基于模糊集魯棒概率不等式的風(fēng)電斜坡估計(jì)方法

徐姣新 楊 召

1(商丘學(xué)院 河南 商丘 476000)2(商丘工學(xué)院 河南 商丘 476000)

0 引 言

在向綠色和可持續(xù)發(fā)展社會(huì)過(guò)渡的過(guò)程中，風(fēng)電在世界范圍內(nèi)得到了快速發(fā)展。然而，由于天氣條件的原因，風(fēng)力發(fā)電本質(zhì)上是隨機(jī)的。由于電力系統(tǒng)必須在瞬間平衡負(fù)荷，短期內(nèi)電力輸出的大幅度變化(稱(chēng)為風(fēng)電斜坡事件[1])將給電力系統(tǒng)運(yùn)行帶來(lái)巨大挑戰(zhàn)。根據(jù)方向，風(fēng)電斜坡事件可以分為兩類(lèi)：向上斜坡和向下斜坡。向上斜坡事件通常由強(qiáng)低壓空氣系統(tǒng)、陣風(fēng)、低空急流和雷暴引起。相反情形下，上述現(xiàn)象的逆轉(zhuǎn)，便會(huì)發(fā)生向下的斜坡事件[2]。在向上斜坡事件中，系統(tǒng)調(diào)度員必須減少常規(guī)發(fā)電機(jī)的功率輸出或減少一些風(fēng)力發(fā)電；在向下斜坡事件中，調(diào)度員則需要備用容量的支持，或在備用容量不足時(shí)減少一些負(fù)荷[3]。所有這些斜坡事件都會(huì)增加系統(tǒng)運(yùn)營(yíng)成本和風(fēng)險(xiǎn)，因此，更好地檢測(cè)和預(yù)測(cè)風(fēng)電斜坡事件可以警告調(diào)度員，并幫助他們部署預(yù)防風(fēng)險(xiǎn)故障的主動(dòng)策略。

風(fēng)力發(fā)電斜坡事件的檢測(cè)作為一項(xiàng)重要的技術(shù)，一直是眾多學(xué)者研究的熱點(diǎn)。文獻(xiàn)[4]提出了一種基于澳大利亞風(fēng)力發(fā)電預(yù)測(cè)工具(Wind power prediction tool,WPPT)風(fēng)電場(chǎng)數(shù)據(jù)的兩階段方法來(lái)檢測(cè)和分類(lèi)大型風(fēng)坡道。文獻(xiàn)[5]提出了一種基于支持向量機(jī)(Support vector machine,SVM)的風(fēng)力發(fā)電斜坡事件一步分類(lèi)和多步分類(lèi)模型。文獻(xiàn)[6]提出了一種用于識(shí)別大時(shí)間序列風(fēng)坡的最優(yōu)檢測(cè)技術(shù)，給出了一類(lèi)帶有斜坡定義的評(píng)分函數(shù)，并應(yīng)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃遞歸方法檢測(cè)斜坡事件。文獻(xiàn)[7]采用一種擺動(dòng)門(mén)算法(Swinging door algorithm,SDA)從歷史數(shù)據(jù)中識(shí)別斜坡事件，該方法只需定義一個(gè)參數(shù)，在計(jì)算效率和抗噪聲方面具有顯著優(yōu)勢(shì)。

基于斜坡檢測(cè)技術(shù)的斜坡預(yù)測(cè)技術(shù)可以在幾分鐘或幾小時(shí)之前提供警告信息，并幫助調(diào)度員提前安排系統(tǒng)操作。通常，風(fēng)電斜坡事件的預(yù)測(cè)可分為兩類(lèi)：確定性預(yù)測(cè)和概率性預(yù)測(cè)。對(duì)于前者，文獻(xiàn)[8]提出了一個(gè)基于數(shù)據(jù)挖掘算法的多變量時(shí)間序列模型來(lái)預(yù)測(cè)風(fēng)電爬坡率。文獻(xiàn)[9]提出了一種基于多數(shù)值天氣預(yù)報(bào)(Numerical weather prediction,NWP)輸入、統(tǒng)計(jì)處理和自適應(yīng)算法的時(shí)間斜坡預(yù)測(cè)模型。

值得注意的是，上述研究依賴(lài)于確定性范式，而忽略了風(fēng)坡事件的不確定性問(wèn)題。采用概率方法提供風(fēng)坡道的統(tǒng)計(jì)信息，可以幫助系統(tǒng)運(yùn)營(yíng)商做出更好的調(diào)度決策，以應(yīng)對(duì)這些風(fēng)險(xiǎn)事件。部分研究提出利用大時(shí)間尺度信息建立概率風(fēng)坡預(yù)測(cè)模型，或采用自回歸對(duì)數(shù)模型，以基于多項(xiàng)式對(duì)數(shù)結(jié)構(gòu)和分類(lèi)分布同時(shí)估計(jì)不同閾值的斜坡事件概率。在應(yīng)對(duì)斜坡坡度和相位預(yù)測(cè)誤差問(wèn)題時(shí)，可以使用短期斜坡預(yù)測(cè)模型，對(duì)風(fēng)電功率進(jìn)行概率密度估計(jì)，然后利用概率密度函數(shù)提供遇到斜坡事件的概率信息。

上述概率方法基于風(fēng)電的經(jīng)驗(yàn)分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。然而，一方面，校準(zhǔn)一個(gè)精確的概率分布需要足夠的歷史數(shù)據(jù)，而這些數(shù)據(jù)可能不是可用的；另一方面，任何參數(shù)分布可能都不完全適合真實(shí)數(shù)據(jù)，導(dǎo)致統(tǒng)計(jì)分析對(duì)不確定數(shù)據(jù)分布的變化很敏感?？朔鲜隼щy的一種方法是采用分布魯棒優(yōu)化方法，該方法考慮了經(jīng)驗(yàn)分布周?chē)囊幌盗蟹植?，其結(jié)果提供了對(duì)目標(biāo)事件概率的保守估計(jì)，并且對(duì)概率分布中的擾動(dòng)具有魯棒性。

在分布魯棒優(yōu)化模型中，采用概率密度函數(shù)(Pro-bability density function,PDF)描述事件的不確定性，但PDF是不精確的，考慮將一系列候選PDF構(gòu)成所謂的模糊集。根據(jù)已知信息，可以用兩種方法構(gòu)造模糊集。一種是使用力矩信息，另一種是采用經(jīng)驗(yàn)分布和散度度量。本文從不確定性量化的角度研究了風(fēng)電斜坡事件的概率預(yù)測(cè)[10]，提出具有兩個(gè)模糊集的魯棒概率不等式來(lái)估計(jì)斜坡事件的概率。其中，第一個(gè)模糊集只需要點(diǎn)預(yù)測(cè)和預(yù)測(cè)誤差的平均絕對(duì)偏差，并考慮預(yù)測(cè)誤差分布的單峰性；第二個(gè)模糊集需要任意數(shù)量的風(fēng)電歷史數(shù)據(jù)。兩種模型都是數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的，得到可解的凸優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)離線求解器進(jìn)行求解。

1 所提方法描述

1.1 不確定性量化模型

風(fēng)力發(fā)電斜坡事件發(fā)生在與輸電網(wǎng)相連的大型風(fēng)電場(chǎng)中。現(xiàn)有文獻(xiàn)以幾種方式定義斜坡事件，在文獻(xiàn)[1，12]中，是指風(fēng)電場(chǎng)在多個(gè)時(shí)期內(nèi)的巨大變化(如30分鐘或1小時(shí)內(nèi)達(dá)到20%的容量)，或在短時(shí)期內(nèi)的快速變化率。文獻(xiàn)[1]中，多個(gè)時(shí)段的最大和最小風(fēng)力之間的差異也被視為斜坡事件。

本文研究了文獻(xiàn)[1]中定義的單周期爬坡的超短期預(yù)測(cè)問(wèn)題：連續(xù)兩個(gè)調(diào)度周期(通常為1小時(shí))的風(fēng)電變化超過(guò)一個(gè)閾值。假設(shè)未來(lái)兩個(gè)連續(xù)時(shí)段的點(diǎn)風(fēng)電預(yù)測(cè)可用，應(yīng)用文獻(xiàn)[10]中的方法，很容易識(shí)別風(fēng)電輸出的增量變化，從而以確定的方式檢測(cè)斜坡事件。然而，點(diǎn)預(yù)測(cè)存在不精確性，可以為系統(tǒng)調(diào)度員提供保守或樂(lè)觀的結(jié)果。具有置信水平信息的概率斜坡預(yù)測(cè)是理想的，如文獻(xiàn)[11]中的條件區(qū)間預(yù)測(cè)方法。然而，由于一個(gè)斜坡事件包含兩個(gè)不同時(shí)段的輸出，這兩個(gè)時(shí)段都是不確定的，因此很難從條件區(qū)間預(yù)測(cè)方法中提取風(fēng)電動(dòng)態(tài)。

圖1 風(fēng)電斜坡事件描述

設(shè)w=┌w2,w2┐T為隨機(jī)變量的向量，f(w)為其概率密度函數(shù)(PDF)，向上斜坡事件的概率可以表示為：

Pr{w∈W}

(1)

式中：Pr┌·┐代表事件發(fā)生的概率，且：

(2)

式中：C表示風(fēng)電場(chǎng)的容量；RU表示向上斜坡閾值。將最后一個(gè)約束替換為w1-w2≥RD即可以類(lèi)似的方式設(shè)置向下斜坡事件的概率，其中RD表示向下斜坡閾值。

評(píng)估式(1)中的概率需要用到w的PDF，一般假設(shè)w服從高斯分布，并通過(guò)曲線擬合方法估計(jì)均值和方差。然而，這樣的參數(shù)分布可能無(wú)法反映風(fēng)電的真實(shí)分布情況。為了克服PDF獲取困難的問(wèn)題，本文提出考慮一類(lèi)不確定的PDF，并將其限制在一個(gè)模糊集S內(nèi)，目的是找出最不利的結(jié)果，從而得到以下分布的魯棒不確定性量化問(wèn)題：

(3)

這一問(wèn)題對(duì)應(yīng)一個(gè)概率不等式，可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題求解。Pr[·]定義了從PDFf(w)到實(shí)數(shù)的映射，決策變量是f(w)，是實(shí)值函數(shù)。換句話說(shuō)，對(duì)于每一個(gè)w∈W，f(w)是一個(gè)決策變量，決策變量的數(shù)目是無(wú)限的，可行域是S。如果w服從S中包含的任何分布，則斜坡事件的實(shí)際概率應(yīng)不大于式(3)的最優(yōu)值。這種保守的估計(jì)可以在PDF擾動(dòng)的情況下保持足夠的安全裕度，因此在電力系統(tǒng)運(yùn)行中是可以接受的。

1.2 基于矩的方法

如果所有Borel集B∈B(Rk)的tkf(B-m/t)在t>0時(shí)不遞減，則w∈Rk的概率分布f(w)∈S是中心為m的單峰分布。

(4)

基于矩的模糊集S1考慮了所有具有相同平均值m和平均絕對(duì)偏差σ的偏微分方程，此外，要求PDFf(w)單峰。

將S1代入式(3)，得到的不確定度量化問(wèn)題可以重新表述為以下形式[12]：

inf 1-λ+σTη

(5)

式中：s=[-1,1]T，λ、θ、η和π為輔助變量。

然而，可以發(fā)現(xiàn)約束條件式(9)實(shí)際上是凸的。通過(guò)引入幾個(gè)輔助變量y、t1、t2，可以將它重新定義為線性不等式和二階錐：

(10)

最后，將基于矩模糊集S1的概率不等式(3)轉(zhuǎn)化為二階錐規(guī)劃，即可以進(jìn)行有效的求解。

1.3 基于散度的方法

然而，f0通常是不準(zhǔn)確的，所以本文使用一個(gè)模糊集，其中包含所有與經(jīng)驗(yàn)分布f0足夠接近的偏微分方程。為了量化兩個(gè)偏微分方程之間的距離，本文采用Wasserstein度量，定義為：

對(duì)于兩個(gè)離散分布，Wasserstein度量表示為：

使用Wasserstein距離度量，模糊集可以構(gòu)造為：

S2={f(w)|DW(f,f0)≤dw}

(11)

式中：dw是確定模糊集大小的常數(shù)。當(dāng)dw>0時(shí)，模糊集中存在無(wú)窮多個(gè)偏微分方程；當(dāng)dw接近0時(shí)，模糊集收斂到經(jīng)驗(yàn)分布f0。根據(jù)文獻(xiàn)[13]，dw表達(dá)式為：

dw=-log(α*)/N

(12)

f∈S2的置信水平至少為1-α*。顯然，當(dāng)N增大時(shí)，dw減小，這意味著數(shù)據(jù)越多，經(jīng)驗(yàn)分布f0越準(zhǔn)確。

Kullback-Leibler(KL)散度是另一個(gè)著名的概率分布距離度量。對(duì)于這兩種度量方法，模糊集中的距離閾值在實(shí)際應(yīng)用中都是一個(gè)關(guān)鍵參數(shù)。對(duì)于Wassertein度量，dw可以通過(guò)式(12)選擇，而對(duì)于KL散度，這樣的參數(shù)選擇有點(diǎn)困難。此外，基于Wassertein度量的模糊集可以提供令人滿意的樣本外性能保證。所以本文選擇Wasserstein度量進(jìn)行研究。

將S2代入式(3)，得到的概率不等式可以重新表示為以下形式：

(13)

除了范數(shù)約束式(17)，目標(biāo)函數(shù)式(13)和約束式(14)-式(16)都是線性的。然而，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)p=1或p=∞時(shí)，式(17)為線性約束，當(dāng)p=2時(shí)，式(17)為二階錐約束。本文選擇p=∞，q=1，且式(17)表示為以下線性形式：

2τn≤γ,?n=1,…,N

(18)

2 算例分析

這里將本文模型與高斯混合模型(Gaussian mixture model，GMM)進(jìn)行比較，并用華北地區(qū)風(fēng)電場(chǎng)的實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)，所用數(shù)據(jù)集為2006年1月1日至2015年12月31日的小時(shí)點(diǎn)預(yù)測(cè)和觀測(cè)輸出。為了檢驗(yàn)200 MW斜坡事件的可能性，選擇兩個(gè)連續(xù)的小時(shí)，其中風(fēng)電預(yù)測(cè)分別在[495 MW，505 MW]和[695 MW，705 MW]之間。從數(shù)據(jù)集中恢復(fù)1 083個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)，在算例分析時(shí)，只估計(jì)了向上斜坡事件的概率，向下斜坡可以用同樣的方法處理。在MATLAB R2018a中用YALMIP編制了線性程序和二階圓錐程序，并用CPLEX 12.8進(jìn)行了求解。

為了便于比較，采用GMM進(jìn)行斜坡概率估計(jì)。GMM是多種高斯分布的混合體，可以描述服從任意分布的不確定性。本文GMM分布中包含了三種高斯分布，其中，基于GMM的模型、基于矩的模型和基于散度的模型計(jì)算得到的風(fēng)電斜坡概率分別稱(chēng)為GMM-WRP、Moment-WRP和Div-WRP，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)觀測(cè)到的風(fēng)力發(fā)電斜坡概率表示為O-WRP。表1和圖2比較了不同斜坡閾值RU的結(jié)果?？梢杂^察到GMM-WRP和Div-WRP與O-WRP非常接近，而Moment-WRP總是大于它們。這是因?yàn)榛贕MM的模型和基于散度的模型充分利用了歷史數(shù)據(jù)的離散性，而基于矩的模型只考慮了兩個(gè)分布參數(shù)，忽略了更多有用的信息。然而，考慮到預(yù)測(cè)誤差的單峰性，當(dāng)RU>280 MW時(shí)，Moment-WRP隨斜坡閾值RU的增大而迅速減小，與GMM-WRP和Div-WRP相當(dāng)。表1中，當(dāng)RU=300 MW和400 MW時(shí)，GMM-WRP小于O-WRP，而Div-WRP總是大于O-WRP。這表明，與基于GMM的模型相比，本文提出的基于散度的模型可以提供更保守、更可靠的估計(jì)，以保證電力系統(tǒng)的安全運(yùn)行。此外，表1列出了用給定閾值估計(jì)斜坡概率的平均計(jì)算時(shí)間，可以發(fā)現(xiàn)，基于GMM的模型比所提出的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)模型花費(fèi)的時(shí)間要長(zhǎng)得多，這是因?yàn)槠溆?jì)算包括兩個(gè)步驟：參數(shù)估計(jì)和基于蒙特卡羅的概率計(jì)算。

表1 不同模型估計(jì)的斜坡概率

圖2 不同模型計(jì)算的斜坡概率

在數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法中，歷史樣本數(shù)是影響估計(jì)結(jié)果的一個(gè)關(guān)鍵因素。為了研究其影響，本文首先使用文獻(xiàn)[14]中的場(chǎng)景生成方法，基于上述1 083個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)生成10 000個(gè)風(fēng)電場(chǎng)景。隨后，從10 000個(gè)場(chǎng)景中隨機(jī)選取一組具有給定元素?cái)?shù)的樣本，測(cè)試三個(gè)模型的性能，此過(guò)程重復(fù)100次。RU=300 MW的結(jié)果如圖3所示。隨著抽樣數(shù)據(jù)的增加，三種模型的波動(dòng)率均減小，說(shuō)明樣本數(shù)對(duì)概率估計(jì)的穩(wěn)定性有顯著影響，而且矩模型的波動(dòng)率明顯小于GMM模型和散度模型的波動(dòng)率，因?yàn)槠涫褂玫臍v史數(shù)據(jù)信息最少，所以幾乎不受樣本數(shù)變化的影響。

(a) 基于GMM的模型

表2給出了不同RU值和采樣數(shù)據(jù)NS情況下估計(jì)斜坡概率的統(tǒng)計(jì)信息。采樣數(shù)據(jù)越多時(shí)，斜坡概率的標(biāo)準(zhǔn)差和其限值之間的差異會(huì)顯著減小。當(dāng)NS≤200時(shí)，GMM-WRP和Div-WRP比Moment-WRP更敏感，因?yàn)檫@兩個(gè)模型中使用的色散信息必須基于一定數(shù)量的樣本，而矩模型對(duì)中等數(shù)據(jù)的敏感度較低。當(dāng)NS≥400時(shí)，GMM-WRP和Div-WRP在估計(jì)精度上要明顯優(yōu)于Moment-WRP。然而，GMM-WRP估計(jì)可以是樂(lè)觀的，也可以是悲觀的，而Div-WRP總是保守的，這可以從RU=300 MW和400 MW時(shí)的平均值觀察到。

表2 不同NS和RU值下斜坡概率的統(tǒng)計(jì)信息

續(xù)表2

續(xù)表2

綜上所述，對(duì)于系統(tǒng)調(diào)度員來(lái)講，當(dāng)只有有限的歷史數(shù)據(jù)時(shí)，建議使用基于矩的模型。即使在完全沒(méi)有數(shù)據(jù)的情況下，如果對(duì)平均值和平均絕對(duì)偏差提供適當(dāng)?shù)牟聹y(cè)，也可以應(yīng)用該模型。相反，在數(shù)據(jù)量較大的情況下，由于散度模型可以有更精確的估計(jì)結(jié)果，且具有分布魯棒性保證，因此可以使用散度模型來(lái)限制斜坡事件的概率上限。

3 結(jié) 語(yǔ)

本文提出了一種基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)概率的不等式模型，在給定斜坡閾值下，用于估計(jì)發(fā)生風(fēng)電斜坡事件的概率上限。利用風(fēng)電時(shí)間信息和風(fēng)電出力的單峰性構(gòu)造了模糊集，在構(gòu)造基于散度的模糊集時(shí)，使用了Wasserstein標(biāo)準(zhǔn)度量?jī)煞N概率分布之間的差異。在此基礎(chǔ)上建立了不確定量化模型，其優(yōu)勢(shì)在于不需依賴(lài)不確定因素的精確分布，并且使用了計(jì)算上可處理的凸優(yōu)化。最后，表3中給出了本文討論模型的性能比較和總體評(píng)價(jià)，作為應(yīng)用選擇的參考。

表3 不同模型的性能