內(nèi)共振對斜拉索面內(nèi)瞬時相頻特性的影響

楊汝東，孫測世，鄧正科

（重慶交通大學(xué)土木工程學(xué)院，重慶 400074）

引言

斜拉橋已經(jīng)成為最流行的橋梁類型之一，特別是在跨越寬闊的河流或山谷時。據(jù)不完全統(tǒng)計，世界范圍內(nèi)已建成158座主跨在400 m 及以上的斜拉橋，而我國就有97座，全球在建及擬建的主跨400 m 以上斜拉橋約60 余座，其中超過70%在中國［1］。然而，由于索的輕柔性以及低阻尼性，且隨著跨度的增大，索的整體剛度顯著降低，因此在環(huán)境激勵下會產(chǎn)生不同機理的振動［2-5］，引起各種危害。克羅地亞Dubrovnik 斜拉橋拉索2次發(fā)生嚴(yán)重的振動，多根長索出現(xiàn)約180°的相位差（反相）從而引發(fā)了碰撞［6］。我國楊浦大橋、法國布魯東橋、泰國Rama IX橋、日本名港西大橋等橋的拉索也均曾發(fā)生碰撞［7］。這種相鄰索之間的碰撞可造成PE護(hù)套破裂，雨罩損壞，高強螺栓斷裂等多種破壞［2-3］。

碰撞的原因：一是索在環(huán)境激勵下產(chǎn)生較大幅值的振動；二是索振動有較大相位差。因此，研究相頻特性是深入了解這類問題的關(guān)鍵之一。在單模態(tài)方面，Bossens 等［8］進(jìn)行了大尺寸的主動控制模型試驗，發(fā)現(xiàn)給予拉索的主動端部振動與拉索索力的相位差也隨激勵頻率變化。Liu等［9］建立斜拉索的非線性運動方程，研究了超長跨徑斜拉橋的拉索在軸向激勵下的穩(wěn)定性及其面內(nèi)參數(shù)振動的特性，探明了相位受外部激勵幅值和頻率的影響，相頻曲線與幅頻曲線具有相同的跳躍特性。在多模態(tài)方面，結(jié)構(gòu)不同模態(tài)之間的相位差也與激勵頻率有關(guān)［10-12］。文獻(xiàn)［13］通過斜拉橋全橋模型試驗驗證了當(dāng)激勵頻率達(dá)到一定值時，多根索發(fā)生大幅振動，相鄰索的振動間均存在一定相位差，導(dǎo)致鄰索之間產(chǎn)生碰撞。趙珧冰等［14］通過考慮4組垂跨比及4 種溫度變化工況下探究了懸索受多頻激勵組合聯(lián)合共振響應(yīng)特性及其受溫度變化的影響，證明了聯(lián)合共振響應(yīng)相位與溫度變化密切相關(guān)。

以上研究表明，相位差的產(chǎn)生與激勵頻率有關(guān)。然而，目前各項研究中的響應(yīng)相位均是指線性解中的相移值，并未考慮漂移項和倍頻成分對相位的影響。同時，內(nèi)共振是索結(jié)構(gòu)中極為常見的振動現(xiàn)象，故文中主要研究1：1 內(nèi)共振對拉索面內(nèi)主共振響應(yīng)與激勵的瞬時相位差的變化特性及其成因影響，分析了面外引起的漂移項和兩倍頻成分對瞬時相位差的影響規(guī)律，研究了瞬時相位差在不同索力下的變化規(guī)律。

1 力學(xué)模型及控制方程

圖1 給出兩端鉸接且受面內(nèi)分布外激勵的斜拉索簡化模型，并建立如圖1 所示直角坐標(biāo)系。O為坐標(biāo)原點，x為斜拉索弦線方向、y為索面內(nèi)垂直弦線的方向、z為側(cè)向（即面外），x、y、z方向?qū)?yīng)位移分別用u、w、v表示。為了體現(xiàn)問題的本質(zhì)作如下假設(shè)：（1）斜拉索的抗彎剛度足夠地小以至于可以忽略不計；（2）斜拉索只承受拉力；（3）斜拉索在振動過程中的軸向應(yīng)變足夠?。唬?）只考慮幾何非線性，而不考慮其它非線性。

圖1 分布面內(nèi)外激勵下斜拉索振動簡化模型Fig.1 Simplified vibration model of stay cable under distributed in-plane excitation

考慮拉索初始垂度與幾何非線性，通過利用Hamilton 原理得到面內(nèi)分布外激勵下斜拉索非線性振動力學(xué)方程［15］：

式中：m為拉索單位長度質(zhì)量；cu，cw和cv分別為u，w和v方向的阻尼系數(shù)；T為拉索索力；E為拉索彈性模量；A為拉索截面面積；（）＇表示對x導(dǎo)數(shù)；y為拉索的靜態(tài)構(gòu)型，其方程為：

設(shè)拉索以擬靜態(tài)方式進(jìn)行軸向振動，略去高階無窮小量，拉索無量綱控制方程如下：

式（3a）、式（3b）和采用的無量綱變換有：

為了方便書寫，式中（3a）和式（3b）省去了“*”號。

2 多尺度求解

2.1 離散化模型

在分布外激勵作用下，拉索振動位移被認(rèn)為是純模態(tài)振動，因此令：

取面內(nèi)振型函數(shù)為［16］：

式中：ε=mglsinθ/T；h為附加索力軸向分力。

面外振型函數(shù)為：

利用Galerkin方法得到：

2.2 攝動分析

2.2.1 不計入內(nèi)共振

一般情況下，斜拉索高階頻率出現(xiàn)較少，由式（8a）進(jìn)行退化，可得僅在面內(nèi)分布外激勵作用下面內(nèi)一階無量綱離散運動方程：

基于多尺度法對式（9）求得近似解，從而引入無量綱小參數(shù)ε，設(shè)q=εq，A1=ε3A1。并取阻尼系數(shù)項和面內(nèi)激勵項為O（ε2）階，并設(shè)解的形式為：

式中，Tn=εnt（n=0，1，2，3，…），將式（10）代入式（9），并按照ε的冪次進(jìn)行整理，可以得到下列方程：

此時幅頻響應(yīng)方程的表達(dá)式為：

對應(yīng)的斜拉索面內(nèi)振動近似解為：

2.2.2 計入面內(nèi)外1∶1內(nèi)共振

在式（3a）和式（3b）的基礎(chǔ)上同樣引入面內(nèi)分布外激勵，可得僅在分布面內(nèi)外激勵作用下面內(nèi)外一階耦合無量綱離散運動方程：

并引入無量綱小參數(shù)ε，設(shè)qw=εqw，qv=εqv，Awi=ε3Awi，Avi=ε3Avi。并取阻尼系數(shù)項和面內(nèi)激勵項為O（ε2）階，并設(shè)解的形式為：

同樣將式（16a）和式（16b）代入式（15a）和式（15b）中，并按照ε的冪次進(jìn)行整理，可以得到下列方程：

3 算例分析與討論

3.1 響應(yīng)對比

在下面進(jìn)行結(jié)果分析和討論過程中，選取Pont de Normandie橋［18］的典型索參數(shù)進(jìn)行研究，其基本參數(shù)如表1所示。

表1 斜拉橋典型索參數(shù)Table 1 Typical cable parameters of cable stayed bridge

考慮拉索需滿足小變形假設(shè)，即垂跨比小于0.1，故取索力范圍為［6 900 kN，10 000 kN］。因此在面內(nèi)分布外激勵條件下，通過獨立改變拉索的索力T，并采用雅可比矩陣法對方程（13）和方程（18）進(jìn)行求解，同時利用MATLAB 軟件進(jìn)行數(shù)值分析，從而得出每個索力下的幅頻曲線圖。文中以索力7 000 kN 為例，給出其幅頻曲線如圖2所示。

圖2 幅頻曲線Fig.2 Frequency-response curves

圖2 中（a）描述了根據(jù)頻響方程計算出的索不計入內(nèi)共振時面內(nèi)振動的幅頻曲線，圖2 中（b）描述了根據(jù)方程組計算出的索計入內(nèi)共振時的幅頻曲線，圖2（a）和（b）中粗實線表示面內(nèi)穩(wěn)定，粗虛線表示面內(nèi)不穩(wěn)定，細(xì)實線表示面外穩(wěn)定，細(xì)虛線表示面外不穩(wěn)定，并且響應(yīng)僅考慮面內(nèi)外的一階對稱模態(tài)幅值。由圖2（a）和（b）中對比可以看出，位于幅頻曲線a點時，2種振動只含有面內(nèi)響應(yīng)；在b點時，計入內(nèi)共振的幅頻曲線出現(xiàn)了面外振動，且面內(nèi)振動響應(yīng)未達(dá)到跳躍點；在c 點時，2 種振動的幅頻曲線中的面內(nèi)響應(yīng)都已超過跳躍點，且計內(nèi)共振時的幅頻曲線仍存有面外振動響應(yīng)。綜上所述，不計內(nèi)共振時的面內(nèi)主共振響應(yīng)和計內(nèi)共振時的面內(nèi)主共振響應(yīng)在不同的點處存在差異。因此為了研究內(nèi)共振對拉索瞬時相頻特性的影響，需要對幅頻曲線圖（2）中a、b、c這3點分別進(jìn)行分析。

把圖2 中a、b、c這3 個點所代表的值代入式（14）和式（20a）中得到不同索力下的時程曲線，以索力7 000 kN 為例，給出時程曲線圖，如圖3 所示。

圖3 時程曲線對比圖Fig.3 Comparison of time history curves

由圖3的時程曲線圖可知，在a點位置處，不計入內(nèi)共振的面內(nèi)振動響應(yīng)時程曲線和計入內(nèi)共振的面內(nèi)振動響應(yīng)時程曲線基本重合；在b點和c點位置處，計入內(nèi)共振時面內(nèi)振動響應(yīng)的時程曲線和不計入內(nèi)共振時面內(nèi)振動相比都有一定程度的向下偏移，但c點處時程曲線的線型發(fā)生了較大的變化。由此可以看出，式（20a）中的面外振動引起的2倍頻項和漂移項對面內(nèi)時程曲線都有一定程度的影響，前者會改變時程曲線的線型，后者引起時程曲線向下偏移。因此可以推測瞬時相頻特性受內(nèi)共振的影響在3個點位置處亦有較大區(qū)別。

3.2 響應(yīng)與激勵的瞬時相位差

將未計入內(nèi)共振的面內(nèi)振動響應(yīng)和計入內(nèi)共振的面內(nèi)振動響應(yīng)以及面內(nèi)分布外激勵三者的時程曲線，分別進(jìn)行Hilbert變換得到其瞬時相位，再把2種振動產(chǎn)生的響應(yīng)瞬時相位分別與激勵瞬時相位做差，分別得到兩者響應(yīng)與激勵的瞬時相位差值?？紤]差值在［-π，π］間變化，為便于分析和比較，故定義兩者相位差的歸一化參數(shù)：

式中：ΔPw為拉索未計入內(nèi)共振面內(nèi)振動響應(yīng)瞬時相位與激勵瞬時相位之差；ΔPwv為拉索計入內(nèi)共振面內(nèi)振動響應(yīng)瞬時相位與激勵瞬時相位之差，以7 000 kN 索力為例，繪制a、b、c 這3 處無量綱瞬時相位差的時程曲線，如圖4所示。

圖4 相位差時程曲線對比圖Fig.4 Comparison of phase difference time history curves

由圖4可知，Pw和Pwv兩者的時程曲線在3個點處都呈現(xiàn)周期性。在a點處，Pw和Pwv兩者的時程曲線基本一致；在b和c點處，Pwv的時程曲線和Pw的時程曲線相比，都有一定程度的向上偏移。在b點處，兩者的線型基本一致，但在c點處，Pwv的時程曲線的線型發(fā)生了較大的變化，從而使得無量綱相位差達(dá)到最大0.858。由此也可以看出內(nèi)共振對拉索的瞬時相位差有較大的影響。

因此，為了便于進(jìn)一步對Pw和Pwv進(jìn)行研究，后續(xù)分別選取兩者最大幅值Pwmax和Pwvmax進(jìn)行分析，用以討論未計入內(nèi)共振的面內(nèi)振動和計入內(nèi)共振的面內(nèi)振動在不同索力下兩者的瞬時相頻特性的影響規(guī)律。在索力［6 900 kN，10 000 kN］范圍內(nèi)，取變化間隔為100 kN，從而提取不同索力T下的相位差時程曲線在同一個周期內(nèi)的最大幅值Pwmax和Pwvmax，并且繪制出a、b、c這3點處Pw和Pwv兩者的最大幅值隨索力T變化的曲線圖，如圖5所示。

圖5 Pwmax、Pwvmax隨T的變化曲線圖Fig.5 Curves of Pwmax and Pwvmax varying with T

由圖5 可知，當(dāng)響應(yīng)處于a點時，Pwmax和Pwvmax隨T變化的趨勢一致，且兩者幅值相差較??；當(dāng)響應(yīng)處于b點時，Pwmax和Pwvmax都隨著T增大而減小，在6 900 kN 處兩者最大值分別為0.21 和0.29；當(dāng)響應(yīng)處于c點時，Pwmax和Pwvmax也都隨著T增大而減小，在6 900 kN處兩者最大值分別為0.43和0.90，兩者的差值達(dá)到最大。由此可知，無論響應(yīng)處于a、b、c哪個點時，Pwmax和Pwvmax隨著索力變化引起的變化趨勢基本相同，但在b、c兩點時，計內(nèi)共振時最大相位差都要大于未計內(nèi)共振時的最大相位差，且在c點處兩者差值最大。

3.3 成因分析

為了解這種差異產(chǎn)生的成因，把a、b、c這3 點處時程曲線進(jìn)行Hilbert 變換后求出的q(t)和～(t)（qw(t)和w(t)）分別作為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，可繪制截取7 000 kN 索力幅頻曲線a、c處的三維曲線中一個振動周期在復(fù)平面上的投影曲線對其進(jìn)一步分析，且復(fù)平面投影曲線中曲線上任一點到原點的連線與橫坐標(biāo)正方向的夾角為該點的瞬時相位。

由圖6中（a）和（c）兩圖相比可知，在a點處，計入內(nèi)共振時面內(nèi)響應(yīng)的投影曲線線型為圓形，受到漂移項和兩倍頻的影響很小，且結(jié)合圖4 可知在a點處計內(nèi)共振時的復(fù)平面圖中響應(yīng)與激勵的無量綱相位差達(dá)到最大時的時刻為21.4；在c點處，計入內(nèi)共振時，投影曲線線型受兩倍頻的影響變成非圓形，且整體向左偏移，結(jié)合圖4 可知此狀態(tài)下復(fù)平面中響應(yīng)與激勵的無量綱相位差達(dá)到最大時的時刻為24.2。由圖6 中（b）和（c）兩圖對比可知，在c點處，計入內(nèi)共振后，響應(yīng)投影曲線向左偏移變大，使得響應(yīng)曲線整體平移至二三象限，因此響應(yīng)與激勵的相位差會接近π。由此可見，相位差的變化與面內(nèi)引起漂移項有關(guān)，同時也受有內(nèi)共振時面外引起的漂移項的影響。同時受兩倍頻的影響響應(yīng)投影曲線在1/2 周期處出現(xiàn)向右的凹角，但未影響到響應(yīng)瞬時相位大小發(fā)生改變。由此可知，凹角僅影響Pw和Pwv兩者時程曲線的線型，不改變Pwmax和Pwvmax數(shù)值大小，但考慮內(nèi)共振時，面外引起的兩倍頻會使凹角變大。

圖6 復(fù)平面投影曲線Fig.6 Projection curvesin complex plane

可見Pw和Pwv的變化主要取決于漂移項，同時當(dāng)計入內(nèi)共振時，面外引起的漂移項會增大面內(nèi)響應(yīng)的整體漂移值，從而使得相位差發(fā)生變化。因此為了解內(nèi)共振中面外引起的漂移項對其的影響關(guān)系，進(jìn)一步展開定性分析。

3.4 漂移項影響的定性分析

由式（14）和式（20a）相比可知，考慮內(nèi)共振時，面內(nèi)振動響應(yīng)近似解中不僅存在面內(nèi)引起的漂移項，還存在面外引起的漂移項。又結(jié)合圖6中（b）和（c）可知，考慮內(nèi)共振時，近似解中面外引起漂移項對拉索的相頻特性影響較大。為此，通過將面內(nèi)外振動引起的漂移項都分離出來進(jìn)行分析，令式中（20a）面內(nèi)、外振動引起的漂移項分別為：

式中：Kw為面內(nèi)引起的漂移項；Kwv為面外引起的漂移項，同時繪制c點處Kw、Kwv隨T的變化曲線圖，如圖7所示。

圖7 Kw、Kwv隨T的變化曲線圖Fig.7 Curves of Kw and Kwvvarying with T

由圖7可以看出，Kw和Kwv曲線變化趨勢與圖5中c點處曲線變化趨勢一致，在索力［6 900 kN，10 000 kN］范圍內(nèi)，Kw和Kwv均隨著索力的增大而減小，且在6 900 kN索力處兩者均達(dá)到最大。由此可見，當(dāng)考慮內(nèi)共振時，面外引起的漂移項需要著重進(jìn)一步分析面外引起的漂移項在整體漂移項中的占比，故令面外引起的漂移項在整體漂移項所占比為：

由式（23）可知β與C1、C2、a2以及a3有關(guān)，且四者都與索力和激勵頻率有關(guān)，因此繪制出β隨T和調(diào)諧參數(shù)σ2變化的三維曲面，如圖8（a）所示，同時分別繪制其在σ2和T兩個軸方向的曲線圖如圖8（b）和（c）所示。

圖8 β隨T和調(diào)諧參數(shù)σ2變化的曲線Fig.8 Curves of β varying with T and σ2

由圖8（a）和（b）可知，當(dāng)激勵頻率沒有引起內(nèi)共振時，β一直為零值。此時，面內(nèi)響應(yīng)與激勵的瞬時相位差只受面內(nèi)漂移項的影響；當(dāng)發(fā)生內(nèi)共振時，β值先急劇增大到一定程度后變?yōu)榫徛龃?，最后變?yōu)槠骄徻呌谝粋€定值。同時根據(jù)公式（23）知，β值的大小與面內(nèi)響應(yīng)幅值a2和面外響應(yīng)幅值a3的大小有關(guān)，結(jié)合圖2（b）可知，隨著激勵頻率的增大，面內(nèi)外響應(yīng)幅值都在增大，由此可以推斷當(dāng)激勵頻率到達(dá)一定程度，面內(nèi)外響應(yīng)幅值的比值趨于一個定值。由此可知，發(fā)生內(nèi)共振時，面內(nèi)響應(yīng)與激勵的瞬時相位差還受到面外振動的漂移項的影響。結(jié)合圖8（c）可知β值隨索力逐漸增大呈先增大后減小的趨勢。當(dāng)在d點（σ2=0.3，T=7 700 kN）時，β值達(dá)到最大值0.22。因此，內(nèi)共振的影響不容忽略。綜上所述，從定性的角度可以采用參數(shù)β衡量內(nèi)共振對響應(yīng)與激勵的瞬時相位差的影響，β越大其影響越大。

4 結(jié)語

（1）在特定區(qū)域內(nèi)，斜拉索索力的變化會引起響應(yīng)與激勵的瞬時相位差急劇變化，且考慮內(nèi)共振時這一影響更顯著。

（2）內(nèi)共振使面內(nèi)響應(yīng)近似解析解中存在由面外響應(yīng)引起的兩倍頻成分和漂移項。前者會改變面內(nèi)響應(yīng)時程曲線的形狀，使瞬時相位差稍有變化；后者會增大響應(yīng)時程曲線的偏移值，使瞬時相位差顯著變大。

（3）考慮內(nèi)共振時，面外響應(yīng)引起的漂移項在整體漂移項中的占比β是衡量內(nèi)共振影響程度的關(guān)鍵參數(shù)，該參數(shù)與面內(nèi)、外響應(yīng)幅值呈平方關(guān)系。