內(nèi)齒輪傳動(dòng)嚙合齒面穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)分析

張躍明，張 皓，紀(jì)姝婷，周天宇

（北京工業(yè)大學(xué)先進(jìn)制造技術(shù)北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100124）

2K?V 行星傳動(dòng)裝置采用兩級(jí)減速傳動(dòng)組成，第一級(jí)減速為普通的外嚙合齒輪傳動(dòng)，第二級(jí)減速采用內(nèi)嚙合少齒差行星齒輪傳動(dòng)。機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖如圖1 所示。2K?V 行星減速器作為一種高精密減速器對(duì)傳動(dòng)精度有很高的要求，此種情況下由熱變形引起的傳動(dòng)誤差不可忽略，因此對(duì)輪齒進(jìn)行熱分析有重要的意義。Mao［1］用解析法對(duì)齒輪進(jìn)行熱分析。Domnita Fratila 和Adrian Radu［2］用有限元方法對(duì)齒輪加工過程中的穩(wěn)態(tài)溫度進(jìn)行仿真研究。薛建華等［3］精確計(jì)算了對(duì)流換熱系數(shù)，并利用限元和熱彈流結(jié)合的方法得到了齒輪本體溫度場(chǎng)的分布。羅彪等［4］引進(jìn)混合介質(zhì)特性參數(shù)的比例因子以修正系數(shù)得到了齒輪穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)和熱變形。龔憲生等［5］分析了齒廓修形參數(shù)對(duì)溫度場(chǎng)的影響。任敏強(qiáng)等［6］分析了不同工況下機(jī)車驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)用齒輪穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)的分布。Handschuh 等［7］對(duì)螺旋錐齒輪進(jìn)行熱分析得到穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)以及隨時(shí)間和位置變化的溫度場(chǎng)。

圖1 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖Fig.1 Kinematic diagram of mechanism

本文取減速器中單個(gè)齒輪來進(jìn)行分析。計(jì)算了不同嚙合位置處摩擦熱流量的數(shù)值以及各個(gè)表面的對(duì)流換熱系數(shù)；并通過將嚙合齒面劃分成若干條形區(qū)域，來實(shí)現(xiàn)摩擦熱流量的加載；采用有限元的方法，得到單齒的穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)分布。

1 齒輪穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)的理論基礎(chǔ)

齒輪系統(tǒng)在傳動(dòng)過程中存在摩擦生熱和齒輪接觸面之間對(duì)流換熱這兩種狀態(tài)。當(dāng)生熱和換熱趨于平衡時(shí)，達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，此時(shí)齒輪的溫度基本不變。處于穩(wěn)定狀態(tài)之后的同一個(gè)齒輪上所有的齒，齒輪旋轉(zhuǎn)一周的時(shí)間內(nèi)所經(jīng)歷的過程是相同的［5］。所以取單個(gè)輪齒進(jìn)行穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)研究。單齒模型如圖2 所示。

圖2 單齒模型Fig.2 Single gear model

式中：hn為輪齒端面與周圍潤(rùn)滑油表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)；hd為輪齒齒頂面與周圍潤(rùn)滑油表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)；hg為齒根面與周圍潤(rùn)滑油表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)。

2 輪齒工作面摩擦熱流量的計(jì)算

內(nèi)齒輪和外齒輪在嚙合過程中，為了保證齒輪正常傳動(dòng)，沿嚙合線方向上的速度是相等的。而在與嚙合線垂直方向上的速度是不相等的，產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)，齒輪間的摩擦熱由此產(chǎn)生。內(nèi)外齒輪在不同嚙合點(diǎn)處的摩擦熱流量由齒輪間的平均接觸應(yīng)力σk、相對(duì)滑動(dòng)速度vk、摩擦因數(shù)f和熱能轉(zhuǎn)化系數(shù)γ共同決定的［3，8?9］。計(jì)算公式如下

2.1 摩擦因數(shù)

齒輪副在嚙合過程中主要存在以下幾個(gè)潤(rùn)滑狀態(tài)：完全彈流潤(rùn)滑、混合潤(rùn)滑、邊界潤(rùn)滑和干摩擦。

在實(shí)際傳動(dòng)過程中，齒輪的大部分區(qū)域處于完全彈流潤(rùn)滑狀態(tài)。但是當(dāng)條件達(dá)不到時(shí)，會(huì)出現(xiàn)不能形成的完整的潤(rùn)滑油膜，此時(shí)會(huì)發(fā)生由液體摩擦過度到干摩擦的情況，也就是邊界潤(rùn)滑的情況的。綜上所述，混合潤(rùn)滑是普遍存在的潤(rùn)滑狀態(tài)。此時(shí)的摩擦因數(shù)可為［10］

2.2 嚙合點(diǎn)相對(duì)滑動(dòng)速度

由于2K?V 型行星減速器的內(nèi)齒輪一般是固定的，在傳動(dòng)過程中外齒輪既有自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)又圍繞內(nèi)齒輪中心進(jìn)行公轉(zhuǎn)，此種情況下直接計(jì)算相對(duì)速度比較困難。根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)原理，將第一級(jí)和第二級(jí)減速機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)化為定軸傳動(dòng)，各個(gè)輪齒之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系并沒有改變［11］。轉(zhuǎn)換輪系中，內(nèi)齒輪和外齒輪的角速度分別為

如圖3 所示，B1B2為實(shí)際嚙合線長(zhǎng)度，內(nèi)外齒輪在K點(diǎn)接觸嚙合。N1、N2分別為外齒輪和內(nèi)齒輪的曲率中心。ra1、ra2分別為外齒輪和內(nèi)齒輪的齒頂高半徑；vK1、vK2分別為外齒輪和內(nèi)齒輪嚙合點(diǎn)處的速度。嚙合點(diǎn)K到節(jié)點(diǎn)P的距離為

圖3 齒輪嚙合示意圖Fig.3 Schematic diagram of gear meshing

由于每一個(gè)不同的rk值都對(duì)應(yīng)著漸開線上的一個(gè)嚙合點(diǎn)，所以由式（14）就可以得到任意嚙合位置處內(nèi)外齒輪的相對(duì)滑動(dòng)速度。如圖4 所示，當(dāng)嚙合點(diǎn)在外齒輪的齒根和齒頂附近時(shí)，相對(duì)滑動(dòng)速度比較大，節(jié)點(diǎn)處的相對(duì)滑動(dòng)速度為零。

圖4 嚙合點(diǎn)處的相對(duì)速度Fig.4 Relative velocity at different meshing positions

2.3 齒面間的平均接觸應(yīng)力

根據(jù)赫茲理論，內(nèi)齒輪和外齒輪嚙合時(shí)可以等效為兩個(gè)圓柱體接觸，圓柱體的半徑為嚙合點(diǎn)處的等效曲率半徑［12］。齒輪的參數(shù)如表1 所示。

表1 齒輪基本參數(shù)Table 1 Basic parameter of gear

式中：T為外齒輪上的輸入轉(zhuǎn)矩；αK為接觸點(diǎn)處的壓力角；K為載荷分布系數(shù)，取0.5。

齒面平均接觸壓力為

2.4 嚙合周期內(nèi)平均熱流量的計(jì)算

由式（7）所確定的摩擦熱流量在內(nèi)外齒輪上不是均勻分布的。此時(shí)需要引入摩擦熱流量的分配系數(shù)β來確定內(nèi)外齒輪上的熱流量。

式中ω2為行星輪角速度。

當(dāng)齒輪系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)熱平衡狀態(tài)時(shí)，把內(nèi)、外齒輪在嚙合面上實(shí)際接觸時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的熱流量等效為一個(gè)嚙合周期內(nèi)的平均值。內(nèi)、外齒輪上的平均熱流量為

利用MATLAB 繪制外齒輪摩擦熱流量分布曲線，如圖5 所示?？傮w來看，在齒根附近的摩擦熱流量比較大。

圖5 外齒輪摩擦熱流量的分布Fig.5 Distribution of frictional heat flux at external gear

3 輪齒表面對(duì)流邊界的分析

當(dāng)齒輪系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)溫度時(shí)，潤(rùn)滑油的溫度為70°時(shí)潤(rùn)滑油的性能參數(shù)如表2 所示。

表2 潤(rùn)滑油參數(shù)Table 2 Parameter of lubricant oil

根據(jù)表面在輪齒的部位不同，對(duì)流換熱系數(shù)的計(jì)算分為以下3 種情況［5，13］。這里不再過多贅述。

3.1 端面對(duì)流換熱

經(jīng)計(jì)算此種工況下端面的雷諾數(shù)Re=2 673.1，潤(rùn)滑油在端面的流動(dòng)屬于層流，輪齒端面的對(duì)流換熱系數(shù)hn可以表示為

3.2 齒廓面對(duì)流換熱

由于內(nèi)外齒輪嚙合的時(shí)間非常短，大部分時(shí)間齒廓的工作面和非工作面的散熱情況是相同的，故認(rèn)為兩個(gè)面的對(duì)流換熱系數(shù)相等。齒面的對(duì)流換熱系數(shù)為

式中d為外齒輪節(jié)圓直徑。

3.3 齒根面和齒頂端面對(duì)流換熱

齒根面和齒頂端面均可以等效成細(xì)長(zhǎng)平板，故它們的對(duì)流換熱系數(shù)可以認(rèn)為是相等的。

4 齒輪溫度場(chǎng)有限元分析

利用Creo 軟件繪制齒輪的三維模型，并切下單獨(dú)一個(gè)輪齒導(dǎo)入Workbench，并將工作齒面沿齒寬方向劃分成若干長(zhǎng)條形區(qū)域，如圖6 所示。

圖6 條形區(qū)域的劃分Fig.6 Division of the strip area

4.1 摩擦熱流量的加載

經(jīng)過上面分析可知，摩擦熱流量的值隨嚙合點(diǎn)位置的不同沿著漸開線方向變化，而沿齒寬方向是不變的。所以，在加載熱流量的時(shí)候可以取每個(gè)長(zhǎng)條區(qū)域的兩個(gè)端點(diǎn)處的摩擦熱流量的平均值，將此平均值作為這個(gè)條形區(qū)域的熱流量來加載［14］。

4.2 有限元結(jié)果分析

當(dāng)條形區(qū)域的數(shù)量分別為15、30、40、60 時(shí)，輪齒的穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)如圖7 所示。由仿真結(jié)果可知，齒輪的穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)沿齒寬方向是對(duì)稱分布的，沿齒寬方向上中間位置溫度高，兩側(cè)溫度比較低。這是由于齒輪兩側(cè)的散熱情況比較好且中間位置摩擦生熱量比較大。

圖7 齒輪穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)Fig.7 Steady-state temperature field of gear

4.3 條形區(qū)域的數(shù)量對(duì)結(jié)果的影響

分別取條形區(qū)域的數(shù)量為10、15、30、40、50、60 時(shí)齒輪的最高溫度和最低溫度，如圖8 所示。分析可知，隨著條形區(qū)域數(shù)量的增多齒輪穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)的分布大致不變，當(dāng)劃分的條形區(qū)域數(shù)量大于50份時(shí)，最低溫度和最高溫度變化幅度越來越小，基本趨于穩(wěn)定。所以，以劃分份數(shù)為60 的情況作為輪齒的穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)。

圖8 不同劃分份數(shù)的溫度變化Fig.8 Temperature variation of different divisions

取條形區(qū)域數(shù)量為60 的輪齒進(jìn)行分析，在嚙合面上沿漸開線方向選取3 條路徑線，如圖9 所示，每條路徑上點(diǎn)的溫度分布如圖10 所示。

圖9 齒面上的3 條路徑Fig.9 Three paths on tooth surface

圖10 沿漸開線方向的溫度分布Fig.10 Temperature distribution alone involute

由圖10 可知，3 條曲線的走勢(shì)一致。說明沿著漸開線方向，不同位置的溫度變化趨勢(shì)是一樣的且最高溫度出現(xiàn)在齒根靠近節(jié)圓的部分。

5 結(jié)論

（1）摩擦熱流量的值和嚙合點(diǎn)的位置有關(guān)，并不是恒定不變的值。當(dāng)齒輪處于熱平衡狀態(tài)時(shí)，溫度沿著齒寬方向是對(duì)稱分布的，兩側(cè)溫度低，中間溫度高。

（2）劃分的條形區(qū)域數(shù)量越多，結(jié)果越精確。當(dāng)數(shù)量達(dá)到50 時(shí)，繼續(xù)增加劃分的數(shù)量，齒輪的溫度場(chǎng)基本不變。

（3）在齒寬方向上的不同位置，溫度沿著漸開線方向的變化趨勢(shì)是一致的，最高溫度出現(xiàn)在齒根附近。