大概念和學(xué)習(xí)進(jìn)階視角下單元學(xué)習(xí)活動設(shè)計的路徑

夏繁軍 朱朋

【摘要】通過對課程標(biāo)準(zhǔn)和教材內(nèi)容的分析與解讀，提取本單元的數(shù)學(xué)大概念，確定大概念的層級;分析學(xué)情，確定適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)目標(biāo);依據(jù)大概念，結(jié)合學(xué)生學(xué)習(xí)實際，設(shè)計學(xué)習(xí)活動，制定直指大概念理解的學(xué)習(xí)進(jìn)階水平和評價方式，這個完整的閉環(huán)是數(shù)學(xué)大概念和學(xué)習(xí)進(jìn)階視角下單元學(xué)習(xí)活動設(shè)計的路徑.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)大概念;基本數(shù)量關(guān)系;單元學(xué)習(xí)活動;學(xué)習(xí)進(jìn)階水平

普通高中課程方案（2017年出版2020年修訂）在關(guān)于學(xué)科課程標(biāo)準(zhǔn)中提出“凝練學(xué)科核心素養(yǎng)”;“精選學(xué)科內(nèi)容，重視以學(xué)科大概念為核心，使課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，以主題為引領(lǐng)，使課程內(nèi)容情境化，促進(jìn)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實.”＼[1＼]

當(dāng)前數(shù)學(xué)大概念研究集中在以下四個角度：大概念的內(nèi)涵與提取;如何依據(jù)大概念進(jìn)行單元教學(xué)設(shè)計;如何在課時教學(xué)中落實大概念;如何評估學(xué)生對大概念的理解.借鑒中外學(xué)者研究成果，結(jié)合數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展的規(guī)律和學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的認(rèn)知規(guī)律，我們界定數(shù)學(xué)大概念應(yīng)包括數(shù)學(xué)核心概念、主要數(shù)學(xué)思想方法、重要的數(shù)學(xué)技能、解決問題的一般思路、數(shù)學(xué)觀念.一個數(shù)學(xué)大概念可能涉及以上五個角度中的某幾個.

通過對課程標(biāo)準(zhǔn)和教材內(nèi)容的分析與解讀，明確本章為什么學(xué)？學(xué)什么，怎么學(xué)？再對數(shù)學(xué)概念進(jìn)行分級抽象概括，提取本單元的數(shù)學(xué)大概念，確定大概念的層級;分析學(xué)情，確定適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)目標(biāo);依據(jù)大概念，結(jié)合學(xué)生學(xué)習(xí)實際，設(shè)計學(xué)習(xí)活動，制定直指大概念理解的學(xué)習(xí)進(jìn)階水平和評價方式.這是一個完整的閉環(huán).下面以普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊人教B版第二章“等式與不等式”為例，說明大概念和學(xué)習(xí)進(jìn)階視角下單元學(xué)習(xí)活動設(shè)計的路徑.

1本章概述

人教B版“等式與不等式”屬于主題一，是繼第一章《集合與常用邏輯用語》之后的又一預(yù)備知識.方程與不等式屬于義務(wù)教育階段“數(shù)與代數(shù)”中的課程內(nèi)容，本章在系統(tǒng)梳理等式與不等式的基本性質(zhì)等相關(guān)知識的基礎(chǔ)上，進(jìn)行了適當(dāng)?shù)耐卣古c延伸.本章立足運算研究不等式，第三章學(xué)習(xí)“函數(shù)”，又從函數(shù)角度重新看方程、不等式，明確三者的聯(lián)系，既體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性，又展示認(rèn)識數(shù)學(xué)的階段性.

不等式與數(shù)、式、方程、函數(shù)、三角、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容有密切的聯(lián)系.討論方程或方程組的解集情況，研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、最大值、最小值等，都經(jīng)常用到不等式的知識.等式和不等式的性質(zhì)為后面數(shù)學(xué)運算的變形和數(shù)學(xué)推理的進(jìn)行提供基礎(chǔ).不等式在研究函數(shù)單調(diào)性，冪指對函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列的性質(zhì)中起到重要作用，在解決各類實際問題時不等式也有廣泛的應(yīng)用.在不等關(guān)系中發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng);在依據(jù)不等式性質(zhì)解不等式中發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運算和邏輯推理素養(yǎng)，讓學(xué)生認(rèn)識到運算要遵循運算法則，推理要有依據(jù)，這些數(shù)學(xué)能力和思維習(xí)慣對學(xué)生高中三年以及今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)都起到重要預(yù)備作用.

2課程標(biāo)準(zhǔn)對本章的定位

相等關(guān)系、不等關(guān)系是數(shù)學(xué)中最基本的數(shù)量關(guān)系，是構(gòu)建方程、不等式的基礎(chǔ).本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生通過類比，理解等式和不等式的共性與差異，掌握基本不等式＼[2＼].

3本章內(nèi)容與內(nèi)容解析

本章內(nèi)容共分為兩部分.

第一部分是等式，呈現(xiàn)了等式的性質(zhì)與方程的解集、根與系數(shù)的關(guān)系、方程組的解集.

等式包括恒等式、條件等式和矛盾等式.恒等式是進(jìn)行代數(shù)恒等變形的重要依據(jù)，條件等式實質(zhì)上就是方程（組），矛盾等式則是等式解集為空集的方程.

第二部分是不等式，呈現(xiàn)了不等式及其性質(zhì)、不等式的解集、一元二次不等式的解法、均值不等式及其應(yīng)用.

兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實是研究不等式性質(zhì)的邏輯基礎(chǔ)，這個基本事實把兩個實數(shù)的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為它們的差與0的大小關(guān)系.是比較“數(shù)與式的大小關(guān)系”的基本方法;同時使實數(shù)的運算能夠參與到實數(shù)的大小比較中，為證明不等式提供了運算工具，使不等式的證明具有明顯的邏輯性.

不等式的基本性質(zhì)與等式的基本性質(zhì)蘊含著相同的數(shù)學(xué)思想方法，也包括不等關(guān)系自身的特性和不等關(guān)系對運算的“不變性、規(guī)律性”兩類.不等關(guān)系自身的特性有“對稱性”和“傳遞性”兩種.“對稱性”是不相等的兩個實數(shù)大小關(guān)系的兩種等價表達(dá)形式，是實數(shù)序特性的體現(xiàn);“傳遞性”反映了三個不相等的實數(shù)之間大小關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，也是實數(shù)序特性的體現(xiàn).不等關(guān)系對運算的不變性、規(guī)律性，使不等式的兩邊同時進(jìn)行“加法、乘法”等運算，得出新的不等關(guān)系.不等式對于乘法運算不具有“保序性”，這也是不等式性質(zhì)與等式性質(zhì)的主要差異＼[3＼].

不等式的基本性質(zhì)又是研究不等式的一些常用性質(zhì)的基礎(chǔ)，可以借助推廣和特殊化的方法由不等式的基本性質(zhì)得出不等式其他常用性質(zhì).

方程與方程組的解集、不等式的解集的概念，鞏固了集合的概念，也有利于一元二次方程有等根的表述.解方程（組）的過程發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

均值不等式是一個重要不等式，有著豐富的實際背景和幾何背景，均值不等式和其他重要不等式模型一樣，在解決實際生活問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)命題體系中有著重要作用.比如柯西不等式、排序不等式.通過最簡單的均值不等式的學(xué)習(xí)可以幫助同學(xué)打開認(rèn)識和證明重要不等式之門.初步認(rèn)識重要不等式在證明不等式和求最值中的應(yīng)用.

本章知識結(jié)構(gòu)如圖1所示.

4本章“大概念”的提取

根據(jù)數(shù)學(xué)大概念的定義和提取路徑，本章首先想到的大概念就是“基本數(shù)量關(guān)系”，即“相等關(guān)系與不等關(guān)系”.

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué).數(shù)量關(guān)系中最基本的就是相等關(guān)系與不等關(guān)系.空間形式是指事物的大小、形狀、位置關(guān)系.而位置關(guān)系主要指空間點、線、面的位置關(guān)系，我們主要研究平行和垂直兩種關(guān)系.

學(xué)生從小學(xué)就開始學(xué)習(xí)數(shù)與數(shù)量.從認(rèn)識數(shù)到認(rèn)識量，認(rèn)識量與量的關(guān)系，從字母表示數(shù)開始，就有了變量a，b，c，x，y，z等，從常量發(fā)展到變量;數(shù)與變量一起運算的結(jié)果就得到代數(shù)式，代數(shù)式之間有加減乘除運算.變量間的對應(yīng)關(guān)系構(gòu)成函數(shù).

人教A版教材主編章建躍老師在第二冊教師參考用書前言部分，對于中學(xué)數(shù)學(xué)的一些關(guān)鍵問題給出他的理解.其中數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu)圖如圖2所示＼[4＼].

結(jié)構(gòu)圖提出實數(shù)系、復(fù)數(shù)系、向量系是數(shù)量關(guān)系研究的主要對象.

基本數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系都是一種確定的關(guān)系;與之相對的是不確定的關(guān)系，我們會在概率與統(tǒng)計部分學(xué)習(xí).再進(jìn)一步抽象就是“關(guān)系”.“關(guān)系”不僅是數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)的大概念，也是很多學(xué)科的大概念.在自然科學(xué)和人文科學(xué)中都發(fā)揮重要紐帶作用.現(xiàn)代漢語詞典對關(guān)系的解釋是：事物之間相互作用、相互影響的狀態(tài).

其次本章著重要發(fā)展的學(xué)生的核心素養(yǎng)也是大概念，本章主要發(fā)展以下三種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

①數(shù)學(xué)抽象：從實際背景中抽象出等式、方程與方程組、不等式與不等式組，這是學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光從現(xiàn)實世界中發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，然后用數(shù)學(xué)語言，選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型表示數(shù)量關(guān)系的過程，是解決問題的第一步，新教材在本部分以及后面函數(shù)部分、概率部分都有大量這樣的例子，真正讓學(xué)生能夠用所學(xué)知識解決現(xiàn)實中的問題，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.

②數(shù)學(xué)運算：本章對數(shù)學(xué)運算要求較高，解簡單高次方程，用因式分解、配方法、十字相乘法解一元二次方程，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行運算;解三元一次方程組;方程x-y=1的解集表示為{（x，y）|x-y=1}，二元二次方程組的解用有序數(shù)組（x，y）表示，實際是為后面求兩條曲線交點的坐標(biāo)做準(zhǔn)備;解未知數(shù)個數(shù)多于方程個數(shù)的三元一次方程組，實際是為后面學(xué)習(xí)空間平面的法向量打基礎(chǔ).

③邏輯推理：在本章主要體現(xiàn)在以下兩個內(nèi)容.

類比的研究方法.類比等式的性質(zhì)研究不等式的性質(zhì);完全平方公式等數(shù)學(xué)公式是特殊的恒等式，基本不等式則是特殊的不等式.

不等式的證明.本章給出證明不等式的幾種方法：作差法、綜合法、分析法、反證法.作用是解決“為什么要證明？怎樣證明？我們能不能證明？”三個問題.首先是提醒學(xué)生要從初中的以觀察發(fā)現(xiàn)、直觀認(rèn)可為主過渡到高中的嚴(yán)格數(shù)學(xué)推理為主，說明為什么要證明，同時給出證明的基本方法.

為此確定本章大概念的層次關(guān)系（圖3）

5學(xué)情分析

不等式性質(zhì)的探究是以實數(shù)大小關(guān)系的基本事實為依據(jù)，以梳理等式性質(zhì)中所蘊含的思想方法為前提，以類比等式的基本性質(zhì)為方法展開的.學(xué)生初中是運用由特殊到一般的歸納方法得到的，沒有進(jìn)行嚴(yán)格的證明，也沒有挖掘這些性質(zhì)中所蘊含的思想方法.高中階段對等式與不等式的學(xué)習(xí)強調(diào)邏輯推理和數(shù)學(xué)的理性思維，學(xué)生以下兩個方面存在困難.

（1）認(rèn)識不到實數(shù)大小關(guān)系的基本事實在證明不等式中的作用;不等式證明中不善于用不等式的性質(zhì)，總是回到作差法;對于分析法、反證法證明不等式的表述形式不熟悉.

（2）對均值不等式的應(yīng)用存在偏差.均值不等式是一種重要不等式模型，只要a，b∈R+，不管a+b與ab是否為定值，不等式都成立，它表示一種重要的不等關(guān)系，只有當(dāng)a+b或ab是定值，且等號驗證成立時才能用來求最值.

由此確定本單元的教學(xué)難點：理解實數(shù)大小關(guān)系的基本事實;梳理等式基本性質(zhì)中蘊含的思想方法;類比等式的基本性質(zhì)及其蘊含的思想方法，猜想并證明不等式的基本性質(zhì);運用不等式的性質(zhì)證明簡單的不等式;分式不等式的解法;均值不等式的應(yīng)用.

突破難點的關(guān)鍵：在不等式性質(zhì)證明中，讓學(xué)生理解實數(shù)大小關(guān)系基本事實的作用，在研究不等式性質(zhì)時類比等式的性質(zhì);在不等式證明中，讓學(xué)生學(xué)會先對不等式進(jìn)行分析，然后選擇適當(dāng)?shù)姆椒ńo予證明，教師示范證明的格式;均值不等式的學(xué)習(xí)第一節(jié)課先學(xué)習(xí)用均值不等式進(jìn)行不等式的證明，第二節(jié)課再學(xué)習(xí)用均值不等式求最值，把二者分開來學(xué).

6學(xué)習(xí)目標(biāo)和學(xué)習(xí)活動設(shè)計

依據(jù)大概念和學(xué)情分析確定可評估的學(xué)習(xí)目標(biāo)、學(xué)習(xí)重點.為實現(xiàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)，突出重點，突破難點，教師要設(shè)計合適的學(xué)習(xí)活動，學(xué)習(xí)活動可以通過挑戰(zhàn)性任務(wù)來引領(lǐng).目標(biāo)、活動、評價三者之間要保持一致.結(jié)合我校學(xué)生實際學(xué)習(xí)能力，我們打通“等式”與“不等式”內(nèi)容，用“類比研究”的方法學(xué)習(xí)“等式與不等式”.為此提出6個挑戰(zhàn)性任務(wù)：設(shè)計11個學(xué)習(xí)活動，對應(yīng)11個課時.

活動1：等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)對照，如下表.

認(rèn)識兩個實數(shù)的大小與兩個實數(shù)的差與0的大小關(guān)系.能運用兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實比較“數(shù)與式的大小”、證明不等式的基本性質(zhì)，能從不等式的基本性質(zhì)出發(fā)，對基本性質(zhì)進(jìn)行“一般化”和“特殊化”，猜測并證明不等式的一些常用性質(zhì).

運算中的不變性就是性質(zhì)，這是個大概念，在函數(shù)性質(zhì)研究，三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、三角恒等變換中都有體現(xiàn).

活動2：通過具體例子初步學(xué)會作差法、綜合法證明不等式，發(fā)展學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

活動3：學(xué)會用分析法、反證法證明不等式，為整個高中學(xué)習(xí)證明問題打下整體思維基礎(chǔ)，發(fā)展學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

活動4：能用配方法推導(dǎo)一元二次方程的求根公式，體會從特殊到一般的研究方法，認(rèn)識一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，學(xué)會十字相乘解一元二次方程.

活動5：會利用集合的運算、不等式的性質(zhì)解一元一次不等式組、含絕對值不等式，熟悉運算規(guī)則.

活動6：會解一元二次不等式，學(xué)生能從實際情境中抽象出一元二次不等式，能從運算角度對不等式進(jìn)行變形，會用因式分解法、公式法、配方法來解一元二次不等式，會用集合表示不等式的解集.會解一元二次方程、二元二次方程組，三元一次方程組，提高學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng).

活動7：會解含參數(shù)一元二次不等式，逐步學(xué)會對參數(shù)進(jìn)行討論，會把簡單高次不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式.體會轉(zhuǎn)化方法在數(shù)學(xué)問題求解中的重要性.

活動8：初步學(xué)會解二元一次方程組，三元一次方程組、二元二次方程組，為求兩條直線的交點坐標(biāo)，空間向量的法向量，直線與二次曲線的交點，兩個二次曲線的交點打下思維和運算的基礎(chǔ).

活動9：能類比完全平方等重要等式，學(xué)習(xí)重要不等式（均值不等式），理解基本不等式的幾何解釋;會推導(dǎo)基本不等式網(wǎng)如圖4所示，會用基本不等式證明不等式，體會基本不等式對式子進(jìn)行放縮的作用.

活動10：會用基本不等式求最值，能總結(jié)出基本不等式求最值的三個條件：一正、二定、三相等、缺一不可.

活動11：能建構(gòu)結(jié)構(gòu)圖，對比等式與不等式之間的關(guān)系，加深對等式與不等式之間聯(lián)系的認(rèn)識.

7學(xué)習(xí)評價

直指大概念理解的學(xué)習(xí)評價貫徹于學(xué)習(xí)活動全過程，評價要考慮評價標(biāo)準(zhǔn)和評價的形式.

評價標(biāo)準(zhǔn)呈現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)階水平，評價方式服務(wù)于評價內(nèi)容和評價目的.

7.1學(xué)習(xí)進(jìn)階水平

學(xué)習(xí)進(jìn)階是描述學(xué)生學(xué)習(xí)某一主題的過程中對概念的理解和認(rèn)識如何逐步發(fā)展的、以實證為基礎(chǔ)的、可檢驗的假說;它具有層次性和階段性;有助于整合零碎分散的知識，形成有系統(tǒng)的知識序列或概念網(wǎng)絡(luò)＼[5＼].教師可以基于學(xué)生對概念理解的進(jìn)階程度和問題解決的進(jìn)階程度制定進(jìn)階水平.這些進(jìn)階水平幫助教師清楚學(xué)生學(xué)習(xí)的層級，編制具體評價問題.

7.2學(xué)習(xí)評價方式

大概念是更加抽象、上位的概念，因此，除了課前診斷、課后作業(yè)外，需要更加開放、綜合的問題來組織學(xué)習(xí)活動和評價.而大概念又是在具體知識技能基礎(chǔ)上的抽象概括，因此，開放綜合的問題也要能夠細(xì)化、分解.在實踐中，提取數(shù)學(xué)大概念后，思考挑戰(zhàn)性任務(wù)，設(shè)計學(xué)習(xí)活動時主要利用以下幾類指向數(shù)學(xué)大概念理解的問題（值得注意的是，這些問題有時是交叉的，就像連續(xù)光譜一樣不好區(qū)分），用于教學(xué)和評價＼[6＼].

（1）單元或課時基本問題

基本問題是指在學(xué)科或課程中處于核心位置、能促進(jìn)學(xué)生深入思考和探究、能激發(fā)知識的聯(lián)系和遷移的總結(jié)性問題或單元的主題性問題.威金斯和麥克泰格將基本問題比作大概念教學(xué)的航標(biāo)：“最好的問題是指向和突出大概念的.它們就像一條過道，通過它們，學(xué)習(xí)者可以探索內(nèi)容中或許仍未被理解的關(guān)鍵概念、主題、理論、問題，在借助啟發(fā)性問題主動探索內(nèi)容的過程中加深自己的理解.”[7]在他們的單元整體設(shè)計模板中，基本問題和大概念是相配套的.比如不等式一章的基本問題可以是：如何理解相等關(guān)系與不等關(guān)系？

（2）單元探究問題

基本問題和探究問題都具有復(fù)雜性.相對而言，基本問題偏向本源，因開放思辨而比較“虛”，故答案不確定;而探究問題偏向應(yīng)用，因綜合實踐而比較“實”，故完成比較難.課標(biāo)附錄2中給出的“教學(xué)與評價案例”大多是比較典型的探究問題.這些探究問題通常是對課時學(xué)習(xí)內(nèi)容的綜合應(yīng)用，可以促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，讓學(xué)生持續(xù)理解大概念.

每個挑戰(zhàn)性任務(wù)都可以當(dāng)做一個探究問題.

（3）課堂引導(dǎo)性問題

把基本問題、探究問題分解成課堂引導(dǎo)問題，每一個問題都針對某個知識點，課堂引導(dǎo)問題兼具教學(xué)和評價作用，可以很好地呈現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的進(jìn)階.課堂就是師生思想相互交流的過程，教師對學(xué)生課堂生成的反饋要及時，教師和學(xué)生的相互評價共同促進(jìn)學(xué)習(xí)的進(jìn)程.

（4）課堂診斷性問題

課堂檢測題與課堂教師提出的問題不同，是學(xué)習(xí)某個知識點后對學(xué)生學(xué)習(xí)情況的評價，往往會有分?jǐn)?shù)的反饋，代用形成性評價.

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作者簡介夏繁軍（1968—），男，山東新泰人，中學(xué)高級教師;主要研究中學(xué)數(shù)學(xué)教育與教學(xué);北京市學(xué)科帶頭人.

朱朋（1972—），男，山東滕州人，中學(xué)高級教師;主要研究中學(xué)數(shù)學(xué)教育與教學(xué).