中職藝術(shù)設(shè)計(jì)類專業(yè)數(shù)學(xué)教學(xué)策略研究
——以“直線和圓的位置關(guān)系”為例

■陳麗萍

（山西省貿(mào)易學(xué)校，山西 太原 030012）

新時(shí)代中職數(shù)學(xué)課程改革強(qiáng)調(diào)提升數(shù)學(xué)邏輯思維能力、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系、數(shù)學(xué)為專業(yè)學(xué)習(xí)服務(wù)的能力，以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感、態(tài)度培育，對數(shù)學(xué)美的欣賞等多元的學(xué)習(xí)目標(biāo)，注重跨學(xué)科之間的融合，注重信息技術(shù)教育資源的合理利用。

一、中職藝術(shù)設(shè)計(jì)類專業(yè)學(xué)生現(xiàn)狀

中職藝術(shù)設(shè)計(jì)類專業(yè)主要有計(jì)算機(jī)平面設(shè)計(jì)、工藝美術(shù)、藝術(shù)設(shè)計(jì)與制作等專業(yè)，該專業(yè)學(xué)生從知識(shí)角度來說已具備直觀判斷直線與圓位置關(guān)系的基礎(chǔ)能力，但難以理解通過計(jì)算定量分析兩者位置關(guān)系。從能力方面而言，雖然擁有美術(shù)設(shè)計(jì)中較強(qiáng)的圖形繪畫和抽象分析能力，但由于數(shù)學(xué)中要求一定的邏輯思維，他們迫切需要提高數(shù)形結(jié)合分析問題能力。目前中職學(xué)生生源質(zhì)量嚴(yán)重下滑，懶散、缺乏自信，自控能力差，對數(shù)學(xué)“敬而遠(yuǎn)之、抓耳撓腮、望而卻步”，尤其是藝術(shù)設(shè)計(jì)類專業(yè)學(xué)生，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相當(dāng)薄弱，以美學(xué)為基礎(chǔ)，融數(shù)學(xué)以專業(yè)，創(chuàng)新教學(xué)方法，推進(jìn)課堂革命勢在必行。

二、以“直線和圓的位置關(guān)系”為例探索高效課堂

“直線與圓的位置關(guān)系”是中職數(shù)學(xué)基礎(chǔ)模塊解析幾何研究的一個(gè)重要問題，上承直線方程、圓方程，下接直線與圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的位置關(guān)系，貫穿于解析幾何學(xué)習(xí)的始終。問題是探究學(xué)習(xí)的核心，而探究則是數(shù)學(xué)教學(xué)的生命線，因此學(xué)生的學(xué)習(xí)就是將生活情境數(shù)學(xué)化，讓學(xué)生在探究知識(shí)的過程中學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)創(chuàng)造，將數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)化的一個(gè)過程。

（一）情景交融，精心設(shè)計(jì)

情境一：觀看煙花燃放視頻。從現(xiàn)實(shí)生活背景中讓同學(xué)們體會(huì)燃放煙花必需站在一個(gè)安全的位置，再通過視頻播放煙花燃放引發(fā)的血淋淋的實(shí)事，分析何謂煙花燃放的安全范圍。結(jié)合這兩點(diǎn)，引入生活中為什么燃放煙花拉置安全警戒線，由具體到抽象，抽象出直線與圓的各種位置關(guān)系，在情境中分析體會(huì)直線與圓的位置關(guān)系有幾種。用“引、導(dǎo)、議”三步法帶同學(xué)們身臨其境。

引:同學(xué)們我們上課前聽到的這首歌是《煙花易冷》，煙花的美雖然稍縱即逝，但它卻是古往今來人們慶祝節(jié)日重要的一種方式?，F(xiàn)在我們就一起來看一場煙花。（播放視頻）

導(dǎo)：從這個(gè)視頻中大家看到了什么？如果說天空中絢爛的煙火向我們印證了距離產(chǎn)生美，那么人群中爆炸的煙花則在向我們闡釋距離產(chǎn)生悲。只有在了解了此次煙花爆炸的原因之后，我們才能夠避免類似的事故發(fā)生。接下來就讓我們通過視頻來分析一下此次事故的真實(shí)原因。（播放事故分析視頻）

議:從視頻中我們可以知道，煙花的燃放都有一個(gè)范圍，如果人在觀看煙花時(shí)踏入這個(gè)范圍就會(huì)存在安全隱患。那么問題來了：在觀看煙花時(shí)，安全范圍我們是看不到的，觀看太近了不安全，太遠(yuǎn)了不過癮不刺激，所以一般在燃放煙花時(shí)都需要拉置警戒線，同學(xué)們判斷一下圖中所示警戒線是否合理，顯而易見是不合理的。

設(shè)計(jì)目的：學(xué)生通過自己的觀察初步感受直線和圓的位置關(guān)系，體會(huì)到生活中處處存在著數(shù)學(xué)，在整個(gè)過程引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)直線與圓的位置關(guān)系，激發(fā)學(xué)生探究欲望。

情境二：抽象分析出各條警戒線與煙花燃放安全范圍這個(gè)圓的位置關(guān)系。以問題為導(dǎo)向，提前讓同學(xué)們欣賞夕陽西下的美景，同樣用下面“引、導(dǎo)、議”三步法漸入佳境。

引：哪幾條警戒線設(shè)置是安全的？你是怎樣理解的？從數(shù)學(xué)角度來講，警戒線與煙花燃放的安全范圍存在哪幾種位置關(guān)系呢？有沒有同學(xué)能夠歸納一下？

導(dǎo):這是以前學(xué)的直線與圓三種位置關(guān)系，以往大家只需要根據(jù)圖像就可以直接看出來，那么通過今天這堂課的學(xué)習(xí)，大家就可以通過計(jì)算來判斷它們的位置關(guān)系，到底怎么算呢？我們先一起來探究一下。

議：直觀的觀察后，同學(xué)們對自己發(fā)現(xiàn)的印象比較深，再通過教師層層設(shè)問，把生活問題抽象成數(shù)學(xué)問題，使學(xué)生思維自然發(fā)展，教學(xué)有序進(jìn)入實(shí)質(zhì)部分，接著分析出夕陽西下中太陽與地平線的關(guān)系，隱含著直線與圓的位置關(guān)系。

設(shè)計(jì)目的：學(xué)生再一次體會(huì)到數(shù)學(xué)與日常生活緊密聯(lián)系，讓學(xué)生很輕松地理解圓與直線的三種位置關(guān)系——相交、相切、相離，并指出學(xué)習(xí)本堂課的意義所在。

（二）雙邊活動(dòng)，探究新知

教師活動(dòng)：用幾何畫板作圖，先固定一個(gè)圓，再作一條直線，通過平移直線觀察這條直線與圓的位置關(guān)系，同時(shí)描出圓心到直線的距離d和半徑r以及直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。請學(xué)生從幾何畫板運(yùn)動(dòng)中判斷直線與圓相交、相切、相離時(shí)d與r的長短關(guān)系以及交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

學(xué)生活動(dòng)：通過小組交流，在觀察幾何畫板的基礎(chǔ)上完成表1。

表1 直線與圓的位置關(guān)系

直線與圓有哪些位置關(guān)系？請大家完成表1。通過觀察討論，我們可以發(fā)現(xiàn)直線與圓在產(chǎn)生相交、相切、相離時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)是會(huì)改變的，同時(shí)圓心到直線的距離d與半徑r也會(huì)隨之改變，位置不同數(shù)據(jù)也不同。因此，從直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可判斷他們的位置關(guān)系，也能通過圓心到直線的距離d與r的比較來判斷。

設(shè)計(jì)目的：通過幾何畫板動(dòng)態(tài)演示這一方法，直觀展示直線與圓在相交、相離、相切時(shí)圓心到直線的距離d與半徑r的長短關(guān)系及交點(diǎn)個(gè)數(shù)，學(xué)生通過小組交流合作、教師指導(dǎo)，繪制出表格，并探索得出可以通過直線與圓交點(diǎn)個(gè)數(shù)和圓心到直線的距離與圓的半徑之間的數(shù)量關(guān)系來判斷直線與圓的位置關(guān)系，得出結(jié)論，同時(shí)培養(yǎng)實(shí)驗(yàn)-觀察-歸納這一科學(xué)思維方法和動(dòng)手能力。

（三）小試牛刀，拓寬思路

藝術(shù)設(shè)計(jì)類專業(yè)學(xué)生有較強(qiáng)的動(dòng)手能力，改變傳統(tǒng)講授，創(chuàng)新教學(xué)方法，用“做中教、做中學(xué)、做中評”三步法幫助學(xué)生拓寬思路、提升自信。

做中教：判斷下列直線與圓的位置關(guān)系，并再次利用幾何畫板在直角坐標(biāo)系中作出直線與圓的函數(shù)圖像?，F(xiàn)在我們已經(jīng)知道了判斷直線與圓位置關(guān)系的方法了，讓同學(xué)們一展身手。

首先我們用幾何畫板把這個(gè)圓和直線畫出來，大家發(fā)現(xiàn)什么了？如果沒有幾何畫板的幫助我們可以怎么準(zhǔn)確判斷呢？直線與圓的位置不同會(huì)造成哪些因素不同呢？位置不同，相關(guān)因素必然不同，

做中學(xué)：觀察圖形位置，得出相交的結(jié)論。交點(diǎn)個(gè)數(shù)的改變，d與r大小的改變。

現(xiàn)在脫離圖形用代數(shù)方法去判斷他們的位置關(guān)系：第一種，根據(jù)直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)去判斷（交點(diǎn)個(gè)數(shù)體現(xiàn)在方程中其實(shí)就是要我們求△）；第二種，根據(jù)d與r的大小去判斷，我們可以直觀感知。

其實(shí)第一種方法是比較常用的方法，根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷直線與圓的位置關(guān)系，這種方法還可以判斷直線與橢圓、直線與拋物線間的位置。而根據(jù)d與r的大小只適用于判斷直線與圓的位置關(guān)系，是判斷直線與圓位置關(guān)系時(shí)特有的一種判斷方法。當(dāng)知道了直線與圓的方程之后，圓心坐標(biāo)和半徑r易得到，問題的關(guān)鍵是如何得到圓心到直線的距離d，它的本質(zhì)是點(diǎn)到直線的距離，那么我們可以直接利用點(diǎn)到直線的距離公式求d。通過d與r的大小判斷他們的位置關(guān)系是本節(jié)重點(diǎn)。

做中評：學(xué)生明確兩種解題思路后，教師讓學(xué)生對比兩種解法哪種更簡捷，明確本節(jié)課主要用比較d與r的關(guān)系來解決這類問題，對用方程組解的個(gè)數(shù)的判斷方法，要求學(xué)生課外做進(jìn)一步的探究，從而得到本堂課解決直線與圓的位置關(guān)系的方法就是通過判斷半徑與d的大小。

設(shè)計(jì)目的：這樣設(shè)計(jì)教學(xué)程序，能使學(xué)生在探究過程中產(chǎn)生認(rèn)知沖突，激發(fā)探究新知的欲望和沖動(dòng)，通過不同方法解決相同的問題，殊途同歸。讓學(xué)生意識(shí)到情景教學(xué)法和實(shí)驗(yàn)觀察法對問題解決的優(yōu)越性，學(xué)經(jīng)歷知識(shí)和方法產(chǎn)生和發(fā)現(xiàn)過程，進(jìn)而得出解決同類問題的一般方法，從特殊到一般，從抽象到具體，理清判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法，將學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)的“再創(chuàng)造”過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，積極發(fā)現(xiàn)、探究新知，提高創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。

（四）融入專業(yè)，探索規(guī)律

數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)要為專業(yè)學(xué)習(xí)服務(wù)，引導(dǎo)同學(xué)們從美學(xué)的角度將數(shù)學(xué)與專業(yè)學(xué)習(xí)、日常生活聯(lián)系起來，用下面“展演、模仿、拓展”三步法升華課堂教學(xué)效果。

展演：通過例題的學(xué)習(xí)，對判斷直線與圓位置關(guān)系的解法都有了一定的了解，現(xiàn)在有這樣三道題目請大家來判斷一下（請學(xué)生上臺(tái)板演）。

（1）直線5x+12y-8=0與圓(x-1)2+(y+3)2=8

（2）直線y=3x與圓x2+y2=2

（3）直線x+y-2=0與圓x2+4x+y2=8

老師歸納小結(jié)，然后對比學(xué)生板演答案，每一題都用多媒體顯示圖形，畫出d與r。讓學(xué)生充分體會(huì)成功的喜悅，直觀體會(huì)從形到數(shù)又回到形，使整個(gè)教學(xué)過程更加直觀。

模仿：依樣畫葫蘆，通過一定量的模仿練習(xí)，加深學(xué)生對解題過程的印象。學(xué)會(huì)如何判斷直線與圓之間的位置關(guān)系后，思考困惑、解決問題：

兩個(gè)同學(xué)觀看煙花表演（安全范圍為150米），A同學(xué)距煙花正南方向200米，B同學(xué)距煙花正東方向180米處，當(dāng)A同學(xué)沿直線跑向B同學(xué)時(shí)，請問安全嗎？這個(gè)問題呢不要求大家現(xiàn)在回答，我們作為今天的作業(yè)請大家去課后思考，我會(huì)將這個(gè)問題的提綱和解答過程放在學(xué)校的MOOC平臺(tái)上，大家可以邊看邊交流。

拓展：請大家拿出iPad，掃對應(yīng)的二維碼觀看視頻，供同學(xué)們課后學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)視頻中呈現(xiàn)得并不完美，那么作為美術(shù)設(shè)計(jì)類專業(yè)的學(xué)生，已經(jīng)具備了一定的計(jì)算機(jī)技術(shù)和美術(shù)設(shè)計(jì)水平，要充分利用專業(yè)知識(shí)，兼具藝術(shù)美學(xué)欣賞特點(diǎn)，舉辦一個(gè)體現(xiàn)時(shí)代特色的數(shù)學(xué)微視頻大賽，大家一起學(xué)習(xí)，上傳到班級微攝影天地中，發(fā)現(xiàn)驚喜，提升喜悅。

設(shè)計(jì)目的：讓同學(xué)們體會(huì)到數(shù)學(xué)源于生活而用于生活，起到了前后呼應(yīng)的效果。通過問題的牽引將學(xué)生從生活情境引入到數(shù)學(xué)問題的學(xué)習(xí)中去。在數(shù)形結(jié)合思想中讓學(xué)生體會(huì)到幾何問題代數(shù)化，學(xué)會(huì)研究問題，挖掘問題，體會(huì)生活中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。

（五）評價(jià)反思，總結(jié)提高

1.通過電腦程序設(shè)置，學(xué)生每做一題，自動(dòng)生成評分以及教師的評語，并在課堂自動(dòng)統(tǒng)計(jì)該生的總分，真實(shí)顯示了每個(gè)學(xué)生的知識(shí)掌握情況，快捷便利，直觀了當(dāng)。

2.填寫《合作學(xué)習(xí)評價(jià)表》，進(jìn)行學(xué)生自評、生生互評、學(xué)生評價(jià)之后，通過教師黑板表彰優(yōu)秀小組進(jìn)行教師評價(jià)，形成了完整的合作學(xué)習(xí)評價(jià)體系。

3.幾何畫板的應(yīng)用，一方面可以引導(dǎo)繼續(xù)深入理解判定方法，更主要的是為學(xué)生探索理解“圓心到直線的距離d與半徑r的大小”提供了有效手段，提高了學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)效率；另一方面是畫板作圖，合作手繪，既讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)形結(jié)合的重要性，又讓學(xué)生自主得到直線與圓的位置關(guān)系判定方法，將專業(yè)與數(shù)學(xué)相結(jié)合，激發(fā)學(xué)生興趣。

4.數(shù)學(xué)建模的融入，教師引導(dǎo)學(xué)生建立直線與圓位置關(guān)系的模型，分析模型、解決模型，將模型直觀化。大大培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，弱化傳統(tǒng)的知識(shí)傳授。“觀察-分析-歸納-表達(dá)”提升數(shù)學(xué)綜合能力，增強(qiáng)教學(xué)針對性，提升教學(xué)效益。

通過認(rèn)真研讀中共中央、國務(wù)院《關(guān)于國家職業(yè)教育改革實(shí)施方案》《中國教育現(xiàn)代化2035》等文件，充分體會(huì)到職業(yè)教育前途廣闊、大有作為，新時(shí)代職業(yè)教育課程改革的號角已吹響，數(shù)學(xué)作為一門受眾面廣的公共專業(yè)基礎(chǔ)課，應(yīng)該走在教學(xué)改革的前列，面對新機(jī)遇新挑戰(zhàn)，中職數(shù)學(xué)教師需要抓住機(jī)會(huì)，認(rèn)真分析學(xué)情，研究教學(xué)策略，讓數(shù)學(xué)美植根于每個(gè)學(xué)生心中，為終身學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。