基于風險偏好的混合多準則群決策方法研究

武群麗， 趙 萌

(華北電力大學 經(jīng)濟管理系， 河北 保定 071000)

1986年，ZADEH[1]提出了模糊集理論。ATANASSOV[2]對此進行了擴展，提出了直覺模糊集的概念，受到人們的廣泛關注。直覺模糊集同時考慮肯定度、反對度和不確定程度3個方面的信息，比模糊集理論考慮更加全面。直覺模糊理論已廣泛應用到?jīng)Q策方面[3-8]。

由于單個決策者決策能力的有限性以及多準則評價值形式的多樣性，混合多屬性群決策方法應用而生，如直覺模糊VIOKR評價方法[4]、E-VIKOR方法[9]、MULTIMOORA決策方法[10]以及基于支持度和熵值的決策方法[11]等。目前，已有的對混合多屬性群決策的研究往往基于決策者完全理性。實際上，決策者對不同方案有不同的風險偏好心理。有些學者已在決策階段考慮風險偏好這一因素，如文杏梓等[12]以及張曉等[13]運用前景理論考慮風險偏好，趙萌等[14]建立了考慮風險態(tài)度的愿景滿意度函數(shù)。通過大量的文獻研究發(fā)現(xiàn)，絕大多數(shù)混合多屬性群決策方法沒有在混合數(shù)據(jù)處理和群決策兩個階段同時考慮專家的風險偏好。

基于以上問題，本文提出基于風險偏好的混合多準則群決策方法。該方法在混合數(shù)據(jù)處理和群決策兩個階段同時考慮風險偏好這一因素。在混合數(shù)據(jù)處理階段，定義了考慮風險偏好的新記分函數(shù)，將直覺模糊數(shù)(Intuitionistic fuzzy numbers，IFNS)轉化為實數(shù)。新記分函數(shù)解決了已有記分函數(shù)出現(xiàn)的部分問題，在比較直覺模糊數(shù)大小方面更有效。在群決策階段，基于決策信息猶豫度和前景值偏離度兩視角確定專家權重，一方面，基于專家決策信息的猶豫度來確定專家權重，考慮到各專家對不同準則決策的猶豫度存在差別，把直覺模糊數(shù)的猶豫度更加細化為3個等級，這是鮮有文獻能考慮到的；另一方面，利用專家個體與群體對方案決策的前景值的偏離程度來確定權重。綜合運用準則權重、專家權重、改進前景理論進行最后的決策。

1 直覺模糊集的基本概念和改進前景理論

1.1 直覺模糊集的基本概念

定義2[1]設A=〈μA(x),σA(x)〉，B=〈μB(x),σB(x)〉為兩直覺模糊數(shù)，若μA(x)≥μB(x),σA(x)≤σB(x)，則A≥B；當且僅當μA(x)=μB(x),σA(x)=σB(x)時,A=B。

1.2 改進前景理論

1979年，Kahneman等[15]提出前景理論，前景理論將決策者的風險偏好態(tài)度這一因素引入到?jīng)Q策過程中。這一理論由價值函數(shù)和概率權重函數(shù)共同組成，即

(1)

(2)

(3)

其中V表示前景價值，v(Δx)為價值函數(shù)，θ為決策方案對益損的敏感程度值，w(p)為概率權重函數(shù)，Δx表示決策方案相對于參考點的變化值。Δx≥0時，v(Δx)為收益值；Δx<0時，v(Δx)為損失值。

馬健等[16]對價值函數(shù)進行了改進。改進的前景價值函數(shù)引入一個新的參數(shù)ξ，形式如下：

(4)

其中ξ、θ反映決策者對益損敏感程度。若決策者對收益更敏感，則θ=1，ξ>1；若對損失更敏感，θ>1，ξ=1。α、β反映決策者對于風險的態(tài)度，若是保守者，α、β>1；若是中間者，α、β=1；若是冒險者，0<α、β<1。

2 基于風險偏好的新記分函數(shù)

2.1 現(xiàn)有記分函數(shù)

1994年，Chen等[17]定義了得分函數(shù)。設任意直覺模糊數(shù)A=〈μA(x),σA(x)〉，則A的得分函數(shù)為

S(A)=μA(x)-σA(x)，

(5)

其中μA(x)、σA(x)、S(A)分別表示隸屬度、非隸屬度、凈隸屬度。S(A)越高，則A越大。所以，通過比較S(A)來確定A的大小。但是，當凈隸屬度相同，而猶豫度不同時，則直覺模糊數(shù)的大小無法判斷，式(5)忽略了猶豫度對直覺模糊數(shù)大小的影響。

牛利利等[5]把從眾心理引入到函數(shù)中，提出新的得分函數(shù)

(6)

對于Chen等[17]提出的得分函數(shù)出現(xiàn)的無法直接比較直覺模糊數(shù)大小的情形，該函數(shù)在沒有其他函數(shù)的輔助下，能夠直接得出排序結果。然而，不同風險偏好類型的決策者的直覺判斷是不同的，具體表現(xiàn)為：保守型決策者認為猶豫度越小，不確定程度越小，得到否定的機會就越小，相對風險也越?。幻半U型決策者認為猶豫度越大，不確定程度越大，得到肯定的機會就越大。該記分函數(shù)考慮了風險偏好導致決策結果與人的直覺判斷不符的情況。

高建偉等[6]提出了一個考慮肯定信息、否定信息以及不確定信息的新記分函數(shù)為

(7)

其中πA(x)=1-μA(x)-σA(x)。該函數(shù)表示μA(x)-σA(x)越大，πA(x)越小時，S(A)值越大，A越大。高建偉等提出的記分函數(shù)考慮了猶豫度的影響。但是，當凈隸屬度為零，且猶豫度不為零時，該記分函數(shù)無法比較兩直覺模糊數(shù)的大小。該記分函數(shù)也沒有考慮風險偏好這一因素。

羅雪鵬等[7]結合得分函數(shù)和精確函數(shù)，引入一個風險態(tài)度參數(shù)λ，定義了一種綜合得分函數(shù)：

(8)

李梅[8]在考慮風險偏好及猶豫度的基礎上重新定義了基于風險偏好的直覺模糊得分函數(shù)，如：

(9)

新引入的風險偏好因子η∈[-1,1]。當η>0時，決策者屬于冒險型；當η<0時，決策者屬于保守型；當η=0時，決策者屬于中間型。此時Sη(A)退化為文獻[17]的S(A)。當直覺模糊數(shù)有以下特征時，兩直覺模糊數(shù)需進行二次比較：①隸屬度與非隸屬度其中一個為零；②凈隸屬度為零且猶豫度不為零。

2.2 基于風險偏好的新記分函數(shù)

基于上述分析，本文引入風險偏好這一因素，并在隸屬度、非隸屬度以及猶豫度的基礎上重新提出一個基于風險偏好的新記分函數(shù)。新的記分函數(shù)可以解決文獻[5-6]沒有考慮風險偏好對決策結果影響的問題，同時可以克服文獻[7-8]中的部分缺陷。

定義3 設A=〈μA(x),σA(x)〉為一個直覺模糊數(shù)，πA(x)=1-μA(x)-σA(x)為其猶豫度，則稱

(10)

為A的記分函數(shù)。其中μA(x)、σA(x)、πA(x)分別表示A的隸屬度(肯定信息)、非隸屬度(否定信息)、猶豫度(不確定信息)，μA(x)∈[0,1]，σA(x)∈[0,1]，πA(x)∈[0,1]。引入的風險偏好因子τ∈[-1,1]，當τ>0時，決策者屬于冒險型；當τ<0時，決策者屬于保守型；當τ=0時，決策者屬于中間型，此時Sλ(A)退化為文獻[17]的S(A)。

式(10)所示的記分函數(shù)與原有記分函數(shù)有以下異同點：

相同點①在比較直覺模糊數(shù)之間的大小時，新記分函數(shù)和現(xiàn)有記分函數(shù)，都考慮了肯定信息、否定信息和不確定信息對決策的影響；②新記分函數(shù)與部分記分函數(shù)同時考慮了風險偏好的作用。

不同點該記分函數(shù)解決了現(xiàn)有記分函數(shù)3個問題：①未考慮風險偏好導致決策結果與人的直覺判斷不符的情況；②有些情況下，會出現(xiàn)風險偏好對結果沒有影響的問題；③當直覺模糊數(shù)有以下特征時，兩直覺模糊數(shù)需進行二次比較，隸屬度與非隸屬度其中一個為零；凈隸屬度為零且猶豫度不為零。

下面通過兩個例子進一步說明本文提出的新記分函數(shù)與現(xiàn)有記分函數(shù)的區(qū)別。

例1 設兩個直覺模糊數(shù)分別為A1=(0.8,0.2)，A2=(0.7,0)，比較兩數(shù)大小。用文獻[5-6]及本文的記分函數(shù)計算所得結果見表1。

表1 例1的S(A)結果對比

從表1可知，文獻[5-6]提出的記分函數(shù)所計算的結果沒有區(qū)分風險偏好對決策結果的影響，而運用本文記分函數(shù)計算的結果可根據(jù)風險偏好類型細分為3種情況：若決策者為冒險者，A1A2；若決策者為中間者，A1

例2 設兩個直覺模糊數(shù)分別為A1=(0,0.4)，A2=(0,0.2)，比較兩數(shù)大小。文獻[7-8]及本文的記分函數(shù)計算結果見表2。

表2 例1的S(A)結果對比

從表2可知：文獻[7]的記分函數(shù)結果顯示，無論決策者屬于哪種類型，A1

定理1(單調性) 設A=〈μA(x),σA(x)〉為直覺模糊數(shù)，其中μA(x)∈[0,1]，σA(x)∈[0,1]，則記分函數(shù)Sτ(A)關于μA(x)單調遞增，關于σA(x)單調遞減。

證明為簡述方便，以下證明將μA(x)用μ替換，將σA(x)用σ替換，將πA(x)用π替換，將Sτ(A)用Sτ替換。

定理2(有界性) 設A=〈μA(x),σA(x)〉為直覺模糊數(shù)。記分函數(shù)是有界性的，當τ∈[-1,1]，記分函數(shù)滿足：-1≤Sτ(A)≤1。

3 基于風險偏好的混合多準則群決策方法

3.1 問題描述

3.2 基于風險偏好的混合多準則數(shù)據(jù)處理

3.2.1 語言變量轉化為直覺模糊數(shù)

在語言變量轉換為直覺模糊數(shù)的過程中，很多文獻沒有考慮各專家對不同準則決策的猶豫度存在差別的情況，影響了決策結果的可信度。專家對同一準則給出相同的語言評價值，由于專家對各準則的了解程度并不相同，雖然將其轉化為同一直覺模糊數(shù)，它們的猶豫度相同，但是不能詳細地反映出專家猶豫的程度，這顯然與實際不符。所以本文結合林原等[18]的轉化標準，將專家猶豫度分為“很小”、“小”、“一般”3個等級。令語義評價粒度r=5，π=0.1、0.2、0.3依次表示猶豫度的3個等級，得到評價語義信息和對應直覺模糊數(shù)形式見表3。

表3 語義信息與直覺模糊數(shù)轉化

3.2.2 區(qū)間數(shù)轉化為直覺模糊數(shù)

假如cij=(uij,σij,πij)為aij經(jīng)上述規(guī)范化處理后轉化成直覺模糊數(shù)，則

(11)

3.3 準則權重確定

鑒于事物的復雜以及專家認知的局限性，在實際決策過程中會出現(xiàn)準則權重信息完全未知的情況，對于此種情況，本文用綜合效用最大化法[20]求解準則權重，充分考慮決策者的風險態(tài)度和心理因素。具體如下：

(12)

對于形如以上模型的非線性優(yōu)化問題，利用Lagrange方法求解。得到準則權重的最優(yōu)解：

(13)

則綜合各個決策專家的平均準則權重為

(14)

3.4 決策專家權重確定

專家權重很大程度上影響著最終決策結果的合理性。本文基于專家決策信息猶豫度和專家決策前景值的可靠性兩個視角共同決定專家的權重。

3.4.1 專家決策信息猶豫度的權重

(15)

已知式(15)，則有

(16)

專家Dl評價結果的整體猶豫度πl(wèi)滿足

(17)

πl(wèi)越大，說明專家評價的不確定程度越大，評價結果的可信任度越小，由此得到Dl的猶豫權重為

(18)

3.4.2 專家決策前景值的可靠性的權重

前景表示對方案的不同狀態(tài)的選擇。專家個體決策與群體決策前景值越相近，說明專家與群體對方案決策的前景值的偏離程度越低，專家決策的可靠性越強，專家賦予的權重也越大。歐氏距離來衡量兩者之間的偏離程度[18]，如下：

(19)

專家Dl的可靠性權重可通過如下公式計算：

(20)

由以上分析可得專家綜合平均權重：

(21)

3.5 基于風險偏好的混合多準則群決策模型

3.5.1 混合多準則數(shù)據(jù)處理階段

3.5.2 專家群決策階段

(22)

式中

Step5：計算專家平均權重。

(23)

Step6：按照式(24)計算綜合不同偏好專家的前景值：

(24)

得到整體改進前景值矩陣V=(vij)m×n。

Step7：按照式(25)計算綜合改進前景值：

(25)

根據(jù)vi從大到小的順序對備選方案進行排序，vi越大，說明該方案越優(yōu)。

4 算例分析

一家電子商務公司，需要選出一個物流中心，現(xiàn)從4個備選物流中心(A1、A2、A3、A4)中進行選擇，電子商務公司組成一個由3個專家構成的決策小組，分別為中間型D1、冒險型D2、保守型D3。評價準則為經(jīng)濟效益B1、自然環(huán)境B2、經(jīng)營環(huán)境B3、基礎設施B4、社會效益B5。決策專家經(jīng)協(xié)商認為，各個準則有高等、中等、低等這3種可能的風險狀態(tài)：概率分別為p1=0.1、p2=0.6、p3=0.3。試確定最優(yōu)物流中心。3個專家利用區(qū)間數(shù)，語言變量，直覺模糊數(shù)的形式對準則進行打分，見表4—表6。

表4 D1的打分值

表5 D2的打分值

表6 D3的打分值

4.1 混合多準則數(shù)據(jù)處理階段

Step1、2：將混合型評價值化為直覺模糊數(shù)，直覺模糊數(shù)再轉化為實數(shù)。風險偏好因子τ∈[-1,1]，專家D1屬于中間型，τ=0；專家D2屬于冒險型，τ=1；專家D3屬于保守型，τ=-1。由于篇幅限制，這里只列出專家D1高、中、低等風險狀態(tài)下的直覺模糊數(shù)型打分矩陣：

4.2 專家群決策階段

Step3：將各個專家評價結果的實數(shù)風險矩陣轉化為改進前景值矩陣。

1)決策專家D1屬于中間型，則α=β=1。令α=β=1，χ=δ=0.58，ξ=1，θ=2.25[16]，得到改進前景值矩陣為

2)決策專家D2屬于冒險型，則0<α、β<1。令α=β=0.88，χ=0.61，δ=0.66，ξ=1，θ=2.25[16]，得到改進前景值矩陣為

3)決策專家D3屬于保守型，則α、β>1。令α=β=1.21，χ=0.55，δ=0.49，ξ=1，θ=2.25[16]，得到改進前景值矩陣為

Step4：準則平均權重為wj=(0.212,0.183,0.125,0.237,0.243)。

Step5：專家綜合平均權重。

Step6：計算綜合不同風險態(tài)度的決策專家的改進前景值，得到整體的改進前景值矩陣為

Step7：計算綜合改進前景值。

vi=(0.051,-0.051,-0.333,-0.231)。

根據(jù)vi的大小可知，A1>A2>A4>A3，所以A1最優(yōu)，電子商務公司應選擇物流中心A1。

為了說明本文方法的有效性，利用文獻[20]提出的基于前景價值函數(shù)的直覺模糊多屬性決策方法與本文方法進行比較，文獻[20]的方法結果為vi=(-0.09,-0.06,-0.272,-0.249)，根據(jù)vi的大小可知方案的排序結果為A2>A1>A4>A3。與本文方法的排序結果相似，方案A1、A2比方案A3、A4優(yōu)，而且A3都是最劣方案，說明本文方法有一定的有效性。但是，從排序結果也可以看出，A1和A2的排序結果有差異，文獻[20]的方法計算結果顯示A2是最優(yōu)方案，而本文方法計算結果顯示A1是最優(yōu)方案。存在差異的原因是文獻[20]的方法只是在群決策階段考慮專家風險偏好，本文方法在混合數(shù)據(jù)處理和群決策兩個階段都考慮了專家風險偏好的影響，這說明了在兩階段考慮風險偏好對解決實際問題更具全面性。

5 結語

本文提出了一種在混合多準則數(shù)據(jù)處理和專家群決策兩個階段同時考慮風險偏好的混合多準則群決策方法，在數(shù)據(jù)處理階段，提出了一個考慮專家風險偏好的新記分函數(shù)，該記分函數(shù)根據(jù)風險偏好系數(shù)來決定專家風險偏好類型，不僅解決了現(xiàn)有記分函數(shù)因沒有考慮風險偏好而導致決策結果出現(xiàn)偏差的問題，也增強了記分函數(shù)的區(qū)分度。在群決策階段，引入改進的前景理論為決策方法對方案進行排序，改進的前景理論能夠明確區(qū)分專家風險偏好類型?；跊Q策信息猶豫度和前景值偏離度兩視角確定的專家權重，既把專家決策時的猶豫程度更加細化，也考慮了專家決策的可靠性。通過驗證說明了本文方法的有效性，且具有較大的優(yōu)勢性。