充液管路軸向多吸振器波動特性研究

吳江海， 孫玉東， 尹志勇， 蘇明珠

(中國船舶科學研究中心 船舶振動噪聲重點試驗室， 無錫 214082)

管路系統(tǒng)廣泛應(yīng)用于船舶、石油、化工等工業(yè)領(lǐng)域，充液管路在進行傳輸液體的同時，也將機械設(shè)備等不需要的振動、噪聲進行了傳播。由于管路大多數(shù)為梁狀結(jié)構(gòu)，是非常好的彈性波傳播介質(zhì)，有時甚至會放大振動，引起管路的振動疲勞破壞，帶來巨大的經(jīng)濟損失。因此充液管路的流固耦合問題引起了國內(nèi)外學者與工程師的廣泛關(guān)注[1-4]。

各國學者在考慮管道流固耦合特性和流體壓力脈動中，提出了4方程模型、6方程模型、8方程模型和14方程模型[5]。Bürman[6]考慮泊松耦合，提出了充液管道軸向振動四方程模型，Tentarelli[7]后來發(fā)展了直管的14方程模型，本文中理論解析模型即采用其中軸向4方程。吸振器是充液管路線譜振動控制的有效手段，王文初等[8]基于阻抗概念，設(shè)計一種三向管路動力吸振器，并開展了樣機試驗；劉天彥等[9]對核反應(yīng)堆一回路管道設(shè)計多頻率吸振器；陳果等[10]針對航空發(fā)動機導管設(shè)計了一種彈簧片式吸振器。

近年來，聲子晶體在彈性波調(diào)控方面引起了研究人員的廣泛關(guān)注，部分學者將其引入到充液管路振動控制中來，Yu等[11-13]采用Euler梁與Timoshenko梁模型對充液管路橫向局域共振帶隙進行了研究。文岐華[14]給出了多振子聲子晶體梁的彎曲振動能帶結(jié)構(gòu)，并推導了帶隙起始截止頻率。馬建剛等[15]設(shè)計了一種具有多帶隙特性抑振結(jié)構(gòu)，并將其應(yīng)用于梁的橫向振動試驗中。吳江海等[16]研究了充液管路軸向多支撐帶隙特性，沈惠杰[17-18]研究了聲子晶體帶隙在船舶海水冷卻管路中的應(yīng)用。

從上面可以看出大部分論文都是對管路橫向振動吸振、局域共振型帶隙開展了研究，而對管路軸向振動研究幾乎沒有。本文從充液管路軸向流固耦合4方程模型出發(fā)，采用傳遞矩陣法，建立管路軸向帶多個吸振器動力學耦合模型。本文的研究可為管路系統(tǒng)減振、吸振器的設(shè)計與安裝提供參考。

1 理論解析模型

1.1 管路軸向傳遞矩陣

本文充液管路采用Timoshenko梁理論，假設(shè)管路中均勻充滿液體，無氣泡，不考慮流體流動激勵，管路與流體通過泊松耦合進行連接。因此充液管路軸向振動方程為

(1)

式中：fz為管壁軸向力；uz為管壁軸向位移；uf為管內(nèi)流體軸向位移；p為管內(nèi)流體聲壓。以上4項為充液管路軸向振動4個自由度。R,h,Ap分別為管路內(nèi)徑、壁厚和橫截面積；ρf,ρp分別為管內(nèi)流體密度和管壁密度；E為管路楊氏模量；μ為泊松比，K*為管內(nèi)流體體積模量；管道軸向為z方向。

利用分離變量法，假設(shè)式(1)的解的形式為

uz(z,t)=Uz(z)ejωt,p(z,t)=P(z)ejωt

uf(z,t)=Uf(z)ejωt,fz(z,t)=Fz(z)ejωt

(2)

(3)

將式(3)中P(z),Uf(z),Uz(z)消去，只保留Fz(z)得

(4)

因此充液管路軸向振動化為四階方程，由波動法知，式(4)的解可以寫成

Fz(z)=A1ejk1z+A2e-jk1z+A3ejk2z+A4e-jk2z

(5)

式中，k1,k2分別為聲波沿管內(nèi)流體和管壁傳播的波數(shù)，將(5)代回式(3)得

(6)

其中：

將式(6)簡寫成矩陣形式

(7)

Vz|z=0=Vz(0),Vz|z=L=Vz(L)

(8)

將式(8)代入式(7)中有

(9)

Taxial=WB(L)WB(0)-1

(10)

1.2 軸向吸振器傳遞矩陣

吸振器的本質(zhì)是在安裝點對管路系統(tǒng)施加的附加阻抗。易知，剛度為K，質(zhì)量為M，阻尼為C的軸向吸振器阻抗為

(11)

在管路上吸振器安裝位置需滿足軸向位移連續(xù)與軸向力連續(xù)邊界條件，因此吸振器的傳遞矩陣為

(12)

因此管路上布置多軸向吸振器傳遞矩陣為

T=Taxial*TDVA…TDVA*Taxial

(13)

1.3 計算方法驗證

為驗證本文計算方法的正確性，對圖1所示直管帶單個軸向吸振器模型，計算其動態(tài)位移響應(yīng)，并與商用有限元軟件計算結(jié)果對比。圖中管路外徑為DN100，壁厚為4.5 mm；管路采用鋼材質(zhì)，楊氏模量E=2.1×1011，泊松比μ=0.3，密度為7 800 kg/m3, 管路長度為2.0 m，整個管路質(zhì)量為21.06 kg。管路兩端為自由邊界，在管路中間安裝一軸向質(zhì)量-彈簧振子吸振器，其中剛度為K=1×107N/m，質(zhì)量Mass=5 kg。在右端P2點施加一軸向單位簡諧激勵力。

圖1 管路軸向計算模型

有限元模型中，管路采用Beam單元，吸振器采用彈簧單元與集中質(zhì)量模擬，網(wǎng)格尺寸為0.001 m，網(wǎng)格數(shù)量為2 000。計算頻率范圍1～3 000 Hz，滿足有限元中單個波長中包含6個單元的計算精度。P1點和P2點的計算位移響應(yīng)如圖2所示。

(a) P1

從圖2可以看出，本文采用傳遞矩陣方法計算結(jié)果與FEM計算結(jié)果完全吻合，證明了本文計算方法的正確性。在圖2(a)中出現(xiàn)的反共振峰(225 Hz)即為吸振器軸向共振頻率。

本文對圖1中所示帶吸振器管路系統(tǒng)充水與不充水時，自由邊界條件下前5階固有頻率進行了計算，并與有限元計算結(jié)果進行對比，如表1所示。不充水時，本文計算結(jié)果與FEM計算基本一致，充水時本文計算結(jié)果略大于FEM，誤差在4%以內(nèi)，進一步證明本文計算方法的正確。

表1 固有頻率對比

2 波動特性

結(jié)構(gòu)中的彈性波在不連續(xù)點處存在透射與反射現(xiàn)象，對于一無限長管道，軸向吸振器Zx相當于管道中一個不連續(xù)點，吸振器作為附加阻抗作用于管路上，在安裝點使管路系統(tǒng)的阻抗發(fā)生了失配，因此在吸振器安裝前后將會出現(xiàn)軸向彈性波透射與反射現(xiàn)象。

如圖3所示，一軸向彈性波從管路左端入射過來，在吸振器位置處發(fā)生透射與反射，稱之為彈性波散射現(xiàn)象。吸振器左端點軸向位移由入射波與反射波疊加，可以寫成：

圖3 無限長管軸向波傳播示意圖

w1(x,t)=Aej(ωt-kax)+Bej(ωt+kax)

(14)

右端點不考慮端部反射，軸向位移寫成

w2(x,t)=Cej(ωt-kax)

(15)

式中：A、B、C為軸向波幅值；ω為圓頻率；ka=ω/Cp為管道軸向波數(shù)；Cp為管道軸向波速。在坐標原點0處需要滿足位移連續(xù)與軸向力平衡方程

w1(0,t)=w2(0,t)

(16)

式中，EAp為梁的軸向剛度。聯(lián)立式(14)～(16)，可得管道軸向吸振器處反射與透射系數(shù)為

(17)

針對圖1中的管路與軸向吸振器參數(shù)，將反射系數(shù)與透射系數(shù)對比如圖4所示。

從圖4中看出，在吸振器共振頻率225 Hz處，沿管路軸向傳播彈性波透射系數(shù)最小(≈0)，反射系數(shù)最大。由于彈性波在不連續(xù)點(吸振器)處需滿足能量守恒，因此軸向波不是反射就是透射，當透射系數(shù)最小時，反射系數(shù)則最大，兩者之和等于1。

從圖5(a)中可以看出隨著剛度的增加(K=1×106～1×109N/m)，反射系數(shù)的帶寬變大，帶寬起始與終止頻率向高頻移動。相反透射系數(shù)的帶寬變窄。圖5(b)中可以看出隨著阻尼的增加(C=1～500 N·s/m)，反射系數(shù)的帶寬變大，但主要集中在200～250 Hz范圍內(nèi)(圖5(b)中的亮帶內(nèi))，且隨著頻率的增加，反射系數(shù)的幅值逐漸減小，吸振器中阻尼越大，越有利于軸向波透射通過吸振器。

(a) 吸振器剛度剛度

3 帶隙特性

當軸向吸振器沿管路軸向周期排列時，可以形成軸向局域共振型帶隙(locally resonant，LR)，使得在某些特定的頻率范圍內(nèi)，軸向振動波難以通過。

3.1 無限個吸振器帶隙特性

常見的帶隙求解方法有有限元法、級數(shù)展開法等，本文采用傳遞矩陣法。由文獻[19]知帶隙求解公式為

|T-ejκaI|=0

(18)

式中：κ為管路軸向波數(shù)向量，由實部、虛部兩部分組成，實部為彈性波的傳播項，虛部為彈性波的衰減項；T為周期吸振管路軸向傳遞矩陣，如式(13)所示；a為單個晶胞的長度，即吸振器之間的間距；I為4×4單位矩陣。通過求解式(18)的特征值，可以獲得管路系統(tǒng)的帶隙特性。

針對圖1中幾何參數(shù)不變，無限長管路-吸振系統(tǒng)，假設(shè)質(zhì)量塊保持不變，剛度從1×105～1×1010N/m變化，帶隙隨頻率與剛度變化如圖6所示。從圖中可以看出，局域共振型帶隙與Bragg帶隙同時存在周期吸振結(jié)構(gòu)中，隨著吸振器剛度的增大，局域共振帶隙的頻帶范圍也相應(yīng)增大，Bragg帶隙則存在剛度較大且頻率較高的范圍內(nèi)，且Bragg帶隙的幅值遠小于局域共振帶隙。

圖6 剛度對帶隙特性的影響

圖7為不同吸振器剛度值下，無限長管路系統(tǒng)中軸向波矢虛部。當剛度小于1×106N/m時，吸振器阻抗與管路軸向阻抗相接近，無阻抗不連續(xù)點出現(xiàn)，因此不存在局域型共振型帶隙；當剛度大于1×109N/m時，吸振器阻抗遠大于管路阻抗，類似于給管路施加了一個剛性支撐邊界條件，局域共振型帶隙退化為Bragg帶隙。

圖7 不同吸振器剛度下波矢虛部

3.2 有限個吸振器帶隙特性

3.1節(jié)研究了無限長直管上周期分布吸振器，而實際中吸振器安裝個數(shù)與管路長度是有限的。如圖8所示，管路規(guī)格、吸振器參數(shù)與圖1中一致，長度為5 m，軸向周期均勻布置了5個吸振器，吸振器間距Δ=1 m。在管路右端施加一單位簡諧力。

圖8 管路軸向安裝5個吸振器

五個吸振器安裝位置為P1/P2/P3/P4/P5，由1.3節(jié)響應(yīng)計算方法和3.1節(jié)帶隙計算方法計算各吸振器安裝點響應(yīng)與帶隙對比如圖9所示。從圖中可以明顯看出674～884 Hz存在局域共振型帶隙，管路中的軸向彈性波在該頻率范圍出現(xiàn)了“波?！爆F(xiàn)象，及軸向彈性波在該頻率范圍內(nèi)無法進行傳播，因此P1～P5點軸向位移大幅度的降低，且?guī)额l帶范圍寬度(674～883 Hz)遠大于吸振器本身共振頻率(712 Hz)。因此帶隙雖能大幅度起到減振作用，但難以在低頻段實現(xiàn)。

圖9 帶隙與位移響應(yīng)

局域共振型帶隙與Bragg帶隙同時存在，由于Bragg帶隙對應(yīng)波矢實部(波矢實部控制衰減波)遠小于LR帶隙對應(yīng)波矢實部，因此Bragg帶隙對應(yīng)的軸向彈性波減振效果并不明顯。

4 結(jié) 論

采用傳遞矩陣法計算了一維管路軸向多吸振器的位移響應(yīng)與軸向振動帶隙，分析了軸向彈性波在吸振器前后的波動特性，并通過有限元仿真對計算方法進行了驗證，主要結(jié)論如下：

(1) 可將吸振器作為管路附加阻抗，采用傳遞矩陣法能精確求解帶多吸振器管路軸向振動位移響應(yīng)；

(2) 軸向彈性波在吸振器共振頻率存在明顯的反射，剛度與阻尼的變化能有效的改變反射系數(shù)帶寬；

(3) 多吸振器軸向管路中同時存在局域共振型帶隙和Bragg帶隙，且局域共振型帶隙減振效果遠大于Bragg帶隙；

(4) 局域共振型帶隙頻帶范圍與位移響應(yīng)結(jié)果一一對應(yīng)，位移振動響應(yīng)在帶隙內(nèi)得到了有效的控制，研究成果可為充液管路的減振設(shè)計提供參考。