結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析中的四個輔助規(guī)則及其應(yīng)用

劉永軍

(沈陽建筑大學(xué)土木工程學(xué)院，沈陽 110168)

結(jié)構(gòu)力學(xué)課程中，結(jié)構(gòu)的幾何構(gòu)造分析是重要的基礎(chǔ)內(nèi)容。在二維結(jié)構(gòu)的幾何構(gòu)造分析中，最基本的規(guī)律是鉸接三角形規(guī)律[1]。鉸接三角形規(guī)律通常表述為三個基本規(guī)則：兩剛片規(guī)則、三剛片規(guī)則、二元體規(guī)則[2-4]。僅僅使用三個基本規(guī)則進(jìn)行結(jié)構(gòu)的幾何構(gòu)造分析，會遇到兩個問題，第一個問題是，一些“繁雜問題”的分析過程繁瑣復(fù)雜，冗長且不直觀；第二個問題是，一些“困難問題”僅僅使用這三個基本規(guī)則不足以得出正確結(jié)論，不得不使用零載法等超出教學(xué)大綱的非常規(guī)方法。經(jīng)過多年探索，作者歸納出四個不證自明、淺顯易懂的輔助規(guī)則，配合三個基本規(guī)則，可以使很多“繁雜問題”的分析過程得到簡化，也可以使一些“困難問題” 得以分析。

1 四個輔助規(guī)則

1.1 輔助規(guī)則I：固定鉸支座與兩個單鏈桿支座等效規(guī)則

在任意體系中，固定鉸支座與軸線不重合的兩個單鏈桿支座作用等效，兩者相互替代，體系的幾何構(gòu)造分析結(jié)論不變。該輔助規(guī)則非常容易理解。例如，圖1(a)中，A處固定鉸支座的作用是使AB桿的A端在水平方向和鉛直方向的線位移為0，因而，A端在任何方向上的線位移都等于0。圖1(b) 中A處的兩個單鏈桿支座，使A端在兩個單鏈桿軸線方向上的線位移等于0，進(jìn)而，A端在任何方向上的線位移都等于0?？梢?，固定鉸支座與軸線不重合的兩個單鏈桿支座的作用效果完全相同，可以相互替代。事實上，圖1(a)中A處的固定鉸支座也可以理解為水平方向和鉛直方向上的兩個單鏈桿支座。

圖1

1.2 輔助規(guī)則II：單鏈桿支座位置移動規(guī)則

幾何不變體系中，單鏈桿支座(也叫支桿) 移動到與其軸線重合的一個直桿或者多個鉸接共線直桿上的任意不與其他軸向約束重合的位置，體系的幾何構(gòu)造分析結(jié)論不變。例如，圖2(a) 所示體系為沒有多余聯(lián)系的幾何不變體系，AB桿和BC桿是鉸接共線直桿，將A處水平單鏈桿支座沿AB和BC直桿移動到C處以后，得到圖2(b) 所示體系，該體系仍為沒有多余聯(lián)系的幾何不變體系。

圖2

順便指出，輔助規(guī)則II 的思想在文獻(xiàn)[5] 中有過萌芽和初步應(yīng)用，內(nèi)容表述為：“結(jié)論4：與一桿共線的支桿可以由其一端滑移到另一端，其約束作用不變?！?/p>

1.3 輔助規(guī)則III：單鏈桿支座長度改變規(guī)則

在幾何不變體系中，一個單鏈桿支座(也叫支桿) 的長度發(fā)生改變，體系的幾何構(gòu)造分析結(jié)論不變。該輔助規(guī)則也非常容易理解，因為，在幾何不變體系中，無論單鏈桿支座的長度是多少，其作用都是約束支撐點在鏈桿軸線方向的線位移。例如，圖3(a)所示體系為沒有多余聯(lián)系的幾何不變體系，將A處的鉛直單鏈桿支座變長，同時將B處的鉛直單鏈桿支座變短，得到圖3(b) 所示體系，該體系仍為沒有多余聯(lián)系的幾何不變體系。

圖3

1.4 輔助規(guī)則IV：兩個剛片之間平行等長鏈桿平行移動規(guī)則

在任意體系中，兩個剛片之間的兩個平行等長鏈桿，將其中的一個平行移動到不與其他鏈桿軸線重合的位置，體系的幾何構(gòu)造分析結(jié)論不變。圖4(a)所示體系為沒有多余聯(lián)系的幾何不變體系，將BCD桿和基礎(chǔ)視為兩個剛片，它們之間有兩個平行等長鏈桿，將C處鏈桿平行移動到B處，得到圖4(b)所示體系，該體系仍為沒有多余聯(lián)系的幾何不變體系。此，輔助規(guī)則II 可以應(yīng)用；(2) 將圖5 中B處固定鉸支座等效變換為兩個單鏈桿支座，得到圖6(a)；(3)圖6(a)中，A處水平單鏈桿支座移到H處；B處水平單鏈桿支座移到I處；B處斜向單鏈桿支座移到E處，得到圖6(b)。(4)圖6(b)中，依次去掉A～I(xiàn)處共9 組二元體，剩下基礎(chǔ)，表明體系為沒有多余聯(lián)系的幾何不變體系，滿足前面的假設(shè)；(5)結(jié)論：圖5所示體系為沒有多余聯(lián)系的幾何不變體系。有了輔助規(guī)則的支持，該題的分析過程如行云流水，酣暢淋漓！

圖4

圖6

需要特別注意的是，在“輔助規(guī)則II” 和“輔助規(guī)則III” 的表述中，強調(diào)了應(yīng)用范圍是“在幾何不變體系中”。實際上，這兩個輔助規(guī)則也適用于絕大部分瞬變體系和常變體系，但不適用于一些極特殊的瞬變體系和常變體系，相關(guān)內(nèi)容將在另文詳細(xì)討論。

2 應(yīng)用實例

2.1 “繁雜問題” 算例

所謂的“繁雜問題”，是指可以使用三個基本規(guī)則直接進(jìn)行分析的幾何構(gòu)造問題，但是分析過程比較繁瑣、復(fù)雜。圖5 就可以認(rèn)為是“繁雜問題”。

圖5

采用三個基本規(guī)則直接分析圖5 所示體系的過程這里不再贅述，下面重點介紹采用輔助規(guī)則I、輔助規(guī)則II 以及二元體規(guī)則進(jìn)行分析的過程。主要步驟為：(1) 假設(shè)圖5 所示體系為幾何不變體系，因

以上分析過程中，為了應(yīng)用“輔助規(guī)則II”，首先必須要“假設(shè)該體系為幾何不變體系”，因為不能確定該“假設(shè)” 是否成立，所以，分析過程是“試探性的正向分析”。實踐中，可以采用“正向試探，逆向敘述” 的策略。所謂“逆向敘述”，就是由圖6(b)開始說事，主要步驟為：(1) 圖6(b) 中，依次去掉A至I處的9 組二元體，可知該體系為沒有多余聯(lián)系的幾何不變體系；(2) 圖6(b) 中，移動H和I處水平單鏈桿支座至A和B處；移動E處斜向單鏈桿支座至B處，得到圖6(a)；(3)圖6(a)中，B處兩個單鏈桿支座等效變換為一個固定鉸支座，得到圖5；(4)結(jié)論：圖5 所示體系為沒有多余聯(lián)系的幾何不變體系。

2.2 “困難問題” 算例

所謂“困難問題”，是指僅僅使用三個基本規(guī)則不容易得到結(jié)論的幾何構(gòu)造問題，這里給出兩個算例。

算例1 圖7 所示體系，是一個比較典型的“困難問題”。這里將采用輔助規(guī)則II，III，IV 以及二元體規(guī)則進(jìn)行分析，主要步驟為：(1) 假設(shè)圖7 所示體系為幾何不變體系，因此，所有輔助規(guī)則均可以應(yīng)用；(2) 將C處單鏈桿支座移動到D處，得到圖8(a)；(3) 圖8(a) 中，將長桿AB變短桿，得到圖8(b)；(4) 圖8(b) 中，去掉E處二元體，得到圖8(c)；(5) 圖8(c) 中，A處和D處的兩個鏈桿為兩個剛片間的平行等長鏈桿，將D處鏈桿平行移動至F處，得到圖8(d)；(6) 圖8(d) 中，去掉A處二元體，得到圖8(e)；(6)圖8(e)中，將F處單鏈桿支座移到G處，得到圖8(f)；(7) 圖8(f) 中，依次去掉H，I，G處的三組二元體，剩下基礎(chǔ)，表明圖8(f)所示體系為沒有多余聯(lián)系的幾何不變體系，滿足前面的假設(shè)；(8) 結(jié)論：圖7 所示體系為沒有多余聯(lián)系的幾何不變體系。

圖7

圖8

算例2 圖9 所示體系，是一個非常典型的“困難問題”，很多文獻(xiàn)都對此題進(jìn)行了介紹[6-11]，文獻(xiàn)[6] 的作者繆加玉教授更是把它放到了書籍的封面，足以說明對此題的重視和欣賞。文獻(xiàn)[6] 用“桿件代替法” 分析該題；文獻(xiàn)[7-9] 用“零載法” 分析該題；文獻(xiàn)[10]用“解析法”分析該題；文獻(xiàn)[11]提出了一種“基于剛體平面運動學(xué)基本理論的分析方法”分析此題。這些文獻(xiàn)中給出的方法，相對比較復(fù)雜，處于教指委制定的“結(jié)構(gòu)力學(xué)課程教學(xué)基本要求” 之外，適合教師研究，不大適合本科生學(xué)習(xí)。這里，基于本文提出的輔助規(guī)則，對圖9 所示體系進(jìn)行多次等效變換，最后，根據(jù)兩個基本規(guī)則得出結(jié)論。

圖9

分析過程如下：(1)假設(shè)圖9 所示體系為幾何不變體系，因此，所有輔助規(guī)則均可以應(yīng)用；(2) 圖9中，A處固定鉸支座等效變換為兩個單鏈桿支座，得到圖10(a)；(3) 圖10(a) 中，A處斜向單鏈桿支座改變長度，得到圖10(b)；(4) 圖10(b) 中，A處水平單鏈桿支座等效移動至C處，得到圖10(c)；(5) 圖10(c) 中，C處固定鉸支座等效變換為兩個單鏈桿支座，得到圖10(d)；(6) 圖10(d) 中，C處斜向單鏈桿支座改變長度，得到圖10(e)；(7) 圖10(e) 中，根據(jù)兩剛片規(guī)則，可以去掉基礎(chǔ)，得到圖10(f)；(8) 圖10(f) 是由AB，BC，DE三個剛片構(gòu)成的無多余聯(lián)系幾何不變體系，滿足前面的假設(shè)；(9) 結(jié)論：圖9所示體系為沒有多余聯(lián)系的幾何不變體系。

圖10

兩個“困難問題”的求解，得益于輔助規(guī)則與基本規(guī)則的完美配合。算例2 中，兩次巧妙應(yīng)用輔助規(guī)則Ⅲ，是解題的關(guān)鍵，堪稱神來之筆?！袄щy問題”的求解，不僅需要靈感，更需要運氣！

3 結(jié)語

四個輔助規(guī)則與三個基本規(guī)則具有共同的特點：(1) 規(guī)則的本身是簡單淺顯的[1]。理解他們，并不需要特別的數(shù)學(xué)和力學(xué)基礎(chǔ)，非常適合本科生學(xué)習(xí)；(2) 規(guī)則的運用是變化無窮的[1]。有了輔助規(guī)則的支持，三個基本規(guī)則的解題效率和解題能力顯著增強，結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析的途徑也變得更加豐富而靈活！