基于參數(shù)激勵(lì)的兩自由度耦合MEMS諧振式陀螺

呂路婧，李 崇，綦聲波

（中國(guó)海洋大學(xué) 工程學(xué)院，山東 青島 266100）

MEMS諧振式陀螺是一種測(cè)量旋轉(zhuǎn)的慣性傳感器，與傳統(tǒng)陀螺儀相比，MEMS硅微陀螺儀具有體積小、重量輕、功耗低、可靠性高、成本低等眾多優(yōu)點(diǎn)，可以更加廣泛地應(yīng)用于消費(fèi)電子、汽車電子以及國(guó)防科技等領(lǐng)域，因此在過(guò)去的幾十年中引起了業(yè)界的廣泛關(guān)注，但是也存在一些不容忽視的問(wèn)題。

首先，振動(dòng)陀螺儀利用諧振器的兩個(gè)正交模態(tài)之間的科里奧利力耦合，以達(dá)到檢測(cè)旋轉(zhuǎn)速率的目的。檢測(cè)模態(tài)要求最大限度地提高檢測(cè)電極的信噪比。通常，是在驅(qū)動(dòng)模態(tài)上施加頻率與固有頻率相同的強(qiáng)迫信號(hào)來(lái)產(chǎn)生振動(dòng)的。然而在低旋轉(zhuǎn)速率時(shí)，科里奧利力較小，檢測(cè)模態(tài)的振幅比驅(qū)動(dòng)模態(tài)小1～2 個(gè)數(shù)量級(jí)。為了提高信噪比，需要提高強(qiáng)迫信號(hào)的振幅以使單位力的響應(yīng)幅度最大化。其次，電容驅(qū)動(dòng)及檢測(cè)方法被用于許多陀螺儀的設(shè)計(jì)，但由于寄生電容存在，驅(qū)動(dòng)信號(hào)的電“饋通”到檢測(cè)電極，污染檢測(cè)信號(hào)，因此會(huì)限制陀螺儀的靈敏度。最后，過(guò)程和材料的變化不可避免地導(dǎo)致兩個(gè)正交模態(tài)之間的頻率失調(diào)，從而減少了能量的轉(zhuǎn)移。此外，在調(diào)諧陀螺儀設(shè)計(jì)中，因?yàn)轵?qū)動(dòng)信號(hào)和檢測(cè)信號(hào)具有相同頻率，對(duì)任何被污染的信號(hào)進(jìn)行電子濾波都是比較困難的。振動(dòng)式MEMS 陀螺系統(tǒng)存在的這些不足促使著研究人員尋找一種更好的激勵(lì)方法。

自參數(shù)激勵(lì)法首次在1886 年被Rayleigh Baron、Hill 等[1]提出后，引起了學(xué)界廣泛的研究。直到最近十幾年，國(guó)內(nèi)外的研究學(xué)者才將參數(shù)激勵(lì)應(yīng)用于MEMS陀螺儀中。2005年至2010年，英國(guó)紐卡斯大學(xué)將參數(shù)激勵(lì)應(yīng)用于MEMS諧振式陀螺儀，并發(fā)表多篇論文[2–6]分析參數(shù)激勵(lì)與外部強(qiáng)迫激勵(lì)組合共振對(duì)驅(qū)動(dòng)響應(yīng)的增益效果；2011年，不列顛哥倫比亞大學(xué)[7]報(bào)道了MEMS陀螺儀中使用參數(shù)激勵(lì)的放大和阻尼效應(yīng)，驗(yàn)證了通過(guò)調(diào)節(jié)驅(qū)動(dòng)力和參數(shù)激勵(lì)之間的相位差，可以實(shí)現(xiàn)信號(hào)放大或不理想信號(hào)分量的衰減以及減少正交誤差；2013 年，伊朗Ali Pakniyat和Hassan Salarieh兩人研究了具有參數(shù)激勵(lì)的固有頻率匹配和失配的MEMS陀螺系統(tǒng)，數(shù)學(xué)模型為Duffing方程與Mathieu方程相結(jié)合的形式。結(jié)果表明，參數(shù)激勵(lì)能夠?yàn)轭l率失配模式下的MEMS陀螺儀提供較高的精度和魯棒性[8]。2015 年，埃及梅努菲亞大學(xué)、沙特阿拉伯泰夫大學(xué)等[9]研究了具有線性和非線性參數(shù)激勵(lì)的兩自由度耦合的MEMS 陀螺儀振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)、能量傳遞和控制。

根據(jù)以往的研究，對(duì)參數(shù)激勵(lì)的MEMS 陀螺系統(tǒng)的分析大多基于只有一個(gè)自由度的主模態(tài)（驅(qū)動(dòng)模態(tài)）的數(shù)學(xué)模型，或者有兩個(gè)自由度但卻只有參數(shù)激勵(lì)而無(wú)外部強(qiáng)迫激勵(lì)的情況。而同時(shí)具有參數(shù)激勵(lì)與強(qiáng)迫激勵(lì)的兩自由度耦合的模型卻鮮有提出。在設(shè)計(jì)參數(shù)激勵(lì)方法時(shí)，應(yīng)考慮模態(tài)耦合，因?yàn)橛嘘P(guān)的相互作用可能會(huì)大大改變機(jī)械器件的性能[10]。因此，本文研究在參數(shù)激勵(lì)和外部強(qiáng)迫激勵(lì)共同作用下兩模態(tài)耦合的諧振式MEMS陀螺系統(tǒng)，給出系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型并采用多尺度法進(jìn)行攝動(dòng)分析，最后在龍格-庫(kù)塔法與牛頓迭代法進(jìn)行數(shù)值求解的基礎(chǔ)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真，分析耦合項(xiàng)對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)的影響，最后驗(yàn)證參數(shù)激勵(lì)對(duì)振動(dòng)響應(yīng)的放大作用。

1 MEMS陀螺系統(tǒng)工作原理及模型

1.1 工作原理與理想情況模型

振動(dòng)陀螺儀是基于圖1所示的科里奧利力來(lái)工作的。進(jìn)行直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)體中會(huì)因慣性而產(chǎn)生偏轉(zhuǎn)，相對(duì)于旋轉(zhuǎn)體，運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線。可以認(rèn)為有一個(gè)力存在，正是這個(gè)力使質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡發(fā)生了改變，這個(gè)假想力即為科里奧利力。

圖1 科里奧利效應(yīng)

諧振式MEMS 陀螺儀的理想模型如圖2所示，其力學(xué)模型可以看作一個(gè)兩自由度的彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)。在此系統(tǒng)中，傳感器的一個(gè)模態(tài)表現(xiàn)為受外部強(qiáng)迫激勵(lì)（一般為正弦信號(hào)，如圖2中的Fx）總是沿一個(gè)方向振動(dòng)，稱為驅(qū)動(dòng)模態(tài)，如圖2中的x軸；當(dāng)傳感器外部存在繞z軸旋轉(zhuǎn)的角速率ΩZ時(shí)，另一個(gè)模態(tài)表現(xiàn)為產(chǎn)生的科里奧利力Fcy會(huì)在一個(gè)或多個(gè)方向上引起振動(dòng)，稱為檢測(cè)模態(tài)，如圖2中的y軸。通過(guò)檢測(cè)振動(dòng)的大小即可求出旋轉(zhuǎn)角速率。

圖2 振動(dòng)式微陀螺理想模型

假設(shè)沿x軸方向?yàn)轵?qū)動(dòng)模態(tài)，沿y軸方向?yàn)闄z測(cè)模態(tài)。理想情況下，由于內(nèi)部結(jié)構(gòu)的高度對(duì)稱性，可認(rèn)為兩模態(tài)的質(zhì)量m、阻尼系數(shù)c以及彈簧系數(shù)k均相同。此時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程如下：

其中：‘*’表示無(wú)量綱前的實(shí)際值；m，k，c分別表示質(zhì)量、剛度、阻尼系數(shù)；x*，y*為兩個(gè)方向的位移；Fx為外部強(qiáng)迫力；Ω*Z為外部旋轉(zhuǎn)角速率；2mΩ*Z為科里奧利力。

x軸的振蕩主要由該方向上的靜電力Fx提供。y軸方向的振動(dòng)則主要由系統(tǒng)繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的科里奧利力2mΩ*Z引起。

1.2 含有參數(shù)激勵(lì)的非理想情況模型

在實(shí)際情況中，由于材料和工藝等都是在微尺度上加工制造，所以旋轉(zhuǎn)部件在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中面臨著許多問(wèn)題。例如，由于設(shè)備中缺乏完美的對(duì)稱性，可能產(chǎn)生非理想彈簧力；或者由于系統(tǒng)中結(jié)構(gòu)阻尼等各種物理原因?qū)е履芰吭趹伊褐g傳輸而造成損失。所以陀螺系統(tǒng)的實(shí)際模型如圖3所示，系統(tǒng)中兩個(gè)模態(tài)的剛度和阻尼均不相同且存在交叉耦合。

圖3 振動(dòng)式微陀螺非理想模型

參數(shù)激勵(lì)諧振器是指至少有一個(gè)物理參數(shù)(即質(zhì)量、阻尼或剛度)在時(shí)間上周期性變化，導(dǎo)致振動(dòng)系統(tǒng)達(dá)到諧振狀態(tài)并且動(dòng)態(tài)響應(yīng)具有特殊的性質(zhì)[11]。當(dāng)參數(shù)輸入是周期性變化的彈簧剛度時(shí)，運(yùn)動(dòng)可以由方程（2）描述：

其中：m，kx、ky，cx、cy分別為質(zhì)量、剛度、阻尼系數(shù)；cxy、kxy分別為耦合阻尼系數(shù)與耦合剛度系數(shù)；x*·f*cosΩ*代表參數(shù)激勵(lì)項(xiàng)；P*cosω*為外部強(qiáng)迫力；2mΩZ*為科里奧利力。

2 陀螺兩自由度方程攝動(dòng)法分析

2.1 方程無(wú)量綱化

經(jīng)整理后得到陀螺系統(tǒng)無(wú)量綱方程式如下：

2.2 多尺度攝動(dòng)法分析

由于多尺度攝動(dòng)法對(duì)線性或非線性系統(tǒng)均適用，求解結(jié)果更為精確，尤其對(duì)阻尼系統(tǒng)的處理也更為方便，因此采用多尺度法對(duì)方程式（3）進(jìn)行求解。引入小參數(shù)ε，設(shè)方程式（3）解的形式為：

其中：T0=t,T1=εt…，并且定義微分因子：

及參數(shù)尺度：

將式（4）、式（5）、式（6）代入方程式（3）并且使ε的同冪系數(shù)為零可得：

設(shè)方程（7）的解形式為：

其中：cc代表前一項(xiàng)的復(fù)數(shù)共軛，將式（9）代入式（8）中得：

將兩個(gè)模態(tài)的振幅分別寫為極坐標(biāo)形式：A1 =，a、b、β均是關(guān)于尺度時(shí)間T1的函數(shù)。

根據(jù)共振的概念[12]，我們主要關(guān)注的是外部共振中的主共振和主參數(shù)共振以及1:1內(nèi)部共振，因此可以將系統(tǒng)中各頻率的關(guān)系用以下方式表達(dá)：（1）對(duì)于內(nèi)部共振，應(yīng)滿足ω1≈ω2，引入失調(diào)參數(shù)σ后寫成ω2=ω1+εσ；（2）對(duì)于主共振，發(fā)生在ω≈ω1，引入失調(diào)參數(shù)σ1后寫成ω=ω1+εσ1；（3）對(duì)于主參數(shù)共振，令Ω=2ω，則參數(shù)激勵(lì)頻率可以寫成Ω=2ω1+2εσ1。將以上頻率代入方程式（10）、式（11），消除長(zhǎng)期周期項(xiàng)，得到可解條件為：

σ1T1-β1=γ1,(σ1-σ)T1-β2=γ2

2σ1T1-2β1=2γ1,β1-β2-σT1=γ2-γ1

化簡(jiǎn)并分離實(shí)部虛部得：

由參數(shù)激勵(lì)產(chǎn)生的能量輸入系統(tǒng)中會(huì)引起響應(yīng)振幅的增加，理論上是無(wú)限大的，但是系統(tǒng)中的阻尼會(huì)限制振幅的繼續(xù)增加，穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)發(fā)生在能量輸入的速率恰好等于耗散的速率。在這種情況下滿足，此時(shí)得到方程式（17）至式（20）：

因此可以通過(guò)數(shù)值求解方程式（17）至式（20）得到參數(shù)激勵(lì)和強(qiáng)迫振動(dòng)共同作用下的頻率響應(yīng)曲線。

2.3 參數(shù)激勵(lì)閾值

在實(shí)際情況下，參數(shù)激勵(lì)振幅f的取值并不是無(wú)限增大的。f在某一范圍，響應(yīng)振幅是穩(wěn)定震蕩的，但若超出穩(wěn)定的閾值則會(huì)使響應(yīng)發(fā)散，從而進(jìn)入不穩(wěn)定區(qū)。因此需要對(duì)參數(shù)激勵(lì)振幅的閾值進(jìn)行分析。由方程式（17）至式（20）整理可得：

當(dāng)外部旋轉(zhuǎn)ΩZ=0 時(shí)，可以得到參數(shù)激勵(lì)振幅的閾值為：

從式（22）可以看出，參數(shù)激勵(lì)的閾值不僅與系統(tǒng)模態(tài)本身的阻尼c1、c2有關(guān)，而且與耦合阻尼c12及耦合剛度k12也有關(guān)。

3 數(shù)值仿真及結(jié)果分析

3.1 數(shù)值求解

參考典型的陀螺設(shè)計(jì)，本文進(jìn)行驗(yàn)證所采用的陀螺參數(shù)如表1所示。仿真環(huán)境為Mathworks MATLAB R2017b。

表1 MEMS陀螺系統(tǒng)物理參數(shù)

采用四階龍格-庫(kù)塔法和牛頓迭代法分別對(duì)方程組（13）至式（16）、式（17）至式（20）進(jìn)行數(shù)值求解，以研究各參數(shù)對(duì)驅(qū)動(dòng)模態(tài)和檢測(cè)模態(tài)的時(shí)域響應(yīng)及頻域響應(yīng)的影響。

3.2 頻率響應(yīng)結(jié)果分析

通過(guò)牛頓迭代法求解方程式（17）至式（20）可以得到幅頻響應(yīng)曲線。方程中小參數(shù)選擇為ε=0.01，初始無(wú)量綱耦合系數(shù)k12和c12分別取驅(qū)動(dòng)模態(tài)本身的10%，即c12=0.1c1，k12=0.1k1。其他無(wú)量綱參數(shù)選擇如下：外部強(qiáng)迫力振幅為p=0.015，令外部角速度輸入ΩZ=0,模態(tài)間頻率失諧參數(shù)為σ=0.5（由ω1=1，ω2=ω1+εσ，此時(shí)ω2=1.005）。

首先研究參數(shù)激勵(lì)作用的影響，頻率響應(yīng)曲線如圖4所示。

圖4 參數(shù)激勵(lì)影響下的幅頻響應(yīng)曲線

為了說(shuō)明有參數(shù)激勵(lì)與沒(méi)有參數(shù)激勵(lì)兩種情況下的結(jié)果，設(shè)置了圖4（a）與圖4（b）兩組數(shù)據(jù)。其中圖4（a）是沒(méi)有參數(shù)激勵(lì)只有外部強(qiáng)迫力的情況，即無(wú)量綱振幅f=0，p=0.015，圖4（b）為其他參數(shù)不變，加入?yún)?shù)激勵(lì)力，使其振幅為f=0.01。從兩幅圖的對(duì)比可以看出，在模態(tài)間頻率失匹配情況下，加入?yún)?shù)激勵(lì)后會(huì)導(dǎo)致驅(qū)動(dòng)模態(tài)與檢測(cè)模態(tài)響應(yīng)振幅的增大，并且在σ1=0 處（根據(jù)ω=ω1+εσ1，外部強(qiáng)迫力頻率與驅(qū)動(dòng)模態(tài)頻率相同，即ω=ω1）產(chǎn)生主共振，響應(yīng)最大；當(dāng)σ1=0.5時(shí)，外部強(qiáng)迫力頻率等于檢測(cè)模態(tài)的頻率，即ω=ω2，也會(huì)使檢測(cè)模態(tài)在此處產(chǎn)生共振。

圖4（c）考慮參數(shù)激勵(lì)作用處于穩(wěn)定區(qū)的情況，在圖4（b）的基礎(chǔ)上稍微將參數(shù)激勵(lì)振幅增大至f=0.012。圖4（b）與圖4（c）對(duì)比說(shuō)明，在參數(shù)激勵(lì)振幅較小，處于穩(wěn)定區(qū)時(shí)，激勵(lì)的效果并不明顯，響應(yīng)振幅變化很小。

圖4（d）和圖4（e）則考慮逼近非穩(wěn)定區(qū)的情況，仍然保持強(qiáng)迫振幅不變而將參激振幅分別取為f=0.02 和f=0.022。和處于穩(wěn)定區(qū)的變化相對(duì)而言，圖4（d）與圖4（e）雖然激勵(lì)振幅也變化了0.002，但隨著參數(shù)激勵(lì)振幅增大將要接近不穩(wěn)定的閾值時(shí)，激勵(lì)作用增強(qiáng)，響應(yīng)振幅變化明顯。

圖5主要探究了低轉(zhuǎn)速下兩個(gè)正交模態(tài)之間的相互耦合作用對(duì)頻率響應(yīng)的影響，令外部旋轉(zhuǎn)角速度為ΩZ=0.001。

圖5（a）為既沒(méi)有耦合項(xiàng)也沒(méi)有參數(shù)激勵(lì)項(xiàng)的情況，即f=0，c12=k12=0。由于此時(shí)接近理想情況，兩個(gè)模態(tài)諧振頻率幾乎相等，所以模態(tài)頻率失調(diào)參數(shù)設(shè)置為σ=0.1（即ω2=1.000 1），此外令強(qiáng)迫振幅p=0.015。從圖中可以看出：在沒(méi)有耦合項(xiàng)的情況下，共振產(chǎn)生的位置也與圖4相同，即系統(tǒng)會(huì)在強(qiáng)迫頻率等于驅(qū)動(dòng)模態(tài)固有頻率（即ω=ω1）處產(chǎn)生主共振，并且當(dāng)強(qiáng)迫頻率失調(diào)至等于檢測(cè)模態(tài)頻率時(shí)，也會(huì)使檢測(cè)模態(tài)產(chǎn)生共振。但相比圖4（a）可以發(fā)現(xiàn)，在沒(méi)有耦合項(xiàng)時(shí)，驅(qū)動(dòng)模態(tài)振幅增大，檢測(cè)模態(tài)振幅減小。

為了說(shuō)明耦合剛度產(chǎn)生的影響，在圖5（b）中將耦合項(xiàng)系數(shù)設(shè)置為c12=0.1c1，k12=0.1k1，其他與圖5（a）相同，而圖5（c）則保持其他參數(shù)不變，只將耦合剛度增大至k12=0.2k1?？梢园l(fā)現(xiàn)，隨著耦合剛度的增大會(huì)使強(qiáng)迫頻率在驅(qū)動(dòng)模態(tài)固有頻率附近向左偏移時(shí)（圖（b）在σ1=-0.02 處，圖（c）在σ1=-0.06 處）產(chǎn)生共振，并且會(huì)在此時(shí)使驅(qū)動(dòng)模態(tài)振幅不斷減小，檢測(cè)模態(tài)振幅不斷增大；而其在檢測(cè)模態(tài)固有頻率

圖5 耦合項(xiàng)影響下的幅頻響應(yīng)曲線

附近向右偏移同樣的量時(shí)（圖（b）在σ1=0.12處，圖（c）在σ1=0.16 處）也產(chǎn)生共振，而且會(huì)使驅(qū)動(dòng)模態(tài)和檢測(cè)模態(tài)的振幅均增大。

為了探究耦合阻尼的影響，在圖5（c）的基礎(chǔ)上將耦合阻尼增大至c12=0.5c1，其他參數(shù)不變，如圖5（d）所示?？梢钥闯?，耦合阻尼的增大，會(huì)使強(qiáng)迫頻率在驅(qū)動(dòng)模態(tài)固有頻率附近時(shí)，兩個(gè)模態(tài)的振幅均增強(qiáng)，而在檢測(cè)模態(tài)固有頻率附近時(shí)兩個(gè)模態(tài)的振幅均減弱。

為了說(shuō)明在耦合阻尼與耦合剛度同時(shí)存在的不理想情況下，加入?yún)?shù)激勵(lì)后的作用，因此在圖5（d）的基礎(chǔ)上加入了參數(shù)激勵(lì)項(xiàng)，見圖5（e），振幅取值為f=0.01。圖5（e）說(shuō)明，參數(shù)激勵(lì)會(huì)同時(shí)放大兩個(gè)模態(tài)的響應(yīng)振幅，但參數(shù)激勵(lì)振幅的加入?yún)s不能調(diào)整由耦合剛度引起的共振頻率偏移。

3.3 時(shí)域響應(yīng)結(jié)果分析

通過(guò)數(shù)值求解方程式（13）至式（16），可以得到如圖6所示的時(shí)域響應(yīng)曲線，其結(jié)果與圖4、圖5的頻率響應(yīng)曲線吻合。

圖6（a）為無(wú)耦合項(xiàng)的情況，且也沒(méi)有參數(shù)激勵(lì)，只有諧波強(qiáng)迫單獨(dú)作用于陀螺驅(qū)動(dòng)模態(tài)。此時(shí)，取σ=0.1，σ1=0，ΩZ=0.001，c12=k12=0，f=0，p=0.015。從圖中可以看出，在模態(tài)間無(wú)耦合作用并且兩個(gè)模態(tài)固有頻率幾乎完全相同（σ=0.1 時(shí)，ω2=1.000 1≈ω1=1）的理想情況下，陀螺系統(tǒng)在σ1=0處產(chǎn)生了主共振，并且兩個(gè)模態(tài)的響應(yīng)振幅相差兩個(gè)數(shù)量級(jí)。

圖6（b）保持其他參數(shù)不變只加入耦合項(xiàng)，其中耦合阻尼c12=0.1c1，耦合剛度k12=0.1k1。圖6（c）在圖6（b）的基礎(chǔ)上，只改變了強(qiáng)迫頻率失調(diào)參數(shù)，使其為σ1=-0.02。從圖7（b）和圖7（c）中可以看到，當(dāng)兩個(gè)模態(tài)間存在阻尼耦合與剛度耦合時(shí)，在σ1=0處只存在較小的振動(dòng)，并沒(méi)有產(chǎn)生共振，而在σ1=-0.02時(shí)產(chǎn)生了共振，并且由于耦合作用，造成驅(qū)動(dòng)模態(tài)共振時(shí)振幅減小，檢測(cè)模態(tài)振幅增大，導(dǎo)致兩個(gè)模態(tài)數(shù)量級(jí)拉近。說(shuō)明耦合項(xiàng)的加入會(huì)使主共振頻率發(fā)生偏移以及會(huì)對(duì)響應(yīng)振幅產(chǎn)生影響。

圖6（d）補(bǔ)充說(shuō)明了共振頻率偏移與響應(yīng)振幅變化到底是由何種耦合引起的。在圖6（d）中單獨(dú)增大耦合阻尼至c12=0.5c1，其他參數(shù)同圖6（c）。圖6（d）與圖6（c）對(duì)比說(shuō)明，共振頻率的偏移是由耦合剛度引起，耦合阻尼的增大并沒(méi)有引起共振頻率偏移，只是會(huì)使共振振幅稍微增大，而耦合剛度是引起兩個(gè)模態(tài)共振幅值差距縮小的主要原因。

圖6 不同參數(shù)下的時(shí)域響應(yīng)曲線

圖6（e）與圖6（f）則是考慮存在耦合因素的非理想情況下，在系統(tǒng)中加入?yún)?shù)激勵(lì)作用后的效果，只是激勵(lì)強(qiáng)度不同。圖6（e）中f=0.002，圖6（f）中f=0.01，其他參數(shù)同圖6（d）。圖6（d）、圖6（e）、圖6（f）對(duì)比可以看出，參數(shù)激勵(lì)確實(shí)會(huì)放大響應(yīng)振幅，并且在一定范圍內(nèi)呈非線性作用且效果明顯。但只調(diào)節(jié)參激振幅并不能改變由耦合剛度引起的共振頻率偏移。

圖7是將圖6中的穩(wěn)態(tài)部分放大后看到的曲線，說(shuō)明系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解是周期函數(shù)，MEMS 諧振器產(chǎn)生周期振動(dòng)。

圖7 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)曲線

3.4 耦合項(xiàng)對(duì)參數(shù)激勵(lì)振幅閾值的影響

給定參數(shù)ΩZ=0，σ=0.5，p=0.015，進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，找出使兩個(gè)模態(tài)振幅開始趨于非線性放大時(shí)的參激振幅，研究耦合系數(shù)對(duì)參數(shù)激勵(lì)振幅閾值的影響，結(jié)果如表2所示。

表2 耦合項(xiàng)系數(shù)變化對(duì)參數(shù)激勵(lì)振幅閾值的影響

在表2中，1～5組數(shù)據(jù)為保持耦合阻尼不變，單獨(dú)增大耦合剛度，此時(shí)會(huì)造成共振頻率偏移，從而導(dǎo)致在不同的耦合剛度下共振頻率各不相同，且耦合剛度對(duì)參激振幅閾值影響無(wú)規(guī)律可言，有時(shí)使其增大，有時(shí)使其減小，但總體來(lái)說(shuō)對(duì)閾值的影響較小；而對(duì)于非共振點(diǎn)處（如σ1=0或σ1=0.1），耦合剛度增加會(huì)大幅提升參激振幅閾值。6～9組數(shù)據(jù)為保持耦合剛度不變，單獨(dú)增大耦合阻尼，此時(shí)共振頻率不會(huì)發(fā)生偏移，而且對(duì)于共振點(diǎn)和非共振點(diǎn)來(lái)說(shuō)，耦合阻尼的增大對(duì)參激振幅的閾值影響均很小。10～12組數(shù)據(jù)為耦合剛度與耦合阻尼同時(shí)增大的情況，產(chǎn)生的作用依然會(huì)導(dǎo)致共振頻率改變且會(huì)使非共振點(diǎn)處的參激振幅閾值大幅提升。

4 結(jié)語(yǔ)

本文主要研究了諧振式MEMS 陀螺系統(tǒng)，建立了參數(shù)激勵(lì)與強(qiáng)迫力共同作用下的兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，并在模型中考慮了由于各種不利因素產(chǎn)生的耦合作用項(xiàng)。通過(guò)多尺度攝動(dòng)法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析推導(dǎo)，并采用牛頓迭代法與四階龍格庫(kù)塔法進(jìn)行數(shù)值求解和仿真試驗(yàn)，驗(yàn)證了參數(shù)激勵(lì)的放大作用，此外針對(duì)耦合項(xiàng)得出以下結(jié)論：

（1）耦合剛度的增大能夠造成主共振頻率向左偏移，即在強(qiáng)迫頻率小于驅(qū)動(dòng)模態(tài)固有頻率的情況下產(chǎn)生共振，并且會(huì)使共振時(shí)驅(qū)動(dòng)模態(tài)振幅減小，檢測(cè)模態(tài)振幅增大。此時(shí)若忽視了耦合剛度的存在，仍以驅(qū)動(dòng)模態(tài)固有頻率強(qiáng)迫共振的話，檢測(cè)到的振幅并不是共振下的情況，而且信號(hào)也會(huì)很弱和不準(zhǔn)確；但如果采取優(yōu)化控制器、反饋調(diào)頻等措施，善加利用這種現(xiàn)象則會(huì)有利于提高信噪比和降低系統(tǒng)功耗。

（2）耦合阻尼的增大，會(huì)使強(qiáng)迫頻率在驅(qū)動(dòng)模態(tài)固有頻率附近時(shí)，兩個(gè)模態(tài)的振幅均增強(qiáng)，而在檢測(cè)模態(tài)固有頻率附近時(shí)兩個(gè)模態(tài)的振幅均減弱。

（3）參數(shù)激勵(lì)的閾值決定著穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性，而耦合剛度和耦合阻尼對(duì)參數(shù)激勵(lì)的閾值均有影響，但耦合剛度的影響更明顯一些。

綜上所述，耦合剛度與耦合阻尼存在于系統(tǒng)中，會(huì)導(dǎo)致模態(tài)間能量的傳遞。對(duì)于含有耦合項(xiàng)的參數(shù)激勵(lì)與強(qiáng)迫激勵(lì)共同作用下的兩自由度陀螺系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)特性是比較復(fù)雜的。為了更全面地進(jìn)行分析，建議下一步首先建立更加完善的數(shù)學(xué)模型，如在現(xiàn)有模型的基礎(chǔ)上發(fā)展非線性耦合或者檢測(cè)模態(tài)的參數(shù)激勵(lì)，并且采用除了多尺度分析法、數(shù)值求解法之外的新方法分析系統(tǒng)，從而更好地分析系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性；其次，在MEMS陀螺的設(shè)計(jì)過(guò)程中，除了在工藝上考慮材料選擇、機(jī)械加工、電路設(shè)計(jì)等因素外，由于溫度和壓力會(huì)改變穩(wěn)定-不穩(wěn)定邊界的位置，導(dǎo)致放大效果顯著降低，因此還應(yīng)該采取措施消除環(huán)境擾動(dòng)，如優(yōu)化閉環(huán)控制回路，以提高參數(shù)放大的穩(wěn)定性和放大效果。