小學(xué)數(shù)學(xué)探究性長作業(yè)實踐研究
——以五年級“面積”主題單元為例

孫益新 上海市青浦區(qū)鳳溪小學(xué)

近年來，上海市青浦區(qū)新課堂實驗啟動了深度學(xué)習(xí)的研究。深度學(xué)習(xí)是導(dǎo)向核心素養(yǎng)培育的進(jìn)階學(xué)習(xí)，單單依靠常規(guī)課堂的“理解”很難達(dá)成目標(biāo)，于是，承載著“探究”行為的非常規(guī)學(xué)習(xí)便應(yīng)運(yùn)而生了。就小學(xué)數(shù)學(xué)而言，了解、理解和應(yīng)用等低階水平目標(biāo)在課堂中可以實現(xiàn)，但分析、評價和創(chuàng)造等高階水平目標(biāo)在課堂中卻難以落地。因此，在單元視角下，我們設(shè)想以項目式學(xué)習(xí)的形式開展長作業(yè)研究，或許可以溝通知識間的聯(lián)系，實現(xiàn)知識系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)化的同時，促成核心知識的理解、問題解決技能的提升以及學(xué)習(xí)心向表現(xiàn)的增強(qiáng)。

一、立足單元視角，確定研究目標(biāo)

面積及平面圖形的面積屬于“圖形與幾何”內(nèi)容領(lǐng)域。小學(xué)數(shù)學(xué)“面積”主題單元包括面積概念、面積單位、長正方形面積、平行四邊形面積、三角形面積、梯形面積、組合圖形面積以及面積估測等。其中，前三者屬于三年級學(xué)習(xí)內(nèi)容；第四、五、六項屬于五年級學(xué)習(xí)內(nèi)容；面積估測和組合圖形的面積在兩個年級均出現(xiàn)過。仔細(xì)分析不難發(fā)現(xiàn)：小學(xué)生研究圖形面積一般分為兩個方面，即直邊圖形面積和曲邊圖形面積。直邊圖形面積可運(yùn)用公式精確計算，曲邊圖形面積則需運(yùn)用面積估測方法估算?？傮w而言，小學(xué)生研究面積大多是“紙上談兵”，很少接觸現(xiàn)實生活中的面積概念，尤其曲邊圖形面積估測更令學(xué)生“望而生畏”。這樣，課堂學(xué)習(xí)與現(xiàn)實生活便割裂了。

為了拉近數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，同時也為了發(fā)展空間觀念，培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，本項目以“我做綠化小能手”為主題，研究過程中將測量樹葉和花園面積作為研究重點，為今后研究更為復(fù)雜的曲線圖形面積奠定基礎(chǔ)。

基于以上思考，我確定了本項目的研究目標(biāo)：（1）了解“葉面積指數(shù)”的概念，探索計算桂花園葉面積指數(shù)所需條件和步驟，能最終計算出桂花園葉面積指數(shù)，并對目前的桂花園樹木疏密度提出整改提案；（2）通過小組合作、反饋交流等活動，探索樹葉面積的估測方法和不規(guī)則花園面積的計算方法；（3）在探究活動中，培養(yǎng)操作能力、問題解決能力，發(fā)展空間觀念。

二、遵循學(xué)習(xí)規(guī)律，構(gòu)建問題框架

（一）采集真實問題情境

問題是使學(xué)習(xí)持續(xù)發(fā)生的動力。小學(xué)數(shù)學(xué)長作業(yè)問題情境應(yīng)貼近生活、真實而富有挑戰(zhàn)性。也就是說，長作業(yè)是基于真實問題情境而開展活動的?；顒又?，我們通過座談和問卷的形式就“平面圖形的面積”進(jìn)行了調(diào)查。調(diào)查主題為：你覺得生活中哪里會用到面積？運(yùn)用面積能解決什么問題？學(xué)生們的回答可謂是豐富多彩的。有的同學(xué)提到可以算學(xué)校小花園的面積，有的同學(xué)提到可以算樹葉的面積，還有同學(xué)提到算家里房間的面積、學(xué)校教室面積……仔細(xì)分析不難發(fā)現(xiàn)，這些答案都是基于面積計算或估算來直接解決面積問題的，解決問題的方式較為簡單。作為老師，我不禁陷入沉思：這些雖然都是真實問題，但問題間有沒有關(guān)聯(lián)？如何提出一個真實且富有挑戰(zhàn)性的驅(qū)動問題？

（二）提煉驅(qū)動性問題

此時，學(xué)校正在開展“我是綠化小能手”的社會實踐活動。大家發(fā)現(xiàn)學(xué)校小花園中桂樹長勢不太好，探究是什么原因造成的？學(xué)生順勢思考：可能是桂樹長得太密了。有沒有科學(xué)的方法判斷樹木的疏密度？我讓學(xué)生帶著問題去查找資料。原來，樹木的疏密度與葉面積指數(shù)有關(guān)。什么是葉面積指數(shù)？學(xué)校小花園的葉面積指數(shù)是多少？怎樣的葉面積指數(shù)利于桂樹生長？一連串的追問下，我們發(fā)現(xiàn)“學(xué)校小花園葉面積指數(shù)是否合理”是我們最終要面對的問題，這也是本項目的驅(qū)動性問題。

（三）搭建支架問題

驅(qū)動性問題是一個“大問題”，絕不是一蹴而就的，還需要更多的具有邏輯性的支架式的小問題作為支撐。本項目的支架式小問題就包括：桂樹葉面積如何測量？桂花園面積如何估測？一棵桂樹樹葉量大約有多少片？等等。這些“小問題”之間是邏輯相關(guān)、層層遞進(jìn)的。

三、依據(jù)學(xué)情發(fā)展，逐步實施長作業(yè)

（一）分層次多角度活動推進(jìn)

1.“以終為始”厘清活動序列

“以始為終”是項目式長作業(yè)的主要特征。本項目最終要“寫出小花園的整改提案”，這也是活動之始最先提出的。作為項目的執(zhí)行者，學(xué)生首先要明確自己要做什么、為什么這么做、怎么做等問題，即綠化小能手評估什么（評估花園植物疏密度）、為什么要評估花園植物疏密度（為了讓植物更好成長）、如何評估花園疏密度等（計算葉面積指數(shù)）。因此，學(xué)生自接觸該項目開始便將項目最終目標(biāo)作為解決問題的起點，并通過自制流程圖的方式厘清整個項目的活動序列。

2.“從小到大”踐行核心知識

“從小到大”中的“小”指面積較小的曲面圖形的面積，特指樹葉的面積；“大”指面積較大的曲面圖形的面積，特指花園的面積。研究過程中，所涉及曲面圖形面積“大”與“小”都是本項目的核心知識，同時也是重點實踐的內(nèi)容。研究方式“從小到大”可使操作由易到難，其估測方法也可以由小到大遷移。

（1）估測“小”面積方法多樣化

估測一片桂樹葉的面積是本項目的重點。學(xué)生三年級時學(xué)習(xí)過“運(yùn)用方格紙估測不規(guī)則圖形的面積”；五年級時學(xué)習(xí)過“把不規(guī)則圖形近似看成規(guī)則圖形估測面積”。這些都是學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。這些方法能在實踐中實現(xiàn)嗎？還有其他估測面積的方法嗎？

經(jīng)過小組合作實踐，學(xué)生基本呈現(xiàn)三類方法：其一，運(yùn)用方格紙估測，包括畫小方格；其二，把桂樹葉看作長方形、看作兩個三角形、看作兩個梯形等等，測量后運(yùn)用公式算面積；其三，其他方法，如稱重算面積法、根據(jù)體積算面積法。如果說前兩種方法是學(xué)以致用，那么所謂其他方法便是“自學(xué)成才”或“開拓創(chuàng)新”了。

（2）估測“大”面積方法可遷移

估測不規(guī)則花園的面積相對來說要困難一些。由于學(xué)生已有了估測樹葉面積的經(jīng)驗，因此，實踐過程中學(xué)生基本呈現(xiàn)了兩種方法，即用1 平方米的正方形去測量花園、看成規(guī)則組合圖形算面積。仔細(xì)分析不難發(fā)現(xiàn)，第一種方法與之前用透明方格紙測量基本相似；第二種方法與之前看成規(guī)則圖形計算面積的方法基本雷同。

3.“以主帶輔”關(guān)注輔助知識

此次長作業(yè)，不僅僅要估測一片樹葉的面積，還要估測整個花園的葉面面積。由于花園中桂樹棵數(shù)已經(jīng)確定，還需知道一棵樹上有幾片葉子。這對以“面積”為主題的實踐活動來說卻是輔助知識了。

如何估測一棵桂樹的葉子數(shù)量，研究過程中呈現(xiàn)了一系列方法。其中，先算幾個小枝平均葉子數(shù)，再數(shù)出一個大枝有幾個小枝，再數(shù)出大枝的數(shù)量，最后估測小枝數(shù)量。這種方法精確度高，實踐起來也不算太困難，是多數(shù)小組的選擇?？傊?，學(xué)生們方法多樣，基本上是用“樣本平均數(shù)”知識去解決問題。所以，雖說本項目是以“面積”為主題的長作業(yè)，但或多或少會牽扯到其他知識，諸如估算、平均數(shù)、平均數(shù)的應(yīng)用等等，這些都是數(shù)學(xué)實踐活動中常用的輔助知識，需要加以關(guān)注和實踐。

（二）“成果導(dǎo)向”培育核心素養(yǎng)

本次項目化長作業(yè)是借助小花園桂樹葉面積指數(shù)判斷桂樹的疏密度，最后成果是以提案形式向?qū)W校大隊部提出小花園整改建議。

在一系列過程中，始終以成果為導(dǎo)向亦步亦趨開展活動，學(xué)生在估測花園面積、樹葉面積、桂樹樹葉數(shù)量時，以小組為單位相互配合，其間培養(yǎng)動手操作能力、觀察能力、問題解決能力，逐步將生活中的圖形與數(shù)學(xué)圖形建立有效關(guān)聯(lián)，發(fā)展了空間觀念，實現(xiàn)了核心知識的深度理解；同時，在實踐過程中培養(yǎng)了學(xué)習(xí)興趣，體驗了成功的樂趣，真正培育了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

四、長作業(yè)實踐反思

1.長作業(yè)設(shè)計過程要體現(xiàn)具體的原則

首先，長作業(yè)要以真實的問題情境為導(dǎo)向，同時問題情境要能引起學(xué)生興趣，這樣才能成為學(xué)生持續(xù)研究的動力。所以，長作業(yè)設(shè)計要體現(xiàn)趣味性和情境性。第二，長作業(yè)的活動形式要有層次任務(wù)推進(jìn)，同時活動過程中鼓勵學(xué)生敢于批判、勇于創(chuàng)新。本項目中每個活動間都是層層遞進(jìn)、邏輯相關(guān)的。學(xué)生在實踐每個活動的過程中，又出現(xiàn)許多意料之外又情理之中的結(jié)論，著實讓人眼前一亮。所以，長作業(yè)還要體現(xiàn)層次性和創(chuàng)新性。

2.長作業(yè)實施過程要建構(gòu)互助協(xié)同的關(guān)系

項目式長作業(yè)的實施過程最終還是由小組成員互助完成的。在完成活動的過程中，小組成員在分工合作、交流分享中學(xué)到了知識、獲得了成果、提高了能力、更獲得了友誼。另外，長作業(yè)不僅僅是學(xué)生展示自己的平臺，其間還需教師適時介入。只有師生的共同努力下才能使每一位成員都有收獲，同時在這一過程中建立協(xié)同型師生關(guān)系。

3.長作業(yè)的發(fā)展還需更多的社會支持

長作業(yè)畢竟是一項新型的作業(yè)，其發(fā)展歷程還不長，但其教育意義和價值已不容小覷。因此，項目式長作業(yè)的發(fā)展還需更多學(xué)校、教師、家長和有關(guān)教育行政部門的大力支持。