以學(xué)生為中心的偏微分方程課程設(shè)計(jì)

陳 輝

（浙江科技學(xué)院，浙江 杭州 310023）

0 引言

偏微分方程是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，在微分幾何，連續(xù)介質(zhì)力學(xué)和量子力學(xué)等學(xué)科中有著重要的應(yīng)用。例如，最優(yōu)輸運(yùn)問題相關(guān)的Monge-Amp re方程，流體力學(xué)中的Navier-Stokes方程組和Euler方程組，刻畫電磁場變化的Maxwell方程，描述物理系統(tǒng)的量子態(tài)隨時(shí)間演化的Schr dinger方程，廣義相對論中確定引力場的Einstein方程等等。

偏微分方程的起源最早可以追溯到18世紀(jì)，當(dāng)時(shí)歐拉，伯努利和達(dá)朗貝爾等圍繞著樂器中的弦振動(dòng)問題展開了大討論。特別是在1746年，達(dá)朗貝爾引入了偏導(dǎo)數(shù)的概念作為對弦振動(dòng)的數(shù)學(xué)描述，這促成了偏微分方程的誕生。從19世紀(jì)開始，隨著對不斷涌現(xiàn)的數(shù)學(xué)物理問題的深入研究，偏微分方程這門學(xué)科也有了蓬勃發(fā)展。現(xiàn)如今，偏微分方程的應(yīng)用范圍已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了傳統(tǒng)的自然科學(xué)領(lǐng)域。在經(jīng)濟(jì)與金融，環(huán)境污染與治理，材料工程等社會(huì)科學(xué)和工程技術(shù)中有大量應(yīng)用偏微分方程來解決所遇到問題的實(shí)例。

本科生的偏微分方程是理工科專業(yè)重要的基礎(chǔ)課程，主要講述傳輸方程和三個(gè)經(jīng)典的二階方程：波動(dòng)方程，熱傳導(dǎo)方程和調(diào)和方程的物理背景、定解條件和求解的方法。通過教學(xué)，使學(xué)生掌握偏微分方程的基本概念，理解有關(guān)數(shù)學(xué)物理方程建模的基本思想和邏輯推理過程，掌握常用偏微分方程定解問題求解方法，為學(xué)生日后從事解決較復(fù)雜的數(shù)學(xué)物理問題研究以及應(yīng)用型科研工作奠定基礎(chǔ)。

但是偏微分方程課程的教學(xué)往往有諸多困難。以本校為例，我在理學(xué)院開設(shè)的偏微分方程課程的選修課，常常是數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生能堅(jiān)持到最后的不多，而且留下來的學(xué)生成績也不好。從學(xué)生反饋的情況來分析，在教學(xué)過程中存在著諸多突出的問題：課程理論基礎(chǔ)多，應(yīng)用實(shí)例少；課時(shí)與課程內(nèi)容不匹配；學(xué)生基礎(chǔ)參差不齊，這些都給教師的教和學(xué)生的學(xué)帶來了一定的困難。

1 現(xiàn)狀和教學(xué)改革措施

推動(dòng)本科高校向應(yīng)用型轉(zhuǎn)變是教育領(lǐng)域人才供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革的重要內(nèi)容?！秶窠?jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展第十三個(gè)五年規(guī)劃綱要》明確提出推動(dòng)具備條件的普通本科高校向應(yīng)用型轉(zhuǎn)變；《國家職業(yè)教育改革實(shí)施方案》進(jìn)一步提出“一大批普通本科高等學(xué)校向應(yīng)用型轉(zhuǎn)變”的發(fā)展目標(biāo)。2019年，浙江省提出在鼓勵(lì)試點(diǎn)的基礎(chǔ)上，爭取用5年時(shí)間，推動(dòng)更多本科院校加強(qiáng)應(yīng)用型建設(shè)，培養(yǎng)產(chǎn)業(yè)轉(zhuǎn)型升級和公共服務(wù)發(fā)展急需的高素質(zhì)應(yīng)用型人才。本校是浙江省應(yīng)用型建設(shè)試點(diǎn)示范學(xué)校，也在積極開展應(yīng)用性科學(xué)研究和科技創(chuàng)新，努力把應(yīng)用學(xué)科優(yōu)勢和科學(xué)研究與技術(shù)創(chuàng)新成果及時(shí)轉(zhuǎn)化為人才培養(yǎng)優(yōu)勢。

但是我們也看到，因?yàn)橐恍┛陀^原因，我們的生源質(zhì)量不如雙一流高校，學(xué)科建設(shè)也存在一些缺陷。而且當(dāng)代中國社會(huì)內(nèi)卷嚴(yán)重，畢業(yè)生就業(yè)困難。因此我們的學(xué)生更加青睞于注重課程的實(shí)用性。我們在應(yīng)建工學(xué)院要求而開設(shè)的面向高年級學(xué)生的偏微分方程課程的教學(xué)過程中尤其感受到了這一點(diǎn)。這對偏微分方程課程的教學(xué)是巨大的挑戰(zhàn)，但也為課程的建設(shè)和改革指明了方向。

1.1 教材和教學(xué)內(nèi)容的改革

偏微分方程是一個(gè)邏輯嚴(yán)密的系統(tǒng)學(xué)科。但是國內(nèi)流行的教材往往會(huì)過于注重理論體系的建立，內(nèi)容編寫深?yuàn)W晦澀，對背景知識和偏微分方程的應(yīng)用很少在教材中體現(xiàn)，教材所附習(xí)題也是基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)運(yùn)算題，強(qiáng)調(diào)的是數(shù)學(xué)技巧而基本不涉及實(shí)際問題。這對我們學(xué)校工科專業(yè)的學(xué)生，學(xué)習(xí)成本較高，難以真正地將偏微分方程工具融入實(shí)際學(xué)科領(lǐng)域。由此，我們在教學(xué)過程中嘗試一些調(diào)整，秉承以學(xué)生為中心的思想重新整理了教學(xué)方案，取得了一定的教學(xué)效果。

（1）對于傳輸方程，我們講線性和擬線性方程的特征線方法和爆破點(diǎn)判定。

（2）對于波動(dòng)方程，我們講一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾方法和初邊值問題的分離變量方法。對分離變量法的物理意義，比如駐波和共振的內(nèi)容，要做充分的展開。由于高維波動(dòng)方程解的推導(dǎo)非常細(xì)致和煩瑣，學(xué)生不一定能在課堂上消化。所以，我們舍去這部分內(nèi)容，在課外制作視頻講解高維方程解，讓同學(xué)們自習(xí)。

（3）對于熱傳導(dǎo)方程，我們把利用Fourier變換求解柯西問題和利用分離變量法求解初邊值問題作為重點(diǎn)來講解。對于Sturm-Liouville特征問題，我們可以做一個(gè)簡化精練的介紹，并且制作視頻，讓感興趣的同學(xué)們自習(xí)研究。

（4）對于調(diào)和方程，我們講泊松公式，并簡單介紹下格林函數(shù)，把調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)這一小部分內(nèi)容舍去。

（5）對于一般二階線性偏微分方程，我們簡單講下利用特征理論，對二階線性方程的分類。

1.2 增加知識的應(yīng)用案例，降低學(xué)生的學(xué)習(xí)成本

我們在上課時(shí)要避免枯燥乏味的復(fù)述課本的內(nèi)容，否則容易引起學(xué)生的反感；要培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲，鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中提出問題，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性。將傳統(tǒng)的以教師為中心的課堂教學(xué)模式轉(zhuǎn)變?yōu)橐詫W(xué)生為主體的教學(xué)模式，這樣既可以活躍課堂氣氛又能充分提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。

具體的，在推導(dǎo)一階/二階方程的定解問題時(shí)，我們可以以身邊常見物理現(xiàn)象的簡化模型為例，從而引起學(xué)生的興趣，增加課程的親和力。在課程期間，可以布置一個(gè)小組作業(yè)。比如引入貝塞爾函數(shù)、勒讓德函數(shù)等工程應(yīng)用上常用的特殊函數(shù)，然后請學(xué)生完成對這些特殊函數(shù)性質(zhì)的描述和刻畫；或者偏微分方程模型在物理、力學(xué)等學(xué)科中的具體實(shí)例，比如交通擁堵，新冠病毒傳播和控制等問題。如果學(xué)生參與度高，后續(xù)可以去申請大學(xué)生科技創(chuàng)新項(xiàng)目，提升實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力，比如浙江省大學(xué)生新苗人才計(jì)劃等。

1.3 增強(qiáng)過程管理，考核評價(jià)方式多元化

由于教學(xué)學(xué)時(shí)非常有限，除了精心設(shè)計(jì)我們的課堂教學(xué)，也要留給學(xué)生看書和琢磨的余地，以提高學(xué)生獨(dú)立思考和自主學(xué)習(xí)的能力。所以，我們會(huì)在課后留一些作業(yè)，使得學(xué)生能夠熟練掌握相應(yīng)模塊的知識。與高等數(shù)學(xué)，線性代數(shù)那種基礎(chǔ)大課相比，偏微分方程課程選修的學(xué)生數(shù)量一般不多，我們有充足的時(shí)間批改作業(yè)和答疑。從2020年突發(fā)公共衛(wèi)生事件后，我們普遍采用和適應(yīng)新的作業(yè)提交方式：學(xué)生完成作業(yè)后，在QQ課程群上在線提交和修訂。上交的作業(yè)一般在一天內(nèi)就能批改完，并且自動(dòng)返還學(xué)生。作業(yè)有問題的也可以及時(shí)雙向溝通。與傳統(tǒng)紙質(zhì)作業(yè)相比，這大大縮短了學(xué)生提交作業(yè)到收到反饋的時(shí)間。另外，平時(shí)我們也通過微信、QQ跟學(xué)生互動(dòng)和答疑，幫助學(xué)生培養(yǎng)合理的學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)方法。

在考核方面，除以基本要求為主的期末考試外，我們鼓勵(lì)學(xué)生總結(jié)學(xué)習(xí)成果，積極參加課堂討論和小組作業(yè)。平時(shí)成績根據(jù)學(xué)生平時(shí)表現(xiàn)和答疑情況等給出，和期末成績折合的方式計(jì)入總評成績。這也是督促學(xué)生重視平時(shí)學(xué)習(xí)積累的一個(gè)有效的措施。

1.4 建立課程的在線學(xué)習(xí)資源

為了幫助學(xué)生課后學(xué)習(xí)，我們用視頻錄制/剪輯軟件Cam tasia錄制了一些短視頻，主要是課程的重要章節(jié)或者課程的補(bǔ)充內(nèi)容。我們把視頻資料放在受當(dāng)代大學(xué)生歡迎的主流的流媒體網(wǎng)站，比如嗶哩嗶哩（B站）上，讓學(xué)生充分利用碎片化的時(shí)間來學(xué)習(xí)。這里我們利用 Cam tasia錄制的網(wǎng)課視頻，主要是基于三點(diǎn)考慮。一是覺得這樣更能拉近與學(xué)生的距離，創(chuàng)建良好互動(dòng)溝通氛圍；二是方便我們根據(jù)實(shí)際教學(xué)情況，及時(shí)修改和調(diào)整內(nèi)容；三是為了節(jié)省課程建設(shè)人力和物力成本。等課程建設(shè)更加成熟和完善時(shí)，我們將適時(shí)推動(dòng)下一步的課程在線資源建設(shè)。

2 結(jié)語

00后這一代大學(xué)生的認(rèn)知風(fēng)格和思維方式發(fā)生了重大的變化。我們的教學(xué)要適應(yīng)時(shí)代的變化和發(fā)展，積極實(shí)踐教學(xué)改革和創(chuàng)新，這樣才能有效地提升教學(xué)質(zhì)量，促進(jìn)學(xué)生知識水平以及綜合能力的提高，才能滿足時(shí)代對人才的需求。偏微分方程課程的教學(xué)除了培養(yǎng)學(xué)生的基本數(shù)學(xué)概念和計(jì)算方法外，更重要的是培養(yǎng)他們運(yùn)用數(shù)學(xué)思維解決實(shí)際問題的能力。特別是在應(yīng)用型大學(xué)建設(shè)新形勢下，偏微分方程改革應(yīng)該秉承以學(xué)生為中心的理念，探索符合學(xué)校定位和學(xué)科發(fā)展的實(shí)際情況。我們在這里提出了一些教學(xué)改革思考，也會(huì)在后續(xù)的教學(xué)工作中不斷改進(jìn)完善，使得偏微分方程這門課程的教學(xué)可以取得更好的效果，讓學(xué)生學(xué)有所得，學(xué)有所成。