關(guān)于一類廣義p-葉亞純螺旋函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題

敖 恩,李書海

(1. 赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古 赤峰 024000； 2.赤峰學(xué)院民族數(shù)學(xué)教育研究所,內(nèi)蒙古 赤峰 024000)

1 引 言

在1970年, 由Robertson[1]首次引入了“擬從屬”的概念.

|φ(z)|≤1和ω(0)=0,|ω(z)|≤|z|<1,

滿足

f(z)=φ(z)g(ω(z)),z∈U,

則稱函數(shù)f(z)在U內(nèi)擬從屬于函數(shù)g(z), 記為f(z)qg(z).

在上述擬從屬的定義中，當(dāng)φ(z)=1時(shí),

f(z)=g(ω(z)),z∈U,

則稱函數(shù)f(z)在U內(nèi)從屬于函數(shù)g(z), 記為f(z)g(z)(文獻(xiàn)[2])；當(dāng)ω(z)=z時(shí),

f(z)=φ(z)g(z),z∈U,

則稱函數(shù)f(z)在U內(nèi)優(yōu)于函數(shù)g(z), 記為f(z)?g(z)(文獻(xiàn)[3]). 顯然，從屬關(guān)系和優(yōu)化關(guān)系是擬從屬關(guān)系的兩種特殊情形.

用∑p表示在去心單位圓盤U*={z∈C:0<|z|<1}內(nèi)解析且具有形如

的函數(shù)f(z)全體組成的函數(shù)類. 特別地，當(dāng)p=1時(shí)，記為∑1=∑.

對(duì)于任何非負(fù)整數(shù)n∈N0=N∪{0}和函數(shù)f(z)∈∑p，在文獻(xiàn)[4]中Cho和Yoon引入了算子(簡(jiǎn)稱為Cho-Yoon算子)DP(n,λ):∑p→∑p，其具有如下級(jí)數(shù)表達(dá)式：

(1.1)

易知，DP(0,λ)f(z)=f(z). 同時(shí)，根據(jù)式(1.1)，簡(jiǎn)單計(jì)算可有如下重要關(guān)系式：

(1.2)

用Ω表示在單位圓盤U內(nèi)解析、凸、單葉且滿足h(0)=1的函數(shù)h(z)全體組成的函數(shù)類.

利用上述Cho-Yoon算子和從屬關(guān)系, 引入一類廣義p-葉亞純螺旋函數(shù)類，定義如下：

當(dāng)函數(shù)h(z)取一些特殊函數(shù)時(shí)，可得該函數(shù)類的一些子類，如下面的定義1.2-1.4.

注1：在定義1.2中，當(dāng)參數(shù)A,B,α,n,j取一些特殊值時(shí)，可得到如下一些函數(shù)類：

1)若取α=0，則

2)若取n=j=0，則

3)若取A=1,B=-1，則

注2：在定義1.3中，當(dāng)參數(shù)c,α,n,j取一些特殊值時(shí)，可得到如下一些函數(shù)類：

4)若取c=1，則

5)若取α=0，則

6)若取n=j=0，則

注3：在定義1.4中，當(dāng)參數(shù)取α,n,j一些特殊值時(shí)，可得到如下一些函數(shù)類：

7)若取α=0，則

8)若取n=j=0，則

關(guān)于解析函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題的研究起始于1967年，MacGregor[3]首先研究了星象函數(shù)類的優(yōu)化問(wèn)題.直到2001年，Altintas等人[6]又研究了凸象函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題.由此開始國(guó)內(nèi)外的許多專家學(xué)者們紛紛研究由各種算子定義的單葉或多葉解析函數(shù)類的優(yōu)化問(wèn)題，得到了一些精彩的結(jié)論(如文獻(xiàn)[6-11]). 經(jīng)過(guò)查閱大量的文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)，目前關(guān)于多葉亞純函數(shù)類的優(yōu)化問(wèn)題的研究并不是很多[12-14]. 受上述文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文首先利用Cho-Yoon算子和從屬關(guān)系定義了廣義p-葉亞純螺旋函數(shù)類Qn,jp(λ,α;A,B)，主要討論了其三個(gè)子類的優(yōu)化問(wèn)題，同時(shí)給出了所得主要結(jié)果的一些推論.

為了得到本文的主要結(jié)果, 需要引進(jìn)下面的引理.

引理1[11]設(shè)函數(shù)φ(z)在單葉圓盤U內(nèi)解析且對(duì)任意的復(fù)數(shù)z∈U滿足|φ(z)|≤1, 則

定理2.1 設(shè)

若

則

(2.1)

其中r1=r1(α,λ,A,B)是方程

|(B-A)cosα+λBeiα|r3-(λ+2|B|)r2-(2+|(B-A)cosα+λBeiα|)r+λ=0 ,

(2.2)

的最小正根.

(2.3)

于是

(2.4)

由于

(2.5)

則將式(2.5)代入到式(2.4)，整理可得

(2.6)

對(duì)上式兩邊關(guān)于z求導(dǎo)，并同時(shí)乘以z，可得

將式(1.2)和式(2.5)代入到上式，整理可得

(2.7)

再將式(2.6)代入到式(2.7), 可得

不妨設(shè)|z|=r,|φ(z)|=ρ(0≤ρ≤1)，則根據(jù)引理，有

(2.8)

其中

為了確定r1，我們只需要取

r1=max{r∈[0,1):Φ1(r,ρ)≤1,?ρ∈[0,1]}=

其中

Ψ(r,ρ)=(1-r2)[λ-|(B-A)cosα+λBeiα|r]-r(1+|B|r)(1+ρ).

顯然，Ψ(r,ρ)在ρ=1處取最小值，即

min{Ψ(r,ρ):ρ∈[0,1]}=(1-r2)[λ-|(B-A)cosα+λBeiα|r]-2r(1+|B|r):=Ψ(r).

因?yàn)楹瘮?shù)Ψ(r)在[0,1]內(nèi)連續(xù)，且Ψ(0)=λ>0,Ψ(1)=-2(1+|B|)<0，所以必存在r1，當(dāng)r∈[0,r1]時(shí)使Ψ(r)≥0成立. 此時(shí)，r1為方程(2.2)的最小正根. 于是當(dāng)|z|≤r1時(shí)，由式(2.8)可知，式(2.1)成立. 因此, 定理1證畢.

在定理2.1中，分別令α=0和n=j=0，能夠得到下面兩個(gè)推論：

推論2.1 設(shè)

若

則

其中ξ1=ξ1(λ,A,B)是方程

|(1+λ)B-A|r3-(λ+2|B|)r2-(2+|(1+λ)B-A|)r+λ=0 ,

的最小正根.

則

其中ξ2=ξ2(α,λ,A,B)由式(2.2)確定.

類似于定理2.1的證明，可以證得到下面的結(jié)論.

定理2.2 設(shè)

若

則

其中ξ3=ξ3(α,λ)是方程

|2cosα+λeiα|r3-(λ+2)r2-(2+|2cosα+λeiα|)r+λ=0

的最小正根.

則

(3.1)

其中r2=r2(λ,c)是方程

cr5-λ(λ-2)r4-2(2λ+c-2)r3+2(λ2-2λ-2)r2+(4λ+c-4)r-λ2+2λ=0

(3.2)

的最小正根.

類似于定理2.1的證明， 整理可得

不妨設(shè)|z|=r,|φ(z)|=ρ(0≤ρ≤1)，則根據(jù)引理，有

其中

類似于定理2.1的證明可知，式(3.1)成立，其中r2=r2(λ,c)是由式(3.2)確定. 因此, 定理3.1證畢.

在定理3.1中，分別令c=1,α=0和n=j=0，能夠得到下面三個(gè)推論：

則

其中η1=η1(λ)是方程

r5-λ(λ-2)r4-2(2λ-1)r3+2(λ2-2λ-2)r2+(4λ-3)r-λ2+2λ=0，

的最小正根.

則

其中η2=η2(λ,c)由式(3.2)確定.

則

其中η3=η3(λ,c)由式(3.2)確定.

則

(4.1)

其中r3=r3(λ)是方程

(4.2)

的最小正根.

類似于定理2.1的證明， 整理可得

不妨設(shè)|z|=r,|φ(z)|=ρ(0≤ρ≤1)，則根據(jù)引理，有

其中

類似于定理2.1的證明，易得式(4.1)成立，其中r3=r3(λ)是由式(4.2)確定. 因此, 定理4.1證畢.

在定理4.1中，分別令α=0和n=j=0，能夠得到下面兩個(gè)推論：

則

其中ζ1=ζ1(λ)由式(4.2)確定.

則

其中ζ2=ζ2(λ)由式(4.2)確定.