調(diào)和映照與調(diào)和K-擬共形映照的邊界Schwarz引理

李鴻萍

(華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 福建 泉州 362021)

1 預(yù)備知識

由文獻(xiàn)[1]可知：f在D上局部單葉、保向當(dāng)且僅當(dāng)其雅可比行列式Jf滿足如下性質(zhì)

定義f的拉普拉斯算子為

(1)

經(jīng)典的Schwarz引理表明，對于D到自身內(nèi)的解析函數(shù)f，若滿足f(0)=0，那么，對于一切的z∈D有|f(z)|≤|z|.

經(jīng)典的邊界Schwarz引理如下.

定理A[3]假設(shè)f:D→D為解析函數(shù)，滿足f(0)=0.進(jìn)一步地，若f在z=1處解析且f(1)=1，那么下面的結(jié)論成立：

1)f′(1)≥1；

2)f′(1)=1當(dāng)且僅當(dāng)f(z)≡z.

定理A有如下推廣.

定理B[4]假設(shè)f:D→D為解析函數(shù)，滿足f(0)=0.進(jìn)一步地，若f在z=α∈T處解析且f(α)=β∈T，那么下面結(jié)論成立：

當(dāng)α=β=1時，定理B與定理A是一致的.

解析函數(shù)的Schwarz引理是復(fù)分析的一個基本定理，有著深刻的幾何背景，其研究受到了國內(nèi)外許多數(shù)學(xué)家的關(guān)注，得到了大量的結(jié)果[1-17].調(diào)和映照作為解析函數(shù)的推廣，如何將經(jīng)典的Schwarz引理推廣到調(diào)和映照上，近年來受到了國內(nèi)外許多同行的關(guān)注，并得到了多種形式的估計，有些估計是精確的[6，9，15，18-19].邊界Schwarz引理在經(jīng)典平面復(fù)分析和多復(fù)變函數(shù)論上有著重要的應(yīng)用.利用經(jīng)典的邊界Schwarz引理，文獻(xiàn)[12]，[13]，[16]分別得到了規(guī)范的Rn空間上的凸和擬凸雙解析映照的邊界Schwarz引理.

首先，建立調(diào)和映照的精確的邊界Schwarz引理.

定理1假設(shè)f為D到自身內(nèi)的調(diào)和映照.若f在z=1處可微且滿足f(0)=0和f(1)=1，那么，不等式

(2)

定理1可以被推廣如下.

定理2假設(shè)f為D到自身內(nèi)的調(diào)和映照.滿足f(a)=0，這里a∈D.若f在z=α∈T處可微且滿足f(α)=β∈T，那么，不等式

(3)

成立.

特別地，當(dāng)a=0，α=β=1時，定理2與定理1一致.

假設(shè)f(z)為D到Ω?C上的單葉、保向調(diào)和映照，如果存在一個常數(shù)K≥1，使得

(4)

則稱f(z)為調(diào)和K-擬共形映照.

調(diào)和擬共形映照是共形映照的推廣，近年來圍繞調(diào)和映照如何成為擬共形映照的問題吸引了許多同行的關(guān)注，得到了許多結(jié)果[20-24].另一個結(jié)果是建立調(diào)和K-擬共形映照的邊界Schwarz引理，特別地，當(dāng)K=1時，文中結(jié)果和定理A一致.

對于L>0，定義函數(shù)ΦL(s)為

ΦL(s):=μ-1(μ(s)/L)， 0

ΦL(0):=0，ΦL(1):=1.

上式中:μ(s)為Gr?tschz極值區(qū)域D[0，s]的模[24-25].稱這樣的ΦL(s)為Hersch-Pfluger偏差函數(shù).這里的函數(shù)μ也可以表示成第一類橢圓積分，令

(5)

那么，

(6)

定理C[24]設(shè)K≥1，而f為D到自身上的K-擬共形映照，滿足f(0)=0.那么，

|f(z)|≤P[ΨK](|z|)，z∈D.

(7)

式(7)中：

（1）注射劑量不準(zhǔn)。高原牧區(qū)的環(huán)境較為惡劣，因此對于動物的防疫、注射通常是牧民自己動手，因為缺少專業(yè)的知識和經(jīng)驗，對于疫苗的劑量掌握不精確，甚至有些養(yǎng)殖戶害怕動物因為疫苗產(chǎn)生應(yīng)激反應(yīng)，而人為減少注射的劑量，導(dǎo)致免疫效果低下。

(8)

為f的邊界函數(shù).進(jìn)一步地，有

這里

(9)

為K的單調(diào)遞增函數(shù)，滿足

(10)

利用定理C可以得到調(diào)和K-擬共形映照的邊界Schwardz引理如定理3.

定理3設(shè)f為D到自身上的調(diào)和K-擬共形映照.若f在z=1處可微且滿足f(0)=0和f(1)=1，那么，

(11)

這里的LK由式(9)給出.

定理4設(shè)f為D到自身上的調(diào)和K-擬共形映照，滿足f(a)=0，其中，a∈D.若f在z=α∈T上可微且f(α)=β，那么，

(12)

特別地，當(dāng)a=0且α=β=1時，定理4與定理3一致.

2 主要定理的證明

定理1的證明：由文獻(xiàn)[7]得到精確的估計式為

(13)

根據(jù)假設(shè)f在z=1處可微，可知

(14)

利用式(13)，式(14)可以改寫成

于是有

(15)

式(15)中，令z=r∈(0，1)，并令r→1-，可得

(16)

于是有

下面證明精確性.考慮調(diào)和映照

對于極坐標(biāo)下z=reiθ∈D，有

這意味著

所以，式(2)是精確的.證畢.

注2由定理1的證明可以得到等式

(17)

事實上，假設(shè)z=eiθ≠1，利用式(15)有

(18)

φa(p)=α，

且

由定理1可得

(19)

特別地，若a=0，那么，

(20)

證畢.

定理3的證明：由假設(shè)f在z=1處可微，所以f具有展開式(14).于是

(21)

取z=r∈(0，1)，并令r→1-，利用定理C得到

(22)

式(22)與式(2)表明

(23)

若K→1，那么LK→1且f為共形映照.因此，式(23)和式(17)表明

fz(1)≥1.

即經(jīng)典的邊界Schwarz引理.證畢.

φa(p)=α，

且

利用定理3的結(jié)論，得到

(24)

特別地，若a=0，那么

(25)

這里的M(K)由式(11)給出.

證畢.