次分數跳-擴散模型下重置期權的保險精算定價

孫明明

（南京財經大學 應用數學學院，江蘇 南京 210046）

重置期權是當下金融市場中一種新型的被廣泛運用的期權，它要求當股票價格達到某一預先給定的水平時，按照合約規(guī)定重新設定敲定價格。重置期權是一種依賴路徑的期權，其定價方法有很多，如偏微分方程法、鞅方法、保險精算法等，其中保險精算法應用范圍更廣，不管市場有無套利，保險精算法都能適用，而且不需要對市場進行一些金融假設。

經典的B-S模型假設標的資產遵循幾何布朗運動，而實際金融市場中，股票價格變化具有長相依性、自相似性等分形特征［1］，幾何布朗運動不能很好地刻畫這些特征。一些學者提出用修正的幾何布朗運動來描述股票價格過程，如分數布朗運動［2］，但金融市場中股票價格不總是連續(xù)的隨機過程，有時會出現“跳躍”現象。一些學者將跳引入到股票價格過程，然而分數布朗運動不是半鞅，直接將它運用到金融市場中會產生套利機會。

雙分數布朗運動在一定條件下是半鞅，董瑩瑩等［3］研究了雙分數跳-擴散環(huán)境下重置期權的定價問題。而次分數布朗運動比分數布朗運動收斂速度更快［4］，是更為一般的高斯過程，沒有平穩(wěn)增量性，同時具有長相依性、自相似性等特征，使它成為未來期權定價方面的一種重要工具。本文將次分數布朗運動模型引入跳-擴散過程，能更加貼切地描述現實金融市場［5-6］，使得次分數跳-擴散模型下重置期權的定價研究更為科學，可以作為分數跳-擴散模型和雙分數跳-擴散模型的一個重要補充。

1 模型介紹

1.1 次分數布朗運動

定義1對任意的s、t≥0（s、t表示時間），次分數布朗運動{BH(t)}是一個Hurst 指數H ∈(0，1)的連續(xù)高斯過程，期望為E[BH(t)]= 0，協方差為

次分數布朗運動{BH(t)}具有以下性質：

（2） 次分數布朗運動是自相似的；

次分數布朗運動具有長相依性、自相似性等特征，不具有平穩(wěn)增量性。有關次分數布朗運動性質在文獻［7］中詳細介紹。

1.2 次分數跳-擴散模型

次分數跳-擴散模型是把跳-擴散模型中的幾何布朗運動擴展為次分數布朗運動。假設股票的期望收益率和波動率都是常數，標的資產價格過程{S(t)，t ≥0}滿足隨機微分方程如下：

式中：{BH(t)，0 ≤t ≤T}（T 為股票到期日）為概率空間(Ω，F，P)上的次分數布朗運動；P(t)服從強度為λ 的泊松過程，且BH(t)、P(t)相互獨立；u 為股票收益率；λ 為泊松過程P(t)的強度；? 為股票價格跳躍的相對高度；v 為? 的無條件數學期望；σ為股票波動率。

引理1［8］隨機微分方程（式（1））的解為：

式中：?i表示股票第i 次跳躍的高度，是獨立同分布于? 的隨機變量，且ln(1 + ?i)服從N(ln(1 +的方差）。

2 重置期權定價公式

不失一般性，討論只有一個重置時間的重置期權。假定期權敲定價格為Y，到期日為T，重置時間為T1(0 ≤T1≤T)，則重置執(zhí)行價格為：

式中：ST1為重置時間為T1時的標的資產價格。

定義2 重置期權在t 時刻的損益函數F（t，T1，T）為：

式中：ST為重置時間為T 時的標的資產價格；I 表示示性函數，上標+表示正部。

引理2［9］用F(t，T，K)表示執(zhí)行價格為K、到期日為T的歐式看漲期權在時刻t的價格，則次分數跳-擴散環(huán)境下歐式期權的保險精算價格為：

其中：

式中：n為股票價格在［0，T1］內的跳躍次數；r表示利率；N(*)為標準正態(tài)分布函數。

定理1重置時間為T1的歐式看漲期權在時刻t的保險精算定價FRS（t，T1，T）為：

（1） 當T1≤t ≤T時，FRS(t，T1，T)=F(t，T，Y)I{ST1≥Y}+ F(t，T，ST1)I{ST1

（2） 0 ≤t < T1時，

其中：

式中：m 表示股票價格在T1～T 時間段內的跳躍次數；ρ表示隨機變量ξ和η的相關系數。

證明：

（1）當T1≤t ≤T時，根據次分數-跳擴散過程下歐式期權，易得結論。

（2）當0 ≤t < T1時，記

式中：βu為股票期望收益率，這里取βu=u。則根據定義2

記

則ξ服從

η服從

接下來，分別計算I1、I2、I3和I4。

由于

令

則

令

服從N(0,1),

服從N(0,1),

又

則

根據I1、I2、I3、I4，得定理1。

推論1當λ= 0時，可得次分數布朗運動下重置期權定價公式。

推論2 當T1=T時，可得次分數跳-擴散過程下標準歐式看漲期權的保險精算定價（引理4）。