基于雙層代理模型的概率-區(qū)間潮流計(jì)算及靈敏度分析

王晨旭 唐 飛 劉滌塵 高 鑫 周依希

基于雙層代理模型的概率-區(qū)間潮流計(jì)算及靈敏度分析

王晨旭1唐 飛1劉滌塵1高 鑫1周依希2

（1. 武漢大學(xué)電氣與自動(dòng)化學(xué)院 武漢 430072 2. 國(guó)網(wǎng)浙江省電力有限公司杭州供電公司 杭州 310000）

隨著電力系統(tǒng)中不確定量日益復(fù)雜，同時(shí)存在的隨機(jī)與區(qū)間變量使得采用概率或區(qū)間潮流計(jì)算難以準(zhǔn)確獲取系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)。為此，提出一種基于雙層代理模型的概率-區(qū)間潮流計(jì)算方法。該方法僅需較少次數(shù)的確定性潮流計(jì)算便可實(shí)現(xiàn)上、下層代理模型的構(gòu)建，進(jìn)而通過(guò)代理模型求解概率-區(qū)間潮流常規(guī)求解方法中所需要的大量確定性潮流計(jì)算，可實(shí)現(xiàn)輸出變量的快速獲取。此外，該文還提出了用于描述輸出變量特征的靈敏度指標(biāo)，并結(jié)合所提出的雙層代理模型開展靈敏度分析，以量化輸入?yún)^(qū)間變量對(duì)輸出變量的影響程度。在IEEE 118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中進(jìn)行算例分析，通過(guò)與已有方法對(duì)比驗(yàn)證了所提方法的精確性和快速性，借助靈敏度分析可識(shí)別對(duì)輸出變量具有顯著影響的關(guān)鍵區(qū)間變量，有助于揭示系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)與區(qū)間變量之間的關(guān)系。

不確定潮流 隨機(jī)變量 區(qū)間變量 代理模型 靈敏度分析

0 引言

電力系統(tǒng)運(yùn)行中存在諸多不確定性因素[1]，例如負(fù)荷需求、線路故障等。隨著以風(fēng)電和光伏為代表的可再生能源大規(guī)模并網(wǎng)，系統(tǒng)運(yùn)行的不確定性進(jìn)一步增加[2]。因此，有必要采用適當(dāng)?shù)哪Ｐ蛠?lái)表示各類不確定性因素，并利用不確定潮流計(jì)算對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行特性進(jìn)行分析，從而更加準(zhǔn)確地掌握系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)。

根據(jù)不確定量建模方式的不同，常用不確定潮流計(jì)算方法包括兩種：概率潮流[3]和區(qū)間潮流[4]。概率潮流計(jì)算將輸入不確定量描述為隨機(jī)變量，進(jìn)而采用模擬法[5]、點(diǎn)估計(jì)法[6]、解析法[7-8]和多項(xiàng)式混沌展開法[9]等獲取輸出變量的概率分布。區(qū)間潮流計(jì)算將輸入不確定量描述為區(qū)間變量，通過(guò)仿射法[10-11]和區(qū)間泰勒展開法[12]等方法獲得輸出變量的上、下邊界。然而，隨著系統(tǒng)的復(fù)雜性增加，隨機(jī)與區(qū)間變量往往同時(shí)存在。若采用概率潮流分析，則需假設(shè)區(qū)間變量的概率分布，導(dǎo)致所得結(jié)果不夠準(zhǔn)確；若采用區(qū)間潮流分析，則需丟棄隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)信息，造成對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的保守估計(jì)。因此，需要研究能夠同時(shí)考慮隨機(jī)和區(qū)間變量的不確定潮流計(jì)算方法，即概率-區(qū)間潮流。

當(dāng)隨機(jī)與區(qū)間變量同時(shí)存在時(shí)，系統(tǒng)輸出變量的波動(dòng)范圍為其最大、最小概率分布所圍成的區(qū)域，即概率盒[13]。目前僅有少量關(guān)于概率-區(qū)間潮流計(jì)算方法的研究。文獻(xiàn)[14]提出基于證據(jù)理論概率-區(qū)間潮流模型，并將其轉(zhuǎn)換為多個(gè)區(qū)間潮流進(jìn)行求解。文獻(xiàn)[15]提出一種雙層抽樣法，該方法利用外層和內(nèi)層抽樣分別處理隨機(jī)和區(qū)間變量，從而通過(guò)大量確定性潮流計(jì)算實(shí)現(xiàn)概率-區(qū)間潮流的求解。文獻(xiàn)[16]將配電網(wǎng)中分布式電源出力和負(fù)荷需求分別視作隨機(jī)和區(qū)間變量，并提出了一種基于仿射線性三相潮流的近似方法求取輸出變量。文獻(xiàn)[17]提出一種基于聚類的解析算法，該方法通過(guò)在統(tǒng)一最優(yōu)場(chǎng)景下進(jìn)行概率潮流計(jì)算，可快速且精確地求取單個(gè)輸出變量的概率盒。針對(duì)電-氣聯(lián)合系統(tǒng)中隨機(jī)與區(qū)間變量共存，文獻(xiàn)[18]提出一種基于多項(xiàng)式混沌展開的概率-區(qū)間能量流計(jì)算方法。

雖然當(dāng)前概率-區(qū)間潮流研究取得了一定的成果，但仍存在以下不足：一方面，算法的計(jì)算效率仍有待提升。例如雙層抽樣法需要進(jìn)行超過(guò)106次確定性潮流計(jì)算才能得到準(zhǔn)確的結(jié)果；基于聚類的解析算法雖然在求取單個(gè)輸出變量時(shí)效率較高，但運(yùn)行人員往往需要了解多個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓或多條支路潮流的狀態(tài)。另一方面，現(xiàn)有研究側(cè)重于如何獲取輸出變量的概率盒。然而，當(dāng)系統(tǒng)中包含多個(gè)區(qū)間變量時(shí)會(huì)引起輸出變量的波動(dòng)范圍較大，導(dǎo)致運(yùn)行人員難以對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)作出準(zhǔn)確判斷。因此，有必要開展靈敏度分析來(lái)量化系統(tǒng)中各區(qū)間變量的影響程度，從而識(shí)別出影響系統(tǒng)狀態(tài)的關(guān)鍵因素[19-20]。

針對(duì)上述不足，本文提出一種基于雙層代理模型的概率-區(qū)間潮流計(jì)算方法。在所提方法中，上層代理采用徑向基函數(shù)（Radial Basis Function, RBF）模型來(lái)近似系統(tǒng)非線性潮流方程，從而能夠快速獲得輸出變量的邊界值；基于上層代理所得結(jié)果，下層代理采用稀疏多項(xiàng)式混沌展開模型（sparse Polynomial Chaos Expansion, sPCE）構(gòu)建輸入隨機(jī)變量與輸出變量邊界值的關(guān)系。本文所提出的雙層代理模型僅需要較少次數(shù)的確定性潮流計(jì)算便可構(gòu)建，進(jìn)而快速求取輸出變量的概率盒。此外，本文還提出了用于描述概率盒特征的靈敏度指標(biāo)，并結(jié)合雙層代理模型開展靈敏度分析來(lái)量化輸入?yún)^(qū)間變量對(duì)輸出變量概率盒的影響程度。通過(guò)在IEEE 118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中進(jìn)行算例分析，驗(yàn)證了所提方法的精確性和快速性。

4.2 產(chǎn)品研發(fā)投入不足 產(chǎn)品研發(fā)缺乏持續(xù)的資金支持，對(duì)不同土壤條件犁體適應(yīng)性、關(guān)鍵部件耐用性、進(jìn)一步提高整機(jī)作業(yè)性能等方面沒(méi)有持續(xù)深入的研究；農(nóng)機(jī)企業(yè)已形成“行業(yè)興起—模仿抄襲—高速增長(zhǎng)—產(chǎn)能過(guò)?！睈盒园l(fā)展模式，導(dǎo)致企業(yè)更不愿意進(jìn)行研發(fā)投入，產(chǎn)品更新?lián)Q代慢，跟不上市場(chǎng)發(fā)展需求。

1 不確定變量模型

在含大規(guī)模風(fēng)電的電力系統(tǒng)中，風(fēng)電出力與負(fù)荷的不確定性對(duì)系統(tǒng)的優(yōu)化運(yùn)行和穩(wěn)定性產(chǎn)生顯著影響[2]。對(duì)于負(fù)荷，其波動(dòng)范圍較小，預(yù)測(cè)誤差通?？梢圆捎谜龖B(tài)分布來(lái)表示。對(duì)于風(fēng)電出力，由于受到風(fēng)速、風(fēng)向等天氣因素的影響，其波動(dòng)范圍較負(fù)荷更大，且預(yù)測(cè)誤差的概率分布難以獲得。基于上述原因，本文將負(fù)荷需求和風(fēng)電出力分別表示為隨機(jī)變量和區(qū)間變量。

通常有功負(fù)荷需求的波動(dòng)性可采用正態(tài)分布描述，即

圖1 區(qū)間變量的相關(guān)性

對(duì)于風(fēng)電出力Y和Y，若忽略二者相關(guān)性，則兩個(gè)風(fēng)電場(chǎng)出力的聯(lián)合采樣區(qū)域?yàn)楹谏珜?shí)線所圍成矩形AECF。當(dāng)二者相關(guān)時(shí)，所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)辄c(diǎn)畫線所圍成的平行四邊形ABCD，且相關(guān)性系數(shù)可表示為

平行四邊形ABCD所圍成的聯(lián)合采樣區(qū)域[22]可表示為

式中，直線的斜率1、2和常數(shù)1～4由區(qū)間變量Y和Y的寬度及其相關(guān)性系數(shù)決定。

2 概率-區(qū)間潮流模型

假設(shè)系統(tǒng)中輸入變量包含維隨機(jī)變量和維區(qū)間變量。在潮流計(jì)算中，輸出變量與輸入變量之間的非線性關(guān)系可以簡(jiǎn)寫為

式中，R=[1XX]T為維隨機(jī)變量；I=[1YY]T為維區(qū)間變量；為節(jié)點(diǎn)電壓和支路功率，也稱為輸出響應(yīng)；(·)為由潮流方程決定的輸出、輸入變量之間的函數(shù)關(guān)系。

由于式（4）中同時(shí)存在隨機(jī)變量與區(qū)間變量，難以直接通過(guò)概率潮流或區(qū)間潮流方法進(jìn)行求解。當(dāng)前，雙層抽樣法[15]是求解概率-區(qū)間潮流最直接的方法。該方法分別在外層和內(nèi)層對(duì)隨機(jī)變量和區(qū)間變量進(jìn)行抽樣，并將樣本代入到非線性潮流方程中進(jìn)行求解。雙層抽樣法的計(jì)算步驟總結(jié)如下：

不是嗎，無(wú)限無(wú)知的宇宙，似乎天然就內(nèi)在具有一種毫不猶豫的“生命指向”，在一切可能的極度艱辛中一旦有縫隙，就會(huì)“石上開花”、生命問(wèn)世。沒(méi)有生命的宇宙無(wú)法證明其自身的“在”與“不在”，因此，從植物到微生物到昆蟲到動(dòng)物等等，生命以它層層遞進(jìn)的宏大與渺小，讓這不被思索的無(wú)限廣宇在知與不知的替換中，得到思索追溯。

式中，輸出響應(yīng)采用標(biāo)量表示，代表系統(tǒng)中任一節(jié)點(diǎn)電壓或支路功率。

（2）在內(nèi)層對(duì)維區(qū)間變量I進(jìn)行抽樣，得到樣本矩陣I，其中為內(nèi)層抽樣次數(shù)；將隨機(jī)變量的樣本R與區(qū)間變量樣本I結(jié)合并代入（5）中可得

在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)于式（14）中的PCE模型，通常需要設(shè)置其最高展開階數(shù)，將其表示為有限項(xiàng)截?cái)啾平Ｐ?，?/p>

皮膚的微細(xì)結(jié)構(gòu)就像磚墻，皮脂和結(jié)締組織就是灰泥，皮脂膜呢，就是石灰和乳膠漆。皮脂膜不足，就好像磚墻外露了。要保證這個(gè)“磚墻”外觀好看且功能良好，就要避免皮脂膜的減少。

（6）對(duì)于系統(tǒng)中每個(gè)輸入?yún)^(qū)間變量，重復(fù)步驟（3）～步驟（5），并結(jié)合式（22）得到各區(qū)間變量對(duì)輸入變量概率盒的貢獻(xiàn)度。

結(jié)晶巖孔壁安全度高，但鉆遇斷裂帶、裂隙帶、破碎帶或低強(qiáng)度帶等時(shí)，如有漏失，則漏失壓力低(密度上限一般低于1 g/cm3)，調(diào)節(jié)泥漿密度難以滿足壓力，一般需采用空氣鉆井或堵漏措施；同時(shí)其坍塌壓力高(密度下限一般高于2.5 g/cm3)，調(diào)節(jié)泥漿密度難以滿足應(yīng)力平衡要求，一般會(huì)通過(guò)坍塌擴(kuò)徑釋放局部壓力至應(yīng)力重新平衡，為了維護(hù)孔壁安全，宜采用固壁或造壁技術(shù)護(hù)壁。

圖2 輸出變量Z的概率盒

3 基于雙層代理模型的概率-區(qū)間潮流

近年來(lái)，代理模型被廣泛應(yīng)用于多類電力系統(tǒng)不確定性量化分析中。常用的代理模型包括RBF模型和sPCE模型。本文以上層代理模型近似非線性潮流方程，由于需要同時(shí)考慮輸入隨機(jī)與區(qū)間變量，可采用RBF模型來(lái)構(gòu)建；以下層代理模型近似輸入隨機(jī)變量與輸出變量邊界值的關(guān)系，此時(shí)僅需要考慮輸入隨機(jī)變量，可采用sPCE模型構(gòu)建。

3.1 上層代理模型

RBF代理模型也稱為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，是一種基于多變量插值原理的前饋型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，具有以任意精度逼近任意連續(xù)函數(shù)的能力，可應(yīng)用于負(fù)荷與新能源預(yù)測(cè)[23-24]和潮流計(jì)算[25]。考慮輸入變量為維隨機(jī)變量和維區(qū)間變量，輸出變量為任一節(jié)點(diǎn)電壓或支路功率，則RBF代理模型的結(jié)構(gòu)如圖3所示。輸入層包括+個(gè)神經(jīng)元，對(duì)應(yīng)于輸入變量的維數(shù)；隱含層包含個(gè)神經(jīng)元，采用RBF作為激勵(lì)函數(shù)；輸出層對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)電壓或支路功率。

圖3 RBF代理模型

隱含層中RBF一般選擇高斯函數(shù)形式，即

6、特別注意抓好幼苗期蟲害防治（播種的當(dāng)天，5厘地的苗床用50g敵百蟲加少量水溶解后，拌玉米粉2-2.5公斤撒于苗床上及四周防蟋蟀，施藥后遇雨要重新施藥，或用舊塑膜在苗床四周建1米高的圍欄防蟲，效果較用藥更好）。

基于圖3中RBF代理模型結(jié)構(gòu)，可將輸出響應(yīng)表示為

式中，w為輸出層權(quán)值，表示第個(gè)隱含層神經(jīng)元對(duì)輸出響應(yīng)的貢獻(xiàn)。

采用RBF代理模型來(lái)近似非線性潮流方程時(shí)，其精度取決于隱含層神經(jīng)元的中心和擴(kuò)展常數(shù)。為了提高構(gòu)建代理模型的速度，本文以精確擬合法[25]來(lái)構(gòu)建RBF模型。該方法將隱含層神經(jīng)元的個(gè)數(shù)設(shè)置為輸入向量的個(gè)數(shù)，從而使RBF模型能夠以零誤差擬合輸入與輸出之間的關(guān)系。

式中，()為由第個(gè)輸入向量通過(guò)非線性潮流計(jì)算得到的輸出響應(yīng)。進(jìn)一步將式（9）寫為矩陣形式，即

(5)中國(guó)農(nóng)村地區(qū)收入不平等顯現(xiàn)了一定的空間聚集性，收入不平等更多地聚集在城鎮(zhèn)化發(fā)展較快的城市集群區(qū)域，但城市群內(nèi)部的要素分布并不均衡。從1986—2014年，城市群與非城市群的內(nèi)部收入不平等解釋了總的地區(qū)收入不平等的97%以上，且非城市群與城市群農(nóng)村地區(qū)收入不平等從36.7∶62.0上升到2014年24.5∶72.9，地區(qū)內(nèi)部收入不平等進(jìn)一步集中在城市群地區(qū)，側(cè)面說(shuō)明當(dāng)前形成的城市群并沒(méi)有有效緩解區(qū)域內(nèi)部的收入不平等。因此，制定政策時(shí)要避免勞動(dòng)力、資本等要素過(guò)度集中到城市群核心區(qū)域，應(yīng)引導(dǎo)資本向城市群邊緣村莊流動(dòng)，這是縮小農(nóng)村居民收入不平等的關(guān)鍵。

根據(jù)式（7）～式（10）可知，當(dāng)RBF模型中神經(jīng)元的個(gè)數(shù)確定后，該模型輸出層權(quán)值受到擴(kuò)展常數(shù)的影響，因此，其擬合精度也隨著選取的擴(kuò)展常數(shù)不同而有所差別。擴(kuò)展常數(shù)越大，RBF模型逼近曲線越光滑，但過(guò)大的擴(kuò)展常數(shù)會(huì)導(dǎo)致模型欠缺選擇性；擴(kuò)展常數(shù)過(guò)小時(shí)，模型的逼近效果較差。因此，本文采用交叉驗(yàn)證誤差（Cross-Validation Error, CVE）[26]來(lái)確定合適的擴(kuò)展常數(shù)。該方法每次使用輸入向量中-1個(gè)向量來(lái)構(gòu)建RBF模型，并將剩余的1個(gè)輸入向量作為驗(yàn)證計(jì)算所得模型的誤差，通過(guò)次計(jì)算得到誤差的期望值。CVE的定義為

在確定隱含層神經(jīng)元的中心、擴(kuò)展常數(shù)與輸出層權(quán)值后便可得到如式（8）所示的RBF模型，從而快速地估計(jì)輸出變量的邊界值。采用雙層抽樣生成輸入向量，外層對(duì)隨機(jī)變量R進(jìn)行抽樣得到輸入向量中前個(gè)元素，內(nèi)層對(duì)區(qū)間變量I進(jìn)行抽樣得到剩余的個(gè)元素，則輸入向量可表示為

式中，RBF和RBF分別為外層、內(nèi)層的抽樣次數(shù)。輸出變量的邊界值可以表示為

RS、GPS和GIS等現(xiàn)代技術(shù)的應(yīng)用有助于提升土地利用現(xiàn)狀的調(diào)查質(zhì)量與精度，借助這些高新技術(shù)與平臺(tái)所建立的土地利用變更分析與管理系統(tǒng)也可大大滿足我國(guó)土地資源日常管理的需要。本文借助3S技術(shù)，設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)了基于SuperMap Object的土地利用變更分析與管理系統(tǒng)，該系統(tǒng)的應(yīng)用實(shí)例表明，其能夠有效滿足土地利用變更調(diào)查工作需求，值得廣泛應(yīng)用推廣。

采用RBF模型進(jìn)行RBF×RBF次計(jì)算得到輸出邊界值URBF=[U1…U…URBF]T和L RBF=[L1…L…LRBF]T。相較于確定性潮流計(jì)算，RBF模型僅需將輸入變量樣本代入其中即可得到輸出響應(yīng)，可極大地提高計(jì)算效率。需要指出的是，雖然將RBF代理模型與雙層抽樣結(jié)合能夠得到輸出變量邊界值的樣本，倘若所需計(jì)算的樣本數(shù)量過(guò)多將會(huì)使總計(jì)算時(shí)間增加。因此，需要構(gòu)建下層代理模型以進(jìn)一步提升計(jì)算效率。

3.2 下層代理模型

多項(xiàng)式混沌展開（Polynomial Chaos Expansion, PCE）是將輸入隨機(jī)變量和輸出響應(yīng)之間關(guān)系以一組正交多項(xiàng)式展開和的形式來(lái)近似表達(dá)。該模型被廣泛應(yīng)用于概率潮流計(jì)算[9,27]和全局靈敏度分析[19-20]。在構(gòu)建PCE模型時(shí)，要求輸入隨機(jī)變量之間相互獨(dú)立，因此首先需要通過(guò)Nataf變換[6]將具有相關(guān)性的輸入隨機(jī)變量R=[1…X…X]T轉(zhuǎn)換為獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量，即R=[1…ξ…ξ]T。同樣地，要將輸入隨機(jī)變量樣本矩陣RRBF轉(zhuǎn)換為樣本矩陣RRBF。在此情況下，可采用各輸入變量對(duì)應(yīng)的正交多項(xiàng)式混沌展開來(lái)逼近輸出響應(yīng)，即

式中，OC和OD分別為線段OC和OD的長(zhǎng)度。

多變量多項(xiàng)式基函數(shù)Ψ()可以通過(guò)單變量多項(xiàng)式的張量積求取，即

式中，φ(ξ)為變量ξ的第i階正交多項(xiàng)式。通常，各輸入變量對(duì)應(yīng)的正交多項(xiàng)式取決于該變量的分布類型，本文中服從正態(tài)分布的輸入變量對(duì)應(yīng)的最優(yōu)基函數(shù)為Hermite多項(xiàng)式。其他常見的連續(xù)型概率分布及其對(duì)應(yīng)正交多項(xiàng)式體系可見文獻(xiàn)[19]。

基于邊界值U和L構(gòu)建輸出變量的概率盒如圖2所示。輸出變量最大概率分布max()和最小概率分布min()分別代表其下邊界和上邊界的概率分布。由圖可知，輸出變量的波動(dòng)范圍是由最大、最小概率分布所圍成的區(qū)域。在概率-區(qū)間潮流中，輸出變量越限事件＜limit發(fā)生的概率為區(qū)間[Prmin, Prmax]。因此，相較于概率潮流計(jì)算，概率-區(qū)間潮流的優(yōu)勢(shì)在于當(dāng)系統(tǒng)中某些節(jié)點(diǎn)注入功率的概率分布難以準(zhǔn)確獲取時(shí)，可將其視作區(qū)間變量，從而能夠估計(jì)出輸出變量超過(guò)其限值的最大、最小概率。

截?cái)嗪蟊平Ｐ偷恼归_項(xiàng)數(shù)為

一般地，最高展開階數(shù)取值越大，多項(xiàng)式展開逼近精度越高，但展開項(xiàng)數(shù)也會(huì)相應(yīng)增加。在工程問(wèn)題中，通常取2～3即可獲得較高的計(jì)算精度，在本文中取=2。將式（16）采用向量形式表示為

為求解PCE模型中待求展開系數(shù)，需要利用上層RBF模型所得結(jié)果，即隨機(jī)變量樣本RRBF及其所對(duì)應(yīng)的輸出變量最大值樣本U RBF，進(jìn)而采用最小二乘法求解待定系數(shù)為

式中，為獨(dú)立隨機(jī)變量R的第個(gè)樣本。為保證求解精度，通常取樣本數(shù)量為2～3。由樣本系數(shù)的計(jì)算表達(dá)式可知，當(dāng)輸入隨機(jī)變量個(gè)數(shù)增大時(shí)，待定系數(shù)個(gè)數(shù)也隨之快速增大，導(dǎo)致上層代理模型的計(jì)算量較大。由于PCE模型具有稀疏性，為了提高構(gòu)建模型的效率，文獻(xiàn)[27]提出在具有少量輸入樣本的情況下采用壓縮感知技術(shù)實(shí)現(xiàn)展開系數(shù)的快速計(jì)算，從而構(gòu)建sPCE模型。該方法基本思想是忽略對(duì)輸出響應(yīng)影響較小的展開項(xiàng)，僅考慮對(duì)于輸出響應(yīng)具有較大影響的展開項(xiàng)?；谡归_系數(shù)向量的稀疏性，可以通過(guò)如下的優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行展開系數(shù)的求解。

式中，||||0為待求系數(shù)向量中非零元素的數(shù)量。通過(guò)求解式（20），使得在給定較少的樣本下能夠得到一組含非零項(xiàng)最少的展開系數(shù)向量，從而構(gòu)建sPCE模型。式（20）中優(yōu)化問(wèn)題可采用正交匹配追蹤算法來(lái)求解，文獻(xiàn)[20, 27]給出了該算法的詳細(xì)步驟，本文不再贅述。

問(wèn)卷調(diào)查結(jié)果顯示，159例用藥患者中吸煙、飲酒者分別為60例(37.7%)和52例(32.7%)；女性為97例(61.0%)，男性為62例(39.0%)。

3.3 靈敏度分析

在概率-區(qū)間潮流中輸出變量以概率盒的形式表示，其波動(dòng)范圍處于最大、最小值概率分布之間。然而，當(dāng)最大、最小值概率分布所涵蓋的波動(dòng)范圍較大，則會(huì)導(dǎo)致其難以為運(yùn)行人員提供關(guān)于系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)有價(jià)值的信息。因此，需要通過(guò)開展靈敏度分析辨識(shí)出對(duì)特定輸出變量影響較大的輸入?yún)^(qū)間變量，以便采取措施減小其波動(dòng)范圍。定義描述輸出變量概率盒的波動(dòng)范圍的平均距離指標(biāo)為

這也意味著，教材尤其是高校教材絕不是抄抄寫寫的簡(jiǎn)單工作，而是一件復(fù)雜而有創(chuàng)造性的工作。甚至，編教材有時(shí)候比科研還難，因?yàn)閷懻撐闹恍枰鞔_表達(dá)自己的觀點(diǎn)就夠了，編寫教材需要綜合考慮多方面的因素，如讀者的情趣與能力，教學(xué)的要求與師生的要求以及與相關(guān)學(xué)科的關(guān)系等。

式中，U和L為輸出變量的第組上、下邊界值。

本節(jié)采用IEEE 118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)驗(yàn)證所提方法的有效性。將系統(tǒng)中各節(jié)點(diǎn)有功負(fù)荷視作隨機(jī)變量，且服從正態(tài)分布，期望值為原系統(tǒng)負(fù)荷值[28]，標(biāo)準(zhǔn)差為期望值的5%。將系統(tǒng)分為兩個(gè)區(qū)域，區(qū)域1包含節(jié)點(diǎn)1～60，區(qū)域2包含節(jié)點(diǎn)61～118。同一區(qū)域內(nèi)負(fù)荷之間的相關(guān)性系數(shù)為0.6，不同區(qū)域內(nèi)負(fù)荷之間相關(guān)性系數(shù)為0.4。系統(tǒng)中接入八個(gè)風(fēng)電場(chǎng)，將其分為兩組，各組風(fēng)電場(chǎng)接入節(jié)點(diǎn)及參數(shù)設(shè)置見表1。對(duì)于風(fēng)電場(chǎng)的相關(guān)性，考慮以下兩個(gè)場(chǎng)景：①場(chǎng)景1中不同風(fēng)電出力之間相互獨(dú)立；②場(chǎng)景2中同組風(fēng)電出力之間的相關(guān)性系數(shù)為0.5，不同組風(fēng)電出力之間相互獨(dú)立。

對(duì)于輸入?yún)^(qū)間變量相互獨(dú)立的情形，區(qū)間變量Y取其中間值時(shí)，其余區(qū)間變量的波動(dòng)范圍未受影響，此時(shí)，ADIC僅包含變量Y對(duì)輸出變量概率盒的貢獻(xiàn)度。對(duì)于輸入?yún)^(qū)間變量具有相關(guān)性的情形，根據(jù)圖1所示平行四邊形模型，區(qū)間變量Y取其中間值時(shí)，與其相關(guān)的區(qū)間變量波動(dòng)范圍需要滿足式（3），此時(shí)，ADIC包含變量Y及其相關(guān)性對(duì)輸出變量概率盒的貢獻(xiàn)度。

需要指出的是，本研究雖側(cè)重于分析輸入?yún)^(qū)間變量對(duì)輸出變量概率盒的影響，但所提出的雙層代理模型也可用于輸入隨機(jī)變量的靈敏度分析。這是因?yàn)樵谙聦哟碇欣胹PCE模型建立了輸入隨機(jī)變量與輸出變量邊界值之間的關(guān)系。sPCE模型可結(jié)合用于輸入隨機(jī)變量靈敏度計(jì)算的Sobol分解[19]，準(zhǔn)確且快速地得到各輸入隨機(jī)變量對(duì)輸出響應(yīng)的貢獻(xiàn)度。利用sPCE模型開展輸入隨機(jī)變量靈敏度分析的具體步驟可參考文獻(xiàn)[19-20]。

4 算法流程

本文所提出的基于雙層代理模型的概率-區(qū)間潮流計(jì)算及其靈敏度分析的計(jì)算流程如下：

（1）數(shù)據(jù)輸入。包括電力系統(tǒng)潮流計(jì)算所需參數(shù)，輸入隨機(jī)變量R的分布參數(shù)及相關(guān)性系數(shù)，輸入?yún)^(qū)間變量I的邊界值參數(shù)及相關(guān)性系數(shù)。

以2016年膠東半島耕地總面積115.95萬(wàn)hm2為準(zhǔn)，依據(jù)面積比例進(jìn)行平差，最終得出各耕地地力等級(jí)面積，見表3。其中，一、二級(jí)地為高產(chǎn)田，占耕地總面積的38.21%；三、四級(jí)地為中產(chǎn)田，占耕地總面積的34.61%；五、六級(jí)地為低產(chǎn)田，占耕地總面積的27.18%。

（2）構(gòu)建RBF模型。根據(jù)輸入變量R和I生成個(gè)樣本向量=[1……]T，并將各向量代入非線性潮流方程(·)中得到相應(yīng)的輸出響應(yīng)()=[(1)…()…()]T，進(jìn)而通過(guò)式（9）～式（11）求解RBF代理模型s(·)中輸出層的權(quán)值。

（3）基于RBF模型計(jì)算輸出變量的邊界值。采用拉丁超立方抽樣生成對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量R的維獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量R的樣本矩陣RRBF，并將其經(jīng)逆Nataf變換為R的樣本矩陣。將RRBF與區(qū)間變量樣本矩陣IRBF通過(guò)式（12）進(jìn)行組合，并代入式（13）中獲取輸出變量的邊界值向量URBF和LRBF。

通過(guò)對(duì)不同囤養(yǎng)階段下三種規(guī)格的雌性中華絨螯蟹體肉脂含量和脂肪酸的分析，發(fā)現(xiàn)中華絨螯蟹在囤養(yǎng)階段體肉脂含量和脂肪酸之間均存在顯著差異。這可能是由于囤養(yǎng)前選擇的蟹本身存在生長(zhǎng)階段的差異，以及飼料品質(zhì)、環(huán)境因素和蟹活動(dòng)情況等因素密切關(guān)聯(lián)。三種規(guī)格的雌性中華絨螯蟹體肉在囤養(yǎng)第 4階段檢測(cè)出的脂肪酸種類最低，此時(shí)已不適合繼續(xù)囤養(yǎng)。以ω3/ω6和EPA+DHA值為評(píng)價(jià)指標(biāo)，囤養(yǎng)第二階段對(duì)人體健康更有利，且一級(jí)蟹囤養(yǎng)效果更佳；以油酸含量為評(píng)價(jià)指標(biāo)，囤養(yǎng)第2階段體肉營(yíng)養(yǎng)品質(zhì)較好。

（4）構(gòu)建sPCE模型?；诰S獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量R的樣本矩陣RRBF以及輸出變量的邊界值向量U RBF和L RBF，采用正交匹配追蹤算法計(jì)算展開系數(shù)，得到sPCE模型U s(·)和L s(·)。

5 算例分析

5.1 算例設(shè)置

式中，ADI為區(qū)間變量Y的取中間值時(shí)輸出變量的平均距離。

表1 風(fēng)電場(chǎng)參數(shù)設(shè)置

Tab.1 Parameters of wind farms

為了驗(yàn)證本文所提方法的有效性，對(duì)如下三種算法進(jìn)行對(duì)比測(cè)試：①雙層抽樣法（Double Layer Monte Carlo Simulation, DLMCS）[15]。以該方法所得結(jié)果作為對(duì)比依據(jù)，將其外層、內(nèi)層抽樣次數(shù)均設(shè)置為2 000次，因此需要4×106次非線性潮流計(jì)算。②基于聚類的解析法（Clustering-based Analytical Method, CAM）[17]。將CAM中聚類個(gè)數(shù)設(shè)置為4個(gè)，該方法能夠快速且精確地獲取單個(gè)輸出變量的概率盒。③本文方法，即雙層代理模型法（Double Layer Surrogate Method, DLSM）。算例分析利用Matlab R2020a平臺(tái)進(jìn)行編程實(shí)現(xiàn)，程序運(yùn)行的硬件環(huán)境為：R7-4750U，基準(zhǔn)頻率1.7GHz，內(nèi)存為16GB。

“大隊(duì)胡人走了，留下了五個(gè)，他們?cè)诼愤叾蚜藗€(gè)雪人，雪人有一人多高。我暗暗納罕，難道胡人也是小孩心性，要堆雪人打雪仗？

在本文所提方法中通過(guò)上層RBF模型s(·)來(lái)獲取輸出變量的邊界值樣本，進(jìn)而將其用于下層代理模型的構(gòu)建。這意味著由RBF模型所得邊界值樣本將直接決定所提方法的精確性。定義邊界值平均誤差η對(duì)邊界值樣本的精度進(jìn)行定量分析。

式中，上標(biāo)“”可為上、下邊界值；s,和DLMCS分別為通過(guò)代理模型和DLMCS所得輸出變量的邊界值樣本；為所得邊界值樣本的數(shù)量。

跨境電商是通過(guò)網(wǎng)絡(luò)完成產(chǎn)品的銷售，產(chǎn)品從售前、售中、售后都是在網(wǎng)上通過(guò)客戶服務(wù)人員完成的，面對(duì)全球的客戶，這就要求對(duì)客戶的服務(wù)意識(shí)很強(qiáng)。由于我國(guó)在外貿(mào)方面的人才短缺，外貿(mào)企業(yè)在電商中選拔出優(yōu)秀的客戶服務(wù)人員很難，只能選擇懂英語(yǔ)、了解電商運(yùn)營(yíng)的人員完成客戶服務(wù)工作，但是這些人員知識(shí)單純的對(duì)產(chǎn)品咨詢進(jìn)行相應(yīng)的服務(wù)，在對(duì)客戶的態(tài)度或是服務(wù)上還存在一定的欠缺，缺少銷售人員應(yīng)當(dāng)具備的素質(zhì)，服務(wù)意識(shí)缺乏。

對(duì)于所得輸出變量的概率盒，定義相對(duì)誤差e指標(biāo)來(lái)定量分析其準(zhǔn)確性，e為

式中，為輸出變量的統(tǒng)計(jì)矩，一般為期望值和標(biāo)準(zhǔn)差；M和DLMCS分別為通過(guò)待評(píng)估方法和DLMCS計(jì)算所得結(jié)果。由于同一類型的輸出往往包含多個(gè)變量，采用同一類變量相對(duì)誤差的平均值來(lái)表示結(jié)果的精確性。因此，分別采用U,mean和L,mean表示輸出變量最大、最小值的相對(duì)誤差。

5.2 上層代理模型精度驗(yàn)證

本節(jié)首先驗(yàn)證采用RBF模型求出輸出變量邊界值的精確性。所用測(cè)試系統(tǒng)包含99個(gè)隨機(jī)變量（有功負(fù)荷），8個(gè)區(qū)間變量（風(fēng)電出力）。因此，在構(gòu)建RBF模型中輸入向量的維度為107。將RBF代理模型中神經(jīng)元的數(shù)量設(shè)置為500，即產(chǎn)生500個(gè)隨機(jī)變量與區(qū)間變量樣本作為徑向基函數(shù)的中心，進(jìn)而采用式（11）中CVE指標(biāo)來(lái)選取合適的擴(kuò)展常數(shù)。

以支路有功功率1-2為例，圖4給出了不同擴(kuò)展常數(shù)下該變量的CVE指標(biāo)?？梢钥闯?，當(dāng)擴(kuò)展常數(shù)小于0.5×104時(shí)，RBF模型擬合精度較差；而當(dāng)擴(kuò)展常數(shù)超過(guò)6×104后，RBF模型的擬合精度具有波動(dòng)性，且呈現(xiàn)誤差逐漸增大的趨勢(shì)。當(dāng)擴(kuò)展常數(shù)為2.5×104時(shí)，所對(duì)應(yīng)的CVE指標(biāo)較低，因此本文選擇該值作為用作RBF模型構(gòu)建的擴(kuò)展常數(shù)。

圖4 不同擴(kuò)展常數(shù)下的CVE

利用所構(gòu)建的RBF模型可獲取輸出變量邊界值樣本，為驗(yàn)證其在精確性上的優(yōu)勢(shì)，將其與3.2節(jié)所介紹的sPCE模型進(jìn)行對(duì)比。選取sPCE模型作為對(duì)比方法的原因是其已被廣泛地應(yīng)用于多類電力系統(tǒng)不確定性量化問(wèn)題[20, 27]，能夠以較高精度近似表示非線性潮流方程中輸入和輸出變量之間的關(guān)系。在構(gòu)建sPCE模型時(shí)需將系統(tǒng)中所包含的區(qū)間變量視作均勻分布的隨機(jī)變量，并以潮流輸出變量作為輸出響應(yīng)。將sPCE模型中最高展開階數(shù)設(shè)置為2，輸入隨機(jī)變量的數(shù)量為107個(gè)，則待求解的系數(shù)為5 886項(xiàng)。與構(gòu)建RBF代理模型類似，采用500個(gè)樣本來(lái)求解sPCE模型的展開項(xiàng)系數(shù)。

利用所得RBF模型和sPCE模型來(lái)獲取輸出變量的邊界值，并以DLMCS所得結(jié)果為標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算兩種代理模型的平均誤差。圖5給出了場(chǎng)景1中通過(guò)兩種代理模型所得支路有功功率上、下邊界值的平均誤差（測(cè)試系統(tǒng)中包含186條支路）。對(duì)比兩種代理模型所得結(jié)果的誤差，可以發(fā)現(xiàn)RBF模型在計(jì)算精度上要高于sPCE模型，尤其是對(duì)于編號(hào)90～130支路，兩者之間的精度具有明顯差異。兩種模型最大誤差均發(fā)生在編號(hào)107支路，由RBF模型所得上、下邊界值最大誤差分別為0.126MW和0.176MW，而sPCE模型所得最大誤差分別為1.074MW和1.305MW。此外，RBF模型所對(duì)應(yīng)的邊界值誤差還呈現(xiàn)兩個(gè)規(guī)律：一方面上、下邊界值的誤差相近，說(shuō)明該模型對(duì)于求取輸出變量上、下邊界具有相似的精度；另一方面，不同輸出變量的擬合精度有差異，例如編號(hào)30～55支路的誤差較小，而編號(hào)90～130支路的誤差較大，這是由于后者受輸入?yún)^(qū)間變量的影響而波動(dòng)范圍較大，使得RBF模型的精度略有下降。

圖5 不同代理模型所得結(jié)果的邊界值誤差

對(duì)于sPCE模型，由于其待求展開項(xiàng)系數(shù)較多，通過(guò)少量樣本所構(gòu)建的代理模型能夠較為精確地?cái)M合輸出變量的整體分布，但難以保證所得輸出變量邊界值的準(zhǔn)確性。對(duì)于RBF模型，其待求的輸出層權(quán)重與樣本數(shù)量一致，通過(guò)擴(kuò)展常數(shù)的優(yōu)化選取可使其較為精確地求取實(shí)輸出變量邊界值。因此，在本文中將其作為上層代理模型是合理的。

5.3 輸出變量概率盒精度驗(yàn)證

在5.2節(jié)中已驗(yàn)證了RBF模型獲取輸出變量邊界值的精確性。基于邊界值樣本可構(gòu)建下層代理模型，進(jìn)而得到雙層代理模型，即DLSM。對(duì)于下層所采用的sPCE模型，設(shè)置其最高展開階數(shù)為2，由于系統(tǒng)中存在99個(gè)隨機(jī)變量，則待求解的系數(shù)包含5 050項(xiàng)?；诙囗?xiàng)式混沌展開的稀疏特性，采用RBF模型產(chǎn)生500個(gè)邊界值樣本用于sPCE模型展開系數(shù)的求解。

為驗(yàn)證DLSM所得輸出變量概率盒的精確性，采用CAM作為對(duì)比方法，以DLMCS所得結(jié)果作為標(biāo)準(zhǔn)，得到DLSM和CAM所得結(jié)果的相對(duì)誤差見表2。由結(jié)果可知，在場(chǎng)景1和2中DLSM均能夠取得與CAM相接近的計(jì)算精度。通過(guò)DLSM所得各類輸出變量的期望值和標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)誤差均小于1%和2%，說(shuō)明了所提方法能夠較為精確地獲取輸出變量的概率盒。此外，DLSM的相對(duì)誤差結(jié)果還呈現(xiàn)出三個(gè)規(guī)律：①同一場(chǎng)景中輸出變量的上、下邊界值的相對(duì)誤差相近，表明了所提方法在求取輸出變量上、下邊界時(shí)具有相似的精度；②同一類型輸出變量邊界值的相對(duì)誤差在場(chǎng)景1和場(chǎng)景2中非常接近，說(shuō)明所提方法的計(jì)算精度不受是否考慮區(qū)間變量相關(guān)性的影響；③支路無(wú)功功率期望值的相對(duì)誤差大于其余三種類型輸出變量，這是因?yàn)橄到y(tǒng)中PV節(jié)點(diǎn)無(wú)功出力使得代理模擬在近似輸入變量與支路無(wú)功功率之間的關(guān)系時(shí)精度有所降低。

圖6～圖8給出了在場(chǎng)景1和2中通過(guò)DLMCS和DLSM所得變量33、47-49和68-116的概率盒，選取上述變量進(jìn)行分析的依據(jù)是：一方面這些變量與系統(tǒng)中輸入?yún)^(qū)間變量所在節(jié)點(diǎn)鄰近，受到區(qū)間變量的影響較大，可驗(yàn)證所提方法求取波動(dòng)較大變量的計(jì)算精度；另一方面，變量33和68-116不僅受到輸入變量的影響，還受到鄰近PV節(jié)點(diǎn)無(wú)功出力的影響，使得其與輸入變量之間的關(guān)系更為復(fù)雜，可驗(yàn)證所提方法在求取該類變量時(shí)的穩(wěn)健性。

表2 輸出變量邊界值的相對(duì)誤差

Tab.2 Relative errors of output variables’ boundaries

圖6 節(jié)點(diǎn)33電壓幅值的概率盒

圖7 支路47-49有功功率的概率盒

圖8 支路68-116無(wú)功功率的概率盒

同一變量的概率盒包含最大、最小兩條概率曲線。以DLMCS所得曲線（圖中實(shí)線）作為準(zhǔn)確結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)在場(chǎng)景1和場(chǎng)景2中由DLSM所得曲線（圖中虛線）均與準(zhǔn)確曲線非常接近。該結(jié)果表明了所提方法能夠以較高的精度獲取輸出變量概率盒。由局部放大圖可知，所得變量33和68-116分布曲線的精度要低于變量47-49，其原因在于節(jié)點(diǎn)電壓與支路無(wú)功功率不僅與輸入變量有關(guān)，還與PV節(jié)點(diǎn)的無(wú)功出力有關(guān)，使得代理模型在曲線局部的擬合精度略有下降。此外，同一輸出變量在場(chǎng)景2中的概率盒被包含在場(chǎng)景1所得結(jié)果中，說(shuō)明了輸出變量最大、最小概率分布曲線之間的距離與區(qū)間變量有關(guān)，且當(dāng)區(qū)間變量具有相關(guān)性時(shí)會(huì)導(dǎo)致輸出變量概率盒變窄。

概率-區(qū)間潮流所得結(jié)果可用于分析系統(tǒng)中節(jié)點(diǎn)電壓或支路功率的越限概率。表3給出了不同輸出變量越限概率。由結(jié)果可知，在場(chǎng)景1和場(chǎng)景2中，通過(guò)DLSM所得變量越限概率與DLMCS和CAM的結(jié)果相近。當(dāng)考慮區(qū)間變量相關(guān)性時(shí)，由于輸出變量的概率盒變窄，其越限概率區(qū)間也相應(yīng)地變窄。例如，變量47-49小于-20MW的概率區(qū)間寬度從場(chǎng)景1中0.798減少至場(chǎng)景2中0.602。上述結(jié)果說(shuō)明了在實(shí)際應(yīng)用中考慮區(qū)間變量相關(guān)性的必要性，即避免對(duì)系統(tǒng)輸出變量的保守估計(jì)，從而有利于運(yùn)行人員做出更具針對(duì)性的決策。

表3 變量越限概率區(qū)間

Tab.3 Probability intervals of constraint violations

5.4 靈敏度分析結(jié)果

采用本文所提DLSM，并結(jié)合式（21）和式（22）所示指標(biāo)對(duì)區(qū)間變量進(jìn)行靈敏度分析。圖9給出了場(chǎng)景1中，即區(qū)間變量相互獨(dú)立時(shí)，系統(tǒng)中8個(gè)區(qū)間變量（以表示，下標(biāo)代表該變量所在節(jié)點(diǎn)）對(duì)不同輸出變量概率盒的影響程度。由結(jié)果可知，對(duì)于不同的輸出變量，影響其概率盒的最關(guān)鍵因素是不同的。例如，對(duì)于變量23-24而言，對(duì)其具有最大影響的變量為27；而對(duì)于變量82-96具有最大影響的變量為100。引起該現(xiàn)象的主要原因是不同節(jié)點(diǎn)之間的電氣距離存在差異。在特定節(jié)點(diǎn)引入的區(qū)間變量往往對(duì)與其電氣聯(lián)系較為緊密的節(jié)點(diǎn)和支路影響較大。根據(jù)靈敏度分析結(jié)果可以將區(qū)間變量按照其貢獻(xiàn)度大小進(jìn)行排序。以輸出變量75-118為例，可得到排序?yàn)椋?00＞90＞80＞116＞27＞45＞15＞35，其中排序前4位的區(qū)間變量的貢獻(xiàn)度占據(jù)主導(dǎo)。

圖9 場(chǎng)景1中輸入?yún)^(qū)間變量的平均距離指標(biāo)貢獻(xiàn)度

為了驗(yàn)證本文方法所得區(qū)間變量貢獻(xiàn)度排序的正確性，將其與另外兩種方法所得結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。對(duì)比方法一采用文獻(xiàn)[29]提出的Bhattacharyya距離貢獻(xiàn)度（以下簡(jiǎn)稱BDIC）。該方法利用輸出變量的最大、最小概率密度曲線的重疊面積來(lái)表征各區(qū)間變量的貢獻(xiàn)度。某一輸入?yún)^(qū)間變量所對(duì)應(yīng)的BDIC越大，表明其對(duì)輸出變量的影響程度越大。BDIC的定義及其具體計(jì)算步驟可見文獻(xiàn)[29]。對(duì)比方法二采用輸出變量越限概率區(qū)間寬度作為靈敏度指標(biāo)。在該方法中，當(dāng)某一區(qū)間變量被設(shè)置為其中間值時(shí)，輸出變量越限概率區(qū)間的寬度會(huì)減少，因此，可利用其反映該區(qū)間變量的影響大小。去除某輸入?yún)^(qū)間變量后輸出變量的越限概率區(qū)間寬度越大，表明該區(qū)間變量對(duì)輸出變量的影響程度越小。

不同方法所得區(qū)間變量貢獻(xiàn)度結(jié)果與排序見表4。其中，對(duì)于越限概率寬度指標(biāo)來(lái)說(shuō)，當(dāng)各輸入?yún)^(qū)間變量都存在時(shí)變量75-118＜35MW的概率為[0.229, 0.968]，該區(qū)間的寬度為0.739。由結(jié)果可以看出，基于本文所提出的平均距離指標(biāo)、BDIC和越限概率區(qū)間寬度所得到的區(qū)間變量排序是一致的，從而驗(yàn)證了本文所提出的靈敏度指標(biāo)的合理性。需要指出的是，本文所提出的平均距離指標(biāo)可直接通過(guò)輸出變量樣本計(jì)算得到，而BDIC的計(jì)算則需要利用積分，因此，前者的計(jì)算更加方便快速。

表4 不同方法的靈敏度分析結(jié)果

Tab.4 Sensitivity analysis results of different methods

圖10給出了場(chǎng)景2下，即考慮區(qū)間變量相關(guān)性時(shí)，系統(tǒng)中區(qū)間變量對(duì)不同輸出變量概率盒的影響程度。相較于圖8中的結(jié)果，考慮相關(guān)性會(huì)使得各區(qū)間變量對(duì)輸出變量概率盒的貢獻(xiàn)度增加。這是因?yàn)楫?dāng)計(jì)及區(qū)間變量相關(guān)性時(shí)，區(qū)間變量Y取其中間值時(shí)，其余區(qū)間變量的波動(dòng)范圍需要滿足圖1所示平行四邊形模型。此時(shí)，ADIC表示的變量Y及與其具有相關(guān)性的區(qū)間變量對(duì)輸出變量概率盒的貢獻(xiàn)度之和。

圖10 場(chǎng)景2中輸入?yún)^(qū)間變量的平均距離指標(biāo)貢獻(xiàn)度

相較于場(chǎng)景1，考慮區(qū)間變量相關(guān)性后各變量貢獻(xiàn)度的排序略有變化，占據(jù)主要貢獻(xiàn)度的變量是相同的。對(duì)于輸出變量75-118，場(chǎng)景2中區(qū)間變量的排序?yàn)椋?00＞90＞80＞116＞27＞35＞45＞15，排序后3位的變量發(fā)生變化，而排序前4位的變量與場(chǎng)景1相同。對(duì)于場(chǎng)景1和場(chǎng)景2中占據(jù)主要貢獻(xiàn)度的變量是相同的這一現(xiàn)象可結(jié)合圖6～圖8中曲線進(jìn)行解釋。雖然輸出變量的概率盒在計(jì)及區(qū)間變量相關(guān)性后變窄，但其減少程度占據(jù)整體波動(dòng)范圍的比例仍較小。因此，相較于相關(guān)性，區(qū)間變量本身的波動(dòng)范圍是影響輸出變量的主要因素。此外，考慮相關(guān)性后使得原本具有較大影響區(qū)間變量的貢獻(xiàn)度進(jìn)一步增加，更加突出其對(duì)輸出變量的影響程度。

區(qū)間變量貢獻(xiàn)度排序結(jié)果可為電力系統(tǒng)規(guī)劃和運(yùn)行提供新的視角。例如，為了減少變量75-118的波動(dòng)范圍可以提高節(jié)點(diǎn)100、90、80和116處風(fēng)電場(chǎng)功率預(yù)測(cè)精度或者安裝儲(chǔ)能裝置抑制其出力的不確定性。通過(guò)上述措施還可減少變量77-78和82-96的波動(dòng)范圍，但對(duì)于變量23-24和49-69影響較小。

5.5 計(jì)算效率對(duì)比

本小節(jié)對(duì)DLMCS、CAM和DLSM的計(jì)算效率進(jìn)行對(duì)比。對(duì)于所提DLSM，其總耗時(shí)total由構(gòu)建上、下層代理模型RBF和sPCE構(gòu)成。RBF包含了次非線性潮流計(jì)算、擴(kuò)展系數(shù)求取及進(jìn)行RBF×RBF次評(píng)估的時(shí)間。sPCE包含展開系數(shù)求解與進(jìn)行次評(píng)估的時(shí)間。sPCE與輸出變量的個(gè)數(shù)有關(guān)，可進(jìn)一步表示為sPCE=sPCE，其中sPCE表示對(duì)單個(gè)輸出變量構(gòu)建sPCE模型及評(píng)估所需時(shí)間；表示輸出變量的個(gè)數(shù)。

以系統(tǒng)中所有PQ節(jié)點(diǎn)的電壓幅值（共64個(gè)PQ節(jié)點(diǎn)）作為輸出變量，三種方法所需計(jì)算時(shí)間見表5。由結(jié)果可知，DLMCS由于需要進(jìn)行4×106次確定性潮流計(jì)算，所需計(jì)算時(shí)間最多。CAM在獲取單個(gè)變量概率盒時(shí)僅需27.1s，但隨著輸出變量個(gè)數(shù)的增加，其計(jì)算效率也有所下降。本文所提DLSM相較于DLMCS和CAM計(jì)算效率分別提升約126倍和14倍。對(duì)于DLSM來(lái)說(shuō)，僅在構(gòu)建上層代理模型時(shí)需要進(jìn)行少量的非線性潮流計(jì)算，并且上層代理模型得到輸入隨機(jī)變量和輸出變量邊界值樣本后，下層代理模型僅需要sPCE=1.48s（94.7/64）便可獲得單個(gè)輸出變量的概率盒。因此，所提方法在輸出變量較多時(shí)效率方面具有更為明顯的優(yōu)勢(shì)。

表5 不同方法的計(jì)算效率

Tab.5 The computational burden of different methods

6 結(jié)論

本文針對(duì)電力系統(tǒng)中隨機(jī)與區(qū)間變量共存時(shí)的不確定潮流計(jì)算問(wèn)題，提出一種基于雙層代理模型的概率-區(qū)間潮流計(jì)算方法，并基于所提方法開展了對(duì)輸入?yún)^(qū)間變量的靈敏度分析。通過(guò)算例分析驗(yàn)證了所提方法的精確性和快速性，得到主要結(jié)論如下：

1）驗(yàn)證了RBF模型能夠以較高的精度近似非線性潮流方程中輸入變量與輸出響應(yīng)的關(guān)系，較為精確地獲取輸出響應(yīng)邊界值。該代理模型是本文所提方法計(jì)算精度與效率的關(guān)鍵所在。

2）在計(jì)算精度方面，本文所提出的DLSM能夠準(zhǔn)確地獲取輸出變量的概率盒，且計(jì)算誤差與CAM相近；在計(jì)算效率方面，DLSM相較于DLMCS和CAM均有較大幅度的提升，且在輸出變量較多時(shí)具有更為明顯的優(yōu)勢(shì)。

3）通過(guò)靈敏度分析可識(shí)別出對(duì)輸出變量影響較大的區(qū)間變量，并得到其貢獻(xiàn)度排序。對(duì)于特定輸出變量，考慮區(qū)間變量相關(guān)性與否會(huì)引起貢獻(xiàn)度排序略有差異，而占據(jù)主要貢獻(xiàn)度的變量仍是相同的。

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Probabilistic-Interval Power Flow and Sensitivity Analysis Using Double Layer Surrogate Method

Wang Chenxu1Tang Fei1Liu Dichen1Gao Xin1Zhou Yixi2

（1. School of Electrical Engineering and Automation Wuhan University Wuhan 430072 China 2. Hangzhou Power Supply Company State Grid Zhejiang Electric Power Co. Ltd Hangzhou 310000 China）

With the increasing complexity of uncertainties in power systems, the co-existence of random and interval variables makes it challenging to accurately obtain systems’ operating states by using probabilistic or interval power flow calculations. To cope with this issue, this paper proposes a double layer surrogate method for probabilistic-interval power flow analysis. The proposed method can obtain the upper and lower surrogate models based on a few times deterministic power flow calculations. Then, the surrogate models are used to solve a large number of deterministic power flow calculations required in the conventional probabilistic-interval power flow method, and the probability boxes of output variables can be obtained with high efficiency. In addition, a sensitivity index is proposed to describe the characteristics of output variables, and the sensitivity analysis is performed using the proposed method to identify the importance of input interval variables that affect output variables. The accuracy and efficiency of the proposed method are validated on the IEEE 118-bus test system by comparing the existing methods. The sensitivity analysis can identify the key interval variables for the output variables and reveal the relationship between the operating states and the input interval variables.

Uncertain power flow, random variable, interval variable, surrogate model, sensitivity analysis

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.210171

TM744

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51977157）。

2021-02-01

2021-03-21

王晨旭 男，1996年生，博士研究生，研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)不確定性量化分析。E-mail：Chenxu_Wang2021@163.com

唐 飛 男，1982年生，副教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)運(yùn)行與控制。E-mail：tangfei@whu.edu.cn.com（通信作者）

（編輯 赫蕾）