基于Expectile和Realized GARCH模型的波動率預測

高雷阜, 李偉梅

(遼寧工程技術大學 運籌與優(yōu)化研究院,遼寧 阜新 123000)

0 引言

收集、分析風險相關信息,進行風險評估，然后制定、實施相應的對策,使風險被控制在所能接受的范圍內,這是金融風險管理的主要內容。其中,風險評估在風險管理中扮演著重要的角色，而風險預測對風險評估的準確性有重大影響。因此,在當代經濟復雜的環(huán)境下,如何精確預測風險是風險管理中不可或缺的研究內容。

波動率是評估風險的核心方法之一。在金融時間序列早期的相關研究中,研究者發(fā)現(xiàn)風險預測誤差與金融市場的波動相關。1982年Engle[1]提出的條件異方差模型(ARCH模型)刻畫了這種相關性,但ARCH模型待估計的參數(shù)繁多不利于快速計算。為了修正ARCH模型，Bollerslev[2]提出的GARCH模型被稱為廣義ARCH模型,克服了ARCH模型的不足。自此之后，GARCH模型被廣大研究者推廣并提出很多改進模型,如TGARCH模型、EGARCH模型等，但這些模型多建立在低頻數(shù)據(jù)上,預測的波動率精確度有限。隨著科技的發(fā)展，高頻數(shù)據(jù)逐漸走進風險預測研究領域。Andersen[3]等人基于高頻數(shù)據(jù)，提出已實現(xiàn)方差RV,證實了RV更加接近實際風險波動。2012年Hasen[4]將RV與GARCH模型結合提出了Realized GARCH模型(下文簡稱RGARCH),進一步提高了波動率預測效能。與此同時,其他研究者相繼將已實現(xiàn)波動率用于各種GARCH衍生模型。其中,王天一和黃卓[5]研究了高頻數(shù)據(jù)下波動率的建模及應用。GARCH及GARCH衍生模型對波動率的預測都需要假設模型分布,但是滿足模型條件的分布很難找到。分位數(shù)回歸的GARCH模型不需要假定模型分布,將分位數(shù)回歸引入波動率預測模型[6,7],可緩解分布假設造成的模型誤差，但分位數(shù)無法準確捕捉分布尾部信息。Expectile(期望分位數(shù))由Newey Powell[8]提出,和分位數(shù)具有一一對應的關系,Expectile比分位數(shù)對分布的尾部信息更加敏感[9,10,11]。將Expectile和高頻數(shù)據(jù)引進GARCH模型是否會碰撞出更精彩的波動率預測結果目前還未有研究。

本文基于分位數(shù)回歸GARCH模型的思想及Expectile、高頻數(shù)據(jù)的良好性質,提出Expectile-RealizedGARCH(簡稱E-RGARCH)模型，旨在提高波動率預測能力，使得風險預測更加準確。

1 模型

1.1 RGARCH(1,1)模型[12]

(1)

1.2 E-RGARCH(1,1)模型

(2)

其中,

(3)

為非對稱平方損失函數(shù)。τ為[11]

(4)

在RGARCH(1,1)模型的基礎上引入Expectile得到E-RGARCH(1,1)模型

(5)

其中,ωτ,ατ,βτ,λτ,δτ分別為ω,α,β,λ,δ的第τ個Expectile值。

2 模型估計

(6)

3 條件波動率預測與評價

3.1 樣本外動態(tài)波動率滾動預測

采用固定時間窗口寬度的樣本外1步滾動預測法[13]對不同模型的條件波動率進行預測。具體方法為:將樣本數(shù)據(jù)分為M個樣本內和N個樣本外,樣本內用于參數(shù)估計，樣本外用于預測。當一個新的觀測值增加到樣本中,刪除第一個觀測值并重新估計模型,得到一個新的波動率預測值,重復進行N次,得到N個樣本外波動率預測結果。

根據(jù)均方差(MSE)[14]

(7)

評價模型預測能力。其中,ht為第個條件波動率預測值,RVt為第t個已實現(xiàn)波動率。MSE值越小,代表預測能力越好。

4 實證研究

圖1中日收益率Rt表現(xiàn)出尖峰厚尾特征,圖2中已實現(xiàn)波動率RV具有波動聚集性。

4.1 數(shù)據(jù)預處理

分析日收益率Rt的數(shù)據(jù)特征，判斷能否應用RGARCH模型對其進行預測。

4.1.1 描述性統(tǒng)計量

分析日收益率的描述性統(tǒng)計特征，結果如表1所示

表1 日收益率描述性統(tǒng)計量

圖1 日收益率Rt時間序列圖

圖2 已實現(xiàn)波動率RV時間序列圖

表1中日收益率具有向0集中的趨勢,收益率分布不分散。偏度系數(shù)結果表示分布偏左。樣本峰度說明分布具有高峰厚尾。JB檢驗統(tǒng)計量P值小于0.05,說明不服從正態(tài)分布。ADF檢驗結果說明Rt為平穩(wěn)序列。

4.1.2 自相關性檢驗

應用自相關ACF和偏自相關PACF可對日收益率Rt進行相關性分析，結果見圖3。

圖3 日收益率Rt的ACF和PACF檢驗

根據(jù)圖3,ACF和PACF函數(shù)值基本在置信區(qū)間內(圖中虛線區(qū)域內),說明日收益率Rt自相關性較弱。

Box-Ljung檢驗[16,17]是對時間序列是否存在滯后相關的一種統(tǒng)計檢驗,檢驗日收益率Rt滯后相關性,若不相關,則為白噪聲序列。

表2 日收益率Rt的Box-Ljung檢驗

根據(jù)表2,滯后階為12時P值大于5%,日收益率Rt為白噪聲序列。

結合圖3和表2,我們認為滬深300指數(shù)的日收益率Rt不存在顯著高階自相關性，可以應用RGARCH(1,1)模型對其分析研究。

4.2 模型建立

4.2.1 均值模型的建立

(8)

在的RGARCH(1,1)模型引入Expectile,得到相應的E-RGARCH(1,1)模型為

(9)

4.2.2 模型參數(shù)估計

選取前559個交易日的日收益率Rt作為樣本內數(shù)據(jù)估計模型參數(shù),得到的結果如表3和表4所示。

表3 RGARCH(1,1)模型參數(shù)估計結果

表4 E-RGARCH(1,1)模型參數(shù)估計結果

4.2.3 條件波動率預測和評價

在以上參數(shù)估計基礎上,將2017年10月13日至2020年2月3日的559個數(shù)據(jù)視作樣本內數(shù)據(jù)，2020年2月4日至2020年7月1日的100個數(shù)據(jù)視作樣本外數(shù)據(jù)，對RGARCH(1,1)模型和E-RGARCH(1,1)模型的條件波動率進行預測,其預測結果與樣本外已實現(xiàn)方差的對比如圖4所示。

圖4 RGARCH(1,1)模型和不同風險水平下的 E-RGARCH(1,1)模型條件波動率預測圖

圖4中RGARCH(1,1)模型和E-RGARCH(1,1)模型對條件波動率預測都有較好的效果，以下應用均方差(MSE)對預測效能作進一步評價,結果如表5所示。

根據(jù)表5結果,E-RGARCH(1,1)模型波動率預測能力均比RGARCH(1,1)模型好，當風險水平為0.95時，E-RGARCH(1,1)的波動率預測能力最好。

5 結論

基于高頻數(shù)據(jù)的E-RGARCH模型較傳統(tǒng)的RGARCH模型對波動率預測更加準確的，這對金融市場風險管理有一定的指導意義。本文采用極大似然法估計模型參數(shù),并沒有考慮參數(shù)的約束信息，而貝葉斯估計法假定了參數(shù)的先驗分布,使得參數(shù)估計效果更佳。因此,基于貝葉斯估計的E-RGARCH模型可作為未來研究方向。