數(shù)學(xué)大師的獨(dú)特視角

林革

陳省身（1911～2004）是美籍華裔當(dāng)代著名數(shù)學(xué)家、中國科學(xué)院首批外籍院士，被稱為20世紀(jì)最偉大的幾何學(xué)家之一. 國際數(shù)學(xué)聯(lián)盟特別設(shè)立的“陳省身獎(jiǎng)”是國際數(shù)學(xué)界最高級(jí)別的終身成就獎(jiǎng). 陳省身心系祖國，晚年致力于推進(jìn)中國數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展，經(jīng)常去高校和研究所講學(xué)，被譽(yù)為“中國年輕數(shù)學(xué)學(xué)子的總教練”.

1980 年，陳省身到北京大學(xué)做學(xué)術(shù)報(bào)告. 報(bào)告一開場他便出驚人之語：“人們常說三角形的內(nèi)角和等于180°， 我認(rèn)為這種說法不妥！”頓時(shí)全場嘩然，這個(gè)數(shù)學(xué)定論是連小學(xué)生都知道的常識(shí)，怎會(huì)錯(cuò)誤？大家簡直不敢相信自己的耳朵，“真的假的？是陳教授口誤，還是自己聽錯(cuò)了？”

這時(shí)，陳省身笑著擺擺手說道：“我說‘三角形的內(nèi)角和等于180°’不妥，不是說這個(gè)事實(shí)是錯(cuò)誤的，而是說人們看待這個(gè)結(jié)論的方式不對(duì)，實(shí)際應(yīng)該說‘三角形的外角和等于360°. ” “既然三角形的內(nèi)角和等于180°不錯(cuò)，為何要強(qiáng)調(diào)外角和等于360°呢？”聽眾們不禁暗自嘀咕.

早有預(yù)料的陳省身解釋道：“數(shù)學(xué)中經(jīng)常需要?dú)w納總結(jié)一些規(guī)律，那么規(guī)律的普遍性就顯得尤為重要. 三角形的三個(gè)內(nèi)角和是180°，雖然也是規(guī)律，但呈動(dòng)態(tài)特征. 也就是說，推廣到多邊形的內(nèi)角和就產(chǎn)生變化，比如：四邊形的內(nèi)角和是 360°，五邊形的內(nèi)角和是540°，六邊形的內(nèi)角和是720°……n邊形的內(nèi)角和是（n - 2）× 180°. 但是，稍加觀察大家就會(huì)直觀發(fā)現(xiàn)，三角形的外角和是（180° + 180° + 180°）- 180° = 360°，四邊形的外角和是（180° + 180° + 180° + 180°） - 360° = 360°，五邊形的外角和也是（180° + 180° + 180° + 180° + 180°） - 540° = 360°，六邊形的外角和仍是（180° + 180° + 180° + 180° + 180° + 180°） - 720° = 360°……可以歸納出，任意多邊形的外角和都是 360°. 這個(gè)結(jié)論不僅概括了所有情形，而且用一個(gè)與 n 無關(guān)的常數(shù)代替與 n 有關(guān)的計(jì)算公式，顯然更具一般性和普遍性. ”聽眾們這才恍悟驚人之語的話外之音.

陳省身趁熱打鐵，隨手畫了張示意圖，繼續(xù)道：“這個(gè)靜態(tài)確定的規(guī)律，可以借用圖形直觀理解. 不妨假想一只螞蟻沿多邊形A1A2A3A4A5（如圖1）的邊界繞圈爬行，每次經(jīng)過一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，它都要改變?cè)局毙械姆较颍簿褪寝D(zhuǎn)過一個(gè)角度. 比如，開始從點(diǎn)A1出發(fā)時(shí)角度為α1，到了點(diǎn)A2就變成了α2，到了點(diǎn)A3就變成了α3……轉(zhuǎn)過的角度恰好是這個(gè)頂點(diǎn)處的外角度數(shù). 爬了一圈轉(zhuǎn)回到點(diǎn)A1，角度改變量之和（如圖2）當(dāng)然是一個(gè)周角360°，因此，多邊形的外角和為360°. ”

怎么樣？大師就是大師，想象奇特，眼光獨(dú)到，講解直白，分析通俗，果然令人耳目一新.

需要指出的是，陳省身一再強(qiáng)調(diào)的“外角和為360°”，此規(guī)則實(shí)際上適用于所有閉合曲線，只不過在表述時(shí)，要用“方向改變量”來代替多邊形的“外角和”而已. 最簡單、最極端的例子當(dāng)然是圓周.

設(shè)想螞蟻沿著一個(gè)圓周爬行. 這時(shí)，它爬行的方向隨時(shí)隨地在改變. 譬如，開始時(shí)，螞蟻在點(diǎn)A處逆時(shí)針爬行. 它開始時(shí)面朝東，然后到點(diǎn)B再到點(diǎn)C，如此漸漸地面朝東北、北、西北……最后回到點(diǎn)A時(shí)，螞蟻又面朝東，所以它的方向改變量為360°（如圖3）.

1944年，陳省身找到了一般曲面上封閉曲線方向改變量總和的公式，這就是“高斯—比內(nèi)—陳公式”，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展出“陳氏類”理論. 這個(gè)理論在物理領(lǐng)域有極為重要的應(yīng)用，被稱為劃時(shí)代的貢獻(xiàn)，而這個(gè)理論始于轉(zhuǎn)換視線——把注意力從內(nèi)角和轉(zhuǎn)到外角和.

數(shù)學(xué)家波萊爾說：“數(shù)學(xué)家的目的往往是尋求一般的解，他喜歡用幾個(gè)一般的公式來解決許多特殊的問題. ”即從眾所周知的事實(shí)出發(fā)，變換角度換向思考，深入挖掘出更具普遍性的深刻規(guī)律. 當(dāng)然，這需要透徹敏銳、獨(dú)特深刻的數(shù)學(xué)眼光和對(duì)真理窮追不舍、孜孜以求的執(zhí)著精神，上面的小故事應(yīng)該算是佐證.

（作者單位：揚(yáng)州職業(yè)大學(xué)）