基于ARIMA-BP 組合模型的貨運(yùn)量預(yù)測(cè)研究

曹 慧，秦江濤

（上海理工大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200093）

0 引言

鐵路貨運(yùn)量在我國(guó)運(yùn)輸行業(yè)的發(fā)展中扮演著重要角色，能夠反映出我國(guó)交通運(yùn)輸行業(yè)現(xiàn)狀及國(guó)民經(jīng)濟(jì)發(fā)展情況，同時(shí)也存在因運(yùn)輸設(shè)備不足而不能滿(mǎn)足貨運(yùn)需求等問(wèn)題，面臨著公路、水路等其他運(yùn)輸方式的競(jìng)爭(zhēng)。鐵路相關(guān)部門(mén)需要制定靈活的運(yùn)輸計(jì)劃，優(yōu)化鐵路運(yùn)輸問(wèn)題改善競(jìng)爭(zhēng)局面，這就需要通過(guò)對(duì)貨運(yùn)量進(jìn)行預(yù)測(cè)，掌握一定時(shí)期的貨運(yùn)量以判斷我國(guó)鐵路貨運(yùn)發(fā)展趨勢(shì)和未來(lái)經(jīng)濟(jì)發(fā)展，制定相關(guān)計(jì)劃以解決問(wèn)題。

常用的貨運(yùn)量預(yù)測(cè)方法有很多，比如時(shí)間序列分析、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法、灰色預(yù)測(cè)等。時(shí)間序列分析是最常用的分析方法，其中ARIMA 最具代表性，對(duì)線性的數(shù)據(jù)具有較高的擬合度，而對(duì)于非線性的數(shù)據(jù)信息不能進(jìn)行很好的預(yù)測(cè)。通常情況下，時(shí)間序列數(shù)據(jù)包含線性和非線性部分，因此僅通過(guò)ARIMA 模型對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行線性預(yù)測(cè)，得到的結(jié)果往往不能滿(mǎn)足人的需求。BP、RNN、LSTM等神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法中應(yīng)用較為廣泛的為BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，廣泛應(yīng)用于股票、二手房、碳市場(chǎng)等領(lǐng)域，對(duì)于解決非線性時(shí)間序列問(wèn)題具有很好的效果，同時(shí)也具有過(guò)擬合、梯度消失、隱含層的選擇等問(wèn)題?；疑A(yù)測(cè)計(jì)算工作量小、預(yù)測(cè)精度高，但過(guò)于依賴(lài)初始值和背景值。

在上述預(yù)測(cè)方法中，大多數(shù)學(xué)者采用單一模型對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，比如孫斌等使用ARIMA 模型對(duì)極端事件下貨運(yùn)量進(jìn)行線性預(yù)測(cè)，發(fā)現(xiàn)ARIMA 模型貨運(yùn)量的線性部分具有較高的擬合；譚雪針對(duì)貨運(yùn)量具有高度非線性和不確定性的特點(diǎn)，運(yùn)用GRU 模型對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行單步和多步預(yù)測(cè)，結(jié)果表明GRU 可較好擬合貨運(yùn)量的非線性特征，但忽略了數(shù)據(jù)的線性特征。傳統(tǒng)單一模型主要是對(duì)于因果關(guān)系和時(shí)間序列模型分析無(wú)法提取較為全面的數(shù)據(jù)信息。隨著研究的深入，學(xué)者們開(kāi)始對(duì)組合模型進(jìn)行研究，例如梁寧等分析貨運(yùn)量與影響因素的非線性關(guān)系，使用GRA確定影響因素的權(quán)重，采用FOA 選擇SVM-mixed 的最優(yōu)參數(shù)，提高結(jié)果精確度；耿立艷等提出使用（FOA）算法優(yōu)化選擇混合核LSSVM 參數(shù)并應(yīng)用于貨運(yùn)量預(yù)測(cè)，相比使用單一LSSVM，精度得到了提高。在這些組合模型中，常見(jiàn)的是引進(jìn)一種算法優(yōu)化另一種算法的參數(shù)以提高精度，但參數(shù)過(guò)多可能會(huì)導(dǎo)致參數(shù)組合數(shù)量過(guò)多，同時(shí)忽略數(shù)據(jù)本身的線性和非線性的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，導(dǎo)致信息提取不全面、結(jié)果不理想。通過(guò)分析可知，鐵路貨運(yùn)量包含線性和非線性部分，本文選取對(duì)線性部分具有較高擬合度的ARIMA 模型和對(duì)非線性部分解決效果較好的BP 模型，并將其組合提出ARIMA -BP 加權(quán)組合模型和ARIMA -BP 殘差優(yōu)化組合模型，將貨運(yùn)量中線性與非線性部分進(jìn)行細(xì)化，充分提取數(shù)據(jù)信息，并應(yīng)用于鐵路貨運(yùn)量研究，進(jìn)行模型對(duì)比分析以探究方法的可行性。

1 理論模型

1.1 ARIMA 模型

ARIMA（p，d，q）模型即差分自回歸移動(dòng)平均模型，是時(shí)間序列分析方法中常用模型之一。AR 是自回歸，p 為自回歸項(xiàng)；MA 為移動(dòng)平均，q 為移動(dòng)平均項(xiàng)，d 為時(shí)間序列平穩(wěn)時(shí)所做的差分次數(shù)。此模型是根據(jù)歷史數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)未來(lái)數(shù)據(jù)，對(duì)數(shù)據(jù)的線性部分進(jìn)行較好擬合，但對(duì)于非線性部分的擬合效果欠佳。一般形式可表示為：

其中，X為當(dāng)前值，μ 為常數(shù)項(xiàng)，p 為自回歸項(xiàng)，γ是自相關(guān)系數(shù)，｛ε｝是殘差序列，q 是移動(dòng)平均項(xiàng)，θ是移動(dòng)平均項(xiàng)系數(shù)。

使用此模型對(duì)鐵路貨運(yùn)量進(jìn)行預(yù)測(cè)的基本程序?yàn)椋孩倥袛嘭涍\(yùn)量數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性，通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖，自相關(guān)（ACF）和偏自相關(guān)（PACF）函數(shù)圖以及ADF 單位根檢驗(yàn)，可知原始數(shù)據(jù)是否平穩(wěn)，若原始數(shù)據(jù)不平穩(wěn)，對(duì)其進(jìn)行差分；②模型定階，對(duì)ARIMA（p，d，q）模型定階，確定p、d、q 3個(gè)參數(shù)的值，對(duì)貨運(yùn)量的自相關(guān)（ACF）和偏自相關(guān)（PACF）圖進(jìn)行分析，初步判定參數(shù)，再根據(jù)信息準(zhǔn)則函數(shù)法AIC 準(zhǔn)則判定最優(yōu)的階數(shù)組合；③進(jìn)行模型擬合，得到模型參數(shù)，作殘差檢驗(yàn)，判斷是否為白噪聲，進(jìn)行模型預(yù)測(cè)。

上述步驟使用ARIMA 模型對(duì)鐵路貨運(yùn)量進(jìn)行線性部分建模分析，但忽略了貨運(yùn)量非線性部分，對(duì)數(shù)據(jù)信息提取不充分。

1.2 BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種前饋網(wǎng)絡(luò)，BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)包括三層，即輸入層、隱含層、輸出層。BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的傳遞過(guò)程主要分為正向傳播和反向傳播，正向傳播是從輸入層開(kāi)始經(jīng)過(guò)隱含層，最后到輸出層；如果輸出結(jié)果沒(méi)有達(dá)到預(yù)期，則進(jìn)行反向傳播，從輸出層開(kāi)始經(jīng)過(guò)隱含層，最后到輸入層，在此過(guò)程中主要使用梯度下降方法，依次調(diào)節(jié)隱含層到輸出層的權(quán)值，以及輸入層到隱含層的權(quán)值，使得預(yù)測(cè)值不斷逼近真實(shí)值。

BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的一般形式如下：

其中，X為輸入量，Y為輸出量，

ω

(

i

=1,2…

N

;

j

=1,2…

N

)為輸入層和隱含層之間的權(quán)值，

ω

(

k

=1,2…

N

)為隱含層和輸出層的權(quán)值，f和f為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的激活函數(shù)。

BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以很好地解決數(shù)據(jù)的非線性問(wèn)題，對(duì)于具有線性和非線性特點(diǎn)的鐵路貨運(yùn)量，BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以彌補(bǔ)ARIMA 建模過(guò)程中所忽略數(shù)據(jù)的非線性信息。

1.3 ARIMA-BP 組合模型

ARIMA 模型和BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)都具有各自?xún)?yōu)勢(shì)，但應(yīng)用單一模型得到的結(jié)果無(wú)法達(dá)到人們預(yù)期。因此，本文提出利用ARIMA-BP 組合模型對(duì)中國(guó)鐵路貨運(yùn)量進(jìn)行預(yù)測(cè)，使兩者優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)。分別對(duì)數(shù)據(jù)的線性部分和非線性部分進(jìn)行建模分析，從加權(quán)優(yōu)化和殘差優(yōu)化的角度進(jìn)行組合模型預(yù)測(cè)，并應(yīng)用于鐵路貨運(yùn)量預(yù)測(cè)研究。

1.3.1 ARIMA-BP 加權(quán)組合模型

利用ARIMA 和BP 分別對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，分別得到預(yù)測(cè)值，通過(guò)簡(jiǎn)單加權(quán)法對(duì)單一模型的預(yù)測(cè)值進(jìn)行加權(quán)處理?；舅枷霝閱我荒Ｐ皖A(yù)測(cè)結(jié)果誤差的方差越小，說(shuō)明該模型的預(yù)測(cè)精度越高，反之就越低。加權(quán)法的基本過(guò)程為：Y為實(shí)際的時(shí)間數(shù)據(jù)序列，ARIMA 模型得到預(yù)測(cè)值F，BP 模型得到預(yù)測(cè)值F，通過(guò)簡(jiǎn)單加權(quán)預(yù)測(cè)得到的貨運(yùn)量預(yù)測(cè)值F，ω和ω分別為ARIMA 和BP 模型在組合預(yù)測(cè)中的權(quán)重。因此，ARIMA-BP 加權(quán)組合模型的預(yù)測(cè)值可表示為：

1.3.2 ARIMA-BP 殘差優(yōu)化組合模型

殘差優(yōu)化是一種“誤差補(bǔ)償”的思想，第一種模型得到的預(yù)測(cè)值與真實(shí)值的誤差輸入到第二種模型進(jìn)行殘差優(yōu)化，使兩種單一模型充分發(fā)揮各自?xún)?yōu)勢(shì)，實(shí)現(xiàn)優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)。本文將其應(yīng)用于鐵路貨運(yùn)量研究中，假設(shè)鐵路貨運(yùn)量時(shí)間序列為Y，由線性部分與非線性?xún)刹糠纸M成，則ARIMA-BP 殘差優(yōu)化組合模型構(gòu)建步驟如下：

1.4 評(píng)價(jià)指標(biāo)

評(píng)價(jià)指標(biāo)使用平均絕對(duì)誤差MAE、平均絕對(duì)百分比誤差MAPE 和均方根誤差RMSE，為衡量模型精度的常用指標(biāo)，MAE、MAPE 和RMSE 越小，即誤差越小，模型預(yù)測(cè)精度就越高。每個(gè)指標(biāo)計(jì)算公式如下：

2 實(shí)證分析

本文選取中國(guó)鐵路貨運(yùn)量1980-2020 年的數(shù)據(jù)進(jìn)行建模分析，數(shù)據(jù)來(lái)源為國(guó)家統(tǒng)計(jì)局中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒。

2.1 ARIMA 模型預(yù)測(cè)

2.1.1 數(shù)據(jù)平穩(wěn)性判斷

判斷數(shù)據(jù)平穩(wěn)性，對(duì)鐵路貨運(yùn)量原始數(shù)據(jù)做序列圖，原始序列圖數(shù)據(jù)波動(dòng)較大，是不平穩(wěn)序列。本文選取差分的方法對(duì)其進(jìn)行平穩(wěn)化處理，得到一階差分序列圖P>0.05序列不平穩(wěn)，因此進(jìn)行二階差分，序列在零上下波動(dòng)，并且進(jìn)行單位根檢驗(yàn)可得t 統(tǒng)計(jì)量的值均小于3個(gè)顯著水平的單位根檢驗(yàn)的臨界值，p 值為0.000 0<0.05，說(shuō)明不存在單位根，是平穩(wěn)序列。

Table 1 Second-order difference ADF test results表1 二階差分ADF 檢驗(yàn)結(jié)果

2.1.2 模型定階

從上文可知，二階差分后序列平穩(wěn)，因此d=2。通過(guò)對(duì)序列二階差分的自相關(guān)（ACF）和偏自相關(guān)（PACF）圖進(jìn)行分析可以看出，自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)都在二階之后落入置信區(qū)間，因此判定所建模型為ARIMA（2，2，2）。

2.1.3 模型擬合

基于模型ARIMA（2，2，2）對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合得到模型參數(shù)，并且都通過(guò)了顯著性檢驗(yàn)，結(jié)果如表2 所示，由此可得ARIMA（2，2，2）模型。

Fig.1 First-order difference ACF and PACF diagrams圖1 一階差分ACF 圖及PACF 圖

Table 2 Parameter estimation results of ARIMA（2，2，2）model表2 ARIMA（2，2，2）模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果

2.1.4 殘差檢驗(yàn)

模型可行性判斷還需要進(jìn)行殘差檢驗(yàn)，通過(guò)對(duì)殘差的自相關(guān)和偏自相關(guān)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，p 值都大于0.05，說(shuō)明殘差部分不相關(guān)，模型擬合度較好，檢驗(yàn)通過(guò)模型可用于預(yù)測(cè)。

2.2 BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)

2.3 組合模型預(yù)測(cè)

BP 殘差優(yōu)化與上文通過(guò)BP 對(duì)鐵路貨運(yùn)量原始數(shù)據(jù)進(jìn)行建模訓(xùn)練過(guò)程一樣，通過(guò)ARIMA 模型預(yù)測(cè)，得到鐵路貨運(yùn)量真實(shí)值與預(yù)測(cè)值的殘差，通過(guò)BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練，得到殘差的預(yù)測(cè)值，將得到的殘差預(yù)測(cè)值與ARIMA 模型預(yù)測(cè)值相加，得到組合模型的預(yù)測(cè)結(jié)果。

2.4 模型結(jié)果分析

4 種模型的預(yù)測(cè)結(jié)果如圖2—圖5 所示。從單一模型看，ARIMA 和BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的變化趨勢(shì)總體保持一致，在2010 年以前預(yù)測(cè)結(jié)果和真實(shí)值擬合精度較高，而在2010 年以后，雖然變化趨勢(shì)一致，但預(yù)測(cè)結(jié)果和真實(shí)值相差較大。圖3 為ARIMA-BP 加權(quán)組合模型的預(yù)測(cè)結(jié)果，其結(jié)果比單一模型更接近真實(shí)值，2010 年以后的預(yù)測(cè)值與真實(shí)值的波動(dòng)程度也較小。從圖4 可以看出，ARIMA-BP 殘差優(yōu)化組合模型相比其他3 種模型整體精度更高，并且2016 年以后的預(yù)測(cè)值和真實(shí)值的曲線幾乎重合。

Fig.2 ARIMA prediction results圖2 ARIMA 預(yù)測(cè)結(jié)果

Fig.3 Prediction results of BP neural network圖3 BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)結(jié)果

Fig.4 ARIMA-BP weighted prediction results圖4 ARIMA -BP 加權(quán)預(yù)測(cè)結(jié)果

Fig.5 Optimized prediction results of ARIMA-BP residuals圖5 ARIMA -BP 殘差優(yōu)化預(yù)測(cè)結(jié)果

根據(jù)表3 比較4 種模型的評(píng)價(jià)指標(biāo)，兩種單一模型相比，預(yù)測(cè)結(jié)果相似，但ARIMA 比BP 的3 種評(píng)價(jià)指標(biāo)低224.33、0.05%、500.08；兩個(gè)組合模型和兩個(gè)單一模型相比，組合模型的表現(xiàn)效果都比單一模型的表現(xiàn)效果好；兩個(gè)組合模型相比，ARIMA-BP 殘差優(yōu)化模型預(yù)測(cè)精度最高、誤差較小，MAE MAPE RMSE分別為5135.90、0.0209、8462.49，比另一種加權(quán)組合模型的3 種評(píng)價(jià)指標(biāo)低1 286.04、0.23%、812.77。

整體來(lái)看，4 種模型在鐵路貨運(yùn)量預(yù)測(cè)方面的表現(xiàn)都較好，MAPE 的值都保持在5%以?xún)?nèi)，而殘差優(yōu)化的組合模型精度最高、誤差最小。

Table 3 Evaluation indexes of the model表3 模型的評(píng)價(jià)指標(biāo)

3 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)鐵路貨運(yùn)量的年度歷史數(shù)據(jù)及其本身特點(diǎn)，使用時(shí)間序列及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法，將ARIMA 模型和BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過(guò)不同的方式進(jìn)行組合，得到ARIMA-BP 加權(quán)模型和ARIMA-BP 殘差優(yōu)化模型，分別對(duì)鐵路貨運(yùn)量數(shù)據(jù)的線性和非線性部分進(jìn)行建模并與ARIMA 模型和BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)傳統(tǒng)單一模型進(jìn)行對(duì)比。試驗(yàn)結(jié)果表明，組合模型結(jié)果優(yōu)于單一模型，并且ARIMA-BP 殘差優(yōu)化模型的預(yù)測(cè)精度最高。

本文重點(diǎn)關(guān)注的是貨運(yùn)量數(shù)據(jù)本身的線性和非線性關(guān)系，但鐵路貨運(yùn)量受到很多因素的影響，比如節(jié)假日、貨運(yùn)價(jià)格等，下一步將相關(guān)影響因素納入模型中，完善模型，進(jìn)一步提高預(yù)測(cè)精度。同時(shí)，本文構(gòu)建的模型在鐵路貨運(yùn)量預(yù)測(cè)方面有效，但是對(duì)于其他領(lǐng)域數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)的有效性還有待驗(yàn)證。此外，本文設(shè)計(jì)的組合模型由兩個(gè)單一模型構(gòu)成，可以考慮引入其他模型建立新的組合模型，以豐富理論模型，使結(jié)果更加準(zhǔn)確。