在比較中促進學(xué)生數(shù)學(xué)理解

袁綺蓉

一、利用數(shù)學(xué)比較，啟發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)理解

鄭毓信教授在其著作《數(shù)學(xué)教師的三項基本功》中指出的基本功之一就是“善于比較與優(yōu)化”。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程就是學(xué)生數(shù)學(xué)理解的過程，而數(shù)學(xué)理解思維的啟動，也需要觸發(fā)點，數(shù)學(xué)比較可以引發(fā)學(xué)生的思考，吸引學(xué)生的注意力，使他們產(chǎn)生強烈的求知欲，成為學(xué)生數(shù)學(xué)理解思維啟動的“開關(guān)”。

（一）新舊連接處比較，促進遷移

很多新知都是在已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)上遷移、類比而來。所以可以從復(fù)習(xí)舊知自然引出新知，引導(dǎo)學(xué)生在新舊聯(lián)系處進行比較，讓學(xué)生在分析、比較、判斷、推理中構(gòu)建新知，促進知識的遷移。

例如，在教學(xué)“認識一個整體的幾分之一”時，教師先出示一個桃子，讓學(xué)生指出它的；再出示一盤桃，也讓學(xué)生指出它的。然后引導(dǎo)學(xué)生比較兩個有什么聯(lián)系和區(qū)別。通過比較，學(xué)生打開了理解幾分之一意義的大門。

（二）變與不變間比較，突顯本質(zhì)

例如，為了讓學(xué)生頭腦中形成對分?jǐn)?shù)意義的理解，在教學(xué)設(shè)計時可以設(shè)計比較的過程。教師出示三幅圖，提出問題：“平均分成四份的每份物體的個數(shù)并不相同，為什么都用四分之一來表示呢？”然后引導(dǎo)學(xué)生比較：“為什么將同樣數(shù)量的8 個正方體表示為某一組圖形的各自其中的一份，表示的分?jǐn)?shù)卻不相同？”這樣經(jīng)過兩次比較，學(xué)生在變與不變中，領(lǐng)悟了分?jǐn)?shù)的意義，讓學(xué)生在比較中把握了知識的本質(zhì)。

（三）簡與繁比較，明確方法

例如，在教學(xué)“末尾有0 的兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的乘法”時，教師找兩位學(xué)生板演（一繁一簡），引導(dǎo)學(xué)生比較他們的做法。

在比較中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩種方法的結(jié)果相同，但其中一種明顯更簡單。再通過比較兩種方法的算理，對于末尾有0 的兩位數(shù)相乘的方法就清晰了。對本來簡單的筆算題，經(jīng)過比較，學(xué)生不僅明白了“怎樣做”，對“為什么這樣做”也理解透了。

二、利用數(shù)學(xué)比較，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)理解

比較，簡單地說就是辨別異同，同時也是確定對象之間相同和不同的邏輯數(shù)學(xué)理解方法。教師可以用比較的方法，揭示事物的本質(zhì)，理清聯(lián)系和區(qū)別，從而打開學(xué)生的視野和思路，找到解決問題的方法，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)理解在比較中點燃，不斷發(fā)展。

（一）同中比異，追根究底

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，經(jīng)常有一些看似相同的題目，但實際卻完全不同。學(xué)生往往忽略或弄不清，把它們當(dāng)作相同的情況來處理。這個時候，最好的方法就是把這些情況放在一起比較，在比較的過程中，于相同情況下發(fā)現(xiàn)不同之處，從而辨清知識的根源，把握關(guān)鍵。例如， “一根繩子長6 米，用去米，還剩多少米？”和 “一根繩子長6 米，用去，還剩多少米？”這樣有針對性地對比，幫助學(xué)生同中找異、溯本追源，清楚地看到知識的生長點。

（二）異中比同，深化理解

數(shù)學(xué)概念、結(jié)論的獲取往往需要從眾多表象中抽取，運用比較，能幫助學(xué)生透過各種形色各異的外表，直窺問題的核心。在比較中，問題的外層屬性逐漸剝落，知識的共性逐漸顯現(xiàn)，學(xué)生對于問題的理解也更加深入。

例如，在教學(xué)工程問題時，先出示“運120 噸水泥，甲車要運10 小時，乙車要用15 小時，兩車合運要幾小時？”再替換條件。在這個過程中，學(xué)生通過比較，更加直觀地發(fā)現(xiàn)，雖然情境變了，但隱含的數(shù)量關(guān)系卻相似，解題的思路更是相同。在比較中，學(xué)生在異中找到了同，對于工程問題的核心特征和解題思路、方法逐漸明晰，自主建立解決這類問題的策略。

（三）同中比優(yōu)，促進優(yōu)化

面對相同的問題，不同的學(xué)生會產(chǎn)生不同的數(shù)學(xué)理解活動，從而產(chǎn)生不同的解決問題的方法和策略。在這些不同的方法中，數(shù)學(xué)理解的層次也是不同的。此時讓學(xué)生進行比較，不僅能再次剖析自己的方法，更能從別人的方法中得到啟發(fā)，不斷優(yōu)化自己的方法。例如，二年級下學(xué)期教學(xué)“統(tǒng)計”知識點時，剛開始學(xué)生收集數(shù)據(jù)的方法很多，在比較中，學(xué)生實現(xiàn)了對數(shù)學(xué)理解的突破，達到了對方法的優(yōu)化選擇。

三、利用數(shù)學(xué)比較，放飛學(xué)生數(shù)學(xué)理解

數(shù)學(xué)理解能力是各種能力的核心，學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力與數(shù)學(xué)理解水平的提高，往往要借助數(shù)學(xué)理解的精確性、深刻性與靈活變通性等數(shù)學(xué)理解品質(zhì)來實現(xiàn)。比較是一切數(shù)學(xué)理解的基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生充分地運用比較的方法去認識、分析和處理問題，有意識地培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)理解品質(zhì)，是提高數(shù)學(xué)教學(xué)效果的重要途徑。在比較中，學(xué)生的數(shù)學(xué)理解經(jīng)歷了從啟動到開闊，到靈活，到深入，到提升的過程。數(shù)學(xué)理解放飛了，就有了真正翱翔的天空。

（一）混淆處比較，讓數(shù)學(xué)理解精確

學(xué)生多次解決某種思想或問題，會留下深刻的印象，形成一定的模式。當(dāng)再次遇見相同問題時，首先考慮的就是用這種模式解題。但其實多數(shù)時候問題已發(fā)生改變，而學(xué)生渾然不知。知識的差異性會被它的相似性和相關(guān)性所掩蓋，所以學(xué)生經(jīng)常發(fā)生混淆。因此，教師引導(dǎo)學(xué)生在知識的混淆處進行比較，不僅有利于區(qū)別各自的內(nèi)涵，也有利于通過建立知識之間的聯(lián)系，提高數(shù)學(xué)理解的精確性。例如，學(xué)生學(xué)習(xí)了長度單位以后，在應(yīng)用這些長度單位的時候，特別是毫米、厘米和分米這幾個比較接近的單位，常常出現(xiàn)混淆。針對這樣的情況，通過不斷地比較，可以讓學(xué)生對這些長度單位形成準(zhǔn)確認知并有效運用。在不同維度的比較中，學(xué)生的數(shù)學(xué)理解更加精確。

（二）探究處比較，讓數(shù)學(xué)理解周密

數(shù)學(xué)實踐證明，學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題時出現(xiàn)困難或錯誤，原因往往是理解不到位，而理解的不到位就是因為學(xué)生對于知識的體驗和感悟不到位。在學(xué)生探究活動的時候，讓學(xué)生對照比較，能促使學(xué)生真正把握知識要點，數(shù)學(xué)理解也會在逐層的抽絲剝繭中變得周密。例如，在教學(xué)“一一列舉”時，讓學(xué)生感受用“列舉”的策略解決問題，而不是雜亂地找，要突出“有序”，進行有條理的思考。層層的比較，有效實現(xiàn)了對“列舉策略”的意義建構(gòu)，數(shù)學(xué)理解也愈加周密了。

（三）聯(lián)系處比較，讓數(shù)學(xué)理解開闊

小學(xué)數(shù)學(xué)中，許多知識是相通的。當(dāng)遇到問題時，教師要引導(dǎo)學(xué)生多角度、多方位進行思考、比較，找出它們的微妙變化，構(gòu)建知識間的聯(lián)系并融會貫通，擴大知識面。通過這樣的比較，學(xué)生的數(shù)學(xué)理解也會不斷地開闊起來。例如，數(shù)學(xué)中最常見的一題多解，就可以在不同解法的比較中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)理解的靈活性和開放性，使學(xué)生的數(shù)學(xué)理解不斷開闊。

（四）爭議處比較，讓數(shù)學(xué)理解深刻

在教學(xué)中，學(xué)生對知識的獲取是逐步深入的，甚至是在不斷的爭議中，愈加迫近概念的核心和本質(zhì)。設(shè)計具有思考性的問題情境，讓學(xué)生進行觀察和比較，學(xué)生在比較中能點燃數(shù)學(xué)理解的火花，激發(fā)對知識的探究欲望，提高數(shù)學(xué)理解的層次。例如，在讓學(xué)生探究三角形三邊關(guān)系時，對于用小棒沒有圍成三角形的小組，教師指導(dǎo)他們從現(xiàn)象中找原因：“什么樣的情況下三根小棒圍不成三角形？”在這個探究活動的過程中學(xué)生在爭議中比較。學(xué)生的數(shù)學(xué)理解從具體形象數(shù)學(xué)理解引向抽象邏輯數(shù)學(xué)理解，進而更在小組交流匯報中，通過比較發(fā)現(xiàn)來填補自己認知的空隙，提升數(shù)學(xué)理解的能力和品質(zhì)。在整個過程中，在爭議比較中，學(xué)生親歷了數(shù)學(xué)知識的探究與發(fā)現(xiàn)，更重要的是接受了一次嚴(yán)密的邏輯和數(shù)學(xué)理解的訓(xùn)練，數(shù)學(xué)理解走向深入。

總之，“比較”是學(xué)生數(shù)學(xué)理解的頓悟、辨別、飛躍，數(shù)學(xué)需要比較，學(xué)生需要學(xué)會運用比較，并在比較中發(fā)現(xiàn)異同、揭示規(guī)律、構(gòu)建知識體系，促進自身數(shù)學(xué)理解能力的發(fā)展，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)理解閃耀數(shù)學(xué)素養(yǎng)的光芒。