能效最大化準則下的星地融合網(wǎng)絡的安全波束成形算法

林 志，林 敏，黃清泉，趙 柏，顧晨偉，許 拔

（1.國防科技大學電子對抗學院，安徽合肥 230037；2.南京郵電大學通信與信息工程學院，江蘇南京 210003；3.32075部隊，江蘇南京 210018；4.國防科技大學第六十三研究所，江蘇南京 210007）

1 引言

近年來，星地融合網(wǎng)絡（Satellite-Terrestrial Integrated Networks，STIN）由于在帶寬、功率消耗、頻譜效率以及提供綜合業(yè)務方面具有明顯的優(yōu)勢，成為未來通信領域一個新的研究亮點［1～3］.星地融合網(wǎng)絡利用地面無線通信成熟傳輸體制和衛(wèi)星通信的廣域覆蓋性，通過總體控制部署可以最大限度地利用無線資源，同時提高衛(wèi)星子網(wǎng)和地面蜂窩子網(wǎng)的傳輸效率［4］.該網(wǎng)絡架構在現(xiàn)實場景中具有諸多的應用優(yōu)點，比如：保障突發(fā)事件時的有效通信服務；增強高密集服務區(qū)域或偏遠地區(qū)信號強度，采用地基波束形成技術為衛(wèi)星“減負”；適用于任何通信體制；能有效促進衛(wèi)星和地面網(wǎng)絡運營商的統(tǒng)一.文獻［5］提出了星地融合網(wǎng)絡的一般性框架，從物理層的角度分別針對單播和多播傳輸?shù)膱鼍斑M行討論.此外，星地融合網(wǎng)絡在工業(yè)方面也受到了廣泛的關注.我國正在規(guī)劃的星地融合網(wǎng)絡主要包括國家科技創(chuàng)新2030 重大項目“天地一體化信息網(wǎng)絡低軌接入網(wǎng)”、航天科技集團的“鴻雁工程”、航天科工集團的“虹云工程”等.

物理層安全技術，由于利用無線信道的物理差異性從信息論的角度為信號傳輸增加一層安全保障，在地面蜂窩網(wǎng)絡通信領域中得到了學者們的廣泛研究.同時，衛(wèi)星通信由于廣域覆蓋性和用戶接入的開放性使得安全傳輸成為該領域的熱點問題.不同于地面網(wǎng)絡通信，衛(wèi)星超長距離的信息傳輸使得合法鏈路和竊聽鏈路的物理差異性較低，而且有限的星載功耗和計算能力導致了很難將物理層安全技術直接運用于衛(wèi)星通信.為解決這一問題，文獻［6］針對星地融合網(wǎng)絡提出了2 種基于迫零的波束形成方案，通過設計基站發(fā)送的信號來增強對衛(wèi)星竊聽用戶的干擾，在保證衛(wèi)星和地面用戶服務質(zhì)量的同時，增強了衛(wèi)星下行鏈路傳輸?shù)陌踩?文獻［6］的工作隨后被文獻［7］擴展到了更一般化的通信場景，文獻［7］分別針對單竊聽和多竊聽的情況研究了安全速率約束下的總發(fā)射功率最小化問題.在實際通信場景中，由于竊聽者往往是網(wǎng)絡中的非認證用戶，發(fā)送端僅能獲取非理想的竊聽信道狀態(tài)信息.基于邊界類的竊聽信道誤差模型，文獻［8］研究了多波束衛(wèi)星系統(tǒng)中的可達安全速率最大化問題，結合連續(xù)凸估計方法提出了一種安全波束成形方案.文獻［9］針對統(tǒng)計性的竊聽信道誤差模型，研究了中斷概率限制下的基站發(fā)射功率最小化問題.基于位置誤差的竊聽信道模型，文獻［10］研究了星地融合網(wǎng)絡中的安全速率最大化問題，分別針對協(xié)作和非協(xié)作竊聽場景提出了相應的安全波束成形方案.

隨著無線終端設備數(shù)量的大規(guī)模增長和對傳輸速率要求的劇增，高速率傳輸和低功率消耗成為未來通信系統(tǒng)需要考慮的關鍵問題之一，作為同時衡量傳輸速率和能耗的能量效率指標得到了學者們的廣泛研究［11～13］.文獻［14］針對認知網(wǎng)絡研究了能效最大化問題，提出基于凸差函數(shù)的波束成形方案并得到了近似最優(yōu)解.文獻［15］研究了無線攜能傳輸系統(tǒng)中的全局能效優(yōu)化問題，采用二分法、連續(xù)凸估計和Dinkelbach方法得到了波束成形和人工噪聲矢量.針對存在竊聽的場景，有學者分別研究了安全限制下的能效問題和基于安全能效準則（安全速率與能量消耗的比值）的波束成形設計.文獻［16］針對存在多竊聽的認知網(wǎng)絡研究了發(fā)射功率受限、安全速率約束和主用戶服務質(zhì)量要求下的安全能效最大化問題，提出了結合懲罰函數(shù)和連續(xù)凸估計的方案對原問題進行求解.文獻［17］分別考慮瞬時和統(tǒng)計性的信道狀態(tài)信息，研究了結合正交頻分多址的認知網(wǎng)絡的安全能效最大化問題.

在傳統(tǒng)的數(shù)字波束成形系統(tǒng)中，每根天線連接的專用射頻鏈路（包括射頻單元和數(shù)模轉換器等）的能量消耗約為200mW，而隨著毫米波頻段和大規(guī)模天線在未來通信中的應用，這會造成發(fā)送端大量的功率消耗.為解決這一問題，有研究人員提出了混合模擬-數(shù)字系統(tǒng)，該系統(tǒng)由少量的射頻鏈路和較多的模擬移相器構成.混合模擬-數(shù)字系統(tǒng)可以在損失少許頻譜性能的情況下，通過減少射頻鏈路的數(shù)量，使其比基于數(shù)字系統(tǒng)的功耗更小、計算復雜度更低.文獻［18］研究了混合模擬-數(shù)字系統(tǒng)中子天線陣中的能效問題，基于干擾對準技術和分式規(guī)劃方法提出了一種雙層迭代的混合預編碼方案，最后以較低的算法復雜度獲得了近似最優(yōu)的性能.然而，星地融合網(wǎng)絡中基于混合模擬-數(shù)字波束成形技術的能效優(yōu)化問題仍有待進一步研究.綜上所述，為了降低能量消耗、提高頻譜效率、增強系統(tǒng)魯棒性并提升信息傳輸?shù)陌踩?，對基于混合模擬-數(shù)字系統(tǒng)的星地融合網(wǎng)絡中的能效問題進行研究具有非常重要的理論意義和現(xiàn)實價值.

本文主要的研究工作如下.

（1）假設基站配備均勻面陣天線，構建存在多竊聽的星地融合網(wǎng)絡系統(tǒng)模型，建立衛(wèi)星和基站下行鏈路信道模型.考慮基站僅獲取了統(tǒng)計性的竊聽信道狀態(tài)信息，在發(fā)射功率受限、用戶信干噪比限制和竊聽信干噪比概率約束的情況下，研究了蜂窩用戶能效最大化問題.該優(yōu)化問題是一個非線性、數(shù)字和模擬波束成形矢量耦合的非凸優(yōu)化問題，很難獲得該問題的最優(yōu)解.

（2）由于中斷概率約束的竊聽信干噪比限制的非凸性，利用S-Procudure 和Bernstein 型不等式方法將此限制條件轉化為線性矩陣不等式和二次錐約束.接著，運用Charnes-Cooper 轉換法和罰函數(shù)法將原分式目標函數(shù)的非凸優(yōu)化問題轉換為凸優(yōu)化問題，并提出一種雙層迭代算法計算出模擬和數(shù)字波束成形權矢量.

（3）仿真結果表明，本文所提的混合波束成形方案能以較低的算法復雜度在保證安全傳輸?shù)幕A上能獲得較好的能效性能.與半定松弛方案、安全速率最大化和功率最小化方案的比較，進一步驗證了所提方案的有效性.

2 系統(tǒng)模型

如圖1所示，星地融合網(wǎng)絡由一個衛(wèi)星通信系統(tǒng)和地面蜂窩通信系統(tǒng)組成.衛(wèi)星網(wǎng)關站作為控制中心，負責收集衛(wèi)星和基站下行鏈路的信道信息、網(wǎng)絡用戶的服務需求、發(fā)送端的配置參數(shù)等，用于進行總體的資源分配和優(yōu)化計算.衛(wèi)星服務一個地面站，存在K個竊聽者試圖竊聽衛(wèi)星下行鏈路，同時基站服務一個蜂窩用戶.在該模型中，所有的信道均是平坦慢衰落信道.系統(tǒng)參數(shù)如表1所示.

表1 系統(tǒng)參數(shù)

圖1 星地融合網(wǎng)絡下行傳輸模型

該星地融合網(wǎng)絡工作于Ka 頻段以實現(xiàn)寬帶傳輸，多波束衛(wèi)星配備了單饋元反射拋物面天線，在這種場景下，衛(wèi)星下行信道模型受路徑損耗、衛(wèi)星多波束增益和地面站天線增益等因素的影響，衛(wèi)星與地面站之間的下行鏈路信道建模為

其中，i∈{s,c,k},k∈{1,2,…,K}；G表示地面站的拋物面天線增益，根據(jù)ITU 的天線標準，增益G的dB 形式［19］，可表示為

其中，Gmax表示地面站天線的最大增益；ψ表示傳輸鏈路與地面站天線主軸方向間的夾角.式（1）中，PL為自由空間路徑損耗，可表示為

其中，c表示光速；fc表示載波頻率；d為衛(wèi)星與地面站間的距離.

b表示衛(wèi)星波束增益［20］，可表示為

其中，bmax為衛(wèi)星天線的最大增益；J1(·)和J3(·)分別表示1 階和3 階的第一類貝塞爾函數(shù)；u=2.07123sin?/sin?3dB，?表示地面用戶相對于衛(wèi)星天線的偏軸角，?3dB為單邊半功率波束寬度.

為了準確描述信號包絡的統(tǒng)計特性，采用復合衰落分布模型對衛(wèi)星鏈路進行建模.根據(jù)文獻［6］中的陰影萊斯衰落模型，信道衰落系數(shù)可描述為

其中，?nLoS表示非直達徑的隨機相位；GLoS和GnLoS分別表示直達徑和非直達徑的幅度，且分別服從Nakagami-m和Rayleigh分布.

如圖2所示，基站配備了Nb=N1×N2根均勻面陣天線，其中N1和N2分別表示天線陣X軸和Z軸方向的天線數(shù).θ和φ分別表示直達鏈路在天線陣垂直方向和水平方向上的到達角分量，從圖中可知，通過θ和φ可以確定唯一的直達鏈路方向.

圖2 基站天線陣模型

根據(jù)高頻段無線電的傳播特性，基站下行鏈路信道是由主分量的直達鏈路和多條離散的非直達鏈路組成.因此，基站下行鏈路信道矩陣可建模為

其中，g(θ,φ)表示天線陣列增益；ρi和Α(θi,φi)分別表示第i條路徑的路徑損耗和陣列導向矩陣；L表示非直達徑的數(shù)量.

直達鏈路的路徑損耗可表示為|ρ0|=λ/(4πd)，而多徑分量的增益|ρl|通常比直達分量弱5～10 dB.天線陣列增益g(θ,φ)的dB形式可描述為

其中，gh(φ)和gv(θ)分別表示水平和垂直方向的增益，可分別表示為

式（6）中，導向矩陣Α(θ,φ) 可寫成Α(θ,φ)=ah(θ,φ)(θ)，其中，ah(θ,φ)和av(θ)為水平和垂直方向的導向矢量，可寫成

可將式（6）中的信道矩陣轉換為矢量形式，即

衛(wèi)星向地面站發(fā)送信號x(t)，與此同時，基站在向蜂窩用戶發(fā)送信號s(t)之前，將其映射到數(shù)字波束賦形權矢量v∈和模擬波束成形矩陣P∈，其中Nr表示射頻鏈路數(shù).地面站、蜂窩用戶和第k個竊聽的接收信號可以分別表示為

其中，噪聲{ns(t),nc(t),nk(t)}～CN(0,σ2)服從獨立的高斯分布，噪聲功率滿足σ2=κTB（其中，κ 表示玻爾茲曼常量，T表示噪聲溫度，B表示傳輸帶寬）.

地面站、蜂窩用戶和第k個竊聽接收信號的信干噪比可以分別表示為

基站的功率消耗主要來自于發(fā)射功率、射頻鏈路功耗Pr和天線端的電路損耗Pa（移相器、功分、功合和功放器），因此基站實際消耗的功率為

其中，μ表示發(fā)射功率效率.

蜂窩用戶的能效可以定義為

竊聽者是網(wǎng)絡中的非法用戶，基站無法獲知理想的竊聽信道狀態(tài)信息，因此采用統(tǒng)計性的信道誤差模型給竊聽信道建模，即

信道誤差可重新表示為Δk=Ωk1/2fk，其 中fk～CN(0,).

本文在滿足發(fā)射功率限制、合法用戶的信干噪比限制和基于中斷的竊聽信干噪比約束條件下，研究蜂窩用戶能效最大化問題，建立的優(yōu)化問題為

限制C4中，i∈{1,2,…,Nb},j∈{1,2,…,Nr}.

顯然，分式形式目標函數(shù)的混合波束成形設計，造成了優(yōu)化問題（16），是一個多變量耦合的非凸問題，而且限制C3中的統(tǒng)計性竊聽信道誤差Δk使該優(yōu)化問題屬于非穩(wěn)健優(yōu)化問題.因此，如何設計混合波束成形來克服信道不確定性問題并提高網(wǎng)絡傳輸?shù)聂敯粜院桶踩跃惋@得尤其重要.

3 魯棒安全波束成形設計

3.1 基于中斷概率限制的轉換與優(yōu)化

根據(jù)魯棒優(yōu)化理論可知，非理想信道的建模主要有2類：基于邊界不確定性的模型和基于統(tǒng)計性的誤差模型.相較于竊聽信道的邊界誤差范圍，竊聽信道的統(tǒng)計信息更易獲取，因此研究統(tǒng)計性的魯棒方案更符合實際的傳輸場景，可以從統(tǒng)計的角度確保竊聽信干噪比的中斷概率大于設定門限.總體來說，基于概率約束的魯棒優(yōu)化問題有2種常用的方法：概率分布法和近似法.接下來將采用這兩種方法分別對基于中斷概率的限制C3進行轉換.

3.1.1 S-Procedure方法

定義混合波束成形矩陣W=PvvΗPΗ，可知W是秩為1的半正定矩陣，因此可將限制C3中的γk≤Γe重新表示為

進一步將信道誤差Δk=Ωk1/2fk代入式（17），可得

定理1對于任意滿足Pr{a∈Φ} ≥1-ρ的集合Φ∈，可以推導出

根據(jù)定理1，限制C3可轉化成確定性的二次約束，即

由于fk位于圓形集合中，該限制的變量仍存在無數(shù)種可能的取值，因此限制條件（21）仍是非凸的.根據(jù)S-procedure 定理，本節(jié)將此非凸限制轉換為線性矩陣不等式形式.

定理2（S-Procudure）定義函數(shù)如下：

只有當存在一個變量滿足以下不等式成立時：

可以從g1(x) ≤0推導出g2(x) ≤0.

根據(jù)定理2，可將限制條件（21）表示為

3.1.2 基于Bernstein型不等式方法

盡管基于S-Procedure 方法可以獲得較好的性能，但實質(zhì)上是對原限制條件進行放松型的估計，因此性能會優(yōu)于原優(yōu)化問題的全局最優(yōu)解.為了更準確地對原非凸限制進行近似，在本小節(jié)中采用基于Bernstein型不等式的方法，推導概率約束的一系列近似表達式.

定 理3Pr{aΗΧa+2Re(aΗx)+c} ≥1-ρ成立的充分條件等同于下列線性矩陣不等式和二次錐限制：

其中，τ1和τ2為松弛變量.

根據(jù)定理3，并引入松弛變量ωk≥0 和?k≥0，可將限制C3轉換成

3.2 混合波束成形迭代方案

由于優(yōu)化問題（16）中的目標函數(shù)是分式形式，屬于非凸函數(shù)，因此本文采用Charnes-Cooper 方法，向目標函數(shù)中引入輔助變量α，定義V=vvΗ，以S-Procedure方法為例，優(yōu)化問題可重新表示為

3.2.1 數(shù)字波束成形矩陣的迭代求解

為了解決數(shù)字和模擬波束成形矩陣間的耦合問題，本節(jié)采用嵌套式的算法分別對V和P進行迭代求解.假設第n次迭代的模擬波束成形矩陣為P(n)，可將優(yōu)化問題（27）寫成：

從式（28）可知，目標函數(shù)是兩個變量函數(shù)的乘積形式，依然是很難處理的非凸優(yōu)化問題.本節(jié)提出一種內(nèi)外層迭代算法，外層優(yōu)化問題可表述為

其中，g(α)是問題（28）的目標函數(shù)中的蜂窩用戶速率.外層優(yōu)化問題可以通過黃金分割搜索法，給定最大和最小的α值，接著分別計算對應α值下的內(nèi)層優(yōu)化問題，然后進一步分割搜索出α-1g(α)的最大值.內(nèi)層優(yōu)化問題可表述為

除了秩為1 的限制，優(yōu)化問題（30）屬于凸優(yōu)化問題，可直接使用CVX軟件包進行求解.

3.2.2 模擬波束成形矩陣的迭代求解

假設第n次迭代的數(shù)字波束成形矩陣為V(n)，并進行特征值分解得到數(shù)字波束成形權矢量v(n)，可將優(yōu)化問題（27）寫成

上述優(yōu)化問題省略了問題（27）中的限制條件C5，這是因為迭代的數(shù)字波束成形矢量已滿足限制C5.為簡化計算，進一步對矩陣變量P進行矢量化處理，可將優(yōu)化問題（31）重新表述為

因此可將上述優(yōu)化問題表述為

3.3 迭代罰函數(shù)法

為解決上述優(yōu)化問題（30）和（33），可以通過采用半定松弛方法（Semidefinite Relaxation，SDR）直接移除秩為1 的限制，再基于計算出的波束成形矩陣，隨機生成大量秩為1的波束成形矩陣，并從中選擇局部最優(yōu)的作為近似解.由于隨機產(chǎn)生的波束成形矩陣并不能保證是原問題的全局最優(yōu)解，尤其是在高維度矩陣的情況下，性能的好壞是取決于樣本的數(shù)量，因此所得近似解的性能可能會遠差于最優(yōu)解的性能.針對這一問題，本節(jié)提出了基于non-smooth方法的迭代罰函數(shù)算法.

以問題（30）中的數(shù)字波束成形求解為例，可將問題（30）中的秩1限制C7重新表述為

其中，λmax(V)表示矩陣V的最大特征值.對于任意矩陣均滿足Tr(Χ) ≥λmax(Χ)，因 此，式（34）等價于Tr(V)=λmax(V)，即矩陣V有且僅有一個非零最大特征值V=λmax(V)vmax，其中vmax為最大特征值對應的特征向量.優(yōu)化問題（30）可表示為

需要指出的是，當Tr(V)-λmax(V)的值足夠小時，V可近似為λmax(V)vmax，因此接下來的目標是使得Tr(V)-λmax(V)的值盡可能地趨近于0.通過采用懲罰函數(shù)法，將限制條件帶入目標函數(shù)中，可以得到

其中，μ1是一個較大數(shù)值的懲罰因子，目的在于保證Tr(V)-λmax(V)的值足夠小.由于λmax(V)的非平滑特性，優(yōu)化問題（36）屬于凹規(guī)劃問題.根據(jù)λmax(Χ)的梯度求導性質(zhì)，可得

假設優(yōu)化問題（38）在第m次迭代后的最優(yōu)解為V(m+1)，下式可進一步證明該迭代算法的收斂性：

由于問題（38）和（40）均為凸優(yōu)化問題，可使用CVX 軟件包直接獲得，因此，根據(jù)上述結論，基于罰函數(shù)的雙層迭代的魯棒波束成形算法如算法1所示.

4 計算復雜度分析

在所提的魯棒混合波束成形算法中，計算復雜度由迭代復雜度和每次迭代的計算復雜度組成.每次迭代的計算復雜度取決于優(yōu)化問題中的變量和限制條件的類型和數(shù)量［21］.在基于S-Procedure的方法中，優(yōu)化問題（38）含有+K+1個變量、K個尺寸為2Nr的線性不等式限制、4 個尺寸為Nr的線性不等式限制，優(yōu)化問題（40）含有+K個變量、K個尺寸為2NbNr的線性不等式限制、3個尺寸為NbNr的線性不等式限制.在基于Bernstein 型不等式方法中，優(yōu)化問題（38）含有+K+1個變量、2K+4個尺寸為Nr的線性不等式限制、K個尺寸為+Nr+1 的二次錐不等式限制，優(yōu)化問題（40）含有+K個變量、2K+3個尺寸為NbNr的線性不等式限制、K個尺寸為+NbNr+1的二次錐不等式限制.假設算法1 中的外層和內(nèi)層迭代次數(shù)分別為T1和T2，基于S-Procedure 和Bernstein 型不等式算法的總體計算復雜度分別表示為

5 仿真分析

為了驗證本文所提算法的有效性，本節(jié)將基于S-Procedure 和Bernstein 型不等式的方案與基站速率最大化方案［17］、基站發(fā)射功率最小化方案［17］、數(shù)字波束成形方案［14］和半定松弛方案進行對比.假設網(wǎng)絡中存在2個竊聽者，所有用戶和竊聽者均在衛(wèi)星和基站服務覆蓋范圍內(nèi).載波頻率為18 GHz，傳輸帶寬為50 kHz，噪聲溫度為T=300 K，基站發(fā)射功率效率μ=1/0.39，每根天線的電路功率損耗（移相器、功分、功合和功放器）為Pa=40 mW，射頻鏈路的功耗為Pr=200 mW，衛(wèi)星的發(fā)射功率為Ps=1 W，地面站和蜂窩用戶的信干噪比門限為5 dB，竊聽者的信干噪比限制為-10 dB，中斷概率約束為0.1，竊聽信道誤差的協(xié)方差矩陣Ω=，ζ=0.005表示誤差的方差值.

圖3 給出了基于S-procedure 方法得出的混合波束成形矢量Pv的歸一化方向圖，右側的色標單位是dB.該圖中，假設基站配備了Nb=8×8 的均勻平面陣，基站的發(fā)射功率限制為Pb=20 mW.從圖中可以看出，基站發(fā)送的信號主瓣對準了蜂窩用戶，且該信號在衛(wèi)星地面站處產(chǎn)生了-40 dB 的零陷，說明所提方案能有效地抑制基站對地面站的干擾.同時，該信號產(chǎn)生的2個旁瓣對準了竊聽用戶，因此驗證了該方案可以通過利用基站的干擾實現(xiàn)衛(wèi)星下行鏈路的安全傳輸.

圖3 混合波束成形歸一化方向圖

圖4 給出了蜂窩用戶能量效率與基站發(fā)射功率和衛(wèi)星發(fā)射功率間的關系圖.假設基站處配備了Nb=4×4 的均勻平面陣，射頻鏈路數(shù)為Nr=4.從圖中可以看出，隨著基站發(fā)射功率的增加，蜂窩用戶的能效顯著提升，當達到某一門限值時，能效不會隨著基站發(fā)射功率的增加而變化并趨于穩(wěn)定.這是因為在達到最優(yōu)能效對應的功率門限值后，進一步增加發(fā)射功率使得能效函數(shù)中功率的線性增幅大于蜂窩用戶速率的對數(shù)增幅，因此基站實際的發(fā)射功率值會依舊為，從而使得能效性能最優(yōu).另外，蜂窩用戶的能效會隨著衛(wèi)星發(fā)射功率的增加而逐漸減小.這是因為衛(wèi)星發(fā)射功率在滿足地面站的接收信干噪比限制后，進一步增加衛(wèi)星發(fā)射功率會增強衛(wèi)星對蜂窩用戶的干擾，從而減小蜂窩用戶的能效.

圖4 微蜂窩用戶實際切換系數(shù)與最小速率門限之間的關系

圖5 給出了蜂窩用戶的能效與基站發(fā)射功率的關系.假設基站處配備了Nb=4×4的均勻平面陣，射頻鏈路數(shù)為Nr=4，衛(wèi)星發(fā)射功率為1 W.仿真結果表明，隨著基站發(fā)射功率的增加，Bernstein 型不等式+SDR 的方案、本文所提的S-Procedure 和Bernstein 型不等式方案所得的能效均增大，當達到某一功率門限值后，能效將趨于穩(wěn)定.而且由于S-Procedure 是對于原優(yōu)化問題的松弛處理，因此性能要優(yōu)于Bernstein 型不等式方案，由于采用基于隨機化產(chǎn)生的波束成形，SDR 方案的性能要弱于本文所提的兩種懲罰函數(shù)方案.在速率最大化方案中，目標函數(shù)速率會隨著功率門限的增加而一直增大，因此該方案的能效會先增加再減小.而發(fā)射功率最小化方案在滿足用戶信干噪比的限制和竊聽的中斷概率條件后，當進一步增加Pb時，會出現(xiàn)能效性能先下降再穩(wěn)定的情況，這時發(fā)射功率最小化問題的最優(yōu)功率要大于能效最大時的功率Pbmin≥，因此能效性能會先下降再趨于穩(wěn)定.

圖5 蜂窩用戶能量效率與基站發(fā)射功率門限的關系

圖6 展示了不同混合天線陣的結構.圖7 給出了Bernstein 型不等式方案在不同天線陣結構下的蜂窩用戶能效與基站射頻數(shù)的關系.需要指出的是，圖3～5 的仿真均基于全連接的混合陣結構（Full-Connected Architecture）.圖6 中展示了交織混合陣結構（Interleaved Hybrid Architecture）和局部混合陣結構（Localized Hybrid Architecture）.相較于全連接的混合陣，交織和局部混合陣去除了功合器部分，而且減少了移相器的數(shù)量，因此節(jié)省了電路功率消耗.從圖7 可知，所有天線陣結構的能效會隨著基站射頻鏈路的增加而減少，而交織和局部結構的能效性能和減少的幅度均優(yōu)于全連接結構，這是因為射頻鏈路的增加不僅會增加3 種天線陣的消耗功率，更會進一步增加全連接結構的移相器數(shù)目和相應的功耗.而且隨著基站射頻鏈路的變化，交織和局部結構的方案性能幾乎一樣，這是因為2種天線結構的電路功耗相同，由于2 種結構的速率相近，因此能效性能也會非常接近.當天線數(shù)增加時，3種方案的能效性能均有所降低，這是因為天線數(shù)的增加帶來的速率增幅小于功率的增幅，因此造成了能效的降低.

圖6 不同混合陣的模擬波束成形結構

圖7 蜂窩用戶能效與基站射頻數(shù)的關系

圖8給出了蜂窩用戶能效與基站天線數(shù)間的關系.從圖中可知，混合陣結構的能效性能明顯優(yōu)于數(shù)字波束成形方案的性能，而且所有方案的能效性能均隨著天線數(shù)的增加而減小，交織和局部混合陣結構的性能要優(yōu)于全連接結構.這是因為天線數(shù)的增加使得相應電路器件的功耗增加，造成了能效的降低.從圖中可推斷出，基站應在滿足用戶信干噪比和竊聽概率限制時，選擇盡可能少的射頻數(shù)和合適的天線數(shù)，從而獲得較高的能效性能.

圖8 蜂窩用戶能效與基站天線數(shù)的關系

6 結束語

本文對星地融合網(wǎng)絡中基于能效的安全波束成形設計進行了研究.假設基站采用混合天線陣結構并配備了均勻平面陣，在基站發(fā)射功率受限、用戶信干噪比約束和基于中斷概率的竊聽信干噪比約束下，本文研究了蜂窩用戶能效最大化問題.分別利用S-Procedure和Bernstein 型不等式方法將基于概率約束的竊聽信干噪比轉換為線性矩陣不等式和二次錐限制的形式，并采用Charnes-Cooper 轉換和罰函數(shù)法將含有分式目標函數(shù)的非凸優(yōu)化問題轉換為凸優(yōu)化問題，提出一種雙層迭代算法計算出數(shù)字和模擬波束成形權矢量，并分析了算法的計算復雜度.仿真結果表明，本文算法所提的波束成形方案具有較好的魯棒性、安全性和能效性能.