基于隨機(jī)網(wǎng)格的視覺多秘密共享方案

高軍濤 岳 浩 曹 菁

①(西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院 西安 710071)

②(廣西密碼學(xué)與信息安全重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 桂林 541004)

③(中國石油新疆油田分公司勘探開發(fā)研究院 克拉瑪依 834000)

1 引言

秘密共享技術(shù)可以增加密文的魯棒性。文獻(xiàn)[1,2]采用了Shamir-Lagrange方法首次提出了圖像秘密共享。目前用于共享秘密圖像的技術(shù)還有基于布爾運(yùn)算的圖像秘密共享方法[3-5]、基于中國剩余定理的圖像秘密共享方案[6-9]，以及基于數(shù)獨(dú)等技術(shù)設(shè)計(jì)的圖像秘密共享方案[10]。這些方法在恢復(fù)圖像過程中，通常需要借助一些輔助工具或者是計(jì)算器。比如文獻(xiàn)[1,11]中的方案在恢復(fù)圖像時(shí)，需要使用Lagrange插值公式，而文獻(xiàn)[3-5,12,13]中的方案使用異或運(yùn)算對不同的份額進(jìn)行運(yùn)算。與上面的方案不同，視覺秘密共享(Visual Secret Sharing,VSS)方案可以在用戶計(jì)算能力很弱或者沒有計(jì)算能力情況下利用視覺恢復(fù)秘密[14-19]。目前的VSS方案主要分為兩種：可視加密(Visual Cryptography,VC)和隨機(jī)網(wǎng)格(Random Grid, RG)。其中VC會導(dǎo)致像素?cái)U(kuò)展、需要碼本等缺點(diǎn)，而RG方案克服了像素?cái)U(kuò)展和需要碼本的問題，但是目前基于RG的方案大多是單個(gè)秘密圖像的，對于共享多個(gè)秘密圖像時(shí)，門限往往為 2 或者是n。同時(shí)隨著份額增加，恢復(fù)圖像的質(zhì)量也會下降。

本文提出了一種基于隨機(jī)網(wǎng)格的VSS方案，具有不存在像素?cái)U(kuò)展、不需要碼本等優(yōu)勢。方案不僅繼承了一般隨機(jī)網(wǎng)格方案的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)也克服了可視加密的缺點(diǎn)。本文方案具有如下優(yōu)勢：

(1) 采用拆分關(guān)鍵秘密份額的方法增加了方案的魯棒性。原方案中共享階段第 2 步中生成的份額SCk?1如果丟失，會導(dǎo)致無法恢復(fù)秘密圖像。本文將SCk?1“拆分”為多個(gè)份額，允許最多有n?k個(gè)份額丟失仍然可以保證圖像正確恢復(fù)。因此本文方案具有更高的魯棒性。

(2) 在提高方案魯棒性的條件下，允許1次對多個(gè)秘密圖像進(jìn)行漸進(jìn)共享，即隨著疊加的數(shù)量，可以得到更好的視覺質(zhì)量，同時(shí)實(shí)現(xiàn)了魯棒性、漸進(jìn)性和多秘密3個(gè)特性。

(3) 仿真結(jié)果表明本文方案和文獻(xiàn)[19]中的方案在相同數(shù)量的秘密圖像和份額下，像素恢復(fù)的正確率更高。具體來說，在共享兩個(gè)尺寸為 256×256的圖像時(shí)，文獻(xiàn)[19]像素的正確率為 0.15，本文方案為 0.35。

2 相關(guān)工作

2.1 視覺秘密共享(VSS)

VSS的優(yōu)勢在于無需密碼知識和計(jì)算設(shè)備即可提供解密操作。因此，VSS適用于安全性要求高并且無計(jì)算設(shè)備的場景。VSS可以分為兩種：通過編碼矩陣的可視加密(VC)[14]以及隨機(jī)網(wǎng)格(RG)[15]技術(shù)。

VC是一種以安全方式加密秘密圖像(Secret Image, SI)的技術(shù)。在VC中，原始圖像根據(jù)規(guī)則被加密為不同的且無意義的圖像，產(chǎn)生的圖像稱為份額(share)，被分配給不同的用戶。任何人無法從單個(gè)的份額中得到關(guān)于SI的任何信息。但將一定數(shù)量的份額堆疊在一起時(shí)，就可以恢復(fù)出原始圖像。VC方案中的共享操作是秘密分發(fā)者(dealer)預(yù)先設(shè)計(jì)好一個(gè)編碼矩陣(也稱碼本(codebook))，然后根據(jù)要共享的秘密像素的不同，選擇不同的矩陣中的值。如表1。

對于秘密圖像中的像素，如果是白色像素，那么份額A可以有 4 種選擇，同時(shí)對應(yīng)的份額B應(yīng)該和份額A保持一致；如果是黑色像素，那么份額A也有4 種選擇，同時(shí)對應(yīng)的份額B應(yīng)該和份額A恰好相反。

基于VC的VSS方案一般存在如下問題：有像素?cái)U(kuò)展；需要碼本；1次只能編碼1個(gè)秘密圖像；對比度較低等等。文獻(xiàn)[20-22]在不同方向針對VC進(jìn)行了改進(jìn)。

2.2 隨機(jī)網(wǎng)格(RG)

基于隨機(jī)網(wǎng)格的視覺圖像秘密共享(Random Grid based VSS, RGVSS)[15]將黑白二值圖像視為具有2維像素陣列的網(wǎng)格，其中每個(gè)像素要么透明要么不透明。每一個(gè)網(wǎng)格的平均透光率為 0.5。文獻(xiàn)[23]對文獻(xiàn)[24]的工作進(jìn)行了改進(jìn)。將兩個(gè)秘密圖像加密為兩個(gè)隨機(jī)網(wǎng)格。在恢復(fù)階段，通過對其中一個(gè)隨機(jī)網(wǎng)格旋轉(zhuǎn)，恢復(fù)出秘密圖像。文獻(xiàn)[25]提出了一種使用多個(gè)RG的圖像加密新方案。在這個(gè)方案中，他提供了一種n ≥2的加密方案。具體地說，圖像SI編碼為n個(gè)RG，在恢復(fù)的時(shí)候只有當(dāng)n個(gè)份額疊加在一起時(shí)，人的視覺系統(tǒng)才能識別秘密圖像。文獻(xiàn)[16]提出了一種基于隨機(jī)網(wǎng)格的方案。他可以實(shí)現(xiàn)(2,n)或者(n,n)。方案的編碼示意圖見圖1。

圖1(a)方案的過程是首先把1個(gè)秘密圖像通過RGVSS算法生成2個(gè)份額，然后將第2個(gè)份額作為秘密圖像再用RGVSS算法生成兩個(gè)份額，重復(fù)n ?1次得到n個(gè)份額。在恢復(fù)過程中，只需要疊加所有的份額就可以恢復(fù)出秘密圖像。圖1(b)方案的過程是首先把1個(gè)秘密圖像通過RGVSS算法得到2個(gè)份額，然后把目前生成的第2個(gè)份額作為下一次RGVSS算法的第1個(gè)份額。重復(fù)n ?1次得到n個(gè)份額。在恢復(fù)過程中，只需要疊加n個(gè)份額中相鄰的2個(gè)就可以恢復(fù)出秘密圖像。

Chang等人[26]提出了一種新穎的VSS方案。將兩個(gè)秘密圖像生成2個(gè)份額，在恢復(fù)時(shí)，直接堆疊可以恢復(fù)出第1個(gè)秘密圖像，通過水平移動1個(gè)固定的位置，恢復(fù)出第 2 個(gè)秘密圖像。文獻(xiàn)[17]首次提出了基于RG的(k,n)門限方案。為了提高圖像疊加之后的對比度，文獻(xiàn)[18]又提出了“漸進(jìn)式”的VSS方案，它擁有更好的視覺質(zhì)量。這種方案的缺點(diǎn)是門限為 2。同時(shí)具有漸進(jìn)效果的方案還有文獻(xiàn)[27,28]。Hou等人[29]提出了一種基于RG的視覺友好VSS方案。在此方案中，本文可以生成有意義的和無意義的份額。所提出的技術(shù)可以使用不同的封面圖像來產(chǎn)生有意義的份額。為了提高視覺友好方案的性能，提出了(k,n)共享方案[30]和使用XOR操作的隨機(jī)網(wǎng)格方案[31]。2019 年，文獻(xiàn)[32]提出了一種RGVSS的數(shù)據(jù)隱藏方案。產(chǎn)生n個(gè)份額，其中1個(gè)作為密鑰，保留在安全中心，剩余的n ?1個(gè)份額先用Host圖像覆蓋一下再分配給參與者，這樣可以提高安全性。文獻(xiàn)[33]通過對多個(gè)像素編碼的方法，可以達(dá)到減小份額圖像的功能，但是可能會導(dǎo)致邊界模糊。

表1 擴(kuò)展為2的VC方案

3 本文方案

本算法分為秘密共享階段和秘密重建階段。共享階段對前k ?1個(gè)份額中的像素采用一般的隨機(jī)網(wǎng)格的方法，再對第k ?1個(gè)像素進(jìn)一步使用隨機(jī)化的編碼方法，然后一共生成剩余的n ?k+2個(gè)份額。在恢復(fù)秘密圖像階段采用圓柱形的隨機(jī)網(wǎng)格，通過旋轉(zhuǎn)的方法，便于恢復(fù)出秘密圖像。共享階段的示意圖如圖2所示。

3.1 秘密共享階段

輸入：m個(gè)h×w的秘密圖像S1,S2,...,Sm，1個(gè)閾值參數(shù)(k,n)。

輸出：n個(gè)影子圖像SC1,SC2,...,SCn。

步驟1 隨機(jī)生成k ?2個(gè)隨機(jī)網(wǎng)格SC1,SC2,...,SCk?2，計(jì)算SC1⊕SC2⊕...⊕SCk?2=SC0。

3.2 秘密重建階段

當(dāng)選取所有的(共計(jì)k ?2個(gè))低透光率的隨機(jī)網(wǎng)格，和至少兩個(gè)高透光率的隨機(jī)網(wǎng)格，就可以通過旋轉(zhuǎn)的方式逐個(gè)恢復(fù)原始秘密圖像，每次的旋轉(zhuǎn)角度為360°/m，這里的m表示秘密圖像的個(gè)數(shù)。同時(shí)視覺恢復(fù)效果隨著高透光率的隨機(jī)網(wǎng)格的增加而增加。

圖1 文獻(xiàn)[16]的VSS方案

圖2 基于圓柱形隨機(jī)網(wǎng)格的視覺秘密共享示意圖

4 性能分析

4.1 定義

4.2 性質(zhì)

證畢

性質(zhì)3

(1)所提VSS方案中，堆疊任意的少于k個(gè)隨機(jī)網(wǎng)格得到的結(jié)果是無意義的，也不能揭示秘密圖像。

(2)堆疊后面的n ?k+2個(gè)隨機(jī)網(wǎng)格中，就可以漸進(jìn)地恢復(fù)SCk?1。最少的數(shù)量是 2 個(gè)。

證明：根據(jù)性質(zhì) 1 可知，對于每一個(gè)隨機(jī)網(wǎng)格是無意義的，那么再結(jié)合定義 3，堆疊少于k個(gè)影子圖像產(chǎn)生的圖形是無意義的。

在不失一般性的情況下，假設(shè)堆疊圖像是SCk?1,SCk。具體到一個(gè)像素上，假設(shè)秘密像素是白色，對應(yīng)的n ?k+2位置上的像素是相同的，那么出現(xiàn)黑色像素的概率是1/n ?k+2，出現(xiàn)白色像素的概率是(n ?k+1)/(n ?k+2)。因此透光率是l[SCk?1(0)?SCk(0)] =l[SCk?1(0)]=l[SCk(0)]=(n ?k+1)/(n ?k+2)。

假設(shè)秘密像素是黑色，則把n ?k+2個(gè)網(wǎng)格上對應(yīng)的位置的像素編碼為一個(gè)黑色，n ?k+1個(gè)白色像素。因此通過性質(zhì) 2，l[SCk?1(1)?SCk(1)]=l[SCk?1(1)]=l[SCk(1)]=(n ?k+2?2)/(n ?k+2)=(n ?k)/(n ?k+2)。

綜上，可以得到此時(shí)恢復(fù)的網(wǎng)格圖像對應(yīng)的黑白像素點(diǎn)的概率不再相等，也就是可以 “恢復(fù)”出SCk?1，注意這里的SCk?1是前面由SC0和秘密圖像Sα得到的那個(gè)網(wǎng)格圖像，而不是份額SCk?1。

根據(jù)分析可以看出，同時(shí)隨著堆疊數(shù)量的增加，恢復(fù)的效果漸進(jìn)地“恢復(fù)”出SCk?1。證畢

性質(zhì)4

堆疊多于或等于k個(gè)隨機(jī)網(wǎng)格就可以通過旋轉(zhuǎn)的方式逐個(gè)恢復(fù)原始秘密圖像。同時(shí)視覺恢復(fù)效果隨著高透光率的隨機(jī)網(wǎng)格的增加而增加。

分析：如果堆疊k個(gè)隨機(jī)網(wǎng)格，應(yīng)該堆疊前k ?2個(gè)低透光率的隨機(jī)網(wǎng)格SC1,SC2,...,SCk?2和任意兩個(gè)高透光率的隨機(jī)網(wǎng)格，才可以恰好恢復(fù)秘密圖像?；謴?fù)的時(shí)候首先把他們分別堆疊，即低透光率的隨機(jī)網(wǎng)格是一組，高透光率的是另一組。然后通過旋轉(zhuǎn)任意一組的結(jié)果可以逐個(gè)地恢復(fù)出秘密圖像。

如果再增加隨機(jī)網(wǎng)格，那么增加的也就是高透光率的隨機(jī)網(wǎng)格。此時(shí)根據(jù)性質(zhì)3可以知道第2組的結(jié)果會逐漸地得到完整的SCk?1。那么恢復(fù)的視覺質(zhì)量也會隨之提高。

5 仿真結(jié)果

本文的仿真環(huán)境是：CPU為AMD的Ryzen系列3600，主頻為3.6 GHz。RAM為3200 MHz，16 GB。操作系統(tǒng)是Windows10-64 bit。軟件是IDEA 2020。語言是JAVA。對方案進(jìn)行實(shí)現(xiàn)，結(jié)果如下：

5.1 單秘密的(2,2)方案[15]

本文采用尺寸為256×256大小的二值圖像為秘密圖像，圖3(b)和圖3(c)為生成的兩個(gè)尺寸相同的份額，兩個(gè)份額均看起來是隨機(jī)的，沒有泄露關(guān)于原始秘密圖像的任何信息。通過堆疊這兩個(gè)份額，恢復(fù)出秘密圖像圖3(d)。

5.2 單秘密的(3,3)方案[15]

圖4(a)為秘密圖像，圖4(b)-圖4(d)為生成的3個(gè)份額。圖4(e)-圖4(g)為堆疊兩個(gè)份額所得到的結(jié)果。圖4(h)為堆疊3個(gè)份額所得到的圖像，通過人的視覺系統(tǒng)會得到原始秘密圖像中的信息。但恢復(fù)質(zhì)量對比5.1節(jié)要差一些，說明生成的份額越多，在恢復(fù)的時(shí)候質(zhì)量越差。同時(shí)還可以看到如果堆疊任意少于3(此時(shí)的門限)個(gè)數(shù)量的份額，不會得到關(guān)于原始秘密圖像的任何信息。

圖3 當(dāng)2個(gè)份額時(shí)，對文獻(xiàn)[15]的仿真結(jié)果

圖4 當(dāng)3個(gè)份額時(shí)，對文獻(xiàn)[15]的仿真結(jié)果

5.3 兩個(gè)秘密圖像的(4,4)和(5,5)方案[19]

本文選擇兩幅尺寸均為256×256的圖像作為秘密圖像，分別對文獻(xiàn)[19]中的(4,4)和(5,5)方案進(jìn)行代碼實(shí)現(xiàn)，疊加的結(jié)果為圖5(c)和圖5(d)?？梢园l(fā)現(xiàn)隨著份額數(shù)量的增加，恢復(fù)的質(zhì)量是逐漸下降的。

通過代碼實(shí)驗(yàn)，可以計(jì)算出此時(shí)對于(5,5)方案中恢復(fù)出的第1個(gè)秘密圖像的正確率約為0.15。

5.4 本文的兩個(gè)秘密圖像的(3,5)方案仿真

從仿真結(jié)果可以看到(圖6)

(1) 存在兩種透光率的份額；

(2) 任何一個(gè)份額都不泄露關(guān)于秘密圖像的任何信息；

(3) 隨著份額的疊加，恢復(fù)質(zhì)量也在提高；

(4) 同樣的份額數(shù)量，使用本文的方案所恢復(fù)的結(jié)果明顯優(yōu)于文獻(xiàn)[19]。

通過仿真實(shí)驗(yàn)，可以計(jì)算出本文方案中堆疊5個(gè)份額所得到的圖像，即圖6(g)，正確率為0.35。

5.5 更多的對比圖像

為了更詳細(xì)地說明所提方案的優(yōu)勢，本文選取了一些更一般性的圖像和方案[19]進(jìn)行對比，結(jié)論如表2。

如圖7，這里的圖像從左到右分別是第1組的秘密圖像1和秘密圖像2；第2組的秘密圖像1和秘密圖像2；第3組的秘密圖像1和秘密圖像2。

結(jié)論是在同一組的兩個(gè)秘密圖像對比，根據(jù)算法生成份額圖像，然后疊加得到恢復(fù)圖像。

在對每一組圖像進(jìn)行多次仿真后，任意選取了對第1張秘密圖像的疊加結(jié)果如圖8所示。

圖5 對文獻(xiàn)[19]的仿真結(jié)果

圖6 對本文方案的仿真結(jié)果

圖7 3組對比圖像

表2 (k,n)方案對比

圖8 恢復(fù)圖像

這里的圖像從上到下分別是3組實(shí)驗(yàn)圖像的疊加結(jié)果。第1行從左到右的6幅圖像分別是采用文獻(xiàn)[19]中(3,3)方案、(5,5)方案、本文的(3,3)方案、本文的(3,5)方案堆疊任意3個(gè)份額、本文的(3,5)方案堆疊任意4個(gè)份額和本文的(3,5)方案堆疊所有5個(gè)份額所得到的結(jié)果。類似地，第2行和第3行的6幅圖像也是對應(yīng)方案得到的結(jié)果。顯然，在相同份額下，本文的結(jié)果優(yōu)于對比方案，且恢復(fù)秘密圖像的視覺質(zhì)量隨著疊加份額數(shù)量的增加而提高。

6 結(jié)束語

本文提出了一種基于圓柱形隨機(jī)網(wǎng)格的視覺秘密共享。相比于一般的隨機(jī)網(wǎng)格方案存在如下優(yōu)勢：(1)更好的安全性，當(dāng)攻擊者對獲得的份額數(shù)量少于當(dāng)前的門限值，無法獲得關(guān)于秘密信息的任何信息；(2)對秘密恢復(fù)的漸進(jìn)性，恢復(fù)秘密圖像的視覺質(zhì)量隨著疊加份額數(shù)量的增加而提高；(3)可以實(shí)現(xiàn)多個(gè)秘密共享，提高了編碼秘密圖像的效率。通過對大量圖像多次仿真，發(fā)現(xiàn)同一組圖像隨著份額疊加的正確率并不是遞增或遞減的，即正確率和最終的恢復(fù)效果不是完全的正相關(guān)。仿真結(jié)果還表明本文的方案優(yōu)于同類的對比方案，正確率在一定條件下可以比同類方案高出 1 倍。由于可視加密中，秘密恢復(fù)的好壞是通過視覺觀察，在白色透明的區(qū)域?qū)τ谌庋凼菬o關(guān)信息，但是在計(jì)算正確率的時(shí)候是把這些區(qū)域計(jì)算進(jìn)去的，因此導(dǎo)致了正確率和視覺恢復(fù)效果不是正相關(guān)。下一步的工作主要集中于如何消除份額透光率不一致的問題，即份額的透光率不一致可能導(dǎo)致秘密圖像信息泄露問題。雖然攻擊者無法從份額獲得秘密圖像的任何信息，但是通過透光率可以獲得該圖像可能和秘密圖像有關(guān)，從而導(dǎo)致秘密圖像的 1 bit信息泄露。視覺友好的圖像秘密共享或許是解決問題的一種途徑。