中心循環(huán)的亞循環(huán)p-群

孫秀娟

（唐山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,河北唐山 063000)

在有限p-群的研究中,亞循環(huán)p-群是很重要的一類。文獻(xiàn)[1]M.F.Newman 給出了亞循環(huán)p-群的分類,p是奇素數(shù)。文獻(xiàn)[2]徐明曜給出了亞循環(huán)2-群的分類。文章主要研究亞循環(huán)p-群的中心循環(huán)的條件。

1 預(yù)備知識

定義1p-群G稱為亞循環(huán)群,如果G有循環(huán)正規(guī)子群N,使商群G/N也是循環(huán)群。

定義2 有限p-群G稱為p-中心p-群,如果對p＞2,有Ω1(G)≤Z(G),而對p=2有Ω2(G)≤Z(G)[3]。

引理1設(shè)p為奇素數(shù),r，s，t，u為非負(fù)整數(shù),且滿足,則r≥1，u≤r，則

是亞循環(huán)群。對于參數(shù)r，s，t，u的不同取值,對應(yīng)的亞循環(huán)群互不同構(gòu)。用來表示這個群,且可裂?stu=0[1]。

引理2設(shè)G是亞循環(huán)p-群,p是奇素數(shù),則G同構(gòu)于引理1中的一個群[4]。

引理3設(shè)G是亞循環(huán)2-群,沒有循環(huán)極大子群,則G有兩種類型:

I型群（普通亞循環(huán)群）

其中r,s,t,u為非負(fù)整數(shù)，且滿足r≥2,u≤r。

II型群（例外亞循環(huán)群）

其中r,s,t,t′,u為非負(fù)整數(shù)，滿足r≥2，t′≤r，u≤1，tt′=sv=tv=0。若t′≥r-1，則u=0。不同類型或者相同類型但不同參數(shù)的群互不同構(gòu)。又I 型群可裂當(dāng)且僅當(dāng)stu=0;II型群可裂當(dāng)且僅當(dāng)u=0[2]。

引理4設(shè)G是有限p-中心p-群,p＞2,則d(G)≤d(Z(G))[3]。

引理5設(shè)是有限的2-中 心2-群,則d(G)≤d(Z(G))[5]。

2 主要定理及其證明

定理1設(shè)G為引理1 或引理3 中的I 型群,則Z(G)循環(huán)的充要條件是u=r。

推論1（1）設(shè)G為引理1中的群或引理3中的I型群，u=r,則G不是p-中心p-群;

（2）設(shè)G為引理1 中的群,u＜r,則G是p-中心p-群。反之也成立。

證明(1)設(shè)G為引理1 中的群或引理3 中的I 型群,u=r,則Z(G)循環(huán)。這時2=d(G) ＞d(Z(G))=1,由引理4和引理5,G不是p-中心p-群。

(2)設(shè)G為引理1 中的群,由u＜r,有Z(G)不循環(huán)。又p＞2，故G為正則的亞循環(huán)群,于是

若G是p-中心p-群，那么Z(G)不循環(huán)，由定理1，得u＜r。

定理2設(shè)G為引理3 中的II 型群,則Z(G)是2 階循環(huán)群的充要條件是u=0 且t′=r；Z(G)是高于2 階的循環(huán)群的充要條件是u=1。

證明對于引理3中的II型群,有

分4種情況討論:

情形1考慮s+t′+u=0、Z(G)循環(huán)且|Z(G)|=2。這時3個非負(fù)整數(shù)s,t′,u都是0。

因此滿足s+t+u=0,Z(G)循環(huán)且|Z(G) |＞2的II型群不存在。

情形4考慮s+t+u≠0,Z(G) 循環(huán)且|Z(G) |＞2。

故Z(G)是高于2階的循環(huán)群的充要條件是u=1。

推論2 設(shè)為G引理3 中的II 型群,則當(dāng)u=0 且t′=r或者u=1時,G不是p-中心p-群。

證明當(dāng)u=0 且t′=r或者u=1 時,G的中心循環(huán)，故G不是p-中心p-群。

3 結(jié)論

文章給出了亞循環(huán)p-群(p是奇素數(shù))以及亞循環(huán)2-群（沒有循環(huán)極大子群）的中心循環(huán)的充要條件。另外，亞循環(huán)p-群(p是奇素數(shù))是p-中心p-群的充要條件是μ＜r。