基于特征值斜投影的主瓣干擾抑制方法

孟昊宇 楊小鵬，2 高 升 于智超

（1.北京理工大學信息與電子學院雷達技術(shù)研究所，北京 100081；2.北京理工大學重慶創(chuàng)新中心，重慶 401120）

1 引言

自適應波束形成技術(shù)是當下研究的熱門話題之一，它主要應用于天線、雷達、聲納、通訊、醫(yī)學傳感器等領(lǐng)域［1］。典型的傳統(tǒng)自適應波束形成算法，例如線性約束最小方差（LCMV，linearly constrained minimum-variance）準則自適應波束形成技術(shù)［2］、Capon濾波器［3］等常用于旁瓣干擾的抑制，有效地濾除旁瓣干擾的同時保持了目標信號的增益。但是隨著電磁頻段應用越來越豐富，電磁設(shè)備越來越多，干擾落入方向圖主瓣范圍內(nèi)的概率大大增加，此時由于主瓣干擾的存在，若利用抑制旁瓣干擾的傳統(tǒng)算法，會使天線的方向圖發(fā)生主瓣畸變，峰值偏移，旁瓣電平抬高，性能將嚴重下降［4］。為減少以上由于主瓣干擾存在而產(chǎn)生的影響，新型的用于抑制主瓣干擾的自適應波束形成技術(shù)研究變得愈發(fā)重要。文獻［5］中提出的基于特征投影預處理（EMP，eigenprojection processing）的自適應形成方法，該方法中主瓣干擾通過構(gòu)建特征投影矩陣進行抑制，得到的方向圖不再存在主瓣畸變，旁瓣電平抬高，但是仍然存在主瓣偏移［6］?；谔卣魍队邦A處理和協(xié)方差矩陣重構(gòu)（EMP-CMR，eigen-projection processing and covariance matrix reconstruction）的方法在文獻［7］中被提出，該方法在保留EMP 算法性能優(yōu)點的基礎(chǔ)上，經(jīng)過重構(gòu)接收快拍協(xié)方差矩陣，處理了EMP 中主瓣偏移的問題，但是由于在訓練信號中缺少目標信號［8］，因此實用性不強。文獻［9］中提出的主瓣干擾抑制算法是在大孔徑稀疏天線的背景下完成的，由于大孔徑稀疏陣列需要大空間擺放，因此在實際應用中，對于空間的要求過大，實用性較差。通過空域極化域聯(lián)合處理雖然可以抑制主瓣干擾［10］，此方法在抑制主瓣干擾時對信號的極性有要求，對于不滿足極性要求的信號，此方式不再適用。

針對上述方式存在的問題，本文以均勻線性陣列為例，在接收快拍信號中包含目標信號的情況下，通過構(gòu)建特征值斜投影預處理矩陣，抑制主瓣干擾，同時經(jīng)過對角加載的方式，對協(xié)方差矩陣完成白化處理，解決了協(xié)方差矩陣失配的問題，最終得到的算法自適應方向圖主瓣未發(fā)生畸變以及峰值偏離的問題，同時保持了較低的旁瓣電平。

2 陣列模型及傳統(tǒng)抑制主瓣干擾算法

2.1 陣列模型

考慮一個窄帶均勻線性陣列，由Z個全向性天線陣元等間距排列而成，天線陣元間的距離為d，其中d=λ/2，λ為雷達信號的波長。假設(shè)雷達被Q+1 個互相獨立的窄帶遠場信號照射，其中干擾信號和目標信號的信源數(shù)分別為Q和1，且滿足Q+1＜Z。當雷達各通道的接收噪聲是加性高斯白噪聲，且噪聲滿足均值為零、方差為σ2、各個通道間相互獨立時，天線陣列的接收信號可以表示為

式中，X(t)表示Z×1 維的雷達接收矢量，陣列流形矩陣表示為A(θ)=[a(θ0)，a(θ1)，…，a(θQ)]，a(θ0)表示目標信號的導向矢量，θ0表示目標信號的到達方位信息，a(θq)(q=1，…，Q)表示干擾的導向矢量，θq(q=1，…，Q)表示第q個干擾信號的到達方位信息，雷達接收信號的復包絡(luò)信息由(Q+1)×1維向量S(t)=[s0(t)，s1(t)，…，sQ(t)]T表示，s0(t)表示目標信號復包絡(luò)，sq(t)(q=1，…，Q)表示第q個干擾復包絡(luò)，N(t)表示Z×1 維的高斯白噪聲矢量。天線接收信號的協(xié)方差矩陣在接收到的信號與噪聲之間滿足統(tǒng)計意義上互相獨立的情況下可以表示為

其中Rs表示目標干擾協(xié)方差矩陣，I表示Z×Z維的單位矩陣。在實際中，因為雷達接收快拍數(shù)據(jù)有限，R無法被精確得到，所以常使用采樣協(xié)方差矩陣對接收信號的協(xié)方差矩陣進行估計。在接收信號快拍數(shù)為N的情況下采樣協(xié)方差矩陣可以表示為

典型的權(quán)矢量可以根據(jù)最小均方誤差準則（MMSE，minimum mean square error）得到

當干擾中存在一個主瓣干擾的情況下，陣列接收模型計算出的權(quán)向量所繪制的方向圖主瓣發(fā)生畸變，并且旁瓣電平被顯著抬高，致使抗干擾性能嚴重惡化。

2.2 基于特征投影預處理（EMP）的自適應波束形成算法

EMP 算法首先將特征值分解的處理方法應用于接收信號的協(xié)方差矩陣中

其中，接收信號采樣協(xié)方差矩陣的第z個特征值和特征向量分別由λz與uz表示，假定特征值滿足λ1≥…≥λQ≥λQ+1≥…≥λZ降序排列的標準，依據(jù)子空間理論，采樣協(xié)方差的特征向量張成的空間包含了子空間Us表示接收信號對應的空間以及子空間Un表示噪聲對應的空間。由自適應方向圖和特征值以及特征波束的關(guān)系，為盡可能降低主瓣干擾對方向圖的影響，需找到主瓣干擾對應的特征向量

其中，ξ表示一個常數(shù)因子，當特征向量umi滿足上式時，即可判斷其為主瓣干擾對應的特征向量，由此可以構(gòu)建特征投影矩陣BEMP為

其中I表示單位矩陣，將特征投影矩陣與接收信號相乘，即可得到抑制主瓣干擾的信號，處理過程為

則YEMP(t)為處理后的接收信號，此時主瓣干擾已被濾除，隨后對其進行傳統(tǒng)自適應波束形成算法處理，即可得到最終結(jié)果。雖然上述方法有效地抑制了主瓣干擾，但是式（6）中的常數(shù)因子ξ不容易確定，并且得到的波束方向圖面臨主瓣峰值偏移的問題。

2.3 基于特征投影及協(xié)方差矩陣重構(gòu)（EMPCMR）的自適應波束形成算法

為有效地解決上述EMP 算法存在的主瓣峰值偏離的問題，同時保留其算法對于主瓣干擾的抑制能力，學者提出了基于特征投影及協(xié)方差矩陣重構(gòu)的自適應波束形成算法，其與EMP 算法相比，EMPCMR 對主瓣干擾特征向量的判別方式進行了改進，增加了算法的可靠性。

首先定義兩個向量a1與a2的相關(guān)性為

依據(jù)式（9）計算主瓣峰值方向的導向矢量a(θ0)與干擾信號的特征向量uq(q=1，…，Q)的相關(guān)性，得到最大的相關(guān)系數(shù)即是主瓣干擾對應的特征向量umi，表示如下

除此之外，EMP-CMR 的方法在得到經(jīng)過特征投影矩陣預處理的接收信號以后，對采樣協(xié)方差矩陣進行重構(gòu)，重構(gòu)方式為將主瓣干擾的特征值替換為噪聲功率。

λmi為主瓣干擾對應的特征值，為消除噪聲擾動的影響，將采樣協(xié)方差中噪聲對應的特征值全部替換為噪聲功率值，即λQ+2=…=λZ=σ2，重構(gòu)后的協(xié)方差矩陣為

其中，U=[Us，Un]表示接收信號特征值分解后的特征向量，=diag[λ1，…，σ2，…，λQ+1，σ2，…，σ2]表示重構(gòu)后的特征值矩陣。

3 基于特征值斜投影的主瓣干擾抑制算法

EMP 雖然成功抑制了主瓣干擾，消除了主瓣畸變以及旁瓣電平的抬高，但是仍面臨峰值偏移的問題。EMP-CMR 雖然解決了EMP 中存在的問題，但是由于其預處理矩陣中未考慮目標信號的信息，因此接收快拍信號中存在目標信號的情況下，會出現(xiàn)目標信號相消的現(xiàn)象，進而導致主瓣峰值發(fā)生偏離。為解決此問題，本文提出了基于特征值斜投影的主瓣干擾抑制算法。

3.1 斜投影算子

考慮兩個列滿秩的矩陣Ξ和Ω組合成一個新的矩陣Ψ=[Ξ，Ω]，新組成的矩陣Ψ的列秩小于行數(shù)，且Ξ的列向量與Ω的列向量線性無關(guān)。依據(jù)斜投影的理論，沿著子空間Range(Ω)的平行方向，到子空間Range(Ξ)上的投影算子表示為

式中，O表示零矩陣，同理得到沿著子空間Range(Ξ)的平行方向，到子空間Range(Ω)上的投影算子EΩ|Ξ。依據(jù)正交投影理論，正交投影算子ΨΞΩ可以表示為

將矩陣進行分塊處理，并對分塊后的矩陣求逆，即可得到兩個列滿秩矩陣在合成矩陣上的正交補空間

3.2 特征值斜投影預處理

首先，將兩個列滿秩矩陣分別看作是主瓣干擾特征向量矩陣以及副瓣干擾特征向量與目標信號導向矢量矩陣，并進行特征斜投影矩陣的構(gòu)造，具體處理過程如下。

通過特征值分解，可以得到信號干擾張成的子空間，通過主瓣干擾特征向量的判別方式，我們得到一個子空間，其表示主瓣干擾并由主瓣干擾的特征向量張成，將其記為Umi=[umi]，其為列滿秩矩陣，可以將其視為3.1 中的矩陣Ω。因此可以得到主瓣干擾子空間的正交補空間可以表示為

同理，可以得到另外的一個子空間，其由副瓣干擾特征向量與目標信號導向矢量張成，將其記為表示副瓣干擾張成的子空間。為列滿秩矩陣，可以將其視為3.1中的矩陣Ξ，并由此計算斜投影算子EΞ|Ω，即可得到特征值斜投影預處理矩陣

最終，對接收信號進行特征值斜投影預處理，得到處理后的信號

由斜投影算子的性質(zhì)得知，處理后的信號主瓣干擾的影響已被剔除，同時保留了目標信號的信息。

3.3 自適應波束形成

對處理后的信號進行自適應波束形成算法，首先求其協(xié)方差矩陣，可以得到

由式（19）可以看出，處理后信號的協(xié)方差矩陣，噪聲項表示一個有色噪聲項，因此產(chǎn)生了協(xié)方差矩陣失配的情況，采用對角加載的方式消除協(xié)方差矩陣失配，即對處理后的信號協(xié)方差矩陣進行白化處理［11］，得到白化后的協(xié)方差矩陣為

在白化過程中需要對噪聲功率進行估計，估計方式為處理前信號張成的噪聲子空間對應的特征值的平均值。將白化處理后的協(xié)方差矩陣，帶入自適應波束形成準則，即可得到自適應權(quán)矢量為

通過上述方式可以在接收快拍數(shù)據(jù)中包含目標信號的情況下，有效地濾除主瓣干擾，同時減少了目標信號的損失。

4 仿真驗證

假設(shè)一個窄帶均勻線性陣列由16 個全向性陣元排列組成，陣元間距為雷達接收信號波長的一半，假設(shè)接收快拍信號中包含目標信號的個數(shù)為1，入射方向為0°，信噪比為0 dB。干擾個數(shù)為4，其中主瓣干擾，旁瓣干擾的個數(shù)分別為1 個、3 個，干擾分別從2°，-15°，20°，30°入射，由于16個陣元的均勻線陣3 dB主瓣寬度約為3.2°，因此2°的干擾落入主瓣內(nèi)，成為主瓣干擾，其余三個干擾為副瓣干擾。假設(shè)各個干擾之間，干擾與目標信號之間相互獨立，且主副瓣的干噪比分別為35 dB和45 dB。噪聲為加性高斯白噪聲，快拍數(shù)為100，得到的仿真結(jié)果如下。

圖1 表示EMP 方法形成的波束方向圖，圖2 表示了EMP-CMR 方法形成的波束方向圖，圖3 方向圖為本文算法繪制的方向圖，通過與靜態(tài)方向圖（QUI，quiescent）的對比可以看出，由仿真結(jié)果可以看到，EMP 和EMP-CMR 以及所提方法均可有效剔除主瓣干擾，主瓣未發(fā)生畸變并且保持較低的旁瓣電平。但是在接收信號中存在目標信號的情況下，EMP 和EMP-CMR 都存在一定程度的主瓣偏移，而所提方法主瓣未發(fā)生偏移。因此，所提方法的抗主瓣干擾性能優(yōu)于EMP和EMP-CMR方法。

圖4 在上述的參數(shù)背景下，對比了隨著雷達接收到的快拍數(shù)從小逐漸增加的情況下，理想輸出SINR（信干噪比，signal to interference plus noise ratio），本文算法輸出SINR，EMP-CMR 算法輸出SINR以及傳統(tǒng)自適應波束形成算法（ABF，adaptive beamforming）的輸出SINR 的情況?？炫臄?shù)由10 至100變化，可以看出相對于其余兩種算法，本文提出的算法具有更高的輸出SINR 且收斂速度更快，因此在接收快拍數(shù)據(jù)中存在目標信號的情況下，本文所提算法具有更優(yōu)越的性能。

圖5 在同樣的參數(shù)背景下，對比了ABF 算法，EMP-CMR 算法以及本文算法的輸出SINR 隨主瓣干擾角度變化的曲線。觀察曲線可以得出，當主瓣干擾角度不斷靠近目標信號時，主瓣干擾與目標信號的空間相關(guān)性增強，因此抑制主瓣干擾的過程中會造成目標信號的損失，導致輸出SINR 變小。當主瓣干擾角度與目標信號角度重合，即主瓣干擾角度為0°的情況下，二者的空間相關(guān)性達到最大，此時輸出SINR 最小。EMP-CMR 算法由于模型中未考慮目標信號，因此當主瓣干擾與目標信號空間相關(guān)性加強時，其輸出SINR 下降更為明顯。而本文所提算法由于一定程度上保留了目標信號的信息，因此無論主瓣干擾角度如何變化，算法始終保持各算法中的最高輸出SINR。

圖6中展示了ABF算法，EMP-CMR算法以及本文算法的輸出SINR 隨輸入SNR 變化的曲線。本文所提算法在輸出SNR 從0 到25 變化的過程中，輸出SINR先增加后減小，且相較于其余算法保持較高的輸出SINR水平。

5 結(jié)論

本文提出了一種基于特征值斜投影的主瓣干擾抑制算法。通過構(gòu)建特征值斜投影預處理矩陣，抑制了主瓣干擾并且減少了目標信號的損失，隨后通過對角加載的方法消除協(xié)方差矩陣失配的問題，對協(xié)方差矩陣實現(xiàn)白化處理。通過仿真發(fā)現(xiàn)，相比于已有方法，本文所提方法的方向圖未出現(xiàn)峰值偏移的問題且具有更優(yōu)的輸出信干噪比性能。