阻尼對空爆荷載等效靜載動力系數(shù)的影響*

耿少波，羅 干，陳佳龍，趙 洲

（中北大學土木工程學科部，山西 太原 030051）

易爆物品儲存運輸不當、燃氣爆炸及暴恐襲擊等時有發(fā)生，建筑結(jié)構(gòu)在其服役期內(nèi)遭受空爆荷載的概率逐漸增大。在進行結(jié)構(gòu)抗爆分析時，抗爆設(shè)計規(guī)范普遍推薦采用無阻尼結(jié)構(gòu)動力學體系，實現(xiàn)基于動力系數(shù)的等效靜載抗爆分析?？毡奢d作用時長很短，可近似簡化為三角形衰減荷載，這種簡化可使不熟悉空爆荷載的結(jié)構(gòu)設(shè)計人員完成抗爆計算。目前，民用建筑抗爆設(shè)計采用延性比等參數(shù)完成彈塑性抗爆分析，延性比為結(jié)構(gòu)振動彈塑性變形最大值與彈性變形最大值的比。無阻尼自由振動體系沒有能量耗散，是一種無休止的簡諧振動。忽略阻尼作用，將放大結(jié)構(gòu)振動各個階段的位移幅值，而對延性比、動力系數(shù)等防爆設(shè)計參數(shù)的影響，還沒有明確的理論結(jié)論。

認識到阻尼對結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)存在影響，已開展了一些研究。在理論方面：Biggs采用等效單自由度（single degree of freedom, SDOF）進行抗爆分析時，提及阻尼對塑性階段結(jié)構(gòu)振動存在一定影響；Gantes 等分析空爆作用結(jié)構(gòu)彈塑性振動時，指出阻尼對結(jié)構(gòu)響應(yīng)前幾個振動周期存在一些影響；Riedel 等認為對于空爆作用下結(jié)構(gòu)失效的情況，阻尼可忽略不計；方秦等建立并求解了端部有阻尼支承的梁體空爆作用下的振動方程，表明空爆荷載作用時長越短，端部的阻尼支撐對梁體的抗力提高作用越顯著；郭東等采用杜哈梅積分方法，求解了空爆作用下彈性階段含阻尼體系的等效單自由度動力方程，表明阻尼對反彈階段的彈性位移振動影響顯著，建議按30%進行位移折減，但未解決阻尼參數(shù)對塑性階段響應(yīng)的影響；陳萬祥等求解了含阻尼的柔性邊界支承下淺梁的振動方程，認為邊界阻尼對結(jié)構(gòu)的破壞模式不會發(fā)生變化；董彬等通過數(shù)值方法分析了含阻尼體系的梁體振動，表明加設(shè)阻尼器能有效控制空爆作用下的動力響應(yīng)；杜志鵬等將船體結(jié)構(gòu)簡化為梁模型，分析了水下爆炸船體鞭狀運動的阻尼效應(yīng)，結(jié)果表明不考慮阻尼效應(yīng)將高估運動響應(yīng)幅值。由空爆作用結(jié)構(gòu)試驗可知，阻尼對沖擊波荷載結(jié)束后的自由振動階段確實存在影響：Liu 等分析了尺寸0.15 m×0.15 m×1.7 m 的鋼筋混凝土梁在近場空爆作用下的破壞特征，實測位移顯示，阻尼影響下結(jié)構(gòu)在4～5 個振動周期后靜止；Nassr 等完成了5 組工字型鋼梁在遠場空爆下的動力響應(yīng)，4～6 個振動周期后結(jié)構(gòu)靜止；Zhang 等完成了50 kg炸藥近場空爆作用下長2.5 m 鋼管混凝土梁構(gòu)件的振動效應(yīng)，結(jié)果顯示3～7 個振動周期后構(gòu)件靜止；Liu 等進行了尺寸0.22 m×0.3 m×2 m 的鋼筋-玻璃纖維-混凝土梁構(gòu)件在0.3～4 kg 當量炸藥下近場空爆試驗，發(fā)現(xiàn)梁體彈性振動、塑性振動、截面斷裂3 種響應(yīng)類型均在2～4 個振動周期后靜止，塑性振動及截面斷裂對應(yīng)的阻尼明顯偏大；Nagata 等、Syed 等、Ritchie 等、Shi 等和Foglar 等完成的結(jié)構(gòu)空爆試驗也充分說明阻尼對結(jié)構(gòu)振動的顯著影響。阻尼對空爆作用結(jié)構(gòu)彈性階段和塑性階段強迫振動的影響、影響動力系數(shù)的程度、進而對抗爆設(shè)計的影響，試驗上無法直接判別，也缺乏理論上的研究探索。

本文中，建立含阻尼的等效自由度體系振動模型，考慮空爆荷載作用時長與結(jié)構(gòu)進入塑性振動時長的關(guān)系，將結(jié)構(gòu)分為柔性結(jié)構(gòu)、剛性結(jié)構(gòu)、臨界結(jié)構(gòu)等3 種類型，進行各種類型下結(jié)構(gòu)彈塑性振動方程的求解，結(jié)合延性比、動力系數(shù)等抗爆設(shè)計參數(shù)定義，以典型的阻尼比設(shè)計驗算工況，對比現(xiàn)行抗爆設(shè)計規(guī)范的推薦公式，考查阻尼對動力系數(shù)的影響。

1 柔性結(jié)構(gòu)空爆作用動力響應(yīng)求解

1.1 彈塑性階段動力方程

采用延性比的概念進行梁式及單向板結(jié)構(gòu)空爆作用動力分析，且結(jié)構(gòu)響應(yīng)以彎曲振動分析為主時，等效單自由度方法具有良好的計算精度、簡易的計算流程，被廣泛采用，如圖1 所示。

圖1 理想彈塑性的含阻尼等效單自由度體系Fig. 1 Elastic-perfectly plastic SDOF vibration system with damping

考慮阻尼參數(shù)的彈性階段等效單自由度振動方程為：

式中：為彈性階段等效結(jié)構(gòu)質(zhì)量，為彈性階段等效結(jié)構(gòu)阻尼，為等效結(jié)構(gòu)剛度，為與等效結(jié)構(gòu)相等的、真實結(jié)構(gòu)在典型位置處的振動位移，Δ()為等效結(jié)構(gòu)承受的隨時間變化的等效空爆荷載。各等效系數(shù)分別為：

式中：為結(jié)構(gòu)每延米的質(zhì)量，為結(jié)構(gòu)跨長，ξ 為結(jié)構(gòu)阻尼比，為真實結(jié)構(gòu)剛度，為彈性階段質(zhì)量變換系數(shù)，為彈性階段荷載變換系數(shù)。空爆荷載持續(xù)時間非常短，可簡化為等沖量的線性荷載，GB 50038–2005《人民防空地下室設(shè)計規(guī)范》中，推薦采用等效空爆荷載：

式中：為空爆荷載作用時長，為沖擊波超壓峰值，為彈性階段荷載變換系數(shù)或塑性階段荷載變換系數(shù)。

設(shè)結(jié)構(gòu)彈性位移最大值對應(yīng)的時刻為，對應(yīng)的振動速度為，此為結(jié)構(gòu)進入塑性振動的區(qū)分點，將彈性參數(shù)替換為塑性參數(shù)后，結(jié)構(gòu)塑性階段方程為：

式中：為塑性階段等效結(jié)構(gòu)質(zhì)量，為塑性階段等效結(jié)構(gòu)阻尼，為結(jié)構(gòu)最大抗力。各等效系數(shù)分別為：

式中：為塑性階段質(zhì)量變換系數(shù)。

1.2 結(jié)構(gòu)分類及柔性結(jié)構(gòu)彈性階段動力響應(yīng)求解

柔性結(jié)構(gòu)指的是空爆荷載作用時長小于該結(jié)構(gòu)振動從0 至最大彈性位移的時長，即＜；類似地，剛性結(jié)構(gòu)指的是＞對應(yīng)的結(jié)構(gòu)，臨界結(jié)構(gòu)指的是=對應(yīng)的結(jié)構(gòu)。

求解空爆作用結(jié)構(gòu)動力方程時，常采用杜哈梅積分方法，在求解過程中，會出現(xiàn)多次分部積分，計算過程復雜。根據(jù)微分方程理論：任意微分方程解答均可表示為通解與特解之和的形式，這個方法可一定程度簡化本文動力方程的求解。

對于柔性結(jié)構(gòu)，在彈性階段且在荷載作用時長范圍0≤≤，由初始位移和初始速度均為0，結(jié)合式(1)、(3)可求該強迫振動階段解：

式中：ω 為無阻尼振動等效頻率，ω為含阻尼振動等效頻率，為超壓峰值為靜載時的結(jié)構(gòu)位移。各參數(shù)計算公式為：

將代替代入式(6)～(7)，即可得到強迫振動結(jié)束時的位移、速度。當空爆荷載消去，這個階段結(jié)構(gòu)外荷載為0、以位移及速度為初始條件的含阻尼彈性自由振動（即當＜≤），可由式(1)、(3)求解：

式中：γ 為阻尼綜合降低系數(shù)，θ、θ為結(jié)構(gòu)時長參數(shù)。計算公式為：

1.3 柔性結(jié)構(gòu)塑性階段動力響應(yīng)求解

根據(jù)理想彈塑性理論假設(shè)，結(jié)構(gòu)完成彈性振動后結(jié)構(gòu)達到最大的抗力，在塑性階段該抗力保持不變，此時為外荷載為0、以位移及速度為初始條件的含阻尼塑性階段自由振動。由式(4)可得：

在達到彈塑性位移最大值時，此時振動速度=0。令式（15）右為0，得出：

將式(16)對應(yīng)的時刻代入式(14)，得出結(jié)構(gòu)彈塑性振動最大位移為：

代入等效單自由度體系對應(yīng)參數(shù)，即將式(5)中、及代入(17)，可得：

式中：、分別為彈性、塑性階段質(zhì)量變換系數(shù)與荷載變換系數(shù)的比。即：

由結(jié)構(gòu)彈塑性理論及抗爆設(shè)計規(guī)范，彈塑性階段抗力動力系數(shù)和延性比β 分別為：

將式(11)、(18)代入式(20)，且令：

則得到柔性結(jié)構(gòu)延性比β 關(guān)于抗力動力系數(shù)的表達式：

2 剛性及臨界結(jié)構(gòu)空爆作用動力響應(yīng)求解

2.1 剛性結(jié)構(gòu)彈性階段動力響應(yīng)求解

根據(jù)定義及理論分析可知，剛性結(jié)構(gòu)彈性階段（0＜≤）與柔性結(jié)構(gòu)0＜≤時段的振動方程相同，將代入式(6)～(7)，可得時刻的位移和速度：

2.2 剛性結(jié)構(gòu)塑性階段動力響應(yīng)求解

由定義可知，剛性結(jié)構(gòu)從彈性振動進入塑性振動后，第1 個塑性響應(yīng)階段為外荷載不為0、以位移和速度為初始條件的含阻尼塑性階段強迫振動，即在＜＜內(nèi)，由式(4)求出其動力響應(yīng)解答后，可得到時刻結(jié)構(gòu)振動位移和速度分別為：

剛性結(jié)構(gòu)振動＞時，為無外荷載、位移和速度為初始條件的含阻尼塑性階段自由振動，即當＜≤時，該振動方程與柔性結(jié)構(gòu)塑性階段響應(yīng)方程求解一致，將式(14)～(16)中用替換為后，便得出其解答，其中為：

同理，將式(5)中、和代入式(27)后，可將等效單自由體系轉(zhuǎn)變?yōu)樵Y(jié)構(gòu)參數(shù)。為精簡篇幅、清晰顯示延性比對應(yīng)的參數(shù)關(guān)系，本文中省略該化簡過程。令：

由式(20)、(23)和(27)可知，基于動力系數(shù)的延性比為：

2.3 臨界狀態(tài)結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)求解

根據(jù)臨界狀態(tài)定義可知，空爆荷載作用時長與結(jié)構(gòu)完成彈性振動時長恰好相等，即=。在彈性階段且在荷載作用時長范圍0＜＜，由彈性振動式(23)～(24)可得：

振動時刻大于時，外荷載為0、以和為初始條件的含阻尼塑性階段自由振動，即當＜＜時，與柔性結(jié)構(gòu)塑性階段振動一樣，即利用式(18)、(20)、(23)～(24)，且令：

可得臨界結(jié)構(gòu)基于動力系數(shù)的延性比：

由式(22)、(31)、(35)可以看出，將動力系數(shù)化解為關(guān)于阻尼比、延性比等參數(shù)的顯性表達式難度很大，幾乎不可能。因此，采用本文公式進行考慮阻尼的動力系數(shù)分析時，可根據(jù)結(jié)構(gòu)類型的界定條件迭代計算。

3 算例驗證

3.1 算例工況遴選

GB 50038–2005《人民防空地下室設(shè)計規(guī)范》中，推薦采用等效單自由振動動力系數(shù)計算方法。無阻尼、不含塑性參數(shù)的簡化公式為：

為了校核本文公式的精準性，以式（36）為對比前提，以簡支梁為結(jié)構(gòu)選型，以文獻[1]中推薦的鋼筋混凝土構(gòu)件允許延性比1～4 為計算范圍，以文獻[23]中推薦的空爆結(jié)構(gòu)-荷載參數(shù)θ≤2.2 為參數(shù)范圍；為了獨立觀察阻尼對動力系數(shù)的影響程度，選用典型的塑性參數(shù)，即彈性、塑性階段等效質(zhì)量系數(shù)與等效荷載系數(shù)之比、，由文獻[5]取常數(shù)值0.78、0.66；在阻尼比為0.0001～0.1 時，選擇5 種典型阻尼比，即0.000 1（接近無阻尼）、0.001（極小阻尼）、0.01（小阻尼，建筑鋼構(gòu)件可采用數(shù)值）、0.05（常用阻尼比，鋼筋混凝土及砌體構(gòu)件常采用數(shù)值）、0.1（較大阻尼，塑性階段可能性數(shù)值）作為建筑物構(gòu)件典型的阻尼比。共計20 種典型計算工況，見表1。

表1 典型工況Table 1 Typical calculation cases

為了查看動力系數(shù)與延性比、阻尼比的關(guān)系，考慮阻尼比后的20 種工況計算結(jié)果，與文獻[1]中公式在延性比為1～4 時計算結(jié)果的比較，如圖2 所示；各工況計算結(jié)果與文獻[1]中公式計算結(jié)果的相對誤差如圖3(a)所示，與阻尼比為0.000 1 工況計算結(jié)果的相對誤差如圖3(b)所示。

圖2 本文工況計算結(jié)果與文獻公式的比較Fig. 2 Comparison of the results from the calculation cases and from the code formula

圖3 本文工況計算結(jié)果的相對誤差Fig. 3 Relative errors of the calculation cases

延性比β=1 表示彈塑性抗爆設(shè)計退化為彈性設(shè)計，此時各阻尼比的動力系數(shù)曲線均為光滑曲線。延性比增加表示結(jié)構(gòu)的塑性變形比例增加，隨著β 從2 遞增到4，動力系數(shù)對參數(shù)θ的斜率從0.8 至0.6 附近發(fā)生轉(zhuǎn)折。相同延性比數(shù)值下，阻尼比越大，動力系數(shù)越小，阻尼比為0.000 1（接近無阻尼）、0.001（極小阻尼）、0.01（小阻尼）的差異非常小。相同阻尼比情況下，隨著延性比β 的增加，相同θ對應(yīng)的動力系數(shù)降低。規(guī)范計算公式與柔性結(jié)構(gòu)、臨界結(jié)構(gòu)計算結(jié)果差異很小，與剛性結(jié)構(gòu)動力系數(shù)計算結(jié)果差異較大。

3.2 結(jié)果分析與討論

由圖2 可知，延性比β 為1 時：文獻[1]中公式計算結(jié)果與阻尼比為0.0001～0.1 的計算結(jié)果差異均較小，低于阻尼比0.0001 的計算結(jié)果，最小為0.06%，最大為4.23%，平均為2.43%；文獻[1]中公式計算結(jié)果位于阻尼比0.01 與0.05（常用阻尼比）之間，相差最小值為0.07%，最大值為2.63%，平均值為0.86%；阻尼比為0.1 時，差異變得顯著，平均值為11.73%?？梢?，用文獻[1]中公式進行彈性階段抗爆設(shè)計具有很高計算精度和優(yōu)勢，可觀察到增加5%以上的阻尼比，對抗爆設(shè)計具有明顯的經(jīng)濟效益。

由圖3(a)可知：延性比β 為2～4 時，文獻[1]中公式計算結(jié)果與柔性結(jié)構(gòu)、臨界結(jié)構(gòu)計算公式的計算結(jié)果差異很小，略低于阻尼比0.0001、0.001 的，略高于阻尼比0.01～0.1 的，其差異為0～4%，用文獻[1]中公式進行柔性結(jié)構(gòu)抗爆設(shè)計仍具有較高精度；而較大幅度低于本文剛性結(jié)構(gòu)的計算結(jié)果，在阻尼比0.0001～0.1 下，延性比β=2 時最大差異為31.88%～14.52%，延性比β=3 時最大差異為38.83%～18.25 %，延性比β=4 時最大差異為41.49%～18.09%。這種差異與文獻[1]中忽略阻尼比及塑性參數(shù)有關(guān)，也與文獻[1]中擬合公式時選擇的類型有關(guān)。

由圖3(b)（以阻尼比0.0001 對應(yīng)的動力系數(shù)為基準）可知：阻尼比為0.001 時，動力系數(shù)結(jié)果降低有限，其差異為?0.11%～?0.20%，基本可以忽略，說明結(jié)構(gòu)阻尼比在0.001 以下，可按無阻尼進行結(jié)構(gòu)抗爆設(shè)計；阻尼比為0.01 時，動力系數(shù)值略有降低，其差異為?1.49%～?2.08%，數(shù)值較小，在結(jié)構(gòu)設(shè)計允許范圍內(nèi)，可忽略該阻尼比對結(jié)構(gòu)的影響；阻尼比為0.05 時，動力系數(shù)值降低明顯，平均值為?7.33%～?9.92%；阻尼比為0.1 時，對應(yīng)的動力系數(shù)降低非常明顯，動力系數(shù)值降低平均值為?13.42%～?19.43%；阻尼比大于0.05 時，臨界結(jié)構(gòu)的動力系數(shù)差異性明顯低于柔性結(jié)構(gòu)、剛性結(jié)構(gòu)數(shù)值，即對于大多數(shù)抗爆結(jié)構(gòu)，不應(yīng)忽略此時的阻尼影響，可增設(shè)阻尼構(gòu)造來降低抗爆設(shè)計的工程造價。

4 結(jié) 論

推導了空爆作用下柔性結(jié)構(gòu)、剛性結(jié)構(gòu)和臨界結(jié)構(gòu)等效靜載動力系數(shù)的隱式函數(shù)表達式，通過典型計算工況，分析了阻尼比對動力系數(shù)的影響，得到以下結(jié)論。

（1） 阻尼比0.001、0.01 較阻尼比0.0001 的動力系數(shù)值降低幅度約0.20%、2.08%，即阻尼比小于0.01 時，數(shù)值差異性很小，即可忽略阻尼比小于0.01 對抗爆設(shè)計動力系數(shù)影響作用。

（2） 阻尼比0.05、0.1 較阻尼比0.0001 的動力系數(shù)值降低幅度約9.92%、19.43%，說明將抗空爆結(jié)構(gòu)的阻尼比提高至0.05 以上，將產(chǎn)生有較大的經(jīng)濟效益，是一種良好的抗空爆設(shè)計手段。

（3） GB 50038–2005《人民防空地下室設(shè)計規(guī)范》中，空爆動力系數(shù)計算公式忽略阻尼比、塑性參數(shù)，對完成彈性階段抗爆設(shè)計具有很高計算精度和優(yōu)勢。當進行彈塑性抗爆設(shè)計時，規(guī)范中公式較適用于柔性結(jié)構(gòu)、臨界結(jié)構(gòu)抗爆設(shè)計，且誤差在4%以內(nèi)。運用于剛性結(jié)構(gòu)時，規(guī)范中公式均小于本文中計算公式計算結(jié)果，且阻尼比越小誤差越大，延性比β=4 時相對差異值可達18.09%～41.49%。