橫向掃描敏感子彈的命中概率分析

劉璐偉，李 明，程晉偉，馬宇騰，毛 亮

(北京理工大學(xué) 爆炸科學(xué)與技術(shù)國家重點實驗室， 北京 100081)

1 引言

智能地面封鎖彈藥可以在一定時間內(nèi)，對指定區(qū)域?qū)嵤┓怄i，從而為己方贏得時間，掌握戰(zhàn)時主動權(quán)。其中，橫向掃描敏感子彈是地面封鎖彈藥的智能作戰(zhàn)單元，不僅可以打擊地面車輛，還可以打擊超低空飛行的直升機等敵方目標(biāo)，具有響應(yīng)速度快等優(yōu)勢，是目前的研究熱點。

橫向掃描敏感子彈的命中概率與穩(wěn)態(tài)掃描特性密不可分。近年來，針對敏感子彈在不同彈道中的穩(wěn)態(tài)掃描特性和識別命中概率開展了大量研究[1]。李臣明等[2]采用四元數(shù)法建立了末敏彈系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)掃描階段的運動方程，仿真證明了基于四元數(shù)法變換的彈道模型不會出現(xiàn)參數(shù)退化的情況，同時可提高運算速度和精度，比歐拉方程更適于描述末敏彈的姿態(tài)運動；趙博博等[3]通過分析掠飛末敏彈的掃描區(qū)域特性，推導(dǎo)求解了捕獲概率的解析公式，并分析了彈丸瞄準(zhǔn)點、初速、目標(biāo)速度等因素對捕獲概率的影響；于濤等[4]通過分析上升掃描式末敏子彈的作用過程，建立了毀傷效能評估模型，得到了毀傷效能隨子彈初始擾動、轉(zhuǎn)速、目標(biāo)速度等因素的變化規(guī)律；于寧等[5]分析了一種智能地雷的亞音速和跨音速流場，得到了氣動力因子隨攻角增長的變化規(guī)律；楊永亮等[6]根據(jù)末敏子彈的非對稱特點，推導(dǎo)了超大攻角下空間六自由度彈道方程，研究了彈體結(jié)構(gòu)對掃描特性的影響規(guī)律。

本文首先分析橫向掃描敏感子彈的作用原理和掃描特性，在耦合子彈擺動角的情況下，分別建立了子彈對車輛目標(biāo)的捕獲識別、起爆命中模型，采用蒙特卡洛法，求解了不同轉(zhuǎn)速、彈目距離、識別閾值和目標(biāo)速度等條件下的命中概率，并對影響子彈毀傷效能的因素進行了分析。

2 橫向掃描敏感子彈飛行動力學(xué)方程

2.1 子彈結(jié)構(gòu)及作用過程

橫向掃描敏感子彈是一種新型結(jié)構(gòu)的敏感彈藥，由戰(zhàn)斗部、敏感器、電子倉、整流罩等部件組成，其敏感裝置和爆炸成型戰(zhàn)斗部呈一定角度，橫置于彈體內(nèi)，彈體結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 敏感子彈結(jié)構(gòu)示意圖

橫向掃描敏感子彈毀傷目標(biāo)需要經(jīng)過掃描識別、起爆命中2個階段，分別將掃描識別出目標(biāo)的概率定義為捕獲率，將起爆命中目標(biāo)的概率定義為命中率。敏感器軸線和戰(zhàn)斗部軸線相對與目標(biāo)尺寸很細小，可簡化為一條直線，分別記為敏感軸和威力軸。當(dāng)?shù)孛娣怄i彈藥發(fā)現(xiàn)敵方目標(biāo)并做出攻擊指令后，橫向掃描敏感子彈藥垂直發(fā)射，并立即啟動敏感裝置，敏感軸在周圍空間中形成自下而上的螺旋掃描線，子彈在周期性擺動和上升旋轉(zhuǎn)中探測、識別并打擊目標(biāo)。其作用過程如圖2所示。

圖2 敏感子彈作用過程示意圖

2.2 子彈運動微分方程的建立

橫向掃描敏感子彈的運動可分為質(zhì)心運動和繞心運動。其質(zhì)心運動只是沿鉛錘軸方向運動，軌跡相對簡單，故主要考慮彈體的繞心運動。選取坐標(biāo)系如下：地面慣性坐標(biāo)系，基準(zhǔn)坐標(biāo)系，彈體坐標(biāo)系，使用俯仰角θ1、偏航角θ2、滾轉(zhuǎn)角φ作為子彈轉(zhuǎn)動的廣義坐標(biāo)，如圖3所示，通過推導(dǎo)歐拉動力學(xué)方程，建立子彈繞心轉(zhuǎn)動方程組為：

(1)

其中，

式(1)中:ωx1、ωy1、ωz1分別為子彈繞彈體坐標(biāo)系x1軸、y1軸、z1軸轉(zhuǎn)動的角速度；A、B、C分別為子彈對x1軸、y1軸、z1軸的慣性矩；D為子彈對x1z1平面的慣性積。

2.3 子彈擺動角的計算

定義擺動角η為威力軸與水平面的夾角，即O-y1軸與O-x0y0平面的夾角，O-y2是O-y1軸在O-x0y0平面內(nèi)的投影，如圖3所示。

圖3 坐標(biāo)系示意圖

理想情況下，O-y1軸與O-x0y0平面平行，但在實際中，彈軸存在擺動的情況，擺動角η隨子彈運動呈周期性變化，如圖4所示。由O-y1軸在基準(zhǔn)坐標(biāo)系中的方向余弦可知，擺動角η表達式為：

(2)

圖4 擺動角隨時間變化的曲線

3 橫向掃描敏感子彈命中概率模型

3.1 命中概率影響因素分析

橫向掃描敏感子彈的探測識別過程是包含敏感器光電探測、數(shù)據(jù)采集、信息處理的復(fù)雜過程，由于敏感器固有的延遲，識別目標(biāo)總是滯后于掃描目標(biāo)，這一滯后時間稱為識別延遲時間；敏感器給出識別信號后，戰(zhàn)斗部延遲一段時間才會起爆，這段時間稱為起爆延遲時間。如果威力軸與敏感軸重合或平行，當(dāng)敏感器識別目標(biāo)并發(fā)出起爆指令后，威力軸將偏離識別點位置；同時， 爆炸成型彈丸(EFP)的牽連運動也會造成命中位置的偏移。因此需要將敏感軸前置于威力軸一個合適的角度，從而使威力軸對準(zhǔn)目標(biāo)位置，提高EFP對目標(biāo)的命中概率。

3.1.1延遲時間造成的偏差

子彈發(fā)射后，在飛行中高速旋轉(zhuǎn)。假設(shè)在識別延遲時間t1內(nèi)，子彈轉(zhuǎn)過角度為δ1，飛行距離為l1，在起爆延遲時間t2內(nèi)，子彈轉(zhuǎn)過角度為δ2，飛行距離為l2，由于延遲時間很短，可認為子彈速度近似不變，在理想情況下，延遲偏差表示為：

(3)

式(3)中，ωz1、v分別為子彈繞彈體軸的轉(zhuǎn)速和飛行速度。

3.1.2EFP牽連運動造成的偏差

橫向掃描敏感子彈的上拋運動可正交分解為繞彈軸的旋轉(zhuǎn)運動和沿鉛錘軸方向的質(zhì)心運動。假設(shè)戰(zhàn)斗部起爆后，牽連運動使得威力軸在彈體切向方向偏離δ3角度，如圖5所示，圖5中A為子彈質(zhì)心，B為EFP瞄準(zhǔn)點，C為命中點，威力軸從B掃描到C點的時間很短，螺線的收縮距離可以忽略不計，可以將△ABC近似為等腰三角形，故δ3表達式為：

(4)

式(4)中：d為戰(zhàn)斗部藥型罩到子彈質(zhì)心的距離；vEFP為EFP起爆后的初始速度設(shè)計值。

圖5 EFP牽連運動引起的切向偏移示意圖

(5)

圖6 EFP牽連運動引起的軸向偏移示意圖

3.1.3前置角的設(shè)計

延遲時間均為毫秒級，取t1=1 ms，t2=0.1 ms，v=40 m/s，則l1+l2=0.044 mm，使敏感器的安裝位置在彈體軸向偏離戰(zhàn)斗部0.044 mm，即可抵消該誤差。其他偏差可通過敏感器相對于戰(zhàn)斗部的前置角進行補償，敏感器的切向前置角δt和軸向前置角δa分別表示為：

(6)

3.2 敏感軸端點的掃描軌跡方程

敏感器與彈體保持相對靜止，將彈體坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)δt角度，得到掃描坐標(biāo)系Ox2y2z1，再將掃描坐標(biāo)系坐標(biāo)原點移至敏感信號發(fā)射點，得到了敏感坐標(biāo)系Sx3y3z3，如圖7所示。記敏感軸長度為ls，掃描信號發(fā)射點S在彈體坐標(biāo)系中的位置為(lsox,0,lsoz)，子彈質(zhì)心在地面慣性坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(x0,y0,z0)。將敏感軸端點在掃描坐標(biāo)系下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化到基準(zhǔn)坐標(biāo)系下，再加上質(zhì)心的位置，即得到敏感軸端點在地面慣性坐標(biāo)系下的坐標(biāo)S，即：

(7)

式(7)中，L-1(α)L-1(β)L-1(γ+δt)為掃描坐標(biāo)系到基準(zhǔn)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣。

圖7 穩(wěn)態(tài)掃描模型示意圖

由于子彈在飛行中存在周期性擺動，故敏感軸可能會接觸到地面，被地面阻隔，此時敏感軸的長度ls不再為定值，其大小Sz=0時的值，記為ls1；當(dāng)敏感軸掃描到目標(biāo)時，敏感軸的長度ls也非定值，其大小為ls2=D，D為彈目距離。 將式(7)與六自由度彈道方程組聯(lián)立，采用龍格庫塔法迭代求解，即可得到敏感軸的空間運動軌跡及彈道諸元隨時間的變化規(guī)律，如圖8所示。

3.3 目標(biāo)識別的判定條件

地面封控彈藥的攻擊響應(yīng)時間很短，0.1 s內(nèi)足以打擊地面目標(biāo)，目標(biāo)機動距離很短，可假設(shè)目標(biāo)做勻速直線運動，目標(biāo)在豎直平面內(nèi)的投影運動方程為：

(8)

式(8)中：(X,Y,Z)為目標(biāo)邊緣的tZ時刻位置；(X0,Y0,Z0)為目標(biāo)中心的初始時刻位置；(Vx,Vy,Vz)為目標(biāo)速度；(a,b,c)分別為目標(biāo)的長、寬、高；t為子彈識別到打擊目標(biāo)所經(jīng)歷的時間。

圖8 敏感軸和威力軸的掃描軌跡示意圖

子彈進入穩(wěn)態(tài)掃描階段后，激光/紅外復(fù)合敏感器探測目標(biāo)，彈載信息處理單元分析和處理敏感器響應(yīng)信號，實現(xiàn)對目標(biāo)的識別和定位。為了避免打擊到目標(biāo)的邊緣，掃描目標(biāo)的高度和寬度均需限定在一定閾值內(nèi)。在一個掃描周期內(nèi)，識別條件為：

(9)

式(9)中：H表示目標(biāo)的判斷(H=1表示金屬目標(biāo)，H=0表示非金屬目標(biāo))；e是掃描識別區(qū)系數(shù)；L表示敏感器掃過目標(biāo)的長度；Lmin是最小識別長度。

3.4 EFP命中點計算

EFP起爆后，由于戰(zhàn)斗部自身的誤差以及各種外部因素的干擾，戰(zhàn)斗部命中點產(chǎn)生散布，記EFP命中點相對于瞄準(zhǔn)點的中間偏差為Ex、Ey、Ez，EFP飛行距離為lv。威力軸位于彈體系Oy1z1平面內(nèi)，與O-y1軸重合，將威力軸端點在彈體坐標(biāo)系下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化到地面慣性坐標(biāo)系下，再加上質(zhì)心的位置與命中點的散布，即得EFP命中點在地面慣性坐標(biāo)系下的坐標(biāo)V為:

(10)

式(10)中，ξx、ξy、ξz為服從N(0,1)的隨機數(shù)。聯(lián)立式(11)與六自由度彈道方程組，即可得到t時刻EFP的命中點坐標(biāo)。

為了避免打擊到目標(biāo)的邊緣，目標(biāo)區(qū)域需限定一個閾值，記有效命中區(qū)系數(shù)為e1。在一個掃描周期內(nèi)，命中條件如下：

(11)

聯(lián)立方程式(1)、式(6)～式(11)，即得到橫向掃描敏感子彈的命中模型。

4 命中概率分析

在建立上述捕獲識別模型與起爆命中模型的基礎(chǔ)上，采用Monte Karlo法，模擬橫向掃描敏感子彈對車輛目標(biāo)的捕獲識別、起爆命中過程，比較不同影響因素下的捕獲識別與命中情況，統(tǒng)計得到了橫向掃描敏感子彈的命中概率。命中概率的計算流程如圖9所示。

圖9 命中概率計算流程框圖

已知初值條件為：子彈初速為v=50 m/s，轉(zhuǎn)速為ωz1=12 r/s，識別區(qū)域系數(shù)e=0.8，最小識別長度Lmin=1.2 m，響應(yīng)延遲時間為1.1 ms，軸向補償角為δa=-0.05°，切向補償角為δt=4.7°，赤道轉(zhuǎn)動慣量A=0.009 9，極轉(zhuǎn)動慣量B=0.010 3，C=0.005 0，慣性積D=7e-5，初始擾動均為0.05 rad/s，EFP的中間偏差Ex=Ey=0.05。車輛目標(biāo)在豎直平面內(nèi)的投影尺寸為3.4 m×7 m，目標(biāo)運動速度為20 m/s。

4.1 初始擾動對命中率的影響分析

子彈有效打擊區(qū)域是圓形，假設(shè)目標(biāo)沿該區(qū)域切線方向運動，不考慮推力偏心的影響，仿真計算了子彈初始擾動為0 rad/s、0.01 rad/s、0.02 rad/s、0.03 rad/s、0.04 rad/s、0.05 rad/s時，對20～50 m范圍內(nèi)運動目標(biāo)的命中率，計算結(jié)果如圖10所示。

由圖10可知，橫向掃描敏感子彈的命中概率隨彈目距離的增大而降低，且子彈的初始擾動越大，對同一目標(biāo)的命中概率就越低，這是因為初始擾動越大，掃描過程中子彈的平均擺動角越大，掃描螺距越不均勻，使得掃描識別與命中目標(biāo)越發(fā)困難。當(dāng)初始擾動小于0.01 rad/s時，子彈對不同距離目標(biāo)的命中率均在72%以上；當(dāng)初始擾動大于0.05 rad/s時，命中率均低于75%。

圖10 不同彈目距離下命中概率隨初始擾動的變化曲線

4.2 識別閾值對命中率的影響分析

假設(shè)敏感子彈的初始擾動均為0.05 rad/s，彈目距離為40 m，目標(biāo)沿彈體徑向方向運動，其他假設(shè)條件均與初值條件相同。仿真計算了子彈識別區(qū)系數(shù)分別為0.6、0.7、0.8、0.9時，最小識別長度取0.8～1.3 m的目標(biāo)命中率，計算結(jié)果如圖11所示。

圖11 不同掃描識別區(qū)系數(shù)下命中概率隨最小識別長度的變化曲線

由圖11可知，橫向掃描敏感子彈的命中概率隨著掃描識別區(qū)系數(shù)的增大而降低，且在最小識別長度提高到一定閾值時，命中概率陡然下降，其原因主要是：在較低的識別區(qū)系數(shù)下，目標(biāo)識別區(qū)域相對較小，最小識別長度增加會提高識別難度，使子彈更難以捕獲目標(biāo)。因此需要搭配合理的識別閾值。當(dāng)識別區(qū)系數(shù)大于0.8時，0.8～1.2 m的最小識別長度均適用，且命中率都在67%以上。

4.3 目標(biāo)方位對命中率的影響分析

目標(biāo)相對彈體的不同方位運動時，子彈的有效識別區(qū)域大小不一，導(dǎo)致了不同的命中概率。假設(shè)目標(biāo)分別沿彈體切向和徑向方向運動，其他假設(shè)條件均與初值條件相同，仿真計算了彈目距離取20～45 m的目標(biāo)命中率，計算結(jié)果如圖12所示。

圖12 不同目標(biāo)方位下命中概率隨彈目距離的變化曲線

從圖12可以看出，目標(biāo)沿彈體的切向方向運動時，彈目距離幾乎不影響命中概率，這主要是因為切向運動的目標(biāo)提供了冗余的識別長度，容易滿足識別要求；而目標(biāo)沿彈體的徑向方向運動時，隨彈目距離的增加，子彈命中概率急劇下降，這主要是因為有效目標(biāo)區(qū)域已經(jīng)接近識別長度，在彈體擺動的情況下，彈目距離越遠，子彈越難以捕獲目標(biāo)。當(dāng)彈目距離小于25 m時，目標(biāo)方位對命中率影響不大；當(dāng)彈目距離大于25 m時，應(yīng)盡量選擇位于切向方位的子彈進行打擊。

4.4 最大擺動角對命中率的影響分析

假設(shè)目標(biāo)沿彈體切向方向運動，其他假設(shè)條件均與初值條件相同。仿真計算了子彈最大擺動角分別為1.12°、1.57°、1.79°、2.20°時，彈目距離取20～45 m的目標(biāo)命中率，計算結(jié)果如圖13所示。

圖13 不同最大擺動角下命中概率隨彈目距離的變化曲線

由圖13可知，對于25 m以內(nèi)的目標(biāo)，最大擺動角的變化對目標(biāo)命中概率的影響有限，其命中率均在0.93以上，這是因為2°以內(nèi)的擺動角，最大掃描間隔在1.8 m以內(nèi)，未超出目標(biāo)高度，子彈在掃描過程中可以有效捕獲并命中目標(biāo)；當(dāng)彈目距離大于 時，隨著彈目距離和擺動角的增加，目標(biāo)命中概率大幅下降，這主要是因為掃描間隙的增加，使得捕獲目標(biāo)越來越困難。 當(dāng)初始擾動小于0.05 rad/s，最大擺動角小于1.12°，彈目距離小于35 m時，子彈對目標(biāo)的命中率均在93%以上。

5 結(jié)論

1) 目標(biāo)命中概率隨子彈初始擾動、最大擺動角和彈目距離的減小而增加，當(dāng)初始擾動小于0.05 rad/s，最大擺動角小于1.12°，彈目距離小于35 m時，子彈對目標(biāo)的命中率均在93%以上；

2) 目標(biāo)命中概初始擾動隨識別區(qū)系數(shù)的提高而增加，合理的搭配識別閾值能有效提高目標(biāo)命中概率，當(dāng)子彈初始擾動為0.05 rad/s，彈目距離為40 m，識別區(qū)系數(shù)大于0.8時， 0.8～1.2 m的最小識別長度均適用，且命中率都在67%以上；

3) 當(dāng)目標(biāo)沿彈體徑向方向運動時，命中概率隨彈目距離的增加而急劇降低，當(dāng)彈目距離大于25 m時，應(yīng)盡量選擇位于切向方位的子彈進行打擊。