基于紋理合成優(yōu)化算法的多相非均質(zhì)材料二維微觀結(jié)構(gòu)表征與重建*

解曦宇，馬志遠(yuǎn)，林 莉

（大連理工大學(xué)無損檢測研究所，大連 116085）

MCR 可定量表示微觀結(jié)構(gòu)及其固有隨機性，并建立統(tǒng)計等效的微觀結(jié)構(gòu)樣本[1]，從而建立正向和反向PSP 關(guān)系，來分析已知結(jié)構(gòu)的材料性能或根據(jù)所需要的屬性設(shè)計材料結(jié)構(gòu)及加工方法，已成為材料科學(xué)前沿研究領(lǐng)域的熱點之一[2-4]。常見的MCR 方法有隨機場[5]、紋理合成[6]、相關(guān)函數(shù)[7]、物理描述符[8]等。在針對多相非均質(zhì)材料的MCR 研究中，隨機場重建結(jié)果的各相占比可控，但是其宏觀結(jié)構(gòu)與實際樣本形貌存在差異，相關(guān)函數(shù)重建的計算成本大，物理描述符難以準(zhǔn)確識別多相材料中各相顆粒的幾何特征，目前均應(yīng)用不多。

紋理合成起源于計算機圖形學(xué)，廣泛應(yīng)用于遮擋填充、圖像修復(fù)等領(lǐng)域，由于該方法具有計算成本小，重建結(jié)果更接近樣本真實形貌的特點，近年來逐漸被應(yīng)用到MCR 中，目前已成功應(yīng)用于多相、各向異性、動態(tài)材料系統(tǒng)重建。Sundararaghavan[9]最先將紋理合成算法應(yīng)用于單相與雙相材料的MCR，針對銀鎢復(fù)合材料與多晶微觀結(jié)構(gòu)，使用沿x、y和z平面獲得的3 個正交二維截面圖像重建了對應(yīng)的微觀結(jié)構(gòu)，該研究證明了紋理合成重建微觀結(jié)構(gòu)的可行性，但其算法優(yōu)化不完善，計算效率低。Liu 等[10]在此基礎(chǔ)上將紋理合成算法應(yīng)用于三相材料，研究結(jié)果證明了其用于重建多相非均質(zhì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)的可行性，但僅保證了重建結(jié)果中結(jié)構(gòu)的相似性，沒有對材料中各相占比進(jìn)行調(diào)控。

為了對MCR 重建效果進(jìn)行評估，通常需要評價所建模型的統(tǒng)計等效性。相關(guān)函數(shù)作為驗證圖像統(tǒng)計性質(zhì)的表征方法，已廣泛用于MCR 重建結(jié)果有效性的驗證中。常采用的有兩點相關(guān)函數(shù)[11]、兩點聚類相關(guān)函數(shù)[12]、線性相關(guān)函數(shù)[13]等。其中，兩點相關(guān)函數(shù)具有信息豐富、計算簡便的特點，應(yīng)用較為廣泛。本研究以具有多相非均質(zhì)特性的AlSi-PHB 封嚴(yán)涂層作為樣本，采用紋理合成算法對其進(jìn)行二維微觀結(jié)構(gòu)表征與重建，并以顆粒數(shù)量與各相面積分?jǐn)?shù)為參數(shù)進(jìn)行算法優(yōu)化，通過計算重建結(jié)果的兩點相關(guān)函數(shù)方差對算法優(yōu)化有效性及重建效果進(jìn)行評價。

1 原理

1.1 紋理合成

應(yīng)用于MCR 的紋理合成算法通常假定樣本服從馬爾可夫隨機場紋理模型，這意味著樣本中任意一點像素值的條件概率分布僅與其相鄰像素值相關(guān)，而與樣本的其余部分無關(guān)，因此可將材料的金相照片視為紋理并保留其結(jié)構(gòu)性和隨機性。紋理合成通過窮盡搜索來重建圖像，通過按特定順序逐像素（或體素）重建，搜索到原始圖像中的鄰域匹配性最佳的像素作為重建圖像的像素值。為了降低計算成本并確保重建的統(tǒng)計等效性，常使用高斯金字塔或拉普拉斯金字塔進(jìn)行多分辨率合成[14]。本研究選擇使用較為常用的高斯金字塔，其由連續(xù)的濾波和下采樣操作構(gòu)建而成。

紋理合成整體過程如圖1所示，首先針對金相照片進(jìn)行閾值化、濾波等一系列圖像預(yù)處理，獲得輸入圖像樣本。其次使用因果鄰域?qū)W習(xí)圖像中像素的分布，獲得圖像鄰域數(shù)據(jù)集合，并按照光柵掃描的順序逐像素重建。最后利用高斯金字塔將不同分辨率的圖像堆疊生成重建結(jié)果，其中最低分辨率與最高分辨率的圖像分別位于金字塔的頂部與底部。

圖1 紋理合成過程Fig.1 Texture synthesis process

1.2 算法優(yōu)化

在紋理合成算法重建過程中是根據(jù)原始圖像鄰域中像素的相似性來確定輸出像素的值，所以無法準(zhǔn)確控制圖像中不同相的占比，另外，算法本身需確定合適的鄰域尺寸，遠(yuǎn)小于鄰域尺寸的顆粒易被忽略，致使重建結(jié)果中的顆粒數(shù)量少于原始圖像。為此，本文在原有紋理合成的基礎(chǔ)上進(jìn)行了優(yōu)化，針對重建后的圖像加入顆粒補充與面積分?jǐn)?shù)調(diào)整步驟。優(yōu)化過程流程圖如圖2所示，輸入i+1 相材料的重建圖像，針對其中顆粒尺寸較小的相，參照原始圖像中該相的顆粒數(shù)量，隨機填充單像素顆粒至圖像中。隨后提取其中的phase1 進(jìn)行面積分?jǐn)?shù)調(diào)整，利用輪廓識別算法根據(jù)phase1 的占比誤差沿邊緣位置進(jìn)行像素加減。按照此過程對圖像中的所有相進(jìn)行調(diào)整后，合并單相樣本并統(tǒng)計各相占比，滿足判據(jù)則輸出圖像，不滿足判據(jù)則將圖像重新輸入并繼續(xù)調(diào)整，利用迭代優(yōu)化保證重建結(jié)果與原始圖像的各相占比近似一致。

圖2 優(yōu)化紋理合成算法流程圖Fig.2 Flow chart of optimization texture synthesis

為驗證算法優(yōu)化的有效性，以三相非均質(zhì)AlSi-PHB 封嚴(yán)涂層為研究樣本開展研究。該涂層由金屬基體相鋁硅（AlSi）、非金屬潤滑相聚苯酯（PHB）和孔隙組成[15]。圖3（a）為尺寸500×500 像素的AlSi-PHB封嚴(yán)涂層典型金相照片，其中白色部分為AlSi 相基體，灰黑色部分為PHB 相，其在涂層內(nèi)呈網(wǎng)狀隨機分布，尺寸在10～150μm 之間，黑色部分對應(yīng)孔隙，主要聚集在聚苯酯周圍，小孔呈近似圓形，大孔形貌不規(guī)則，尺寸范圍5～80μm。

對圖3（a）進(jìn)行二維重建，優(yōu)化前后紋理合成算法重建結(jié)果分別如圖3（b）和（c）所示。觀察可知，優(yōu)化后算法重建效果整體較好，部分相在形態(tài)細(xì)節(jié)上存在差異。以孔隙為例，利用圖像處理軟件Image-Pro Plus 中的平均顆粒直徑統(tǒng)計函數(shù)統(tǒng)計孔隙的直徑D，D為以2°間隔測量所有通過顆粒質(zhì)心的直徑的平均長度，優(yōu)化后圖像與原始圖像的統(tǒng)計結(jié)果見圖4?？芍?，優(yōu)化后圖像與原始圖像的孔隙顆粒直徑平均值分別為20.84μm 和18.30μm，二者之間相差2.54μm。這種差異與紋理合成優(yōu)化算法的原理有關(guān)，優(yōu)化算法利用邊緣輪廓識別與像素加減方式進(jìn)行面積分?jǐn)?shù)調(diào)整，可能會造成某些顆粒的邊緣部分被填充，導(dǎo)致尺寸較優(yōu)化前偏大。進(jìn)一步考察了優(yōu)化前后單個孔隙的形態(tài)和尺寸，如圖5所示，優(yōu)化前某孔隙的直徑D為24.18μm，優(yōu)化后為26.32μm，偏大了約2μm。

圖3 AlSi-PHB 封嚴(yán)涂層二維微觀結(jié)構(gòu)及重建結(jié)果Fig.3 Two-dimensional microstructure and reconstruction results of AlSi-PHB sealing coating

圖4 AlSi-PHB 封嚴(yán)涂層孔隙直徑統(tǒng)計結(jié)果Fig.4 Statistical results of pore diameter of AlSi-PHB sealing coating

圖5 優(yōu)化前后孔隙形貌及尺寸Fig.5 Morphology and size of pore before and after optimization

統(tǒng)計了原始圖像及重建結(jié)果的各相占比，詳見表1?？梢钥闯觯瑑?yōu)化前重建AlSi 相占比的絕對誤差為2.8%，PHB 相為5.3%，孔隙為2.5%；優(yōu)化后各相占比誤差明顯減小，與原始圖像一致性好。后續(xù)進(jìn)一步利用相關(guān)函數(shù)從統(tǒng)計學(xué)角度評價優(yōu)化算法的有效性。

表1 原始圖像及重建結(jié)果各相占比（面積分?jǐn)?shù)）Table 1 Components of original image and reconstruction results(area fraction) %

1.3 相關(guān)函數(shù)

相關(guān)函數(shù)中包含了材料各相的占比、尺寸、均勻性等信息，可用于對重建結(jié)果圖像質(zhì)量的評價。在概率空間V中將介質(zhì)劃分為兩個不相交的隨機集合或相，表示為V1相和V2相，兩相的占比分別為φ1和φ2，其中φ1+φ2=1.0。對于給定的微觀結(jié)構(gòu)，坐標(biāo)x∈V處的指示函數(shù)I(i)(x)定義為隨機變量[16]：

兩點相關(guān)函數(shù)定義為I(i)(x1)與I(i)(x2)乘積的數(shù)字期望，表示為

式中，尖括號為線性期望運算符。兩點相關(guān)函數(shù)可視為位置x1、x2上的兩個點都在相i內(nèi)的概率，需要注意的是，式（2）一般適用于有任意多相的微觀結(jié)構(gòu)。對于均質(zhì)且各向同性的介質(zhì)，兩點相關(guān)函數(shù)S2(i)(r)僅與任意兩點位置之間的標(biāo)量距離相關(guān)，其中r=|x1-x2|。

根據(jù)以上定義，如圖6所示，兩點相關(guān)函數(shù)具有以下特性[17]：

圖6 面積分?jǐn)?shù)為16% （φi=0.16）的相i 兩點相關(guān)函數(shù)示意圖Fig.6 Illustration of two-point correlation functions for 16%phase i (φi=0.16)

（1）如果r=0，則S2(i)(r)等于材料相i的面積分?jǐn)?shù)，即S2(i)(0)=φi；

（2）如果r→∞，則S2(i)(r)接近相i面積分?jǐn)?shù)的平方，即S2(i)(r)=φi2；

（3）從原點到相關(guān)函數(shù)曲線的最小距離所對應(yīng)的橫軸坐標(biāo)值r表示顆粒尺度，r越大，則顆粒平均尺寸越大。

后續(xù)需根據(jù)原始圖像與重建結(jié)果的兩點相關(guān)函數(shù)誤差來評價重建質(zhì)量，采用的方差計算公式為，

式中，S2(sample)(r)為原始圖像的兩點相關(guān)函數(shù)；S2(reconstruct)(r)為重建結(jié)果的兩點相關(guān)函數(shù)；n為兩點相關(guān)函數(shù)的長度。

2 結(jié)果與討論

2.1 優(yōu)化算法有效性評價

針對圖3（a）封嚴(yán)涂層原始圖像，用上述優(yōu)化前后的算法各重建10 組模型，對重建結(jié)果中的PHB 相和孔隙計算對應(yīng)的兩點相關(guān)函數(shù)、平均兩點相關(guān)函數(shù)及方差，結(jié)果分別見圖7和8。

由上文可知，兩點相關(guān)函數(shù)曲線的零點值與末端值可衡量重建結(jié)果中所含相的占比，從原點到曲線的最小距離所對應(yīng)的r可衡量顆粒尺寸。以PHB 相為例，其占比為43.3%（表2），圖7（a）中兩點相關(guān)函數(shù)的零點值S2(PHB)(0)與末端值S2(PHB)(∞)均偏離實際值很遠(yuǎn)，且10 組曲線分散程度大，表明重建結(jié)果之間的統(tǒng)計一致性差。圖7（b）中曲線的零點值與末端值均接近實際值，且曲線的波動較小，表明重建結(jié)果的面積分?jǐn)?shù)接近原始圖像，同時具有很高的統(tǒng)計一致性。對比圖7（c）中的平均兩點相關(guān)函數(shù)曲線發(fā)現(xiàn)，優(yōu)化后重建結(jié)果的面積分?jǐn)?shù)及結(jié)構(gòu)均與原始圖像非常接近，遠(yuǎn)優(yōu)于優(yōu)化前。優(yōu)化后算法的方差為1.6×10-5，遠(yuǎn)低于優(yōu)化前的方差6.6×10-3，表明優(yōu)化后紋理合成重建結(jié)果與原始圖像之間具有較好的統(tǒng)計等效性。

圖7 重建結(jié)果中PHB 相的兩點相關(guān)函數(shù)（PHB 相占比為43.3%）Fig.7 Two-point correlation function of PHB phase in reconstructed image (43.3% of PHB phase)

圖8是重建結(jié)果中孔隙的兩點相關(guān)函數(shù)，觀察圖8（a）可知，優(yōu)化前兩點相關(guān)函數(shù)的零點值S2(PHB)(0)與末端值S2

圖8 重建結(jié)果中孔隙的兩點相關(guān)函數(shù)（孔隙占比為3.9%）Fig.8 Two-point correlation function of pore phase in reconstructed image (3.9% of pore phase)

(PHB)(∞)均偏離實際值很遠(yuǎn)，表明優(yōu)化前重建結(jié)果中孔隙占比偏低。優(yōu)化后的孔隙占比接近實際值，較優(yōu)化前明顯提升（圖8（b））。由于優(yōu)化算法是通過像素加減實現(xiàn)各相面積分?jǐn)?shù)調(diào)整，圖8（b）中10 組重建結(jié)果的孔隙形態(tài)存在差異，導(dǎo)致其統(tǒng)計一致性略有下降。圖8（c）中優(yōu)化后算法的重建結(jié)果與原始圖像的曲線較為相似，且方差小于優(yōu)化前，表明重建結(jié)果中孔隙的統(tǒng)計等效性較好。在此基礎(chǔ)上，針對研究樣本，利用優(yōu)化后的紋理合成算法進(jìn)行微觀結(jié)構(gòu)的表征與重建。

2.2 微觀結(jié)構(gòu)重建結(jié)果

選取兩張AlSi-PHB 封嚴(yán)涂層的金相照片作為原始圖像樣本，樣本1 的各相占比為φ（AlSi）=51.1%、φ（PHB）=44.7%、φ（Air）=4.2%，樣本2 的各相占比為φ（AlSi）=51.1%、φ（PHB）=47.0%、φ（Air）=1.9%，使用優(yōu)化后紋理合成算法針對兩張樣本分別重建10 張圖像，濾波后原始圖像及對應(yīng)的重建結(jié)果如圖9所示。

圖9 封嚴(yán)涂層原始圖像及重建結(jié)果Fig.9 Original image and reconstruction results of seal coating

2.3 重建結(jié)果評價

計算兩個樣本重建結(jié)果與原始圖像的兩點相關(guān)函數(shù)，得到PHB 和孔隙兩相的平均兩點相關(guān)函數(shù)，并與原始圖像的結(jié)果進(jìn)行對比，分別見圖10和11。

以樣本1 為例，觀察圖10（a）與（b）可知，優(yōu)化后紋理合成算法重建結(jié)果與原始圖像的曲線零點值和末端值均較為接近，說明重建結(jié)果的PHB 和孔隙兩相占比準(zhǔn)確。圖10（a）中示出了重建結(jié)果曲線距原點最近時的橫軸坐標(biāo)值r1（紅色）與原始圖像所對應(yīng)的r0（黑色），r1略大于r0，說明重建結(jié)果中PHB 相的平均尺寸略大于原始圖像。圖10（b）中重建結(jié)果的r1與原始圖像的r0幾乎重合，說明重建結(jié)果中孔隙的平均尺寸與原始圖像基本一致。計算得到PHB 和孔隙兩相的兩點相關(guān)函數(shù)的方差分別為6.9×10-5與1.9×10-7，說明重建結(jié)果與原始圖像整體匹配較好。

圖10 樣本1 重建結(jié)果的平均兩點相關(guān)函數(shù)（PHB 相占比為44.7%，孔隙占比為4.2%）Fig.10 Average two-point correlation function in the reconstructed image of sample 1 (44.7% of PHB phase and 4.2% of pore phase)

同理分析可知，圖11（a）與（b）中樣本2 重建結(jié)果中各相占比準(zhǔn)確，其中PHB 相的平均尺寸略大于原始圖像，孔隙的平均尺寸接近原始圖像，方差分別為8.8×10-5與1.3×10-7。

圖11 樣本2 重建結(jié)果的平均兩點相關(guān)函數(shù)（PHB 相占比為47.0%，孔隙占比為1.9%）Fig.11 Average two-point correlation function in reconstructed image of sample 2 (47.0% of PHB phase and 1.9% of pore phase)

綜上所述，基于優(yōu)化后紋理合成算法獲得的AlSi-PHB 封嚴(yán)涂層重建結(jié)果與原始圖像之間具有較好的統(tǒng)計等效性。需要說明的是，該涂層以AlSi 相作為基體，在重建過程中AlSi 相被視為空白畫布，通過分析填充相PHB 相與孔隙的重建誤差即可間接反映AlSi 相的重建質(zhì)量，因此，文中沒有對AlSi 相的重建結(jié)果進(jìn)行評價。

紋理合成優(yōu)化算法是利用邊緣輪廓識別與像素加減方式進(jìn)行各相占比調(diào)整，通過調(diào)節(jié)顆粒的形態(tài)與尺寸達(dá)到面積分?jǐn)?shù)優(yōu)化的目的，并通過顆粒補充的方式修正優(yōu)化帶來的顆粒尺寸誤差，影響重建結(jié)果的因素有顆粒尺寸、形狀及分布等。優(yōu)化算法通過補充單像素尺寸顆粒使重建前后顆粒數(shù)量一致，僅補償了少量的像素數(shù)，剩余的需填充像素通過隨機方式覆蓋至顆粒的邊緣，導(dǎo)致平均顆粒尺寸偏大且顆粒形狀略有差別。此外，重建過程根據(jù)原始圖像鄰域中各相出現(xiàn)的概率來確定輸出像素的值，對于占比相對較低的相，如本文中占比小于5%的孔隙，其對應(yīng)鄰域被選擇的概率較低，易導(dǎo)致重建圖像中孔隙占比低于實際值，經(jīng)調(diào)節(jié)顆粒形態(tài)尺寸實現(xiàn)面積分?jǐn)?shù)一致的同時，可能引起重建結(jié)果中孔隙平均尺寸偏大。

3 結(jié)論

（1）針對現(xiàn)有紋理合成算法無法準(zhǔn)確控制重建結(jié)果中各相占比的問題，利用顆粒補充、像素加減與邊緣搜索進(jìn)行算法優(yōu)化，提出了一種面積分?jǐn)?shù)可控的MCR紋理合成算法。結(jié)果表明，該算法可在保證材料結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上實現(xiàn)各相占比一致的準(zhǔn)確重建。

（2）將優(yōu)化后紋理合成算法應(yīng)用于多相非均質(zhì)材料AlSi-PHB 封嚴(yán)涂層的二維MCR，結(jié)合兩點相關(guān)函數(shù)對重建結(jié)果進(jìn)行表征與評價，表明重建結(jié)果與原始圖像具有較好的統(tǒng)計等效性。