高中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生建模思維和能力的培養(yǎng)

蘇盈盈

（江蘇省漣水縣外國語高級中學(xué)，江蘇 漣水 223400）

建模并不是數(shù)學(xué)當(dāng)中多么難以理解的內(nèi)容。簡單來說，在數(shù)學(xué)應(yīng)用題當(dāng)中就有建模的身影存在。它體現(xiàn)在讓學(xué)生在應(yīng)用題當(dāng)中搜集有效信息，并通過這些信息構(gòu)建模型，解答問題。其實這些年來，隨著素質(zhì)教育的不斷深入，現(xiàn)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)對于學(xué)生建模思維的培養(yǎng)也越來越重視。為了強化學(xué)生對于建模知識的理解，幫助學(xué)生更好地將所學(xué)的知識融會貫通，筆者就從以下幾點探討在高中階段開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)的具體作用及其策略。

一、培養(yǎng)高中生建模思維和能力的意義

（一）符合當(dāng)前素質(zhì)教育的主流方向

在當(dāng)前的教育環(huán)境下，素質(zhì)教育的理念早已深入人心。而如何提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)，完善學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，一直都是當(dāng)前數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)思考的方向。通過建模教學(xué)的開展培養(yǎng)學(xué)生建模思維，將學(xué)生帶入到模型的建構(gòu)當(dāng)中，從建?；顒赢?dāng)中激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新和創(chuàng)造意識，讓學(xué)生能夠向著更高層次發(fā)展，是教師應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)的目標，也是當(dāng)前素質(zhì)教育的一種主流趨勢?？v觀當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)而言，由于受到以往教育理念的沖擊，我國的教育在較長的一段時間內(nèi)未能重視學(xué)生綜合水平的提升，只在乎教會學(xué)生有用的知識，忽略了學(xué)生主體意識的培養(yǎng)。這種情況的產(chǎn)生，不僅會使得當(dāng)前教學(xué)的效率逐漸下降，也無法讓學(xué)生體會到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂。而現(xiàn)如今新課程改革當(dāng)中明確提出了“要切實培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力”。因此，數(shù)學(xué)建模教學(xué)應(yīng)當(dāng)受到當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教師的重視，并及時地探索有效的方式滿足學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，保證學(xué)生能夠養(yǎng)成相應(yīng)的學(xué)科思維。

（二）是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的有效方法

數(shù)學(xué)的教學(xué)不僅需要學(xué)生了解數(shù)學(xué)當(dāng)中的重要公式理念、方法或者是結(jié)論，還要讓學(xué)生能夠探索這些本源知識的存在，在提高學(xué)生思維能力的基礎(chǔ)上培養(yǎng)學(xué)生自主運用數(shù)學(xué)解決實際問題的能力，以及解決實際問題的意識。而通過數(shù)學(xué)建模教學(xué)就能夠有效地培養(yǎng)學(xué)生的這些能力。在數(shù)學(xué)建模教學(xué)當(dāng)中，需要學(xué)生從已知的條件出發(fā)，將題目當(dāng)中所給的數(shù)字以及數(shù)量之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為實際數(shù)學(xué)模型。在進行創(chuàng)設(shè)模型解答問題的過程當(dāng)中，不僅需要學(xué)生觀察模型創(chuàng)設(shè)是否合理、解答問題是否正確，還要讓學(xué)生在檢查之后帶到現(xiàn)實當(dāng)中觀看結(jié)果是否符合實際生活。這樣既考查了學(xué)生收集信息處理加工的能力，又考查了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)獲取新知識的技巧。在拓寬學(xué)生知識面和能力面的基礎(chǔ)上改善了當(dāng)前教學(xué)的方式，突出學(xué)生在課堂上的主體地位，真正提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力。

二、培養(yǎng)高中生建模思維和能力的必要性

高中數(shù)學(xué)涉及的內(nèi)容相對較廣泛，并且難度較高。學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程當(dāng)中如果不能夠掌握一定的技巧和方法，很容易陷入學(xué)困或者是對數(shù)學(xué)難以提起興趣的境地。而開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)，既能夠讓學(xué)生在趣味性的情境當(dāng)中獲取知識，又能夠培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能夠讓學(xué)生養(yǎng)成樂于思考、不怕吃苦，以及堅持不懈的意志。同時，教師可巧妙地發(fā)揮數(shù)學(xué)建模的作用，幫助學(xué)生找到和認清解決數(shù)學(xué)問題的一般方法和規(guī)律。最重要的是，在開展建模教學(xué)的過程中，教師還能夠有機地將學(xué)生進行分組，讓學(xué)生以小組合作的方式進行學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生團結(jié)互助的優(yōu)秀品質(zhì)。數(shù)學(xué)來源于學(xué)生的實際生活，也必須要運用到學(xué)生的實際生活當(dāng)中才會顯得更有價值和意義。以往的學(xué)習(xí)只是學(xué)生單純地理解和掌握，而真正到數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，不僅需要學(xué)生理解和掌握，還要學(xué)生通過分析推理證明和驗證。因此，需要學(xué)生具有較強的聯(lián)想洞察力以及自主管理能力。特別是在新高考的模式下，新情境題以及數(shù)學(xué)文化類題目日益增多，統(tǒng)計案例和其他應(yīng)用題文字繁長，更加急需培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，將文字冗長的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型進而解決該題目。由此可見，在高中階段開展建模教學(xué)，是必要且迫切的課題。

三、培養(yǎng)高中生建模思維和能力的策略

（一）融入生活實際，滲透建模思想

建模本質(zhì)上就是將生活當(dāng)中與數(shù)學(xué)有關(guān)的問題，以數(shù)字為媒介構(gòu)建相應(yīng)的情境模型，然后再深入到情境當(dāng)中進行解決的一個過程。在高中階段，教師將建模的思維融入生活實際當(dāng)中，通過實際的一些問題引發(fā)學(xué)生的注意，接著帶領(lǐng)學(xué)生建模思維融入其中，合理地選擇生活化的素材進行模型建造。最后再與學(xué)生一起解決，讓學(xué)生觀察教師在進行建模和解決問題過程中的數(shù)學(xué)建模方法，能夠有效地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

生活中實際的例子有很多，教師要善于發(fā)現(xiàn)適合建模的真實案例，以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。例如，在進行講解《二次函數(shù)與一元二次方程》這一章節(jié)時，教師就可以通過舉出一些學(xué)生能夠理解的例子，讓學(xué)生進行思考。比如在商店大促銷時，某件商品的進價為25 元，如果按照原價賣出的話，可以賣出800件。但是如果商品每次漲價一元之后，商品的單次銷量就會減少20 件。那么，如果想要獲取最高的利潤，在定價為多少的時候最合理呢？通過這么一個最基本、最接近于生活的事例，可以讓學(xué)生進行思考，讓學(xué)生先明確方程當(dāng)中的未知數(shù)，并思考方程當(dāng)中商品單價和總營業(yè)額之間的關(guān)系。比如將定價設(shè)為X 元，那么這個X 一定要大于25 元才能盈利。而盈利的金額為X-25。也可以設(shè)漲價的金額為x，這樣設(shè)出來的方程最簡單。學(xué)生可用各種方法、各種思路，以不同的觀點看待這個數(shù)學(xué)模型。最后教師可以選出一個簡單的方程，先給學(xué)生列舉出來，比如(25-20+x)(800-20 x)=y。也可以讓學(xué)生轉(zhuǎn)換思路，用另一種方法列舉方程。通過這種方式，形象地為學(xué)生提出了生活中實際的建模例子，幫助學(xué)生更加直觀地體會建模的概念。

（二）聯(lián)系歷史文化，培養(yǎng)建模興趣

興趣是最好的老師。為了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的興趣，課堂上教師可以聯(lián)系我國傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)文化知識勾起學(xué)生的好奇心，培養(yǎng)學(xué)生的求知欲，更能讓學(xué)生體會到古人的數(shù)學(xué)思維，和古人在數(shù)學(xué)建模領(lǐng)域碰撞出思想的火花。

例如，在講解《等差數(shù)列的通項公式》這一章節(jié)時，為了能讓學(xué)生練習(xí)通項公式的運用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并能培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思維和能力，教師可以引入這樣一個例題：《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題:“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等。問各得幾何。”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5 錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列，問五人各得多少錢？”（“錢”是古代的一種重量單位）這個問題中，乙所得為多少錢？當(dāng)學(xué)生看到《九章算術(shù)》的時候就會引發(fā)學(xué)生對此題的興趣，畢竟是我國歷史中的數(shù)學(xué)瑰寶。教師再結(jié)合文言文的出現(xiàn)，更能抓住學(xué)生的眼球。此題需要建立等差數(shù)列的模型，設(shè)所成等差數(shù)列的首項為a1，公差為d，則依題意，列出關(guān)于首項a1和公差d的方程組，求解之后進而求出a2即可。

同樣，在講解《等比數(shù)列的前n項和》這一章節(jié)時，教師可以引入這樣一個例題：《算法統(tǒng)宗》是明朝程大位所著數(shù)學(xué)名著，其中有這樣一段表述：“遠看巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一”，其意大致為：有一棟七層寶塔，每層懸掛的紅燈數(shù)為上一層的兩倍，共有381 盞燈，則該塔中間一層有多少盞燈？此題需要建立等比數(shù)列的模型，設(shè)所成等比數(shù)列的首項為a1，公比為2，則由等比數(shù)列前n項和公式解出a1，再利用等比數(shù)列通項公式求解即可。

通過這種形式，讓學(xué)生體會到我國文化的偉大，激發(fā)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，又培養(yǎng)了數(shù)學(xué)建模的思維能力。

（三）創(chuàng)設(shè)模型情境，探究建模技巧

為了幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)實際問題，強化學(xué)生對于數(shù)學(xué)問題的體會。教師就可以在課堂的開始，利用各種途徑為學(xué)生創(chuàng)設(shè)情境。在用語言創(chuàng)設(shè)情境激發(fā)學(xué)生興趣的基礎(chǔ)上，可以通過媒體信息技術(shù)將實際數(shù)學(xué)情境給學(xué)生構(gòu)建出來，讓學(xué)生仔細觀察并體會其中的數(shù)字代表的實際意思。以這種方式在滿足學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生收獲成功的喜悅。

例如，在進行講解《函數(shù)的應(yīng)用》這一章節(jié)的過程中，也能夠讓學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識的過程當(dāng)中養(yǎng)成相應(yīng)的建模能力。教師可以在課堂的開始就利用語言引出這么一個情境：“同學(xué)們，在疫情期間科研人員正在培養(yǎng)一株病毒原株，已知這個病毒原株其有2000 個病原體構(gòu)成，每個病原體經(jīng)過一個小時可以分裂三次，每次分裂都會增加一倍，那么兩個小時之后能夠得到多少株病毒株？”在給學(xué)生創(chuàng)設(shè)完情境之后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用信息設(shè)備模擬出病毒的分裂，讓學(xué)生先理解題目表達的含義，再讓學(xué)生將其建構(gòu)成數(shù)學(xué)模型進行思考。對這類模型題目而言，需要學(xué)生找到數(shù)量之間變量的關(guān)系，學(xué)會將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)知識。比如，需要學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的冪函數(shù)關(guān)系，以2000 為起始點，每次增加一倍。那么第一次就是2000（2）1……第二次分裂以此類推。在給學(xué)生指明學(xué)習(xí)方向之后，讓學(xué)生進行思考，能夠有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

（四）貼近教材內(nèi)容，模擬建模問題

教材作為學(xué)生能夠接觸到的最直觀的學(xué)習(xí)資源，其中涉及的知識內(nèi)容是最符合學(xué)生認知的資源。教師應(yīng)當(dāng)充分利用好這部分知識，基于教材當(dāng)中的例題進行改編，讓學(xué)生站在新的角度上思考實際問題，以合適的題目作為問題的背景，模擬建模的問題。在豐富學(xué)生所學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，提高學(xué)生的建模思維。

如果充分將教材當(dāng)中的模型素材進行運用，會起到意想不到的教學(xué)效果。例如，在講解《正弦定理》這一部分的知識點時，教師可以在課堂的開始，從書本當(dāng)中給學(xué)生挖掘這么一個題目。比如“在海面上，以燈塔為基準點，在正向60°的方向，有一艘正在以30海里每小時航行的漁船。漁船的正前方的30 海里，有一處暗礁。為了提醒這艘漁船在暗礁之前停下，燈塔處出動了一艘航海快艇，打算在暗礁之前攔下漁船。現(xiàn)在已知，漁船到燈塔的距離為30 海里，漁船與燈塔的夾角為30°那么快艇的速度需要達到多少？”這個題目相對較困難，其中的難點在于學(xué)生能否將此圖形進行合理地轉(zhuǎn)換，通過建模的思維將這些具體的坐標和事物聯(lián)系起來。為了強化學(xué)生對這一部分知識的理解，教師可以鼓勵學(xué)生動起手來，畫出相應(yīng)的圖形。最后以正弦定理當(dāng)中的比值公式算出燈塔到暗礁的距離，然后再除以一個小時，就能得出結(jié)果。

（五）開展課后活動，強化建模能力

真正培養(yǎng)學(xué)生的建模習(xí)慣，讓學(xué)生養(yǎng)成用數(shù)學(xué)眼光看待事物的能力是教師應(yīng)當(dāng)努力的方向。為此教師可以在課堂的開始給學(xué)生著重講解一些重要的知識點，然后再讓學(xué)生針對某些問題從零開始進行建模，將實際的生活現(xiàn)象建構(gòu)出一個合適的模型，加強學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力。

例如，在進行教學(xué)《計數(shù)原理》這一章節(jié)的時候，由于本章節(jié)重點是讓學(xué)生掌握計算原理在實際生活當(dāng)中的應(yīng)用，強化學(xué)生的模型建構(gòu)能力，教師就可以在教學(xué)當(dāng)中，先給學(xué)生提出一個較簡單的數(shù)學(xué)模型問題。比如“書架的第1 層放著4 本不同的計算機書，第2 層放著三本不同的文藝書，第3 層放著兩本不同的體育書”那么隨機地在每層選擇一本書，一共有多少種搭配？先以這個最簡單的例子，讓學(xué)生利用手中現(xiàn)有的書本資源進行模擬練習(xí)，將其進行歸類。經(jīng)過學(xué)生的實踐探索，能夠得出一共有24 種不同的搭配方法。這時候教師則可以引出一些值得學(xué)生課下思考的活動，比如“如果第1 層的書不選擇第1 本，第2 層的書不選擇最后一本。那么一共有多少種選法？”這個模型類的題目較以上而言難度更高，更值得學(xué)生在課下進行活動探索。以這種問題引發(fā)學(xué)生建模的興趣，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。

學(xué)校也可以在課后以班級為單位組織開展數(shù)學(xué)建模競賽，讓更多的學(xué)生積極參與到數(shù)學(xué)建模中來，從而激發(fā)學(xué)生進行數(shù)學(xué)建模的興趣，進而提高對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，形成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)氛圍，提高數(shù)學(xué)成績。這樣更有利于讓學(xué)生將數(shù)學(xué)知識與生活、與大自然，與物理化學(xué)等學(xué)科聯(lián)系在一起，體現(xiàn)數(shù)學(xué)在各個領(lǐng)域作為基礎(chǔ)學(xué)科的重要性。

（六）有效進行總結(jié)，鞏固培養(yǎng)成果

高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程較快，課程非常緊湊。所以，教師不能忽視了對學(xué)生學(xué)習(xí)成果的分析與總結(jié)，否則學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力不能得到有效地鞏固和提升。為了培養(yǎng)和鞏固學(xué)生數(shù)學(xué)建模思維和能力，教師要每隔一個階段，例如一次大型考試結(jié)束過后，對學(xué)生近期存在的問題進行分析總結(jié)，對一些存在的問題用數(shù)學(xué)建模的方法進行解決，達到鞏固的目的。

四、結(jié)語

總而言之，對于現(xiàn)階段的高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)而言，如何讓學(xué)生認識到建模的實質(zhì)，提高學(xué)生的建模思維是教師應(yīng)當(dāng)努力的方向。為了深化學(xué)生的建模思維，讓學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)運用到實際的生活當(dāng)中，教師應(yīng)該在課堂的開始，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)合理的模型情境，帶領(lǐng)學(xué)生深入到情境當(dāng)中找到其中數(shù)量與實際意義的關(guān)系。接著再深度挖掘教材背后的知識，讓學(xué)生能在建模的過程中感受到數(shù)學(xué)的趣味性、實用性，以此提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。