旋轉(zhuǎn)輸液管動力穩(wěn)定性理論分析*

張 博， 史天姿， 張貽林， 孫東生， 袁從敏， 丁 虎， 陳立群

（1.長安大學(xué) 理學(xué)院，西安 710064；

2.上海大學(xué) 上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，上海 200072；3.臺山核電合營有限公司，廣東 臺山 529228）

引 言

重型燃?xì)廨啓C(jī)是迄今為止效率最高、能量密度最大的熱-功轉(zhuǎn)換類發(fā)電設(shè)備[1]，被譽(yù)為工業(yè)皇冠上的明珠，是多學(xué)科交叉的典范.而旋轉(zhuǎn)葉片是重型燃?xì)廨啓C(jī)的關(guān)鍵組成部分.隨著科學(xué)技術(shù)的迭代更新，對燃?xì)廨啓C(jī)熱效率的要求越來越高，渦輪葉片的工作溫度不斷升高，渦輪進(jìn)口溫度達(dá)到了1 977 K，未來可能更高[2]，為了避免葉片不被過早燒毀，工程師在渦輪葉片內(nèi)部布置了復(fù)雜的冷卻通道系統(tǒng)[3].為了合理設(shè)計含有冷卻通道的渦輪葉片，針對這類結(jié)構(gòu)建立精確的動力學(xué)模型，準(zhǔn)確掌握其振動特性顯得尤為必要.

現(xiàn)有文獻(xiàn)中通常將渦輪葉片簡化為形式各異的旋轉(zhuǎn)梁[4-5]、旋轉(zhuǎn)板[6]或者旋轉(zhuǎn)殼[7-8]，用來分析其線性或非線性動力學(xué)行為.鄭彤和章定國等[9]將葉片簡化為柔性薄板，建立了一次近似耦合動力學(xué)方程.Zhang 等[10]考慮葉片預(yù)變形效應(yīng)，研究了旋轉(zhuǎn)預(yù)扭梁在2∶1[11]或3∶1[12]內(nèi)共振情況下的非線性動力學(xué)響應(yīng).Oh 和Yoo[13]建立了旋轉(zhuǎn)葉片熱彈耦合動力學(xué)模型，揭示了葉片服役熱環(huán)境以及內(nèi)部冷卻液溫度對葉片振動特性的影響，但并未涉及到內(nèi)部流體對葉片振動的影響.

以上有關(guān)旋轉(zhuǎn)葉片的研究，都沒有考慮內(nèi)部流體對葉片動力學(xué)特性的影響.但是，渦輪葉片的振動問題嚴(yán)重影響著工程系統(tǒng)的安全運(yùn)行，亟需揭示其內(nèi)部冷卻液對其振動特性的影響.而早在20 世紀(jì)60 年代，Benjamin[14]基于開放系統(tǒng)的Hamilton 原理建立了輸液管道的動力學(xué)模型，報道了管內(nèi)流體對管道振動穩(wěn)定性影響.Gregory 與Paidoussis[15]在Benjamin 的基礎(chǔ)上研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)流速超過某臨界值時，管道將從流體源源不斷獲得能量并發(fā)生顫振失穩(wěn).王乙坤等[16]研究了脈動內(nèi)流作用下管道的參數(shù)共振行為，揭示了輸液管豐富的動力學(xué)現(xiàn)象.近期，易浩然等[17]考慮集中質(zhì)量的影響，建立了懸臂輸液管動力學(xué)模型，從理論和實(shí)驗兩方面探討了輸液管振動特性的演變規(guī)律.文獻(xiàn)[18-19]報道了管道內(nèi)部流動的流體將誘發(fā)結(jié)構(gòu)發(fā)生內(nèi)共振，不同模態(tài)之間存在能量交換關(guān)系.此外，國內(nèi)學(xué)者如黃玉盈等[20]、金基鐸等[21]、徐鑒等[22-23]和王琳等[24]在輸液管動力學(xué)行為領(lǐng)域也做了大量有益的工作.

在旋轉(zhuǎn)輸液管領(lǐng)域，國際上已有一些相關(guān)的研究報道.根據(jù)管道旋轉(zhuǎn)軸線方向與管道軸線的相對位置關(guān)系，大致分為兩類：一類是管道旋轉(zhuǎn)軸線方向與管道軸線重合；另一類是二者方向相垂直.前者相當(dāng)于自旋的輸液管，相關(guān)研究比較充分，經(jīng)常用于油氣開采中的深井鉆頭[25-28].第二類類似于旋轉(zhuǎn)葉片模型，相關(guān)研究較少.Panussis 和Dimarogonas[29]采用Galerkin 和Hamilton 原理，率先研究了水平旋轉(zhuǎn)輸液管面內(nèi)與面外耦合振動.Yoon 和Son[30]研究了變轉(zhuǎn)速過程中，具有端部質(zhì)量的旋轉(zhuǎn)輸液管在軸向和橫向上的動力學(xué)響應(yīng).Wang 和Zhong[31]建立了旋轉(zhuǎn)輸液管的動力學(xué)模型，研究了蜻蜓翅膀血液循環(huán)對其飛行能力影響，發(fā)現(xiàn)在特定血流條件下，蜻蜓翅膀會失去穩(wěn)定性.

通過文獻(xiàn)調(diào)研不難發(fā)現(xiàn)，結(jié)構(gòu)內(nèi)部流體流動會顯著影響結(jié)構(gòu)的動力學(xué)行為，但考慮內(nèi)部流體流動的旋轉(zhuǎn)葉片模型相關(guān)研究還較少.為了準(zhǔn)確掌握具有內(nèi)部冷卻通道的渦輪葉片的動力學(xué)特性，揭示內(nèi)部流體對旋轉(zhuǎn)葉片動力學(xué)特性的影響，本文利用Lagrange 原理，研究了基于Euler-Bernoulli 梁理論的懸臂式旋轉(zhuǎn)輸液管的自由振動特性，討論了流體流速、端部質(zhì)量、轉(zhuǎn)速等系統(tǒng)參數(shù)對旋轉(zhuǎn)輸液管自由振動特性的影響規(guī)律.

1 模型描述與假設(shè)

本文建立的動力學(xué)模型如圖1 所示，長為L且具有端部質(zhì)量Tm的旋轉(zhuǎn)空心葉片，繞輪轂中心以恒定角速度Ω轉(zhuǎn)動，輪轂半徑為r，這里假定葉片為內(nèi)外徑分別為Rin和Rout的空心圓截面管道，管道單位長度質(zhì)量為m，管道內(nèi)部流體相對于管道的流速為U，其單位長度質(zhì)量為M.建立兩套坐標(biāo)系來描述結(jié)構(gòu)的運(yùn)動與變形：① 固結(jié)于輪轂中心的全局直角坐標(biāo)系OXYZ；② 固結(jié)于旋轉(zhuǎn)管道根部截面中心，x軸與管道中軸線重合并連同管道一起旋轉(zhuǎn)的隨轉(zhuǎn)坐標(biāo)系oxyz，管道在x，y方向上的變形分別用w1和w2表示.為了簡化分析，引入如下假設(shè)：1）忽略管道剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量的影響，采用Bernoulli-Euler 梁理論描述其位移場；2）忽略管道在z方向的變形，即振動發(fā)生在一個平面xoy內(nèi)；3）管道內(nèi)流體為定常不可壓縮的無黏流體；4）管道是均勻、各向同性的線彈性材料.

圖1 旋轉(zhuǎn)輸液管動力學(xué)模型Fig.1 The sketch for a rotating pipe conveying fluid

2 運(yùn)動學(xué)方程

假設(shè)全局坐標(biāo)系下，X，Y，Z方向上的單位向量分別為i,j,k, 則管道上任意點(diǎn)P的速度矢量為

其中q1i,q2i為管道廣義位移，N1,N2為選取的模態(tài)函數(shù)個數(shù)，φ1i, φ2i分別為軸向和橫向兩個方向上選取的試函數(shù).需要說明的是，端部質(zhì)量的存在會影響懸臂管的力邊界條件，本文采用假設(shè)模態(tài)法，只需滿足位移邊界條件即可，故選取懸臂梁軸向和橫向振動的模態(tài)函數(shù)作為試函數(shù)，其具體表達(dá)形式如下：

系統(tǒng)的Lagrange 函數(shù)為

將式(3)～(7)代入式(10)，采用式(8)將連續(xù)體離散，結(jié)合Lagrange 原理即可得到矩陣形式的動力學(xué)方程：

寫成緊湊形式為

3 結(jié)果與討論

本文的數(shù)值算例為一個空心圓截面（內(nèi)外半徑分別為Rout,Rin）的旋轉(zhuǎn)葉片，葉片和內(nèi)部流體的體積密度分別為ρp和ρf，則單位長度管道和流體的質(zhì)量分別為后面的數(shù)值算例中，若無特殊說明，取具體的參數(shù)設(shè)置見表1.

表1 系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置Table 1 System parameter values

為了使結(jié)果具有普遍性，按照文獻(xiàn)引入無量綱參數(shù)：

首先，研究本文模型假設(shè)模態(tài)法的收斂性.圖2 對比了選取不同試探函數(shù)數(shù)目下系統(tǒng)的Argand 圖，其中各階模態(tài)所對應(yīng)的曲線上標(biāo)記了無量綱流速數(shù)值.發(fā)現(xiàn)對于N1=N2=5，當(dāng)流速較小時，流體給系統(tǒng)各階模態(tài)引起了阻尼效應(yīng)，當(dāng)流速增加到2.40 時，第一階模態(tài)軌跡穿越橫軸，預(yù)示著管道將發(fā)生顫振失穩(wěn).當(dāng)流速增加到9.90 時，第三階模態(tài)軌跡穿越橫軸.在該算例中，第二階模態(tài)始終未發(fā)生失穩(wěn)，與文獻(xiàn)[24]中報道的兩端固支輸液管第二階模態(tài)先失穩(wěn)不同.對比發(fā)現(xiàn)，不同試探函數(shù)個數(shù)下，得到的系統(tǒng)Argand 圖大致類似，只有臨界流速存在數(shù)值差別.當(dāng)試探函數(shù)個數(shù)取10 時，臨界流速收斂.因此后面的數(shù)值算例中取N1=N2=10.

圖2 不同試探函數(shù)個數(shù)下前三階特征根軌跡曲線 (Tm* = 0，Ω* = 0)：(a) N1 = N2 = 5；(b) N1 = N2 = 8；(c) N1 = N2 = 10；(d) N1 = N2 = 12Fig.2 The trajectories of the 1st 3 eigenvalues for different trail function numbers (Tm* = 0, Ω* = 0): (a) N1 = N2 = 5; (b) N1 = N2 = 8;(c) N1 = N2 = 10; (d) N1 = N2 = 12

為了驗證模型的正確性，特將本文計算結(jié)果與文獻(xiàn)[33]報道的結(jié)果做一對比，具體如表2 所示.由表格數(shù)據(jù)可見本文模型具有較高的計算精度.

表2 系統(tǒng)第一階無量綱固有頻率本文計算值與文獻(xiàn)對比(ρf = 0)Table 2 Comparison of the 1st natural frequencies obtained from the present study and the reference (ρf = 0)

圖3 給出了三組不同轉(zhuǎn)速下系統(tǒng)前三階特征根軌跡曲線.發(fā)現(xiàn)隨著轉(zhuǎn)速增大，旋轉(zhuǎn)輸液管系統(tǒng)特征根軌跡向橫軸正方向移動.實(shí)際上，旋轉(zhuǎn)離心效應(yīng)對結(jié)構(gòu)存在剛化效應(yīng).當(dāng)轉(zhuǎn)速足夠大(Ω*=8)，流速存在一個區(qū)間(7.90

圖3 轉(zhuǎn)速對特征根軌跡的影響 (Tm* = 0)：(a) Ω* = 4；(b) Ω* = 8；(c) Ω* = 12Fig.3 Effects of the rotating speed on the eigenvalue trajectories (Tm* = 0): (a) Ω* = 4; (b) Ω* = 8; (c) Ω* = 12

圖4 和圖5 分析了端部集中質(zhì)量對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響.當(dāng)端部集中質(zhì)量足夠大，系統(tǒng)第三階模態(tài)在很高流速下也是穩(wěn)定的，但第二階模態(tài)開始出現(xiàn)顫振失穩(wěn)(圖4(b)、4(c)).臨界流速隨集中質(zhì)量增大而增大.由圖5 可見，旋轉(zhuǎn)輸液管的第一階臨界流速隨轉(zhuǎn)速增大而提高，且其變化率隨端部質(zhì)量增大而增大.實(shí)際上，由于旋轉(zhuǎn)運(yùn)動在輸液管內(nèi)部產(chǎn)生拉應(yīng)力對結(jié)構(gòu)存在“應(yīng)力剛化”效應(yīng)，使得結(jié)構(gòu)的剛度變大，穩(wěn)定性提高，內(nèi)部流體流動使得結(jié)構(gòu)顫振失穩(wěn)更困難.而端部質(zhì)量的出現(xiàn)進(jìn)一步強(qiáng)化了“應(yīng)力剛化”效應(yīng)，因此曲線斜率隨端部質(zhì)量增大而增大.

圖4 端部集中質(zhì)量對特征根軌跡的影響 (Ω* = 4)：(a) Tm* = 0.2；(b) Tm* = 0.4；(c) Tm* = 0.6Fig.4 Effects of the tip mass on the eigenvalue trajectories (Ω* = 4): (a) Tm* = 0.2; (b) Tm* = 0.4; (c) Tm* = 0.6

圖5 不同端部集中質(zhì)量下臨界流速隨轉(zhuǎn)速的變化規(guī)律 (Ω* = 4)Fig.5 Variations of the critical fluid velocity with the rotating speed for different tip masses (Ω* = 4)

為了揭示運(yùn)動方程(11)中矩陣C和G對系統(tǒng)動力特性的影響規(guī)律，在圖6 中繪制了四種情形下（包括同時考慮C，G矩陣，僅考慮C矩陣，僅考慮G矩陣和忽略C，G矩陣），系統(tǒng)第1 階固有頻率隨流速的變化情況.通過對比不難發(fā)現(xiàn)，陀螺矩陣G對系統(tǒng)固有頻率影響很小.事實(shí)上，對于該算例旋轉(zhuǎn)輸液管，其軸向尺寸是橫向尺寸的40 倍，屬于細(xì)長梁，因此旋轉(zhuǎn)運(yùn)動引起的軸向及橫向運(yùn)動間的耦合效應(yīng)很微弱.此外對于該算例，當(dāng)無量綱流速U*< 4 時，對稱矩陣C對系統(tǒng)動力學(xué)特性影響不大.當(dāng)無量綱流速U*超過4 時，考慮矩陣C影響的曲線跟忽略矩陣C影響的曲線發(fā)生明顯分離.前者持續(xù)下降，且當(dāng)流速約為7.12 時降為0，特征值變?yōu)榧兲摂?shù).而忽略矩陣C影響，當(dāng)流速U*> 7 時，系統(tǒng)第1 階固有頻率迅速升高.由此證明了流體運(yùn)動對旋轉(zhuǎn)管道的動力學(xué)特性有顯著影響.

圖6 矩陣C 和G 對系統(tǒng)第一階固有頻率的影響 (Ω* = 4，Tm* = 0.2)Fig.6 The effects of matrices C and G on the system 1st natural frequency(Ω* = 4, Tm* = 0.2)

圖7 繪制了系統(tǒng)前三階無量綱固有頻率隨流速的變化曲線，同時為了探析旋轉(zhuǎn)輸液管模型發(fā)生內(nèi)共振的可能性，圖中畫出了2ω1*，3ω1*，2ω2*隨流速的變化曲線.圖中出現(xiàn)了一些曲線間的交點(diǎn)，例如，當(dāng)流速U*=3.72 時，3ω1*和ω2*相交，即3ω1*= ω2*，預(yù)示系統(tǒng)存在3∶1 內(nèi)共振；當(dāng)流速U*= 11.17 時，2ω1*和ω2*相交，即2ω1*= ω2*，預(yù)示系統(tǒng)存在2∶1 內(nèi)共振.在該算例流速范圍內(nèi)（0～20）ω1*和ω2*未相交.此外系統(tǒng)第三階固有頻率軌跡同前兩階模態(tài)也存在多個交點(diǎn).特別地，當(dāng)流速U*= 10.22 時，曲線3ω1*，ω2*和ω3*交匯于同一點(diǎn).預(yù)示該條件下系統(tǒng)前三階模態(tài)存在復(fù)雜的能量交換機(jī)制.

圖7 旋轉(zhuǎn)輸液管前三階固有頻率隨流體流速的變化規(guī)律 (Ω* = 2，Tm* = 0.2)Fig.7 The variations of the 1st 3 natural frequencies of the rotating pipe (Ω* = 2, Tm* = 0.2)

4 結(jié) 論

本文采用Lagrange 原理建立了內(nèi)部包含流體通道的旋轉(zhuǎn)梁的動力學(xué)模型，應(yīng)用假設(shè)模態(tài)法得到了經(jīng)過離散的矩陣形式表達(dá)的系統(tǒng)運(yùn)動方程，并確定了研究方法具有收斂性.研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)流體速度超過一定數(shù)值時，旋轉(zhuǎn)輸液管將發(fā)生顫振失穩(wěn).本文還揭示了轉(zhuǎn)速、端部質(zhì)量對旋轉(zhuǎn)管道系統(tǒng)臨界流速的影響.此外，還發(fā)現(xiàn)在一些特定的參數(shù)組合下，可能會誘發(fā)系統(tǒng)低階模態(tài)之間不同形式的內(nèi)共振.