紙結(jié)構(gòu)[77]也可以是多穩(wěn)態(tài)的.堆疊也是形成剛性折疊多穩(wěn)態(tài)折紙結(jié)構(gòu)的有效方式.例如,通過調(diào)控幾何設(shè)計(jì)和無應(yīng)力初始構(gòu)型,TMP堆疊結(jié)構(gòu)可以呈現(xiàn)出雙穩(wěn)態(tài)特性[24];通過調(diào)控構(gòu)成SMO 結(jié)構(gòu)的兩個(gè)三浦折紙單胞的折痕剛度,SMO結(jié)構(gòu)也將具有雙穩(wěn)態(tài)[27];通過改變堆疊方式,SMO變體結(jié)構(gòu)還有可能在彎曲和傾斜方向上呈現(xiàn)出多穩(wěn)態(tài)[29].

非剛性折紙結(jié)構(gòu)的勢(shì)能來源于折面和折痕的彈性變形.相比于剛性折紙結(jié)構(gòu),非剛性折紙結(jié)構(gòu)折面的彈性變形將不可忽略,甚至可以從根本上改變折紙結(jié)構(gòu)整體的勢(shì)能特性.例如,Kresling 柱狀折紙結(jié)構(gòu)在軸向受壓時(shí),在折面彎曲變形和折痕扭轉(zhuǎn)變形共同作用下,將呈現(xiàn)出獨(dú)特的壓扭耦合雙穩(wěn)態(tài)特性[78].基于6°頂點(diǎn)waterbomb 單元開發(fā)的折紙球結(jié)構(gòu)也被證實(shí)具有三穩(wěn)態(tài)特性[17].此外,square-twist 折紙結(jié)構(gòu)在剛性折疊假設(shè)下不具有折疊自由度(即剛性不可折),但通過引入折面的彎曲變形,其“隱藏”的自由度被激活,呈現(xiàn)出了多穩(wěn)態(tài)特性[79].

(6) 自鎖和剛度跳躍.“自鎖(self-locking)”是指折紙結(jié)構(gòu)在沿著折痕剛性折疊的過程中折面發(fā)生接觸而不能被進(jìn)一步折疊,“鎖定”在它的最終非平面剛性構(gòu)型的現(xiàn)象[22,48].自鎖特性是4°頂點(diǎn)折紙的常見特征.在4°頂點(diǎn)折紙家族中,只有滿足Kawasaki-Justin 條件的一小部分折痕圖有可能被折平,而其余絕大多數(shù)4°頂點(diǎn)折紙結(jié)構(gòu)都將在剛性折疊過程中發(fā)生自鎖現(xiàn)象.

在剛性可折折紙的假設(shè)下,折面接觸后折紙結(jié)構(gòu)進(jìn)入“鎖定”狀態(tài),折紙結(jié)構(gòu)剛度將躍升至無窮大.但在實(shí)際中,構(gòu)成折紙結(jié)構(gòu)的材料具有有限的剛度,自鎖發(fā)生后,由于折面和折痕的彈性變形,折紙結(jié)構(gòu)可以被繼續(xù)折疊.但是,自鎖前后,折紙結(jié)構(gòu)的剛度具有完全不同的來源.自鎖之前,折紙結(jié)構(gòu)的剛度主要來源于折痕的扭轉(zhuǎn)剛度;自鎖之后,除了折痕的扭轉(zhuǎn)剛度,折面剛度對(duì)折紙結(jié)構(gòu)的整體剛度具有重要貢獻(xiàn).這樣的剛度來源變化將使得折紙結(jié)構(gòu)在自鎖構(gòu)型前后呈現(xiàn)出顯著的剛度差異,形成剛度跳躍[30](圖4(c)).自鎖和剛度跳躍特性對(duì)超材料和自適應(yīng)結(jié)構(gòu)的開發(fā)具有重要意義.例如,可以基于自鎖實(shí)現(xiàn)折紙超材料的分段剛度本構(gòu)[30].此外,還有學(xué)者基于三浦折紙,提出了一類具有膨脹、雙穩(wěn)定和自鎖特性的多孔超材料[80].將折紙結(jié)構(gòu)和形狀記憶合金材料耦合,也可以實(shí)現(xiàn)自鎖[81].折紙結(jié)構(gòu)的自鎖特性還被成功應(yīng)用于可折疊機(jī)械臂[16]、可展開空間吊桿結(jié)構(gòu)[82]等.

(7) 剛度可調(diào)性和可編程性.折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料可以通過3 種方式實(shí)現(xiàn)對(duì)剛度的調(diào)控.第一種方式中,考慮到折紙結(jié)構(gòu)在不同構(gòu)型時(shí)具有不同的切線剛度,因此可以通過折疊來實(shí)現(xiàn)剛度調(diào)節(jié).例如,由三浦折紙管狀結(jié)構(gòu)和“拉鏈?zhǔn)健惫軤罱Y(jié)構(gòu)組合而成的結(jié)構(gòu),在不同的折疊程度下具有顯著不同的切線剛度,表現(xiàn)為不同的特征值(圖4(d))[83].SMO 結(jié)構(gòu)在3 個(gè)主軸方向具有顯著不同的剛度本構(gòu),且也與折疊程度密切相關(guān)[84].這種基于折疊的大范圍剛度可調(diào)性,是折紙超材料區(qū)別于其他力學(xué)超材料的顯著優(yōu)勢(shì)之一.

另一種剛度調(diào)控的方式是利用折紙結(jié)構(gòu)單胞的自鎖和多穩(wěn)態(tài)特性實(shí)現(xiàn)折紙超材料整體剛度的可編程性.具體地,通過建立折紙結(jié)構(gòu)單胞的構(gòu)型與數(shù)字編碼(0,1 等)的關(guān)系,可以實(shí)現(xiàn)折紙超材料整體剛度的數(shù)字化調(diào)控.例如,通過調(diào)控構(gòu)成單胞的自鎖順序或穩(wěn)態(tài)構(gòu)型,可以實(shí)現(xiàn)對(duì)剛度本構(gòu)的編程[30,85];通過在線切換構(gòu)成單胞的穩(wěn)態(tài)構(gòu)型,可以實(shí)現(xiàn)對(duì)三浦折紙薄板整體剛度的在線編程[31].

第3 種調(diào)控剛度的方式來自于外部作動(dòng).例如,通過調(diào)節(jié)封閉折紙結(jié)構(gòu)內(nèi)部的氣壓,可以實(shí)現(xiàn)折紙結(jié)構(gòu)形狀變換和剛度調(diào)控[84].考慮到折紙結(jié)構(gòu)的剛性可折特性,這樣的形狀變換具有可恢復(fù)性,可以用于開發(fā)可重復(fù)使用的能量收集裝置[84,86].磁鐵也是調(diào)控折紙結(jié)構(gòu)剛度的有效方式.將折疊彈性勢(shì)能和磁力勢(shì)能耦合,可以定性或定量地改變折紙結(jié)構(gòu)的本構(gòu)特性,例如,通過電磁鐵實(shí)現(xiàn)Kresling 柱狀折紙結(jié)構(gòu)在單穩(wěn)態(tài)和多穩(wěn)態(tài)之間的切換[87].在squaretwist 折紙結(jié)構(gòu)中,折面變形程度決定了系統(tǒng)自由度的多少,通過溫度調(diào)控折面剛度,可以使squaretwist 折紙結(jié)構(gòu)在剛性單穩(wěn)態(tài)和非剛性多穩(wěn)態(tài)間切換,從而實(shí)現(xiàn)主動(dòng)重構(gòu)[88].

2 動(dòng)力學(xué)建模方法

除了上述運(yùn)動(dòng)學(xué)和靜力學(xué)特性,折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的動(dòng)力學(xué)研究受到越來越多的關(guān)注.從研究方法出發(fā),折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料動(dòng)力學(xué)研究可以分為3 類:基于模型的動(dòng)力學(xué)研究、基于有限元的動(dòng)力學(xué)研究和動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)研究.這其中,基于模型的動(dòng)力學(xué)研究具有基礎(chǔ)性和核心性地位,其計(jì)算效率較高,可以用于預(yù)測(cè)折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的動(dòng)力學(xué)行為,并為動(dòng)力學(xué)性能優(yōu)化提供依據(jù).

基于模型的動(dòng)力學(xué)研究的基礎(chǔ)是建立準(zhǔn)確、可靠、可處理的動(dòng)力學(xué)模型,這需要根據(jù)研究目的提取折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的關(guān)鍵特征,簡(jiǎn)化一些次要特征.根據(jù)建模的主要假設(shè)和依據(jù),折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的動(dòng)力學(xué)建模方法分為:空間桁架等效動(dòng)力學(xué)建模方法、非線性彈簧等效動(dòng)力學(xué)建模方法、基于廣義哈密頓原理的等效動(dòng)力學(xué)建模方法和數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)動(dòng)力學(xué)建模方法.下面,分別介紹上述方法,并分析所建立的動(dòng)力學(xué)模型的合理性和可處理性.此外,本節(jié)也對(duì)邊界約束和折面接觸的處理方法,以及幾何、物理參數(shù)的辨識(shí)方法進(jìn)行討論,它們對(duì)建立動(dòng)力學(xué)模型具有重要意義.

2.1 空間桁架等效動(dòng)力學(xué)建模

空間桁架等效動(dòng)力學(xué)建模方法對(duì)于剛性不可折、部分剛性可折和完全剛性可折的折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料均適用,下面分別介紹.

針對(duì)剛性不可折折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料,在建立空間桁架等效動(dòng)力學(xué)模型時(shí),一般遵循如下假設(shè):忽略折面;將折痕等效為可以軸向變形的無質(zhì)量連桿,并在節(jié)點(diǎn)處用鉸鏈連接;結(jié)構(gòu)的上下端面保持剛性.隨后,通過建立上下端部面板的慣性張量以及桁架對(duì)端部面板施加的力和力矩,可以采用牛頓-歐拉方法建立結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程.Kresling 折紙結(jié)構(gòu)是典型的剛性不可折結(jié)構(gòu),其由水平折痕、垂直折痕和對(duì)角折痕組成.基于上述思路并考慮阻尼因素,Kidambi和Wang[33]建立了6 自由度(3 個(gè)位移分量pB0/A0,3 個(gè)歐拉角 ω) Kresling 折紙結(jié)構(gòu)的空間桁架等效動(dòng)力學(xué)模型(圖5(a))

其中,FBi和GBi分別表示桁架對(duì)上端面板施加的力矢量和扭矩矢量;mB,R和IB0分別表示上端面板的質(zhì)量、旋轉(zhuǎn)張量和慣性張量.類似地,Yasuda 和Yang[89]利用線性彈簧替代折痕,也建立了Kresling 折紙結(jié)構(gòu)的空間桁架等效動(dòng)力學(xué)模型.由于忽略了折面的存在,這樣的模型無法描述折面的彎曲變形,但桁架連桿長(zhǎng)度的變化所引起的等效折面伸縮和剪切變形依然可以用于分析力學(xué)響應(yīng)[26].此外,通過將折痕描述為可以發(fā)生伸縮變形的連桿/線性彈簧,桁架結(jié)構(gòu)的勢(shì)能可以簡(jiǎn)單地表示為桁架中連桿/線形彈簧長(zhǎng)度改變量的函數(shù),極大地簡(jiǎn)化了分析,易于給出桁架處的作用力和力矩.通過忽略Kresling 折紙結(jié)構(gòu)在軸外的變形,Yasuda 等[39]建立了2 自由度空間桁架等效動(dòng)力學(xué)模型(圖5(b)).該模型考慮了不同長(zhǎng)度折痕線剛度的差異,并通過扭轉(zhuǎn)彈簧模擬折面繞上下端面的旋轉(zhuǎn).通過建立Kresling 折紙結(jié)構(gòu)軸向變形和旋轉(zhuǎn)變形間的關(guān)系并予以線性化,該2 自由度模型可以被進(jìn)一步簡(jiǎn)化為單自由度等效動(dòng)力學(xué)模型.Kidambi 和Wang[33]在研究中指出,他們建立的6 自由度動(dòng)力學(xué)模型在退化情況下與Yasuda 等[39]建立的2 自由度模型等價(jià).

圖5 折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料空間桁架等效動(dòng)力學(xué)模型[33,39,90-92]Fig.5 Truss-based equivalent dynamic models of origami structures and origami metamaterials[33,39,90-92]

某些折紙結(jié)構(gòu)理論上具有剛性可折性,但基于不同材料制備的試樣在折疊過程中,折面將有可能發(fā)生不同程度的彎曲變形,成為部分剛性可折.處理折面彎曲的一種方式是在折面上添加沿對(duì)角線的虛擬折痕,將四邊形折面拆分為兩個(gè)三角形折面.針對(duì)這樣由三角形折面、折痕和虛擬折痕構(gòu)成的折紙結(jié)構(gòu),也可以建立相應(yīng)的空間桁架等效動(dòng)力學(xué)模型.建模的基本假設(shè)是:忽略折面;將折面的質(zhì)量均勻分布到三角形的3 個(gè)節(jié)點(diǎn)上;將折痕等效為無質(zhì)量的桁架連桿,但連桿上布置有扭轉(zhuǎn)彈簧,連桿在節(jié)點(diǎn)處用鉸鏈連接.于是,折紙結(jié)構(gòu)的折疊運(yùn)動(dòng)可以被描述為由繞連桿的旋轉(zhuǎn)鉸鏈構(gòu)成的柔性機(jī)構(gòu).為了區(qū)分繞折痕的折疊和折面的彎曲,對(duì)應(yīng)于折痕和虛擬折痕的連桿被賦予不同的扭轉(zhuǎn)剛度.隨后,通過考慮節(jié)點(diǎn)質(zhì)量、節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)處所受合力,可以建立結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型.針對(duì)三浦折紙結(jié)構(gòu)和雞蛋盒(eggbox)折紙結(jié)構(gòu),Pratapa 等[90]構(gòu)造了對(duì)應(yīng)的空間桁架(圖5(c)),通過建立質(zhì)量矩陣并利用虛功原理建立剛度矩陣,得到了三浦折紙和雞蛋盒折紙的空間桁架等效動(dòng)力學(xué)模型.Bhovad 和Li[91]根據(jù)等效節(jié)點(diǎn)質(zhì)量mp以及作用在節(jié)點(diǎn)上的連桿拉伸力、折痕/面彎曲力、等效阻尼力、外部驅(qū)動(dòng)力和重力mp g(圖5(d)),基于牛頓第二定律給出了關(guān)于節(jié)點(diǎn)p的位移的等效動(dòng)力學(xué)方程

其中上標(biāo) (j) 表示數(shù)值計(jì)算中第j個(gè)時(shí)間步.

針對(duì)剛性可折折紙結(jié)構(gòu),空間桁架模型可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為只容許一維運(yùn)動(dòng)的連桿結(jié)構(gòu),以抓住結(jié)構(gòu)的剛性可折和單自由度作動(dòng)特性.Yasuda 等[92-93]通過這樣的思路對(duì)TMP 結(jié)構(gòu)進(jìn)行了等效動(dòng)力學(xué)建模.建模的基本假設(shè)是:將TMP 折紙結(jié)構(gòu)的整體折疊運(yùn)動(dòng)等效為兩個(gè)代表性折面的折疊運(yùn)動(dòng),并進(jìn)一步用兩根剛性桿(圖5(e)中紅色線段)的相對(duì)折疊運(yùn)動(dòng)等效折面的折疊運(yùn)動(dòng);兩根連桿用鉸鏈和扭轉(zhuǎn)彈簧相連;折紙單胞的質(zhì)量均勻分布于兩根連桿上;一根連桿與地面鉸接,另一根連桿通過滾子關(guān)節(jié)支撐,以確保該雙連桿系統(tǒng)只能發(fā)生一個(gè)方向的平移.通過分析剛性連桿的運(yùn)動(dòng),第j個(gè)TMP 單元的動(dòng)力學(xué)方程可以通過虛功原理給出[92]

其中,rj是由兩根連桿的質(zhì)心坐標(biāo)及方向角形成的的向量,和fj分別表示對(duì)應(yīng)的質(zhì)量矩陣和外力矢量.在此基礎(chǔ)上,Yasuda 等[92,94]還建立了由N個(gè)TMP 單元構(gòu)成的超材料的動(dòng)力學(xué)模型

其中,Φ 表示坐標(biāo)變換矩陣,M?和f分別表示整體質(zhì)量矩陣和力矢量,q則表示廣義坐標(biāo)矢量.

上述空間桁架等效動(dòng)力學(xué)建模方法針對(duì)剛性不可折、部分剛性可折和完全剛性可折折紙結(jié)構(gòu),采用了不同的建模假設(shè).從動(dòng)力學(xué)模型的合理性和可處理性角度來看:

(1)通過把非剛性折疊行為等效為連桿的拉伸/壓縮行為,極大地簡(jiǎn)化了折紙結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)建模過程,獲得的動(dòng)力學(xué)模型也具有較高的可處理性.但是,在折疊過程中,空間桁架模型忽略了折紙結(jié)構(gòu)的一些關(guān)鍵特性,如折面的慣性、折面的彎曲變形、折面繞折痕的剛性旋轉(zhuǎn)等.

(2)針對(duì)部分剛性可折的折紙結(jié)構(gòu),繞折痕的折疊行為和折面彎曲行為被等效描述為連桿的拉伸壓縮、折面繞折痕和虛擬折痕的旋轉(zhuǎn).這樣建立的模型考慮了折面的慣性,繞折痕的旋轉(zhuǎn)和折面的彎曲也可以通過賦予折痕和虛擬折痕不同的扭轉(zhuǎn)剛度予以區(qū)分.但是,這樣的建模方法需要將折面三角化,在折紙結(jié)構(gòu)模型較為復(fù)雜時(shí)將導(dǎo)致可處理性變差.

(3)針對(duì)完全剛性可折的折紙結(jié)構(gòu),一維連桿模型準(zhǔn)確地體現(xiàn)了剛性折疊和單自由度作動(dòng)特性,模型簡(jiǎn)單且計(jì)算效率較高,特別適用于小振幅的波動(dòng)力學(xué)問題.但這樣的動(dòng)力學(xué)模型對(duì)折面的慣性簡(jiǎn)化過度,完全丟棄了折紙結(jié)構(gòu)的大變形折疊特征,無法分析大振幅動(dòng)力學(xué)行為.

2.2 非線性彈簧等效動(dòng)力學(xué)建模

非線性彈簧等效動(dòng)力學(xué)建模方法僅僅考慮折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料沿著折疊變形方向的直線平移運(yùn)動(dòng),將折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料整體等效為非線性彈簧-阻尼模型或非線性彈簧-質(zhì)量-阻尼模型.前者忽略了折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料自身的質(zhì)量,但需要在模型中考慮添加在端部的集中載荷;而后者則將折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的質(zhì)量等效為單元間的集中質(zhì)量.通過能量法或準(zhǔn)靜態(tài)拉壓測(cè)試,可以得到等效非線性彈簧的本構(gòu)關(guān)系,并進(jìn)而基于牛頓第二定律建立動(dòng)力學(xué)模型.目前,已有SMO 單胞結(jié)構(gòu)、SMO 超材料、流體折紙(fluidic origami)結(jié)構(gòu)和TMP 超材料等建立了非線性彈簧等效動(dòng)力學(xué)模型.

通過能量法推導(dǎo)等效非線性彈簧的本構(gòu)關(guān)系常用于剛性可折折紙結(jié)構(gòu).對(duì)于剛性可折折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料,折痕被看作是具有扭轉(zhuǎn)剛度的理想鉸鏈,通過計(jì)算所有折痕處儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能即可以得到折紙結(jié)構(gòu)整體的勢(shì)能.將勢(shì)能(P)對(duì)折疊變形的位移(H)求導(dǎo),可以導(dǎo)出折紙結(jié)構(gòu)的力-位移本構(gòu)關(guān)系

Sadeghi 等[95]將TMP 折紙結(jié)構(gòu)等效為非線性彈簧和阻尼,并利用虛功原理分析了TMP 管狀結(jié)構(gòu)沿長(zhǎng)度方向的反作用力.邱海等[96]將 SMO 雙胞串聯(lián)結(jié)構(gòu)建模為等效彈簧-阻尼模型,并附加兩個(gè)集中質(zhì)量,然后使用12 次多項(xiàng)式擬合了由能量法得到的非線性彈簧本構(gòu)關(guān)系.Zhang 等[38]用兩種不同的15 階多項(xiàng)式擬合了SMO 單胞在內(nèi)嵌和外凸兩種不同拓?fù)錁?gòu)型下的力-位移本構(gòu)關(guān)系(表示為Fin和Fout,多項(xiàng)式系數(shù)為 αj和βj(j=1,2,···,15),并把SMO 單胞在長(zhǎng)度、寬度和高度方向分別周期堆疊后形成的SMO 超材料建模為串聯(lián)非線性彈簧-質(zhì)量振子(圖6(a));例如,在高度方向(具有雙穩(wěn)態(tài))上,如果將連續(xù)的3 個(gè)外凸-外凸-內(nèi)嵌SMO 單胞作為一個(gè)基本單元,則第p個(gè)基本單元的動(dòng)力學(xué)方程可以表示為

其中,z[p]i,i=1,2,3 表示第p個(gè)基本單元中第i個(gè)SMO 單胞的位移,Hin和Hout是SMO 單胞在兩種不同拓?fù)浞€(wěn)定構(gòu)型下的長(zhǎng)度.

除了折痕處儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能,外界物理場(chǎng)和作動(dòng)因素也會(huì)影響折紙結(jié)構(gòu)整體的勢(shì)能.Fang 等[87]將耦合有磁鐵的SMO 單胞等效為無質(zhì)量非線性彈簧和粘性阻尼,基于理論模型計(jì)算了包含磁勢(shì)能和折痕彈性勢(shì)能的本構(gòu)關(guān)系,并通過27 階多項(xiàng)式對(duì)理論本構(gòu)關(guān)系進(jìn)行了擬合(圖6(b)).流體折紙結(jié)構(gòu)可以通過調(diào)控內(nèi)部流體壓力改變本構(gòu),Sadeghi 和Li[18]將其等效為非線性彈簧和阻尼,并用多項(xiàng)式擬合了在內(nèi)部壓力作用下的力-位移本構(gòu)關(guān)系.

圖6 折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的非線性彈簧等效動(dòng)力學(xué)模型[27,38,87,92]Fig.6 Nonlinear spring-based equivalent dynamic models of origami structures and origami metamaterials[27,38,87,92]

此外,2.1 節(jié)中介紹的TMP 結(jié)構(gòu)的一維等效連桿模型也可以被進(jìn)一步簡(jiǎn)化描述為非線性彈簧-質(zhì)量振子.Yasuda 等[92]將TMP 結(jié)構(gòu)的的力-位移本構(gòu)關(guān)系(具有應(yīng)變軟化特征)通過多項(xiàng)式進(jìn)行擬合(圖6(c)),并施加一個(gè)拉伸方向的位移偏移量,以使非線性彈簧-質(zhì)量振子模型在受壓和受拉區(qū)域都可以近似雙連桿模型的力-位移本構(gòu)關(guān)系.為了分析在平衡位置附近的小振幅運(yùn)動(dòng),還可以在小位移假設(shè)下對(duì)力-位移本構(gòu)關(guān)系進(jìn)行線性化,從而建立單個(gè)TMP結(jié)構(gòu)和多個(gè)TMP 鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)的線性彈簧-質(zhì)量振子等效模型.

準(zhǔn)靜態(tài)拉壓實(shí)驗(yàn)可以直接得到折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的力-位移本構(gòu)關(guān)系.Fang 等[27]對(duì)SMO 單胞進(jìn)行了簡(jiǎn)諧位移激勵(lì),發(fā)現(xiàn)SMO 單胞的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)具有明顯的二次和三次諧波項(xiàng),意味著SMO 單胞結(jié)構(gòu)包含顯著的平方和立方非線性特征.為此,可以對(duì)由準(zhǔn)靜態(tài)拉壓實(shí)驗(yàn)得到的力-位移本構(gòu)關(guān)系進(jìn)行三階多項(xiàng)式擬合,并確保SMO 單胞的兩個(gè)穩(wěn)定平衡位置(z=z1和z=z2) 和一個(gè)不穩(wěn)定平衡位置(z=z0)對(duì)應(yīng)于力-位移本構(gòu)本構(gòu)關(guān)系的3 個(gè)零點(diǎn)(圖6(d)),由此得到SMO 單胞的非線性彈簧-阻尼-質(zhì)量振子動(dòng)力學(xué)模型

其中y表示位移激勵(lì).Fang 等[30]還在折紙結(jié)構(gòu)中發(fā)現(xiàn)了由自鎖行為引起的分段剛度本構(gòu),提出了具有雙向限位功能的自鎖折紙超材料,并通過組合彈簧模型來近似自鎖折紙超材料的分段剛度本構(gòu),其中,組合彈簧的剛度通過準(zhǔn)靜態(tài)實(shí)驗(yàn)或有限元仿真得到.

上述非線性彈簧等效動(dòng)力學(xué)建模方法可以準(zhǔn)確地描述折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料整體的力-位移本構(gòu)關(guān)系,包括分段線性剛度、多穩(wěn)態(tài)和磁彈耦合等復(fù)雜情況.因此,通過非線性彈簧等效動(dòng)力學(xué)建模方法得到的動(dòng)力學(xué)方程一般有著較為簡(jiǎn)單的形式.此外,使用多項(xiàng)式函數(shù)對(duì)折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的非線性本構(gòu)關(guān)系進(jìn)行擬合有助于實(shí)現(xiàn)計(jì)算精度與計(jì)算效率的平衡.但是,非線性彈簧等效動(dòng)力學(xué)建模方法也存在著較大的局限性.首先,非線性彈簧等效模型通常忽略折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料整體的慣性,或?qū)⑵涞刃轭~外的集中質(zhì)量;這樣的模型無法描述折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料自身質(zhì)量無法忽略時(shí)的動(dòng)力學(xué)行為.其次,通過多項(xiàng)式擬合本構(gòu)關(guān)系時(shí),多項(xiàng)式的階數(shù)會(huì)對(duì)準(zhǔn)確性與可處理性產(chǎn)生顯著影響,如何選擇多項(xiàng)式的階數(shù)是一個(gè)值得探討的問題;過高的階數(shù)將顯著降低模型的可處理性,而過低的階數(shù)將無法抓取本構(gòu)關(guān)系的重要特征.再次,非線性彈簧等效模型通常無法處理存在不理想因素時(shí)的情況,例如由于不理想折痕引起的非折疊方向的振動(dòng).

2.3 基于廣義哈密頓原理的動(dòng)力學(xué)建模

基于廣義哈密頓原理對(duì)折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料進(jìn)行建模是一種更具普遍性和準(zhǔn)確性的動(dòng)力學(xué)建模方法.在該方法中,首先需要推導(dǎo)結(jié)構(gòu)的動(dòng)能、勢(shì)能和非保守力所做虛功,隨后代入廣義哈密頓原理,得到一般形式的拉格朗日方程

其中,K和P分別表示折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的動(dòng)能與勢(shì)能,Q和q則分別為非保守廣義力矢量與廣義坐標(biāo)矢量.折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的動(dòng)能、勢(shì)能獲取方法主要有兩類:模型簡(jiǎn)化方法和基于剛性折疊的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析方法,下面分別介紹.最后,對(duì)文獻(xiàn)中出現(xiàn)的不同類型廣義力進(jìn)行介紹.

模型簡(jiǎn)化方法是指將折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料進(jìn)行一定程度的簡(jiǎn)化,以便于求得動(dòng)能與勢(shì)能,大致可以細(xì)分為以下3 種.

第1 種是對(duì)折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的動(dòng)能計(jì)算進(jìn)行簡(jiǎn)化.例如,將折面質(zhì)量等效為折面質(zhì)心處的集中質(zhì)量,由此簡(jiǎn)化折面動(dòng)能的推導(dǎo).Sadeghi 和Li[74]在對(duì)waterbomb 折紙結(jié)構(gòu)建模時(shí),將三角形折面的質(zhì)量簡(jiǎn)化為折面質(zhì)心處的集中質(zhì)量,根據(jù)各個(gè)折面相對(duì)于中心頂點(diǎn)的關(guān)系得到了各個(gè)折面質(zhì)心的速度,由此求得了waterbomb 折紙結(jié)構(gòu)整體的動(dòng)能等效表達(dá)式 (圖7(a)).

第2 種是對(duì)折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的勢(shì)能計(jì)算進(jìn)行簡(jiǎn)化.例如將折痕折疊和折面彎曲等效為具有不同剛度的扭轉(zhuǎn)彈簧,從而將連續(xù)體的彈性勢(shì)能計(jì)算簡(jiǎn)化為理想彈簧的勢(shì)能計(jì)算.Soleimani 等[97]用6 個(gè)線性和扭轉(zhuǎn)彈簧來限制兩塊相連的四邊形折面在6 個(gè)自由度上的相對(duì)位移,并進(jìn)而對(duì)其折疊行為進(jìn)行建模描述.該系統(tǒng)的勢(shì)能包括折面彎曲儲(chǔ)存的應(yīng)變能(),折面邊界彈簧引起的勢(shì)能(),以及模擬折疊行為的耦合彈簧所引起的勢(shì)能(Pf)(圖7(b))

具體地,折面邊界彈簧勢(shì)能被等效為3 個(gè)線性彈簧和2 個(gè)扭轉(zhuǎn)彈簧(圖7(b)右下角),而折面的折疊行為則處理為3 個(gè)線性彈簧和3 個(gè)扭轉(zhuǎn)彈簧(圖7(b)右上角).此外,折紙結(jié)構(gòu)中的熱力學(xué)作動(dòng)也可以被等效建模為彈性勢(shì)能.例如,Fonseca 和Savi[98]研究了含有折紙輪結(jié)構(gòu)的機(jī)器人的非線性動(dòng)力學(xué)行為,并用2,4,6 階多項(xiàng)式近似擬合了形狀記憶合金(SMA)彈簧(其為折紙輪的作動(dòng)器)的勢(shì)能

圖7 折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料基于廣義哈密頓原理等效建模研究進(jìn)展[34,74,97,99-100,104]Fig.7 Equivalent dynamic modeling of origami structures and origami metamaterials based on generalized Hamilton principle[34,74,97,99-100,104]

其中,ci(i=1,2,3)為本構(gòu)模型參數(shù),TM表示臨界溫度,馬氏體在低于這個(gè)溫度時(shí)是穩(wěn)定的,u表示SMA彈簧的長(zhǎng)度變化量.針對(duì)非剛性可折三浦折紙管狀結(jié)構(gòu)展開時(shí)不同半單胞間的折疊差異,Wu 等[34]在相鄰半單胞間附加了扭轉(zhuǎn)彈簧,并用附加彈性勢(shì)能來建模和約束相鄰半單胞間的折疊差異.Zhou 等[99]也用類似的附加扭轉(zhuǎn)彈簧建模了SMO 雙胞串聯(lián)結(jié)構(gòu)中單胞間的非理想連接,并通過附加彈性勢(shì)能來約束兩個(gè)SMO 單胞的折疊差異(折疊差異通過兩個(gè)角度描述(圖7(c))).Liu 和Felton[36]針對(duì)由柔性鉸鏈和塑料折面構(gòu)成的折紙結(jié)構(gòu),發(fā)現(xiàn)其勢(shì)能可以通過計(jì)算從靜平衡構(gòu)型準(zhǔn)靜態(tài)地切換到不穩(wěn)定平衡點(diǎn)所做的功得到,即對(duì)準(zhǔn)靜態(tài)實(shí)驗(yàn)中的力矩積分得到.

第3 種是直接對(duì)折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料進(jìn)行結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化,以方便動(dòng)能和勢(shì)能的計(jì)算.最常見的是對(duì)折面通過有限單元法進(jìn)行建模,將折面的分布質(zhì)量等效為節(jié)點(diǎn)處的集中質(zhì)量,或通過折面的形函數(shù)得到集中質(zhì)量矩陣.Xia 等[100]將連續(xù)的三浦折紙薄板簡(jiǎn)化為連桿-節(jié)點(diǎn)集中質(zhì)量系統(tǒng)(圖7(d)),其系統(tǒng)動(dòng)能可以表示為節(jié)點(diǎn)動(dòng)能之和,系統(tǒng)勢(shì)能包括折面彎曲變形和折痕彎曲的能量,及連桿伸縮的彈性勢(shì)能.Zhang 等[101]將四邊形單元離散為兩個(gè)三角形單元,在三角形折面區(qū)域V上對(duì)形狀函數(shù)(幾何描述)進(jìn)行積分后得到三角形折面單元的一致質(zhì)量矩陣

其中 ρ 為體積密度,N為形狀函數(shù)矩陣.將兩個(gè)三角形單元的矩陣元素進(jìn)行組合,得到四邊形單元的一致質(zhì)量矩陣

其中I為三維單位矩陣,s表示三角形單元的面積.Yuan 等[102]基于絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法(absolute nodal coordinate formulation,ANCF)將折紙薄膜結(jié)構(gòu)離散為三角形單元,并通過單元的形狀函數(shù)矩陣求得三角形單元的動(dòng)能,在此基礎(chǔ)上通過連接矩陣推導(dǎo)出結(jié)構(gòu)整體動(dòng)能.除了上述基于有限單元思想的簡(jiǎn)化方法,也有研究直接將折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料簡(jiǎn)化為桁架和非線性彈簧組合的系統(tǒng),Han 等[103]建立了基于三浦折紙管狀結(jié)構(gòu)的準(zhǔn)零剛度隔振器,并將其等效為由四根連桿、一個(gè)水平彈簧和一個(gè)垂直彈簧構(gòu)成的系統(tǒng),極大地簡(jiǎn)化了動(dòng)能和勢(shì)能的計(jì)算.

基于剛性折疊的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析方法是指在剛性可折假設(shè)下,通過剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)明確折面上各點(diǎn)的速度,隨后通過柯尼希定理或積分方法推導(dǎo)折紙結(jié)構(gòu)或折紙超材料整體的動(dòng)能;折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的勢(shì)能包括折痕折疊彈性勢(shì)能和重力勢(shì)能,它們可以在剛性可折假設(shè)下基于上述簡(jiǎn)化分析方法求得.

具體地,折面的動(dòng)能可以進(jìn)一步分為平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能,因此,動(dòng)能的推導(dǎo)問題轉(zhuǎn)變?yōu)檎勖尜|(zhì)心速度、折面旋轉(zhuǎn)角速度和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算問題.例如,通過在折面質(zhì)心上建立質(zhì)心坐標(biāo)系(圖7(e)) 并根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系得到折面的質(zhì)心速度、繞質(zhì)心軸的角速度和旋轉(zhuǎn)張量,可以計(jì)算折面的動(dòng)能[104-105].當(dāng)折紙結(jié)構(gòu)的折面頂點(diǎn)被固定時(shí),折面的運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)為定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的形式;Liu 和Felton[36]在建立三浦折紙結(jié)構(gòu)構(gòu)型切換的動(dòng)力學(xué)模型時(shí)考慮了這種情形.折面速度積分方法首先將折面上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)用頂點(diǎn)坐標(biāo)表示,隨后對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得到該點(diǎn)的速度,并以此速度代表該點(diǎn)所在的微元的速度.通過計(jì)算微元的動(dòng)能并對(duì)整個(gè)折面積分可以得到整個(gè)折面的動(dòng)能.Wu 等[34]基于SMO 管狀結(jié)構(gòu)剛性折面上任意一點(diǎn)與頂點(diǎn)的位移關(guān)系(圖7(f)),確定了該點(diǎn)沿3 個(gè)主方向的速度分量,并通過折面速度積分法得到了折面和SMO 管狀結(jié)構(gòu)整體的動(dòng)能.類似地,Soleimani等[97]在每個(gè)折面上建立局部坐標(biāo)系,并推導(dǎo)折面上每個(gè)質(zhì)點(diǎn)在局部坐標(biāo)系中的位移分量,進(jìn)而求出該質(zhì)點(diǎn)處的速度分量并對(duì)折面積分求得整個(gè)結(jié)構(gòu)的動(dòng)能(圖7(b)).

在剛性可折假設(shè)下,折痕折疊時(shí)的彈性勢(shì)能是折紙結(jié)構(gòu)整體勢(shì)能的重要組成部分,其可以被描述為折痕處扭轉(zhuǎn)剛度和相對(duì)折疊二面角的函數(shù).基于此,研究者們給出了waterbomb 折紙結(jié)構(gòu)[74,104]和三浦折紙結(jié)構(gòu)[34]的彈性勢(shì)能.折紙結(jié)構(gòu)在構(gòu)型變化時(shí)折面的質(zhì)心相對(duì)高度會(huì)發(fā)生變化,從而改變重力勢(shì)能,但當(dāng)前折紙結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)研究中對(duì)重力勢(shì)能的關(guān)注較少.例如,在計(jì)算waterbomb 折紙結(jié)構(gòu)[74,104]和折紙輪結(jié)構(gòu)[98]的勢(shì)能時(shí),質(zhì)心改變引起的重力勢(shì)能改變都被計(jì)算在內(nèi),但其對(duì)動(dòng)力學(xué)行為的影響較小.

在基于廣義哈密頓原理建立折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的動(dòng)力學(xué)模型時(shí),非保守力對(duì)應(yīng)的廣義力必須予以考慮.目前主要關(guān)注的是阻尼力、主動(dòng)力和接觸力所對(duì)應(yīng)的廣義力,他們通常都通過虛功原理得到.在動(dòng)力學(xué)研究中,折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料中的阻尼因素不可忽略.當(dāng)前,主要考慮的阻尼類型有線性阻尼[74]、黏性阻尼[34,98,100,104-105]和比例阻尼[102].在動(dòng)力學(xué)研究中,主動(dòng)力也起著至關(guān)重要的作用,用以給系統(tǒng)提供外激勵(lì)或者改變初始構(gòu)型.常見的外激勵(lì)形式包括:簡(jiǎn)諧激勵(lì)[74,104-105]、沖擊力[98]和位移激勵(lì)[98,100]等.此外,為了限制系統(tǒng)的響應(yīng)在一定范圍內(nèi),有些研究還給出了對(duì)應(yīng)于幾何約束的廣義力[101,104-105].為了防止具有柔性的折面在運(yùn)動(dòng)過程中相互接觸,Yuan 等[102]還利用混合接觸模型定義了廣義接觸力.

基于廣義哈密頓原理的動(dòng)力學(xué)建模方法充分考慮了折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料本身的慣性、折面繞折痕的折疊運(yùn)動(dòng)、折面彈性形變等.模型推導(dǎo)中,根據(jù)折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料是否保持剛性可折性,動(dòng)能和勢(shì)能可以基于不同方法推導(dǎo)(例如剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系、模型等效簡(jiǎn)化、折面速度積分、實(shí)驗(yàn)本構(gòu)關(guān)系積分和有限元單元法等),得到的動(dòng)力學(xué)模型較為完備.但是,相較于桁架等效模型和非線性彈簧等效模型,基于廣義哈密頓原理的動(dòng)力學(xué)建模過程較為繁瑣,模型自由度明顯提高,造成計(jì)算復(fù)雜度較高,模型可處理性較低.此外,對(duì)于柔性特別顯著的折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料,其變形與剛性折疊迥異,需要通過有限單元離散來實(shí)現(xiàn)建模;為了保證計(jì)算精度,通常離散的單元數(shù)目眾多,方法本質(zhì)上已成為了有限元方法.

2.4 約束及接觸的處理

在對(duì)折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模時(shí),折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的邊界連接方式、相鄰單胞間的幾何和運(yùn)動(dòng)學(xué)約束、非剛性折紙或非零厚度折紙結(jié)構(gòu)中折面接觸與碰撞等問題常帶來許多挑戰(zhàn),值得深入研究.下面將對(duì)這幾個(gè)方向的研究進(jìn)展作簡(jiǎn)要介紹,其中部分工作雖未涉及動(dòng)力學(xué)建模,但這些關(guān)于折紙結(jié)構(gòu)邊界約束、折面厚度、折面接觸的研究對(duì)折紙結(jié)構(gòu)精細(xì)化動(dòng)力學(xué)建模具有重要的借鑒意義.

折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料邊界處的約束方式對(duì)整體性能具有較大影響.Terada 等[106]對(duì)不同邊界條件下三浦折紙結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與有限元結(jié)果進(jìn)行了比較.實(shí)驗(yàn)中,將三浦折紙的短邊夾緊會(huì)增大靠近約束部位的單胞的剛度(圖8(a));約束在幾何上的不對(duì)稱性,也會(huì)對(duì)橫向方向剛度產(chǎn)生較大影響,因此有必要考慮約束的方向性.注意到,在上述非線性彈簧等效動(dòng)力學(xué)建模中,通常僅考慮折紙結(jié)構(gòu)沿一個(gè)方向的運(yùn)動(dòng),因此邊界條件較為簡(jiǎn)單,主要包含固定邊界、位移激勵(lì)邊界以及自由邊界3 種類型.而在空間桁架等效動(dòng)力學(xué)建模和基于廣義哈密頓原理的動(dòng)力學(xué)建模中,限制某些頂點(diǎn)的全部或部分方向的位移則是普遍的處理方法.

圖8 折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料約束及折面接觸處理[102,106-107,110]Fig.8 Constraints and contact of origami structures and origami metamaterials

盡管剛性可折假設(shè)極大地簡(jiǎn)化了折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的建模與分析,但是折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料中常包含一些非剛性成分,并受到了越來越多研究者的關(guān)注.虛擬折痕就是一個(gè)最典型的例子,其將折面的彈性彎曲變形等效為兩個(gè)折面繞虛擬折痕的折疊變形.其次,不同折紙單胞之間的連接也常具有非剛性特征,并會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)性能產(chǎn)生較大影響.Fang等[107]研究了兩個(gè)SMO 單胞在高度方向上堆疊形成的雙胞串聯(lián)結(jié)構(gòu),用額外的彈性勢(shì)能來表征兩個(gè)單胞間共享折痕處連接方式的差異(圖7(c)).對(duì)于理想折痕連接,附加彈簧的剛度為無窮大,兩單胞SMO 串聯(lián)結(jié)構(gòu)退化為單自由度系統(tǒng);對(duì)于非理想折痕連接,附加彈簧的剛度為有限值;而對(duì)于剛性桿連接,附加彈簧的剛度為零,兩個(gè)單元的折疊變形完全獨(dú)立.研究表明,不同的附加彈簧剛度會(huì)顯著地改變雙胞串聯(lián)結(jié)構(gòu)的力-位移本構(gòu)關(guān)系,甚至實(shí)現(xiàn)機(jī)械二極管效應(yīng)(圖8(b)).Wu 等[34]在考慮SMO 管狀結(jié)構(gòu)不同單胞之間折疊差異時(shí)也用了類似的附加彈性勢(shì)能進(jìn)行等效建模.Zhang 等[108]在研究折紙關(guān)節(jié)的非剛性連接問題時(shí),基于板理論和扭轉(zhuǎn)彈簧模型預(yù)測(cè)了半剛性連接折紙關(guān)節(jié)的折疊剛度和彎曲變形.

在實(shí)際應(yīng)用中,折紙材料的厚度是一個(gè)無法回避的問題.一方面,折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料自身的質(zhì)量會(huì)隨著材料厚度的增加而增大.另一方面,較低的折面厚度會(huì)引起折面柔度增加,加大折面彎曲和扭轉(zhuǎn)的可能性.此外,有厚度的折面在折疊到一定程度時(shí)也會(huì)引起折疊性能的改變,如折疊自鎖的發(fā)生條件會(huì)改變,引起分段剛度本構(gòu)[30]等.當(dāng)前已有不少研究開始關(guān)注材料的厚度對(duì)折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料折疊變形和力學(xué)性能的影響,即厚板折紙研究.Yellowhorse 等[63]使用有限元模型對(duì)由厚板材料制成的剛性可折折紙管進(jìn)行了結(jié)構(gòu)優(yōu)化,討論了在不同長(zhǎng)度下的對(duì)稱和非對(duì)稱管的力學(xué)性能.Zhang 和Kawaguchi[109]利用廣義逆理論研究了重力與折紙厚度共存時(shí)厚板折紙結(jié)構(gòu)的折疊運(yùn)動(dòng).Zirbel 等[110]提出了兩種方式來實(shí)現(xiàn)厚板折紙的物理建模,即允許折面沿對(duì)角線折疊或在折痕處添加指定寬度的薄膜襯墊(圖8(c));基于此建立的模型已在厚板可展開太陽帆板中予以驗(yàn)證.Chen 等[111]提出了一種剛性厚板折紙結(jié)構(gòu)的綜合運(yùn)動(dòng)學(xué)模型,通過空間連桿運(yùn)動(dòng)模擬剛性折紙的球面連桿機(jī)構(gòu),再現(xiàn)了與零厚度折紙相同的折疊運(yùn)動(dòng).在計(jì)算方面,Zhu 和Filipov[112]提出可以通過調(diào)整折紙結(jié)構(gòu)數(shù)值計(jì)算模型中的參數(shù)來模擬折面厚度對(duì)接觸的影響.

在真實(shí)折疊運(yùn)動(dòng)和折疊的數(shù)值仿真中,折面都有可能與其他折面或頂點(diǎn)發(fā)生接觸與碰撞,主要原因有以下幾方面.首先,在實(shí)驗(yàn)中,某些折紙結(jié)構(gòu)不具有可折平性,它們的剛性折疊過程會(huì)由于折面與折面的接觸而終止[30];由于材料厚度不可忽略,厚板折紙?jiān)谡郫B過程中的接觸與碰撞現(xiàn)象更容易發(fā)生,例如發(fā)生折面邊界與其他折面的接觸,兩個(gè)折面邊界的接觸等.其次,折紙結(jié)構(gòu)的可折疊范圍有限,而數(shù)值計(jì)算模型無法避免這種情形,從而導(dǎo)致數(shù)值模型中折面與折面發(fā)生接觸與穿透,致使計(jì)算結(jié)果發(fā)散.針對(duì)這種情況,直接的解決辦法是在動(dòng)力學(xué)方程中增加邊界約束力,如前文提到的與邊界約束相關(guān)的廣義力[104-105]用以限制系統(tǒng)響應(yīng)范圍,表示為一個(gè)等效的彈性彈簧剛度,或者用運(yùn)動(dòng)學(xué)約束對(duì)限制進(jìn)行表示,并寫成運(yùn)動(dòng)學(xué)約束的廣義力形式[101].折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料折疊過程中頂點(diǎn)與折面或折面與折面之間的接觸碰撞問題也已經(jīng)引起了研究者的關(guān)注.Zhu 和Filipov[112]提出了一種在廣義折紙框架下模擬面板接觸的數(shù)值方法,用以分析接觸的發(fā)生和接觸引發(fā)的力學(xué)特性.具體地,在摩擦力不顯著的條件下,假設(shè)接觸力是保守的并對(duì)應(yīng)于一個(gè)勢(shì)能函數(shù);因此,當(dāng)頂點(diǎn)與折面非常接近時(shí),接觸勢(shì)能將導(dǎo)致一個(gè)很大的內(nèi)力矢量和剛度矩陣;距離接近零時(shí),內(nèi)力矢量和剛度矩陣都將趨向于無窮大,以防止穿透發(fā)生.Yuan 等[102]在研究折紙空間薄膜結(jié)構(gòu)展開的動(dòng)力學(xué)建模問題時(shí),采用了基于絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法的三角膜單元來解決薄膜幾何非線性和折疊問題,并提出將折面-折面(surface-to-surface,STS)接觸單元和節(jié)點(diǎn)-折面(node-to-surface,NTS) 接觸單元(圖8(d)) 混合使用以提高接觸碰撞問題的計(jì)算精度.

2.5 幾何與物理參數(shù)辨識(shí)

盡管已經(jīng)提出許多折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的動(dòng)力學(xué)建模方法,但注意到,這些建立的模型大多只能定性地預(yù)測(cè)和分析折紙結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)行為,無法定量地與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比照.部分原因在于,折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的動(dòng)力學(xué)行為與其物理參數(shù)和幾何參數(shù)息息相關(guān).對(duì)剛性折疊而言,其力與位移本構(gòu)關(guān)系主要與折痕的扭轉(zhuǎn)度剛度和相鄰折面間處于無應(yīng)力狀態(tài)時(shí)的角度相關(guān)[107,113];而對(duì)非剛性折疊來說,還涉及到折面材料的拉伸、彎曲和剪切以及折痕的彎曲模量[83,114].遺憾的是,這些參數(shù)往往很難通過簡(jiǎn)單的測(cè)量精確得到.沒有這些參數(shù)的準(zhǔn)確信息,獲得精確的折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料力學(xué)特性描述和動(dòng)力學(xué)行為預(yù)測(cè)將變得十分困難.因此,識(shí)別折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的幾何和物理參數(shù)對(duì)于靜、動(dòng)力學(xué)研究都具有重要意義.下面,對(duì)常見動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)方法在折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料上的適用性進(jìn)行分析,并對(duì)已有的折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)研究進(jìn)行綜述.

折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料常具有大變形和強(qiáng)幾何非線性等特征,會(huì)誘發(fā)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為,給動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)帶來困難.以剛性可折的雙穩(wěn)態(tài)SMO 結(jié)構(gòu)為例,實(shí)驗(yàn)中觀察到了包括小振幅阱內(nèi)振蕩、大振幅阱間穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和大振幅阱間混沌振蕩響應(yīng)等[27].在相同的激勵(lì)條件下,雙穩(wěn)態(tài)SMO 結(jié)構(gòu)有可能在不同初始條件下收斂到不同的穩(wěn)態(tài)響應(yīng).這樣的初始條件敏感性會(huì)加重現(xiàn)有的基于初值迭代的辨識(shí)方法的計(jì)算負(fù)擔(dān)[115-116].另一方面,折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料常具有全局強(qiáng)幾何非線性,有可能誘發(fā)全局混沌響應(yīng),而動(dòng)力學(xué)測(cè)量會(huì)不可避免地涉及噪聲,這使得在辨識(shí)過程中難以分離噪聲和混沌信號(hào).一些傳統(tǒng)的非線性系統(tǒng)時(shí)域辨識(shí)方法依賴于離散數(shù)據(jù)和他們的高階導(dǎo)數(shù)來建立回歸矩陣[117],然后通過最小二乘方法,可以很方便地求解得到最優(yōu)辨識(shí)參數(shù).研究指出,在采樣時(shí)間趨于零的情況下,利用差分算子可以將連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)等價(jià)為離散時(shí)間系統(tǒng),這使得前者也能像后者一樣擁有良好的回歸形式,取得高效的辨識(shí)結(jié)果[118].但是注意到該算法需要不斷對(duì)離散測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)值差分,將不可避免地導(dǎo)致噪聲放大,從而造成辨識(shí)結(jié)果偏差.由此,學(xué)者們提出了一系列降噪[119-121]和消除偏差[122]的方法,但考慮到雙穩(wěn)態(tài)SMO 結(jié)構(gòu)對(duì)噪聲敏感且可以呈現(xiàn)混沌響應(yīng),簡(jiǎn)單的濾波處理不再適用,需要考慮系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為來適當(dāng)?shù)胤蛛x噪聲和混沌數(shù)據(jù),但這往往會(huì)顯著提高計(jì)算量.

避免數(shù)值差分引起的噪聲可以采用基函數(shù)辨識(shí)方法來解決.對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)的擬合或?qū)M合函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)可以代替數(shù)值差分操作.基函數(shù)的選取對(duì)求導(dǎo)十分關(guān)鍵,對(duì)擬合精度過高的要求會(huì)導(dǎo)致求導(dǎo)時(shí)發(fā)生高頻低幅振蕩.通常而言對(duì)于周期數(shù)據(jù),傅里葉基函數(shù)[123-124]比較合適;而對(duì)于任意形式的數(shù)據(jù),B 樣條曲線[125-126]或者小波基函數(shù)[127]較常用.除了基函數(shù)的形式,基函數(shù)的個(gè)數(shù)也直接影響辨識(shí)結(jié)果:越多的基函數(shù)個(gè)數(shù)能更好地逼近測(cè)試數(shù)據(jù),但也同時(shí)逼近了測(cè)量噪聲,因此在求導(dǎo)運(yùn)算中也更容易放大噪聲;而基函數(shù)個(gè)數(shù)較少則有可能丟失數(shù)據(jù)的一些關(guān)鍵特征[128].由此,學(xué)者們提出了逐步變量選擇和變量修剪方法[129],用來確定合理的基函數(shù)個(gè)數(shù).也有研究通過迭代的方式來修正過擬合的數(shù)據(jù)[125],這和濾波的效果較為相似.粗糙度懲罰也是解決該問題的常用方法之一[128],通過對(duì)擬合過程施加懲罰項(xiàng),過擬合的粗糙特性將被削減,由此擬合函數(shù)將更加光滑,從而避免差分引起的噪聲問題.然而,懲罰程度如何選取又是一個(gè)需要解決的問題,常用的方式包括廣義交叉驗(yàn)證[130],但會(huì)不可避免地帶來額外的計(jì)算量.

為平衡計(jì)算復(fù)雜度與辨識(shí)精度,針對(duì)雙穩(wěn)態(tài)SMO 結(jié)構(gòu)所具有的強(qiáng)非線性、初始條件和測(cè)量噪聲敏感性等辨識(shí)難題,Liu 等[131]通過在時(shí)域內(nèi)應(yīng)用B 樣條伽遼金有限元方法,提出了一種新的適用于全局強(qiáng)非線性折紙結(jié)構(gòu)的參數(shù)辨識(shí)方法.該方法仍然采用B 樣條基函數(shù)構(gòu)造全局解,但通過伽遼金弱解形式和分部積分消除了對(duì)擬合函數(shù)直接求導(dǎo)的操作.因此,該方法既不放大測(cè)量噪聲,又不增加計(jì)算量,具有適用范圍廣、效率高、魯棒性好等優(yōu)點(diǎn).該方法成功辨識(shí)了SMO 結(jié)構(gòu)處于無應(yīng)力狀態(tài)時(shí)的折疊角、折痕剛度和阻尼系數(shù)等幾何與物理參數(shù),識(shí)別了SMO 結(jié)構(gòu)的雙穩(wěn)態(tài)本構(gòu)(圖9(a)),使得定量預(yù)測(cè)強(qiáng)非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)成為可能.

圖9 折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的參數(shù)辨識(shí)和數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)動(dòng)力學(xué)建模[131,140-141]Fig.9 Parameter identification and data-driven dynamic modeling of origami structures and origami metamaterials[131,140-141]

圖9 折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的參數(shù)辨識(shí)和數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)動(dòng)力學(xué)建模[131,140-141] (續(xù))Fig.9 Parameter identification and data-driven dynamic modeling of origami structures and origami metamaterials[131,140-141] (continued)

當(dāng)然,對(duì)于參數(shù)辨識(shí),并沒有一種“一刀切”的方法.對(duì)于其他具有不同超常規(guī)特性的折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的幾何與物理參數(shù)辨識(shí),仍需要定制相應(yīng)的辨識(shí)方法.這方面的研究還處于初始階段,亟待發(fā)展.

2.6 基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)建模方法

基于模型的折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料參數(shù)辨識(shí)方法依賴于預(yù)先給定的理論模型,然后基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)識(shí)別幾何和物理參數(shù).這樣得到的模型具有強(qiáng)可解釋性、易于開展參數(shù)分析等優(yōu)點(diǎn).但是,許多折紙結(jié)構(gòu)具有復(fù)雜的幾何構(gòu)型和變形模式,例如非剛性折紙的折疊變形模式尚不清晰,就難以給出第一性原理模型(反應(yīng)物理規(guī)律的模型).其次,折紙超材料往往由數(shù)目眾多的單胞構(gòu)成,對(duì)每個(gè)單胞進(jìn)行第一性原理建模將使模型過于復(fù)雜化,難以處理.再次,折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的大變形和幾何非線性特征容易誘發(fā)強(qiáng)非線性多穩(wěn)態(tài)和非光滑剛度跳躍等特性,對(duì)傳統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)方法也提出了巨大挑戰(zhàn).為避免繁瑣的理論建模和復(fù)雜的參數(shù)辨識(shí)方法構(gòu)建,以數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方式建立折紙結(jié)構(gòu)的等效動(dòng)力學(xué)模型逐漸得到關(guān)注.

數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)建模不同于依賴物理定律的第一性原理理論建模,它直接通過數(shù)據(jù)來建立等效力學(xué)模型.近年來,隨著數(shù)據(jù)科學(xué)和機(jī)器學(xué)習(xí)方法的飛速發(fā)展,可以借助它們來更好地理解復(fù)雜數(shù)據(jù),并基于完備的模型庫(kù)提取最簡(jiǎn)模型形式.當(dāng)前,數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的靜力學(xué)建模方法已經(jīng)取得了重要進(jìn)展,但從大數(shù)據(jù)中提取動(dòng)力學(xué)模型的研究才剛起步,并受到了廣泛關(guān)注.

基于數(shù)據(jù)的動(dòng)力學(xué)建模方法可以追溯到開普勒和牛頓時(shí)期.應(yīng)用大量精確觀測(cè)的行星運(yùn)行數(shù)據(jù),開普勒建立了數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的行星運(yùn)行模型,即著名的橢圓軌道模型.近年來,基于觀測(cè)數(shù)據(jù)提取非線性動(dòng)力學(xué)模型的方法取得了一定突破,Bongard 和Lipson[132]以及Schmidt 和Lipson[133]利用符號(hào)回歸[134]來發(fā)現(xiàn)非線性微分方程形式,同時(shí)平衡了模型復(fù)雜度、測(cè)量數(shù)目和模型精度之間的矛盾.但是,符號(hào)回歸計(jì)算代價(jià)昂貴,并不適用于高維模型,且十分容易過擬合.Brunton 等[135-136]應(yīng)用稀疏回歸方法重構(gòu)了混沌洛倫茲系統(tǒng)、繞障渦流方程和參數(shù)化系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型,證明了該方法對(duì)常微分方程、偏微分方程、分岔和流形等問題的有效性.

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(ANN)[137-138]模擬人腦神經(jīng)元的運(yùn)行方式,可以對(duì)復(fù)雜的輸入輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行學(xué)習(xí)處理,近年來成為人工智能領(lǐng)域的研究熱點(diǎn).神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)十分適合用于建立復(fù)雜非線性系統(tǒng)的等效模型[139].Yasuda 等[140]利用準(zhǔn)靜態(tài)遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立了雙穩(wěn)態(tài)Kresling 折紙結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型,并成功預(yù)測(cè)了結(jié)構(gòu)的混沌響應(yīng)(圖9(b)).該方法不需要對(duì)非剛性可折的Kresling 折紙結(jié)構(gòu)進(jìn)行理論建模,而直接通過數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方式建立模型并預(yù)測(cè)動(dòng)力學(xué)響應(yīng);另一方面,通過對(duì)網(wǎng)絡(luò)隱藏層的分析,該方法可以用來理解所建立的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)模型對(duì)不同類型信號(hào)的處理過程.

另一方面,類似人類的推理過程,模糊邏輯以一種可解釋性的方式來表現(xiàn)模糊和不精確信息.神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和模糊邏輯的混合使用綜合了ANN 的“學(xué)習(xí)”和“普遍逼近”的優(yōu)點(diǎn)以及模糊邏輯的“可解釋”的優(yōu)點(diǎn),有希望用于建立具有可解釋性的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型.針對(duì)具有非光滑分段剛度本構(gòu)的自鎖折紙結(jié)構(gòu)[30],Liu 等[141]基于分段線性假設(shè),構(gòu)建了一個(gè)物理可解釋的模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來關(guān)聯(lián)自鎖折紙結(jié)構(gòu)的激勵(lì)和動(dòng)力學(xué)響應(yīng)數(shù)據(jù).該方法所構(gòu)造的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型參數(shù)和實(shí)際自鎖折紙結(jié)構(gòu)參數(shù)一一對(duì)應(yīng),具有較強(qiáng)的物理可解釋性:神經(jīng)元數(shù)目與自鎖折紙結(jié)構(gòu)剛度本構(gòu)的分段數(shù)目相關(guān)聯(lián),局部線性模型的系數(shù)與剛度本構(gòu)的參數(shù)相關(guān)聯(lián),有效性函數(shù)與非光滑點(diǎn)的位置相關(guān)聯(lián) (圖9(c)).

折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)動(dòng)力學(xué)建模是近年來新興的研究領(lǐng)域,目前還處于個(gè)例分析階段,更加通用的建模方法還有待研究.

3 動(dòng)力學(xué)分析與實(shí)驗(yàn)測(cè)試

折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的動(dòng)力學(xué)研究方法主要包括:基于模型的動(dòng)力學(xué)分析方法、有限元計(jì)算方法和動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)方法.對(duì)折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析與測(cè)試是為了揭示由折疊誘發(fā)的動(dòng)力學(xué)特性,進(jìn)而為折紙結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)與優(yōu)化提供依據(jù).本節(jié)對(duì)上述3 個(gè)方面的研究進(jìn)展進(jìn)行綜述.

3.1 基于模型的動(dòng)力學(xué)分析

第2 節(jié)建立的動(dòng)力學(xué)方程通常具有常微分方程(組)(ODEs)或微分代數(shù)方程(組)(DAEs)的形式,因而可以基于各種解析與數(shù)值方法進(jìn)行定性分析和定量求解.例如Han 等[104]在考慮waterbomb 折紙結(jié)構(gòu)在平衡位置附近的小振動(dòng)時(shí),對(duì)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行了泰勒級(jí)數(shù)展開與線性化處理.Zhang 等[101]通過定義非線性殘差及泰勒展開,利用Newton-Raphson迭代法對(duì)三浦折紙結(jié)構(gòu)進(jìn)行了線性化.研究頻率成分相關(guān)問題時(shí),Yasuda 等[94]利用二維快速傅里葉變換(FFT)分析了Kresling 折紙超材料作為波傳播媒介時(shí)波數(shù)與頻率的關(guān)系,Fang 等[27]應(yīng)用FFT 分析了雙穩(wěn)態(tài)SMO 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)主頻率分量的位移傳遞率.在數(shù)值求解方法方面,除了廣泛使用的各種類型ODE 求解器,一些不常見的數(shù)值求解方法也得到了應(yīng)用.例如,在處理空間可折疊薄膜的展開問題時(shí),變步長(zhǎng)廣義-α算法被用來求解帶有約束的多體系統(tǒng),其動(dòng)力學(xué)方程形式為微分指數(shù)為3 的DAEs[102];Soleimani 等[97]將折紙和剪紙結(jié)構(gòu)中折痕折疊描述為偏微分方程組(PDEs),廣義微分求積法(GDQ)可以基于函數(shù)值在整個(gè)域的指定節(jié)點(diǎn)上的加權(quán)線性組合來近似導(dǎo)數(shù),被用來數(shù)值求解耦合偏微分方程組.

就研究?jī)?nèi)容而言,折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料動(dòng)力學(xué)研究主要關(guān)注固有頻率與特征值、穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)和瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)3 個(gè)方面.下面分別介紹進(jìn)展.折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料在穩(wěn)定平衡構(gòu)型處的固有頻率是重要的動(dòng)力學(xué)特征.Sadeghi 和Li[74]利用頻閃采樣研究了waterbomb 折紙結(jié)構(gòu)在兩個(gè)穩(wěn)定平衡構(gòu)型附近的阱內(nèi)共振頻率(圖10(a)).邱海和方虹斌等[96]研究了SMO 雙胞串聯(lián)結(jié)構(gòu)在4 個(gè)穩(wěn)定構(gòu)型處的固有頻率特征.此外也有研究關(guān)注折紙結(jié)構(gòu)在參數(shù)改變或構(gòu)型改變時(shí)動(dòng)力學(xué)特性的變化,如Han 等[104]在對(duì)多穩(wěn)態(tài)waterbomb 折紙結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行線性化處理的基礎(chǔ)上,考慮了穩(wěn)定構(gòu)型附近的小振幅振動(dòng)問題,分析了固有頻率及平衡點(diǎn)的分岔問題;Xia等[100]通過對(duì)三浦折紙薄板進(jìn)行特征值分析,明確了固有頻率隨展開過程的變化.

折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)主要分為3 類:第1 類是簡(jiǎn)諧位移激勵(lì)下的強(qiáng)迫響應(yīng),一般用位移傳遞率(輸出與輸入信號(hào)的均方根(RMS)值之比)來表示.折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可以通過不同方法進(jìn)行求解,例如Han 等[103]在預(yù)測(cè)三浦折紙管狀結(jié)構(gòu)準(zhǔn)零剛度隔振器的動(dòng)態(tài)性能時(shí)使用的泰勒級(jí)數(shù)逼近非線性項(xiàng)和平均法;Yasuda等[94]在求解TMP 單胞頻響關(guān)系時(shí)的射擊法(shooting method)等;Fang 等[27]在分析SMO 單胞、SMO 雙胞串聯(lián)結(jié)構(gòu)[96]、耦合有磁鐵的SMO 單胞[87](圖10(b))的頻響關(guān)系時(shí)采用的離散頻率掃描方法等.第2 類則是折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料在外激勵(lì)下的非線性動(dòng)力學(xué)行為,包括穩(wěn)定性、分岔和混沌等.例如,Rodrigues 等[105]和Han 等[104]研究了waterbomb 折紙結(jié)構(gòu)在熱場(chǎng)和機(jī)械激勵(lì)下的復(fù)雜非線性動(dòng)力學(xué)行為;邱海等[96]對(duì)SMO 雙胞串聯(lián)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了吸引盆分析,研究了初始條件對(duì)動(dòng)力學(xué)行為的影響,并用吸引盆穩(wěn)定性 (basin stability)指標(biāo)來衡量不同激勵(lì)幅值下結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的演變.第3 類是色散分析,包括波在SMO 超材料中的帶隙特征和超傳遞行為[38],TMP 折紙超材料中波數(shù)與頻率的關(guān)系[94](圖10(c))等.

圖10 基于模型的折紙結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析方法[34,36,74,87,94]Fig.10 Model-based dynamic analysis methods of origami structures[34,36,74,87,94]

折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)包括在沖擊力下的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)行為、自由展開和受控展開的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)行為、構(gòu)型動(dòng)態(tài)切換行為,以及自由衰減振動(dòng)響應(yīng)四種類型.沖擊力下的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)主要研究沖擊波在折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料中的傳播速度與衰減.例如,不同幅度沖擊力下TMP 折紙超材料中壓縮應(yīng)變波和拉伸應(yīng)變波的傳播[92],TMP 折紙鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)中稀疏波的存在性和穩(wěn)定性[92],以及Kresling 折紙超材料在壓縮沖擊下不同單元的應(yīng)變[89]等.折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的展開動(dòng)力學(xué)研究分為自由展開和受控展開.自由展開是指折紙結(jié)構(gòu)在一端受到約束,而另一端在約束釋放后的自由展開行為.吳海平和方虹斌等研究了三浦折紙管狀結(jié)構(gòu)在自由展開過程中由非剛性折疊誘發(fā)的軸向和橫向方向上的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)行為[34](圖10(d));Kidambi 和Wang[33]研究了Kresling 折紙結(jié)構(gòu)在軸向和離軸方向自由展開時(shí)的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)響應(yīng).受控展開是指折紙結(jié)構(gòu)在一端受到約束,另一端在指定速度下的展開行為.Zhang 等[101]研究了可折疊板結(jié)構(gòu)從折疊狀態(tài)到完全展開狀態(tài)的整個(gè)動(dòng)態(tài)展開過程.展開的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)行為常關(guān)注以下指標(biāo):展開的穩(wěn)定時(shí)間(settling time)和超調(diào)量(overshoot)[34]、節(jié)點(diǎn)之間的偏差長(zhǎng)度[100]、von Mises 應(yīng)力分布[102]等.

構(gòu)型動(dòng)態(tài)切換是指折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料在動(dòng)態(tài)過程中越過能障,發(fā)生穩(wěn)態(tài)構(gòu)型切換的行為,如在不同的阱內(nèi)共振頻率下waterbomb 折紙結(jié)構(gòu)在不同穩(wěn)態(tài)構(gòu)型間的快速跳躍[74],三浦折紙結(jié)構(gòu)通過展平狀態(tài)時(shí)的動(dòng)態(tài)切換[36](圖10(e)).折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的自由衰減振動(dòng)通常由外界擾動(dòng)、非穩(wěn)定初始條件、平衡位置改變所誘發(fā),例如熱載荷下折紙支架結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)響應(yīng)[105],不同初始條件下waterbomb 折紙結(jié)構(gòu)的有阻尼自由振動(dòng)[104],以及在外部微擾動(dòng)下含有折紙輪的機(jī)器人系統(tǒng)的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)行為[98].

3.2 有限元計(jì)算

對(duì)于真實(shí)的折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料,尤其是當(dāng)剛性可折性不滿足時(shí),折面和折痕的彈性變形將不可忽略,他們的折疊行為也非常復(fù)雜,這使得基于運(yùn)動(dòng)學(xué)和力學(xué)原理的建模變得較為困難.基于非線性彈簧和空間桁架的等效動(dòng)力學(xué)模型雖然為動(dòng)力學(xué)分析提供了一定的可行性,但是這些模型無法精確描述折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的真實(shí)折疊行為,更無法對(duì)折面和折痕的應(yīng)變和應(yīng)力分布等做出刻畫.面對(duì)這一挑戰(zhàn)性難題,采用有限元軟件(例如Abaqus 和ANSYS)對(duì)折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料進(jìn)行建模和分析并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比對(duì)成為一種可行選擇[142-144].在建立有限元模型時(shí),常采用的單元類型為:桿單元、4 頂點(diǎn)/3 頂點(diǎn)殼單元和四面體實(shí)體單元.如采用桿單元時(shí),通常將折紙結(jié)構(gòu)視為空間桁架進(jìn)行分析,例如Cai 等[78]和Chen 等[145]分別利用Abaqus 建立了Kresling 折紙結(jié)構(gòu)和三浦折紙結(jié)構(gòu)的桿單元有限元模型并分析在折疊過程中各桿的受力情況(圖11(a)).基于桿單元的有限元模型雖然較為簡(jiǎn)單,但無法體現(xiàn)折紙結(jié)構(gòu)的面內(nèi)變形情況,因此學(xué)者們開始采用殼單元和實(shí)體單元進(jìn)行建模.例如,Yang 等[146]和Song 等[147]建立了多種管狀折紙結(jié)構(gòu)的殼單元有限元模型并分析了它們的受壓和吸能特性,建模中不對(duì)折痕作額外處理而僅設(shè)置初始折疊角度;Du 等[143]和Hu 等[148]分別對(duì)曲線折痕折紙結(jié)構(gòu)和三浦折紙結(jié)構(gòu)建立了殼單元模型(圖11(b)),并將折痕建模為帶剛度的彈性鉸,進(jìn)而研究了折紙結(jié)構(gòu)在折疊時(shí)產(chǎn)生的恢復(fù)力.對(duì)于實(shí)體單元有限元模型,一般是直接將折紙結(jié)構(gòu)的CAD 模型導(dǎo)入有限元軟件后利用四面體實(shí)體單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分.例如Fang 等[30]建立了自鎖折紙結(jié)構(gòu)的實(shí)體單元有限元模型(圖11(c)),其中折痕處的材料厚度小于折面的厚度,因此結(jié)構(gòu)可以在給定載荷下沿著預(yù)先設(shè)計(jì)好的折痕進(jìn)行折疊,并分析由于折面接觸導(dǎo)致的自鎖所引起的剛度跳躍行為.Sane 等[149]建立了三浦折紙管狀結(jié)構(gòu)的實(shí)體單元有限元模型,并對(duì)折痕做了相似的消減厚度的處理,而后分析了內(nèi)部充氣氣壓對(duì)結(jié)構(gòu)整體變形率的影響.

圖11 基于不同單元類型的折紙結(jié)構(gòu)有限元模型[30,78,148]Fig.11 FE models of origami structures based on different types of elements[30,78,148]

3.3 動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)

折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)的主要目的是為了定性或定量地驗(yàn)證動(dòng)力學(xué)模型和數(shù)值計(jì)算的準(zhǔn)確性.具體地,實(shí)驗(yàn)研究可以分為以下3 類:(1)施加周期性外部激勵(lì)以研究折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)性能;(2)自由和受控展開實(shí)驗(yàn)以研究瞬態(tài)展開動(dòng)力學(xué)性能;(3)沖擊實(shí)驗(yàn)以研究抗沖擊和能量吸收能力.

對(duì)于第1 類實(shí)驗(yàn)研究,折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料通常與激振器相連,通過激光位移傳感器、加速度傳感器、高速相機(jī)等獲得折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料在周期性外激勵(lì)作用下的位移(或速度、加速度)-時(shí)間歷程數(shù)據(jù),進(jìn)而在時(shí)域或頻域內(nèi)對(duì)信號(hào)作分析以獲得穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)特性.例如,Fang 等[27]通過激振器對(duì)雙穩(wěn)態(tài)SMO 結(jié)構(gòu)施加了簡(jiǎn)諧位移激勵(lì)(圖12(a)),利用激光測(cè)振儀獲得了其位移-時(shí)間歷程數(shù)據(jù),通過離散掃頻并基于FFT 得到了雙穩(wěn)態(tài)SMO 結(jié)構(gòu)的頻響關(guān)系.為了避免重力的影響,SMO 結(jié)構(gòu)整體通過懸吊法固定;為了在同一激勵(lì)條件下捕獲所有可能穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)響應(yīng),通過敲擊實(shí)現(xiàn)初始條件的改變以切換穩(wěn)態(tài)響應(yīng).另一個(gè)具有代表性的工作來自于Yasuda等[39],他們對(duì)Kresling 折紙超材料開展了波動(dòng)力學(xué)測(cè)試(圖12(b)),利用高速相機(jī)記錄了Kresling 折紙超材料在周期性位移激勵(lì)下各單元的位移-時(shí)間數(shù)據(jù),從而明確了其波傳播特性.

對(duì)于第2 類實(shí)驗(yàn),通常將折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的一端固定,通過預(yù)壓的方式儲(chǔ)存勢(shì)能,另一端自由釋放或受控釋放,通過高速相機(jī)等獲取折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的位移-時(shí)間歷程數(shù)據(jù),從而明確其瞬態(tài)展開動(dòng)力學(xué)特性.例如,Wu 等[34]通過類似方法記錄了三浦折紙管狀結(jié)構(gòu)自由展開時(shí)各個(gè)標(biāo)定點(diǎn)的位置,從而明確了其在展開方向和橫向方向的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)特性(圖12(c)).Sadeghi 等[150]將TMP 折紙結(jié)構(gòu)放置在水平面上,將其沿高度方向壓縮后自由釋放,利用高速相機(jī)記錄了其在跳躍過程中的運(yùn)動(dòng)軌跡,進(jìn)而分析了其非線性剛度對(duì)跳躍性能的影響.

圖12 折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)[27,34,39,151]Fig.12 Dynamic experiment of origami structures and origami metamaterials[27,34,39,151]

對(duì)于第3 類實(shí)驗(yàn),通常是將折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料置于沖擊試驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行測(cè)試,利用試驗(yàn)機(jī)自身的力位移傳感器或高速攝像機(jī)記錄沖擊發(fā)生時(shí)的力-位移-時(shí)間歷程數(shù)據(jù)和變形情況,進(jìn)而分析結(jié)構(gòu)的吸能特性.例如,Xiang 等[151]利用分離式霍普金森壓桿(SHPB)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)測(cè)試了SMO 超材料在不同速度沖擊載荷下的行為,并通過高速攝像機(jī)記錄試樣變形情況,進(jìn)而分析結(jié)構(gòu)的吸能特性(圖12(d)).Kshad 等[152]利用落錘沖擊試驗(yàn)機(jī)對(duì)由碳納米纖維增強(qiáng)復(fù)合材料制成的三浦折紙結(jié)構(gòu)進(jìn)行沖擊測(cè)試,并利用動(dòng)載荷傳感器記錄力的數(shù)據(jù),以分析三浦折紙結(jié)構(gòu)的能量傳遞特性.Elsayed 等[153]利用Instron沖擊試驗(yàn)機(jī)對(duì)由牛皮紙制作的多層三浦折紙結(jié)構(gòu)進(jìn)行了沖擊測(cè)試,得到了沖擊力和能量相對(duì)于位移變化的數(shù)據(jù),分析了三浦折紙結(jié)構(gòu)在3 個(gè)方向的吸能特性.

4 折疊誘發(fā)的動(dòng)力學(xué)行為

折疊是折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的主要變形特征,也是其超常規(guī)靜力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)特性(1.4 節(jié))的主要來源.在動(dòng)力學(xué)環(huán)境下,這些超常規(guī)靜力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)特性也會(huì)誘發(fā)獨(dú)特的動(dòng)力學(xué)行為,包括雙穩(wěn)態(tài)和多穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)行為、可編程剛度相關(guān)的動(dòng)力學(xué)行為、折疊展開瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)行為和折紙超材料波動(dòng)力學(xué)行為.下面,從這4 方面進(jìn)行綜述.

4.1 雙穩(wěn)態(tài)和多穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)行為

當(dāng)折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料具有兩個(gè)及以上的穩(wěn)定構(gòu)型(對(duì)應(yīng)于穩(wěn)定平衡點(diǎn)),且不需要外力就可以維持其穩(wěn)定構(gòu)型,則被認(rèn)為是多穩(wěn)態(tài)的.折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的多個(gè)穩(wěn)定構(gòu)型對(duì)應(yīng)于勢(shì)能超曲面上的多個(gè)局部極小值.從動(dòng)力系統(tǒng)角度來看,多穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的兩個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)之間必然存在著一個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn).因此,對(duì)于多穩(wěn)態(tài)折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料而言,其穩(wěn)定構(gòu)型間也必然存在著一個(gè)不穩(wěn)定臨界構(gòu)型(對(duì)應(yīng)于不穩(wěn)定平衡點(diǎn)).

折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料在不同的穩(wěn)定構(gòu)型處常具有不同的動(dòng)力學(xué)特性.例如,waterbomb 折紙結(jié)構(gòu)在不同穩(wěn)定構(gòu)型處具有不同的切線剛度,使得不同的小振幅阱內(nèi)振動(dòng)呈現(xiàn)出不同的共振頻率[74,96],進(jìn)而改變折紙超材料整體的帶隙特征[38]和瞬態(tài)展開行為[34].將折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料從一個(gè)穩(wěn)定構(gòu)型切換至另一個(gè)穩(wěn)定構(gòu)型時(shí),必然要經(jīng)過不穩(wěn)定的臨界構(gòu)型.在通過該不穩(wěn)定臨界構(gòu)型時(shí),折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料會(huì)發(fā)生快速的突彈跳躍(snap-through)行為,并在力-位移本構(gòu)關(guān)系上表現(xiàn)為負(fù)剛度特征.這種突彈跳躍切換可以通過內(nèi)部壓力[154]或外界簡(jiǎn)諧激勵(lì)[27]等方式觸發(fā).事實(shí)上,負(fù)剛度特征在多穩(wěn)態(tài)折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料中廣泛存在.通過改變折紙結(jié)構(gòu)內(nèi)部壓力可以將負(fù)剛度調(diào)整為準(zhǔn)零剛度,其在低頻隔振上有著很好的效果[18,155].

在外界激勵(lì)作用下,雙穩(wěn)態(tài)這一全局強(qiáng)非線性可以誘發(fā)出豐富的動(dòng)力學(xué)行為.例如,對(duì)雙穩(wěn)態(tài)SMO 結(jié)構(gòu)施加不同頻率和幅值的位移激勵(lì),可以觀察到多種復(fù)雜動(dòng)力學(xué)響應(yīng),包括圍繞不同平衡點(diǎn)的小振幅阱內(nèi)振動(dòng),以及圍繞多個(gè)平衡點(diǎn)的大振幅阱間振動(dòng).FFT 分析表明,這些振動(dòng)可以與外激勵(lì)保持相同的頻率,也可以是亞諧(sub-harmonic)和超諧(super-harmonic)的,甚至是混沌(chaotic)的[27,96](圖13(a)).此外,對(duì)應(yīng)于不同的響應(yīng)類型,雙穩(wěn)態(tài)折紙結(jié)構(gòu)的輸入與輸出的位移和能量傳遞率可以表現(xiàn)出很大的差別[27,38,87,103].

多穩(wěn)態(tài)也使得折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)具有顯著的初始和外激勵(lì)條件敏感性.例如,雙穩(wěn)態(tài)SMO 結(jié)構(gòu)可以在相同的激勵(lì)條件下呈現(xiàn)定性不同的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),且可以通過調(diào)整初始條件(例如敲擊)實(shí)現(xiàn)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的切換[27].吸引盆為同一激勵(lì)條件下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的切換提供了參考依據(jù),而吸引盆穩(wěn)定性[156]則進(jìn)一步明確了某一穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的出現(xiàn)概率隨結(jié)構(gòu)和激勵(lì)參數(shù)演化的規(guī)律[96].此外,通過觸發(fā)waterbomb 折紙結(jié)構(gòu)在穩(wěn)定構(gòu)型處的共振頻率,可以用遠(yuǎn)小于準(zhǔn)靜態(tài)臨界力的激勵(lì)幅值實(shí)現(xiàn)不同阱內(nèi)振動(dòng)的相互切換[74](圖13(b)).

在折疊展開過程中,折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的最終穩(wěn)定構(gòu)型由能障(energy barrier)與其儲(chǔ)存能量或外界輸入能量的大小關(guān)系決定[33,36].通過調(diào)整幾何設(shè)計(jì)和剛度布置[27],或通過嵌入磁鐵[87]、調(diào)整內(nèi)部壓力[154](圖13(c))等方式,可以改變折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的勢(shì)能本構(gòu),進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)多穩(wěn)態(tài)特性的定性和定量調(diào)控.例如,在磁鐵作用下,SMO 結(jié)構(gòu)可以在單穩(wěn)態(tài)和多穩(wěn)態(tài)之間切換,從而定性地改變其頻響關(guān)系[87].

圖13 折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料中的雙穩(wěn)態(tài)和多穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)行為[74,96,154]Fig.13 Bistable and multi-stable dynamics of origami structures and origami metamaterials[74,96,154]

圖13 折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料中的雙穩(wěn)態(tài)和多穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)行為[74,96,154] (續(xù))Fig.13 Bistable and multi-stable dynamics of origami structures and origami metamaterials[74,96,154] (continued)

4.2 可調(diào)剛度相關(guān)的動(dòng)力學(xué)行為

如1.4 節(jié)所述,折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料具有獨(dú)特的剛度可調(diào)性和可編程性,來源于其折疊行為、自鎖和多穩(wěn)態(tài)構(gòu)型切換、外界部件和作動(dòng)等.剛度的可調(diào)性也使得折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的動(dòng)力學(xué)行為具備了一定的可調(diào)性.這里,由雙穩(wěn)態(tài)和多穩(wěn)態(tài)帶來的剛度可調(diào)性及相關(guān)動(dòng)力學(xué)特性的可調(diào)性不再贅述(見4.1 節(jié)).

自鎖也是調(diào)節(jié)折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料剛度的重要方式之一.Fang 等[30]提出可以通過構(gòu)成單胞的受控自鎖來調(diào)節(jié)折紙超材料整體的剛度,從而實(shí)現(xiàn)幅值顯著不同的兩類動(dòng)力學(xué)響應(yīng);其中一類響應(yīng)的幅值在非共振的寬頻帶內(nèi)明顯高于對(duì)應(yīng)的線性系統(tǒng),而在共振帶內(nèi)則顯著低于線性系統(tǒng)(圖14(a)).

此外,通過外界部件和外界作動(dòng)也可以有效地調(diào)節(jié)折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的剛度,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)動(dòng)力學(xué)特性的可調(diào)性.例如,通過調(diào)整折紙結(jié)構(gòu)內(nèi)部壓力,可以達(dá)到構(gòu)型切換和剛度控制的目的;內(nèi)部壓力和折痕彈性引起的勢(shì)能相互作用,還可以使折紙結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出準(zhǔn)零剛度,有希望用于隔振器的設(shè)計(jì)[18,155].研究還發(fā)現(xiàn)加壓流體折紙結(jié)構(gòu)具有獨(dú)特的非對(duì)稱準(zhǔn)零剛度特性,顯著提高了低頻大振幅條件下的振動(dòng)隔離效果(圖14(b)),且可以通過調(diào)節(jié)內(nèi)部壓力以適應(yīng)靜載荷的變化[18].

圖14 折疊誘發(fā)的可編程剛度相關(guān)動(dòng)力學(xué)行為[18,30]Fig.14 Programmable stiffness-dependent dynamics induced by folding[18,30]

4.3 瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)行為

折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料在開發(fā)可展開結(jié)構(gòu)、能量吸收裝置等方面具有巨大潛力.對(duì)于真實(shí)的折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料而言,折疊展開本質(zhì)上是一個(gè)動(dòng)力學(xué)過程,且動(dòng)力學(xué)展開過程與運(yùn)動(dòng)學(xué)展開過程存在顯著差異,需要額外關(guān)注.例如Zhang 等[101]模擬了可折疊板結(jié)構(gòu)從折疊狀態(tài)到完全展開狀態(tài)的整個(gè)動(dòng)態(tài)展開過程,發(fā)現(xiàn)動(dòng)力學(xué)展開比運(yùn)動(dòng)學(xué)展開經(jīng)歷了更多的波動(dòng).當(dāng)前折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)研究的主要關(guān)注點(diǎn)有3 個(gè)方面:(1)折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料折疊展開過程中沿展開方向與橫向方向上的瞬態(tài)振動(dòng);(2)薄膜類折紙結(jié)構(gòu)展開過程中的應(yīng)力集中等行為;(3)折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料在沖擊載荷下的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)行為.

折疊展開過程中,展開方向及橫向方向瞬態(tài)振動(dòng)常通過穩(wěn)定時(shí)間和最大振動(dòng)幅值等關(guān)鍵參數(shù)予以表征.Kidambi 和Wang[33,157]基于Kresling 折紙結(jié)構(gòu)的6 自由度等效動(dòng)力學(xué)模型研究發(fā)現(xiàn):通過調(diào)整幾何設(shè)計(jì)參數(shù),Kresling 折紙結(jié)構(gòu)可以在單穩(wěn)態(tài)、非對(duì)稱雙穩(wěn)態(tài)和對(duì)稱雙穩(wěn)態(tài)之間切換.對(duì)于單穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu),可以將其壓縮至緊湊狀態(tài)后釋放約束以實(shí)現(xiàn)展開;對(duì)于雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu),要求初始儲(chǔ)存的能量足夠大以克服兩個(gè)穩(wěn)態(tài)間的能障才能實(shí)現(xiàn)展開;對(duì)于離軸(offaxis) 運(yùn)動(dòng),因其最低固有頻率明顯高于軸向運(yùn)動(dòng)(圖15(a)),使得離軸擾動(dòng)會(huì)更快消散.Chen 等[158]提出了基于彈性flasher 折紙結(jié)構(gòu)和剪刀機(jī)構(gòu)的太陽能電池板陣列,并建立了黏彈性本構(gòu)模型以預(yù)測(cè)自膨脹展開行為,其包括兩個(gè)階段:旋轉(zhuǎn)與環(huán)向膨脹.Wu 等[34]分析了預(yù)壓縮SMO 管狀結(jié)構(gòu)自由展開的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)行為.動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)表明除了在展開方向,SMO 管狀結(jié)構(gòu)在橫向方向上也存在明顯的瞬態(tài)振動(dòng),其無法通過基于剛性折疊的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型予以描述.研究還進(jìn)一步明確了幾何和物理參數(shù)對(duì)瞬態(tài)振動(dòng)的超調(diào)量和穩(wěn)定時(shí)間的影響.Xia 等[100,159]研究了三浦折紙薄板的自由展開和恒定速度受控展開,在展開過程中,除了沿展開方向的收縮和膨脹,三浦折紙薄板的折面會(huì)發(fā)生明顯的彎曲和拉伸變形,并在橫向方向出現(xiàn)明顯的瞬態(tài)振動(dòng).注意到,展開順序及橫向振動(dòng)的形式與受控展開的速度密切相關(guān).當(dāng)速度較快時(shí),三浦折紙薄板的受控端單元會(huì)首先展開(圖15(b));當(dāng)速度較慢時(shí),三浦折紙薄板中央的單元會(huì)首先展開.

薄膜類折紙結(jié)構(gòu)在展開過程中會(huì)頻繁地遇到折面接觸碰撞、應(yīng)力集中、展開平整度等問題.事實(shí)上,薄膜折痕處的力學(xué)特性極其復(fù)雜.Deboeuf 等[160]指出,薄片的褶皺行為和折疊行為從表面上看具有顯著差異,但它們存在一定相似性.Deboeuf 等研究發(fā)現(xiàn),折疊和褶皺產(chǎn)生剛度具有相同的機(jī)理,因而折疊的模型可以捕捉褶皺的主要特征;褶皺具有分層特征,類似于多次折疊.Yuan 等[102]考慮了leaf-in 折紙薄膜結(jié)構(gòu)的受控展開問題,分析了膜單元邊界和膜單元內(nèi)部的穿透現(xiàn)象、部分區(qū)域的褶皺現(xiàn)象以及完全張緊時(shí)的應(yīng)力集中現(xiàn)象(圖15(c)).Cai 等[161]利用有限元軟件Abaqus 對(duì)三浦折紙膜結(jié)構(gòu)的展開進(jìn)行了仿真模擬,并基于光滑度指數(shù)和完全展開狀態(tài)下的最大Mises 應(yīng)力這兩個(gè)指標(biāo)評(píng)估了加載節(jié)點(diǎn)、加載時(shí)間和邊界形狀等因素對(duì)展開的影響.研究發(fā)現(xiàn),增加加載節(jié)點(diǎn)數(shù)目可以有效地降低完全展開狀態(tài)時(shí)的光滑度指數(shù)和最大Mises 應(yīng)力,但多節(jié)點(diǎn)加載有可能引起應(yīng)力集中.Bhuiyan 等[162-163]使用多體動(dòng)力學(xué)(MBD)仿真軟件創(chuàng)建了flasher 折紙結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型,分析了其展開時(shí)間、折紙結(jié)構(gòu)中折痕處的力和力矩、折面彎曲角度和剛性可折性等.研究發(fā)現(xiàn),當(dāng)引入板內(nèi)節(jié)點(diǎn)時(shí),模型具有剛性可折性,且板內(nèi)節(jié)點(diǎn)在展開過程中可以旋轉(zhuǎn)達(dá)到10°～ 35°.

由于具有獨(dú)特的可控坍塌模式這一優(yōu)點(diǎn)[164],折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料常用于開發(fā)吸能材料和吸能結(jié)構(gòu),并受到越來越多的關(guān)注.例如,Kshad 和Naguib[144]觀察到三浦折紙三明治芯(miura-ori sandwich core)結(jié)構(gòu)發(fā)生斷裂時(shí),折痕會(huì)先失效(圖15(d)),而折面則呈現(xiàn)剛體旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng).利用這種特性,Yuan 等[165]提出可以通過預(yù)先設(shè)計(jì)折痕以調(diào)控汽車保險(xiǎn)杠在沖擊發(fā)生時(shí)的失效模式.沖擊載荷下折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)常關(guān)注兩個(gè)指標(biāo):能量吸收能力和力峰值.為實(shí)現(xiàn)沖擊載荷下能量吸收的最大化及力峰值的最小化,許多研究從形狀優(yōu)化[62]、折疊角度設(shè)計(jì)[166]和材料功能梯度配置[37]等方面開展了數(shù)值和實(shí)驗(yàn)研究.在折紙箱薄壁管的沖擊實(shí)驗(yàn)研究中,Zhou 等[167]觀察到了3 種坍塌模式,包括完整菱形模式、局部屈曲模式和對(duì)稱模式.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,完全菱形模式的能量吸收效率最高,而對(duì)稱模式的能量吸收效率最低.

圖15 折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料展開瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)行為[33,102,144,159]Fig.15 Transient dynamic behaviors of origami structures and origami metamaterials during deployment[33,102,144,159]

沖擊載荷下折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)的另一個(gè)研究方向是沖擊波的傳播與衰減.

4.4 折紙超材料波動(dòng)力學(xué)行為

折紙超材料還可以作為波傳播的媒介,折紙結(jié)構(gòu)單胞自身的可折疊、多穩(wěn)態(tài)等特性有可能賦予折紙超材料整體出色的波動(dòng)力學(xué)特性.通常,折紙超材料由數(shù)目眾多的折紙結(jié)構(gòu)單胞構(gòu)成,人們主要關(guān)注波經(jīng)過折紙超材料后的輸出特性(例如,波傳播速度、帶隙特征、傳遞率等),而對(duì)構(gòu)成單胞自身的動(dòng)力學(xué)行為并不感興趣.對(duì)于由單個(gè)或數(shù)目較少的折紙結(jié)構(gòu)單胞構(gòu)成的系統(tǒng),可以采用解析或數(shù)值方法求解常微分方程,明確每個(gè)單胞的動(dòng)力學(xué)行為.而對(duì)于由無窮多折紙結(jié)構(gòu)單胞構(gòu)成的超材料,傳統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析和計(jì)算方法面臨著自由度高、效率低等局限,而波動(dòng)力學(xué)分析方法,例如線性色散分析、偏微分方程求解等,可以高效地給出折紙超材料中的波傳播特性,具有顯著優(yōu)勢(shì).

目前,波動(dòng)力學(xué)研究主要關(guān)注波在折紙超材料中的傳播與衰減(圖16(a)).例如,不同幅度沖擊力下TMP 折紙超材料中壓縮應(yīng)變波及拉伸應(yīng)變波的傳播速度,以及TMP 折紙超材料中稀疏孤波的存在性和動(dòng)力穩(wěn)定性[92],同構(gòu)及異構(gòu)TMP 折紙超材料的可調(diào)諧波動(dòng)特性[94].Yasuda 和Yang 等[89]也研究了Kresling 折紙超材料的帶隙特征以及壓縮沖擊波在超材料中的傳播(圖16(b))[39].實(shí)驗(yàn)和數(shù)值研究發(fā)現(xiàn),在具有應(yīng)變軟化特征的Kresling 折紙超材料中,壓縮沖擊產(chǎn)生的壓縮應(yīng)變波會(huì)被稀疏孤波所替代,使得后續(xù)的Kresling 折紙結(jié)構(gòu)單胞經(jīng)歷拉伸應(yīng)變,而不是壓縮應(yīng)變,有希望用于開發(fā)可重復(fù)使用的減震系統(tǒng).Nanda 和Karami[168]以及Xu 等[169-170]研究了一種簡(jiǎn)單的一維可折疊超材料,數(shù)值計(jì)算和實(shí)驗(yàn)測(cè)試表明,可以通過改變每個(gè)折痕的折疊角度來調(diào)控超材料整體的帶隙分布(圖16(c)).Zhang 等[38]研究了由雙穩(wěn)態(tài)SMO 單胞構(gòu)成的超材料的帶隙特征.研究發(fā)現(xiàn),通過切換SMO 單胞的構(gòu)型,超材料整體的帶隙會(huì)發(fā)生定性改變,這賦予了超材料帶隙的在線可調(diào)性.值得注意的是,上述兩類研究中對(duì)折紙超材料施加的均為小幅值位移激勵(lì),折紙超材料的可折疊大變形特征以及相關(guān)的超常規(guī)力學(xué)特性并沒有得到利用.因此,針對(duì)SMO 超材料,Zhang 等進(jìn)一步研究了當(dāng)位移激勵(lì)幅值增大時(shí)超材料中的波傳播(圖16(d))[38].數(shù)值研究表明,盡管激勵(lì)頻率處于禁帶之中,但當(dāng)激勵(lì)幅值逐漸增大并超過臨界值時(shí),SMO 超材料將出現(xiàn)超傳遞(supra-transmission)現(xiàn)象.超傳遞是由SMO 單胞固有的雙穩(wěn)態(tài)特性誘發(fā)的突彈跳躍所引起的,其可以通過注入能量(injected energy)、發(fā)生構(gòu)型切換的單胞數(shù)目、單胞的相對(duì)振幅等指標(biāo)予以體現(xiàn).當(dāng)超傳遞發(fā)生時(shí),振動(dòng)不會(huì)在超材料中衰減,而是持續(xù)維持.此外,也可以通過切換SMO 單胞的構(gòu)型實(shí)現(xiàn)對(duì)超傳遞發(fā)生的臨界位移激勵(lì)幅值進(jìn)行調(diào)控.

圖16 折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料波動(dòng)力學(xué)行為[38-39,92,169]Fig.16 Wave dynamic behavior of origami structures and origami metamaterials[38-39,92,169]

另一類波動(dòng)力學(xué)研究中,波并非在折紙超材料中傳播,而是在與其相連接的結(jié)構(gòu)中進(jìn)行傳播.折疊引起的構(gòu)型改變以及相關(guān)的非常規(guī)力學(xué)特性可以定性和定量地改變與之相連結(jié)構(gòu)的拓?fù)涮匦院筒▌?dòng)力學(xué)特性,進(jìn)而影響波在其中的傳遞.例如,在梁和板上布置雙穩(wěn)態(tài)Kresling 折紙結(jié)構(gòu)陣列可以形成一維和二維超材料,通過調(diào)整Kresling 折紙結(jié)構(gòu)的幾何設(shè)計(jì)或切換其構(gòu)型,可以有效調(diào)控超材料整體的帶隙[171].Thota 等[172-173]提出了一種由三浦折紙結(jié)構(gòu)引導(dǎo)的圓管陣列聲子系統(tǒng),三浦折紙結(jié)構(gòu)的折疊變形可以改變圓管陣列的固有對(duì)稱性特征和晶格類型,從而改變帶隙特征并實(shí)現(xiàn)可調(diào)控波導(dǎo).

5 折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料動(dòng)力學(xué)應(yīng)用潛力

折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料具有出色的運(yùn)動(dòng)學(xué)、靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)特性,它們?cè)谠S多工程領(lǐng)域都受到了廣泛的關(guān)注.目前,折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的動(dòng)力學(xué)應(yīng)用主要還停留在實(shí)驗(yàn)室原型驗(yàn)證階段,真正用于實(shí)際工程的案例還不多,但正在不斷拓展.本節(jié)重點(diǎn)介紹折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料在動(dòng)力學(xué)方面的應(yīng)用潛力.

5.1 折紙啟發(fā)的隔振和能量吸收裝置

折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料常具有折疊大變形和剛度可調(diào)等特性,因此在隔振和能量吸收方面展現(xiàn)出了極大的應(yīng)用前景.折紙結(jié)構(gòu)隔振通常利用了折紙結(jié)構(gòu)的剛度可調(diào)特性使得振動(dòng)在一定范圍內(nèi)被衰減,隔振的效果常通過位移傳遞率來評(píng)估.目前,已有學(xué)者提出了基于折紙結(jié)構(gòu)的準(zhǔn)零剛度隔振器,其對(duì)于低頻振動(dòng)具有較好的隔離效果.例如,Inamoto和Ishida[174]設(shè)計(jì)了Kresling 折紙結(jié)構(gòu)啟發(fā)的準(zhǔn)零剛度隔振器(圖17(a)).該隔振器可以通過調(diào)整連桿的角度以及中心軸與彈簧間的間隙實(shí)現(xiàn)對(duì)靜承載能力的調(diào)整.動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,當(dāng)振動(dòng)的加速度幅值較大時(shí),該隔振器可以有效隔離2 Hz 以上的振動(dòng)(傳遞率小于1.0),而在2 Hz 以下,傳遞率將大于1.0[175].Han 等[103]提出了SMO 結(jié)構(gòu)啟發(fā)的非線性準(zhǔn)零剛度隔振器,其折疊運(yùn)動(dòng)引起的非線性剛度和非線性阻尼可以有效提升低頻段下的隔振效果,同時(shí)拓寬了有效隔振頻帶.Yao 等[176]提出了一種受折紙結(jié)構(gòu)啟發(fā)的用于衛(wèi)星動(dòng)力輪組件的多方向隔振器(圖17(b)),實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,外激勵(lì)頻率為20,40 和60 Hz 時(shí),加速度振幅在x方向上分別衰減了96.12%,98.86%,97.06%,在y方向上分別衰減了90.79%,96.1%,99.89%,在z方向上分別衰減了98.96%,99.87%,99.99%,取得了很好的隔振效果.實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)零剛度的另一種方式是通過調(diào)控流體折紙內(nèi)部的壓力,Sadeghi和Li[18,155]提出的流體折紙隔振器(圖17(c))可以在0～10 Hz 范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)有效隔振(位移傳遞率小于1.0);但是在一些特殊情況下(低激勵(lì)頻率且高激勵(lì)幅值),位移傳遞率也可能大于1.此外,通過調(diào)節(jié)內(nèi)部壓力也使得該隔振器的靜承載具備可調(diào)性.

圖17 折紙啟發(fā)的隔振和能量吸收裝置[18,62,174,176-178]Fig.17 Origami-inspired vibration isolation and energy absorption devices[18,62,174,176-178]

通過利用折疊變形時(shí)的能量吸收能力,折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料也被應(yīng)用于開發(fā)能量吸收裝置.當(dāng)前,折紙啟發(fā)能量吸收裝置的動(dòng)力學(xué)研究主要關(guān)注沖擊載荷下能量吸收能力的增大與反力峰值的降低.Karagiozov 等[37]研究了均勻密度三浦折紙超材料在勻速壓縮和脈沖加載下的行為,以及梯度密度三浦折紙超材料在沖擊載荷下的行為.研究發(fā)現(xiàn),具有相同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)但相對(duì)密度較高的三浦折紙超材料表現(xiàn)出了更高的比吸能(specific energy absorption,SEA).Ciampaglia 等[62]對(duì)具有折紙形狀的復(fù)合材料盒(圖17(d))進(jìn)行了耐撞性研究.實(shí)驗(yàn)表明,經(jīng)過優(yōu)化的折紙盒吸收的能量比方形碰撞盒高出15%,比未優(yōu)化的折紙盒高出30%;在反力峰值方面,折紙盒比方形折紙管有明顯降低.Zhou 等[177]研究了梯形折紙結(jié)構(gòu)(圖17(e)),發(fā)現(xiàn)可以利用折紙圖案的塑性變形提升對(duì)沖擊的吸收能力.Li 和You[178]發(fā)現(xiàn)與傳統(tǒng)梁結(jié)構(gòu)相比,折紙梁(圖17(f)) 的反作用力更恒定,整體能量吸收明顯提高(SEA 增加了40%～60%),而負(fù)載均勻性(load uniformity,LU)降低了30%～ 40%.

5.2 折紙啟發(fā)的空間可展開結(jié)構(gòu)

折紙結(jié)構(gòu)因其折疊變形、質(zhì)量輕的優(yōu)點(diǎn),在航天可展結(jié)構(gòu)方面有著廣泛的應(yīng)用前景.當(dāng)前,折紙啟發(fā)的空間可展結(jié)構(gòu)研究主要關(guān)注概念設(shè)計(jì)、折疊方式和展開運(yùn)動(dòng)學(xué)分析等,展開動(dòng)力學(xué)方面的研究還相對(duì)較少.

根據(jù)航天領(lǐng)域的實(shí)際需求,研究者們已經(jīng)基于折紙思想提出了許多空間可展結(jié)構(gòu),包括管狀的可展開吊桿和薄膜狀的可展開太陽反光板、可展開遮星罩等.其中,可展開吊桿主要利用了折紙管狀結(jié)構(gòu)出色的軸向折疊和伸縮能力.You 和Cole[82]提出了一種可折疊薄壁圓筒吊桿的概念設(shè)計(jì)(圖18(a)),其可以被折疊成較小體積置入發(fā)射倉(cāng)內(nèi).Schenk 等[65]提出一種由鋁膜層壓材料制成的充氣折紙吊桿結(jié)構(gòu)(圖18(b)),并研究了不同折紙管狀結(jié)構(gòu)的展開特性.而薄膜狀的可展開反光板、可展開遮星罩則主要通過結(jié)構(gòu)橫向旋轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)展開.Salazar 等[15]提出了兩類折痕圖(螺旋折痕和同心折痕)來設(shè)計(jì)可展開太陽反光板(圖18(c)).Webb 等[64]提出了一款直徑達(dá)34 m 的可展開遮星罩概念設(shè)計(jì)(圖18(d)).

圖18 折紙啟發(fā)的空間可展開結(jié)構(gòu)[15,64-65,82]Fig.18 Origami-inspired space deployable structures[15,64-65,82]

航天折紙可展結(jié)構(gòu)的展開本質(zhì)上是動(dòng)力學(xué)過程,最近也受到了越來越多的關(guān)注,研究問題包括應(yīng)力集中、力和力矩變化、展開時(shí)間以及自接觸和碰撞等問題.Yuan 等[102]研究了leaf-in 折紙空間薄膜結(jié)構(gòu)在展開過程中出現(xiàn)的應(yīng)力集中問題和頂點(diǎn)折面之間的接觸碰撞問題;Bowen 等[179]使用ADAMS建立了遮星罩的動(dòng)力學(xué)模型并開展了動(dòng)力學(xué)仿真分析;Pehrson 等[69]提出了基于折紙思想的SDSR 空間可展開陣列的設(shè)計(jì),并建立了多體動(dòng)力學(xué)模型研究其展開過程.

此外,空間可折疊薄膜結(jié)構(gòu)被廣泛應(yīng)用于航天器再入減速裝置、大面積電池陣、大口徑星載天線、太陽帆等領(lǐng)域[180-184].注意到,薄膜結(jié)構(gòu)由于材料的柔性特征占主導(dǎo),其折疊行為與折紙結(jié)構(gòu)具有顯著差異,已經(jīng)超出了本文的范圍,在此不做展開.

5.3 折紙啟發(fā)的波調(diào)控裝置

折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料在波傳播調(diào)控方面的具體應(yīng)用主要可以分為兩類:(1) 折紙超材料本身作為波傳播的媒介,通過折疊對(duì)波傳播特性進(jìn)行調(diào)控;(2)折紙超材料本身并不是波傳播的媒介,或者波傳播與結(jié)構(gòu)本身的折疊變形無關(guān),但是可以通過折疊實(shí)現(xiàn)對(duì)波傳播媒介的調(diào)整.對(duì)于第1 類應(yīng)用,其主要利用的是折疊帶來的大變形、拓?fù)渥兓头浅Ｒ?guī)力學(xué)特性.例如,Yasuda 等[92]設(shè)計(jì)了擁有應(yīng)變軟化特性的Krseling 折紙超材料,其可以將壓縮沖擊產(chǎn)生的壓縮應(yīng)變波轉(zhuǎn)換為稀疏孤波,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)減震.Xu 等[169]設(shè)計(jì)了一維可折疊超材料(圖19(a)),其可以通過改變折疊結(jié)構(gòu)的折疊角度和折疊處的扭轉(zhuǎn)剛度實(shí)現(xiàn)對(duì)帶隙寬度和個(gè)數(shù)的調(diào)控.

對(duì)于第2 類,一般是將折紙結(jié)構(gòu)與波傳播媒介相連,通過折紙結(jié)構(gòu)的變形使得波傳播媒介發(fā)生形狀、拓?fù)?、?duì)稱性等的改變,從而影響波傳播特性.例如Thota 等[173]將一系列圓柱管與三浦折紙結(jié)構(gòu)相連形成聲子結(jié)構(gòu)(圖19(b)),通過折疊變形改變圓柱管陣列的晶格類型和對(duì)稱性,進(jìn)而調(diào)控波導(dǎo)特性.Xu 等[185]利用可折疊振子來衰減低頻(10 Hz)表面彈性波的傳播.此外,也有研究利用折紙結(jié)構(gòu)的構(gòu)型可變特性來調(diào)控聲波的傳播.例如,Babaee 等[20]設(shè)計(jì)了基于extruded cube 折紙結(jié)構(gòu)的超材料,通過改變超材料折疊角度,可以對(duì)聲能的傳播和輻射進(jìn)行調(diào)控(圖19(c)).

圖19 折紙啟發(fā)的波調(diào)控裝置[20,169,173]Fig.19 Origami-inspired wave tailoring devices[20,169,173]

5.4 折紙機(jī)器人

折紙結(jié)構(gòu)豐富的折痕設(shè)計(jì)和出色的變構(gòu)型能力,也受到了機(jī)器人領(lǐng)域?qū)W者的廣泛關(guān)注[5].目前,已有研究通過主動(dòng)智能材料實(shí)現(xiàn)了折紙機(jī)器人從二維薄板到三維構(gòu)型的自折疊成型和主動(dòng)作動(dòng).主動(dòng)驅(qū)動(dòng)主要可以分為兩類:(1) 將折紙機(jī)器人的折痕設(shè)計(jì)為主動(dòng)折痕,在外界物理場(chǎng)(例如熱場(chǎng)、磁場(chǎng)等)的作用下實(shí)現(xiàn)主動(dòng)折疊、主動(dòng)成型和主動(dòng)構(gòu)型重構(gòu);(2) 在折紙結(jié)構(gòu)內(nèi)部或外部布置驅(qū)動(dòng)器(例如舵機(jī)、氣囊等),對(duì)機(jī)器人進(jìn)行整體驅(qū)動(dòng).代表性研究包括:Felton 等[6]在折紙機(jī)器人的折痕處布置了由形狀記憶材料制作的夾層結(jié)構(gòu),通過電流加熱使機(jī)器人由二維平面自折疊成為三維結(jié)構(gòu)(圖20(a));Paez 等[186]研發(fā)了基于Yoshimura 折紙結(jié)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)器(圖20(b)),通過其內(nèi)部氣囊的充氣和放氣實(shí)現(xiàn)整體的作動(dòng);Zhang 等[187]還提出了基于Yoshimura 折紙結(jié)構(gòu)、形狀記憶合金彈簧和內(nèi)部氣囊的具有三維移動(dòng)能力的仿蠕蟲機(jī)器人(圖20(c)).

目前,大部分折紙機(jī)器人研究停留在準(zhǔn)靜態(tài)階段,只利用了折紙結(jié)構(gòu)的豐富變形模式.例如,Liu等[188]使用Twisted Tower 折紙結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)了機(jī)械臂,利用該結(jié)構(gòu)獨(dú)特的拉、壓、彎、扭4 種變形模式實(shí)現(xiàn)了出色的空間可達(dá)性.Sareh 等[189]則以三浦折紙結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)了無人機(jī)的防碰撞裝置(圖20(d)),利用三浦折紙結(jié)構(gòu)的變形能力提升了無人機(jī)的抗沖擊能力.

圖20 折紙機(jī)器人設(shè)計(jì)和實(shí)驗(yàn)原型[6,186-187,189-191]Fig.20 Designs and prototypes of origami robots[6,186-187,189-191]

隨著對(duì)折紙結(jié)構(gòu)研究的不斷深入,學(xué)者們發(fā)現(xiàn),折紙結(jié)構(gòu)所特有的非常規(guī)力學(xué)特性對(duì)機(jī)器人性能提升也具有重要意義.例如,Fang 等[17]利用waterbomb折紙結(jié)構(gòu)的雙穩(wěn)態(tài)特性,設(shè)計(jì)了可在管道中運(yùn)動(dòng)的仿蠕蟲移動(dòng)機(jī)器人.Lee 等[190]則是利用了waterbomb折紙結(jié)構(gòu)的雙穩(wěn)態(tài)特性設(shè)計(jì)了可變直徑輪子的機(jī)器人(圖20(e)),以實(shí)現(xiàn)在狹窄環(huán)境中的移動(dòng).此外,Kim 等[16]設(shè)計(jì)了一種可以自鎖的折紙結(jié)構(gòu),并據(jù)此設(shè)計(jì)了一款可以完全折疊的機(jī)械臂,自鎖的特性使得機(jī)械臂在完全伸長(zhǎng)時(shí)擁有更大的剛度從而提高穩(wěn)定性.

上述折紙機(jī)器人用到了折疊誘發(fā)的靜力學(xué)特性,而將折疊動(dòng)力學(xué)特性用于機(jī)器人設(shè)計(jì)的研究目前還較少.Sadeghi 等[150]設(shè)計(jì)了一種基于TMP 折紙結(jié)構(gòu)的跳躍裝置,并基于動(dòng)力學(xué)特性分析對(duì)其幾何設(shè)計(jì)進(jìn)行了優(yōu)化.Bhovad 等[191]利用Kresling 折紙結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)了仿蠕蟲移動(dòng)機(jī)器人(圖20(f)),并利用Kresling 折紙結(jié)構(gòu)的snap-through 行為實(shí)現(xiàn)了機(jī)器人步態(tài)的切換.此外,Zhakypov 等[192-193]設(shè)計(jì)了一種可折疊的Tribot 機(jī)器人,該機(jī)器人可以實(shí)現(xiàn)爬行和跳躍步態(tài);動(dòng)力學(xué)建模和分析為機(jī)器人的優(yōu)化設(shè)計(jì)和控制提供了依據(jù).

6 若干值得關(guān)注的問題

上述綜述表明,折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的動(dòng)力學(xué)研究正處于快速發(fā)展階段,還有許多問題需要進(jìn)一步研究.以下,列舉出值得關(guān)注的若干問題.

(1) 針對(duì)剛性可折條件無法嚴(yán)格滿足、折面和折痕厚度無法忽略的折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料,提出精細(xì)化動(dòng)力學(xué)建模方法,探索第一性原理和數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法融合的動(dòng)力學(xué)建模方法.建立的動(dòng)力學(xué)模型不僅需要包含折痕和折面的幾何特征、慣性、彈性和阻尼等因素,還需要具備處理折面、折痕間的接觸、碰撞和摩擦等問題的能力,同時(shí)保持較高的計(jì)算效率,服務(wù)于動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)和優(yōu)化.

(2) 針對(duì)含有缺陷的折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料,研究其動(dòng)力學(xué)建模與設(shè)計(jì)優(yōu)化問題.缺陷可以是客觀存在的,如材料缺陷和工作時(shí)的破壞等;缺陷也可以是人為引入的,例如在超材料設(shè)計(jì)中引入異構(gòu)單元,以調(diào)控超材料整體的折疊行為,實(shí)現(xiàn)對(duì)某項(xiàng)動(dòng)力學(xué)特性的優(yōu)化.

(3) 針對(duì)由折疊誘發(fā)的全局強(qiáng)非線性本構(gòu)(例如多穩(wěn)態(tài)等),研究折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為的發(fā)生機(jī)制和演化規(guī)律.全局強(qiáng)非線性動(dòng)力學(xué)行為的定性和定量分析方法一直是動(dòng)力學(xué)研究的難題.考慮到折紙結(jié)構(gòu)可以成為實(shí)現(xiàn)各類非線性特征的理想平臺(tái),以折紙結(jié)構(gòu)為對(duì)象推進(jìn)非線性動(dòng)力學(xué)研究,可以為該學(xué)科帶來新的活力.

(4) 針對(duì)展開、構(gòu)型切換、跌落和沖擊等工況,研究折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)和隨機(jī)動(dòng)力學(xué)行為.例如,折紙機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)到指定構(gòu)型后,常會(huì)發(fā)生非期望瞬態(tài)振動(dòng),因此需要分析該振動(dòng)產(chǎn)生的原因,通過優(yōu)化幾何設(shè)計(jì)和驅(qū)控方式,實(shí)現(xiàn)對(duì)該非期望瞬態(tài)振動(dòng)的抑制.

(5) 針對(duì)波傳播問題,研究將折紙超材料作為波傳播媒介時(shí)的波動(dòng)力學(xué)特征,重點(diǎn)關(guān)注折疊大變形及相關(guān)靜力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)特性對(duì)波傳播和能量傳播的影響.探索通過折紙超材料實(shí)現(xiàn)波的可控折射、反射、透射、拓?fù)浔Ｗo(hù)和非互易性等超常規(guī)特性.

(6) 針對(duì)長(zhǎng)時(shí)間工作情況,研究折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的動(dòng)疲勞問題.例如,在周期性外激勵(lì)作用下,某些折痕會(huì)經(jīng)歷長(zhǎng)時(shí)間的快速和大幅度折疊變形,這就需要考查折痕的動(dòng)態(tài)疲勞強(qiáng)度,研究疲勞破壞的發(fā)生和傳播.

(7) 針對(duì)工程中對(duì)可調(diào)性的需求,研究折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料動(dòng)力學(xué)特性與波傳播特性的主動(dòng)調(diào)控.例如,可以將主動(dòng)智能材料與多穩(wěn)態(tài)折紙結(jié)構(gòu)有機(jī)結(jié)合,通過主動(dòng)構(gòu)型重構(gòu),實(shí)現(xiàn)對(duì)折紙結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)行為和波動(dòng)力學(xué)行為的定性調(diào)整;進(jìn)一步地,可以基于“可再編程(re-programmable)”思想,實(shí)現(xiàn)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)和波傳播的“數(shù)字化”調(diào)控.

(8) 針對(duì)折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料所特有的復(fù)雜三維構(gòu)型和折疊大變形特征,完善其動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)方法.需要重點(diǎn)關(guān)注實(shí)驗(yàn)原型的加工制備方式和載荷的施加方式,邊界的固定方式,全局剛體位移和局部材料變形的同步觀測(cè)方法等.

(9) 針對(duì)工程中的極端因素,研究折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的極端力學(xué)行為及其機(jī)制.常見的極端因素包括尺寸極端性、材料極端性和極端物理場(chǎng)作用等.在這些因素作用下,折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的靜/動(dòng)力學(xué)行為將發(fā)生顯著改變,甚至誘發(fā)一系列超常規(guī)力學(xué)行為和超常規(guī)力學(xué)特性,這就需要重新思考“折紙”力學(xué)研究的基本理論和基本方法,從建模、分析、計(jì)算和實(shí)驗(yàn)等多方面深入研究“折疊行為”和“極端因素”耦合下的變形、強(qiáng)度、破壞、穩(wěn)態(tài)頻響和瞬態(tài)響應(yīng)特性.

(10) 針對(duì)實(shí)際工程應(yīng)用需求,提出基于折紙思想的工程結(jié)構(gòu)、機(jī)構(gòu)和裝置設(shè)計(jì)(例如:準(zhǔn)零剛度隔振器、快速作動(dòng)器、沖擊防護(hù)欄等),以突破現(xiàn)有技術(shù)局限,提升相關(guān)動(dòng)力學(xué)性能.

7 結(jié)語

近年來,折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料引起了學(xué)術(shù)界和工程界的廣泛關(guān)注,其理論和應(yīng)用研究取得了長(zhǎng)足發(fā)展.開展折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料動(dòng)力學(xué)研究具有必要性、交叉性和重要性.首先,折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料將不可避免地在動(dòng)力學(xué)環(huán)境下工作,且它們的折疊、展開和構(gòu)型切換本質(zhì)上都屬于動(dòng)力學(xué)過程,因此,開展相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)建模、動(dòng)力學(xué)行為預(yù)測(cè)、動(dòng)力學(xué)機(jī)制分析、動(dòng)力學(xué)性能優(yōu)化和調(diào)控等研究,是折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料應(yīng)用于工程實(shí)際的必由之路.其次,折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料具有復(fù)雜的幾何非線性、突出的大變形和剛?cè)狁詈系忍卣?以折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料為對(duì)象開展動(dòng)力學(xué)研究,建立起幾何學(xué)、靜力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)的聯(lián)系,并與材料、機(jī)器人及生物醫(yī)學(xué)等應(yīng)用領(lǐng)域進(jìn)行關(guān)聯(lián),將極大地豐富傳統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究范疇和學(xué)科內(nèi)涵,突顯了折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料動(dòng)力學(xué)研究的多學(xué)科交叉屬性.再次,“折紙”思想為工程材料、結(jié)構(gòu)和器械的設(shè)計(jì)提供了無限的靈感,通過明確折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料在不同工況下的動(dòng)力學(xué)行為,發(fā)掘由折疊誘發(fā)的超常規(guī)動(dòng)力學(xué)特性,有助于解決一些傳統(tǒng)材料和結(jié)構(gòu)無能為力的問題,使得折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料與多個(gè)領(lǐng)域的工程實(shí)際結(jié)合更加緊密.

本文對(duì)折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的動(dòng)力學(xué)研究進(jìn)行綜述.為保證完整性和提高可讀性,首先概述了“折紙”研究的基本定義和假設(shè),歸納了常見折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料的幾何設(shè)計(jì)與靜力學(xué)特性.隨后,從動(dòng)力學(xué)建模方法、動(dòng)力學(xué)分析和實(shí)驗(yàn)測(cè)試、折疊誘發(fā)的動(dòng)力學(xué)行為以及動(dòng)力學(xué)應(yīng)用4 個(gè)方面介紹了相關(guān)研究進(jìn)展.在動(dòng)力學(xué)建模方法方面,分別介紹了空間桁架等效建模方法和非線性彈簧等效建模方法、基于廣義哈密頓原理的建模方法和數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)建模方法,還討論了與建模密切相關(guān)的約束和接觸的處理方式以及參數(shù)辨識(shí)問題;在動(dòng)力學(xué)分析手段方面,分別介紹了基于模型和有限元的分析方法以及動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)測(cè)試方法;在動(dòng)力學(xué)特性方面,分別介紹了與多穩(wěn)態(tài)、可調(diào)剛度相關(guān)的動(dòng)力學(xué)行為,以及瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)和波動(dòng)力學(xué)行為;在動(dòng)力學(xué)應(yīng)用方面,分別介紹了折紙啟發(fā)的隔振裝置、波調(diào)控裝置、空間可展開結(jié)構(gòu)和折紙機(jī)器人等.盡管本文已有非常寬的覆蓋面,但限于作者有限的學(xué)識(shí),仍存在掛一漏萬的可能性.

本文最后指出了折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域若干值得關(guān)注的問題.在未來研究中,折紙結(jié)構(gòu)和折紙超材料可以作為動(dòng)力學(xué)理論研究與應(yīng)用開發(fā)相結(jié)合的新平臺(tái),一方面為動(dòng)力學(xué)這一傳統(tǒng)學(xué)科帶來新的研究對(duì)象,另一方面也為工程應(yīng)用提供全新的思路.