電荷泵鎖相環(huán)電路建模與仿真

曾兆權(quán)，龔立嬌，2，李紅躍

（1.石河子大學(xué) 機(jī)械電氣工程學(xué)院，石河子832000；2.石河子大學(xué) 農(nóng)業(yè)農(nóng)村部西北農(nóng)業(yè)裝備重點實驗室，石河子832000；3.新疆天富檢測有限公司，石河子832000）

鎖相環(huán)（phase-locked loops，PLL）是利用負(fù)反饋控制原理實現(xiàn)頻率及相位的控制系統(tǒng)[1]。其作用是將電路輸出的信號與其外部的參考信號保持同步，當(dāng)參考信號的頻率或相位發(fā)生改變時，鎖相環(huán)會檢測到這種變化，并且通過其內(nèi)部的反饋系統(tǒng)來調(diào)節(jié)輸出頻率，直到兩者重新同步鎖相。

鎖相環(huán)的分類具有多樣性。按照其實現(xiàn)技術(shù)可分為模擬鎖相環(huán)和數(shù)字鎖相環(huán)[2-5]。按照其反饋回路的特點可分為整數(shù)倍分頻鎖相環(huán)（Integer-N PLL）和分?jǐn)?shù)倍分頻鎖相環(huán)（Fractional-N PLL）。按照鎖相環(huán)鑒頻鑒相器的實現(xiàn)方式，可以分為電荷泵鎖相環(huán)（Charge-Pump PLL）和非電荷泵鎖相環(huán)。按照其環(huán)路的帶寬，它可以分為寬帶鎖相環(huán)（Wide band loop PLL）和窄帶鎖相環(huán)（Narrow band loop PLL）[2-5]。

電荷泵鎖相環(huán)是一種鑒頻鑒相器適用于方波輸入信號的鎖相回路。該類型鎖相環(huán)的特點是可以快速的鎖定到輸入信號的相位，達(dá)到很低的穩(wěn)態(tài)相位誤差[1]。因此，該類型鎖相環(huán)被廣泛地應(yīng)用于各類型電子設(shè)備中，成為音頻、視頻、通信、導(dǎo)航等各種裝置的重要組成部分。

電荷泵鎖相環(huán)電路具有負(fù)反饋閉環(huán)系統(tǒng)所具有的系統(tǒng)狀態(tài)多、工作特性復(fù)雜的特點，其設(shè)計與仿真分析一直是電子設(shè)備時鐘系統(tǒng)的難點問題[4-5]。

針對上述問題，本文研究了電荷泵鎖相環(huán)電路的設(shè)計步驟與仿真分析方法。首先，推導(dǎo)電荷泵鎖相環(huán)各模塊的數(shù)學(xué)模型；其次，建立了各模塊電路仿真模型，仿真分析了環(huán)路穩(wěn)定性以及各模塊對環(huán)路整體性能的影響。研究結(jié)果為電荷泵鎖相環(huán)電路的設(shè)計與仿真提供了理論依據(jù)，對實際電路設(shè)計具有一定參考價值。

1 電荷泵鎖相環(huán)數(shù)學(xué)模型

如圖1所示，電荷泵鎖相環(huán)鑒頻鑒相器（PFD）、電荷泵（CP）、環(huán)路濾波器（LP）、壓控振蕩器（VCO）以及1/N分頻器（Divider）構(gòu)成。

圖1 電荷泵鎖相環(huán)系統(tǒng)框圖Fig.1 Charge pump PLL system diagram

參考信號?ref與輸出信號經(jīng)過鑒頻鑒相器比較得到的兩路信號分別控制電荷泵開關(guān)S1與S2，根據(jù)頻率相位比較結(jié)果對環(huán)路濾波器內(nèi)電容C1與C2進(jìn)行充放電進(jìn)而改變VCTRL的大小，控制VCO 產(chǎn)生和輸入?yún)⒖夹盘柾l率同相位的輸出信號。

1.1 鑒頻鑒相器與電荷泵

鑒頻鑒相器是電荷泵鎖相環(huán)輸入信號所進(jìn)入的第一個模塊，它將鎖相環(huán)輸出信號與輸入?yún)⒖夹盘栠M(jìn)行頻率相位比較得到控制信號。如圖2所示，電荷泵鎖相環(huán)的鑒頻鑒相器由2 個D 觸發(fā)器以及1個與門組成。其中，REF 為輸入?yún)⒖紩r鐘信號，DIV是經(jīng)由分頻器進(jìn)行1/N降頻后反饋至鑒頻鑒相器的時鐘信號。當(dāng)REF 領(lǐng)先于DIV 時，UP 端輸出高電平，DN 輸出低電平；當(dāng)DIV 領(lǐng)先于REF 時，UP 輸出低電平，DN 輸出高電平。PFD 的作用是輸出一個和REF 與DIV 之間相位差成線性關(guān)系的電壓誤差信號E（t），即：

圖2 電荷泵鎖相環(huán)鑒頻鑒相器Fig.2 Charge pump PLL PFD

式中：KPD是PFD 增益；Φref（s）是參考時鐘相位；ΦDiv（s）是隨時間變化的反饋時鐘信號相位。需要特別說明的是，E（s）與Φref（s）-ΦDiv（s）之間的關(guān)系嚴(yán)格意義上說是非線性的。當(dāng)Φref（s）-ΦDiv（s）=2π 時（REF 領(lǐng)先DIV 一個周期），E（t）的平均值為1；當(dāng)時Φref（s）-ΦDiv（s）=-2π（REF 落后DIV 一個周期），E（t）的平均值為-1。Φref（s）-ΦDiv（s）介于［-2π，2π］之間時，可以近似地認(rèn)為Φref（s）-ΦDiv（s）與E（t）的關(guān)系是線性的，即式（1）E（s）≈KPD（Φref（s）-ΦDiv（s））。如上所述，可得到PFD 傳輸函數(shù)為

為了將PFD 所產(chǎn)生的相位誤差信號E（s）（數(shù)字邏輯信號）轉(zhuǎn)化成能控制壓控振蕩器工作的電壓信號（模擬信號），需要在PFD 與VCO 之間加入濾波模塊。PFD 的輸出E（s）直接輸出給電荷泵，電荷泵再給后續(xù)電阻電容濾波網(wǎng)絡(luò)（C1，C2，R）進(jìn)行充放電（積分），實現(xiàn)邏輯量到模擬量的轉(zhuǎn)換。對于相位量而言，電荷泵（不包括后續(xù)的環(huán)路濾波器電容）僅作為一個增益模塊，提供一個值為ICP大小的增益。因此，PFD 與電流泵相結(jié)合的總傳輸函數(shù)為

1.2 環(huán)路濾波器

如圖2所示，環(huán)路濾波器由旁路電容C1和RC濾波器R，C2構(gòu)成，根據(jù)電阻電容串并聯(lián)計算方法，環(huán)路濾波器的S域傳輸函數(shù)為

1.3 壓控振蕩器

理想的VCO 輸出一個周期振蕩的信號，且該周期信號的頻率ωout與輸入控制電壓Vcont成線性關(guān)系，即：

式中：ω0是VCO 的固有頻率，即VCO 輸入控制電壓為0 V 時輸出信號的頻率；KVCO是VCO 增益，其單位為rad/s·v-1。VCO 作為一個線性時不變系統(tǒng)，控制電壓Vcont作為系統(tǒng)的輸入，固有頻率成分信號所對應(yīng)相位之外輸出信號的相位Φout（t）作為系統(tǒng)的輸出。因此，對Vcont在時間上積分可以得到：

由1.1 節(jié)可知，Vcont是由PFD 產(chǎn)生，經(jīng)過環(huán)路濾波器濾波后的控制電壓信號，也與頻率ω 和相位有關(guān)，因此，對式（6）兩邊同時做拉普拉斯變化，根據(jù)拉普拉斯變換在時域積分的性質(zhì)得到VCO 的傳輸函數(shù)為

1.4 分頻器

分頻器的功能是將VCO 的輸出信號頻率降為其原有頻率的1/N，再反饋給PFD。

分頻器本質(zhì)上是一個計數(shù)器（counter），即計數(shù)到N后觸發(fā)產(chǎn)生一個脈沖。N為分頻倍數(shù)，即輸出頻率為輸入頻率的1/N，本文中N為一個正整數(shù)。Out（t）為VCO 的輸出信號，分頻器的輸入信號，Div（t）為分頻器的輸出信號。

分頻器的輸入與輸出頻率在時域上滿足以下關(guān)系：

式中：Fdiv為分頻器的輸出頻率；Fout為VCO 的輸出信號頻率。對式（8）兩端在時域上進(jìn)行積分可得到分頻器輸入與輸出相位的關(guān)系為

因為分頻器是對輸入頻率和相位進(jìn)行一個1/N的變換，因此，在S域上分頻器的傳輸函數(shù)為

1.5 環(huán)路增益與相位裕度

由式（3）、式（4）、式（7）和式（10）可以得到電荷泵鎖相環(huán)的環(huán)路增益（Loop Gain）為

進(jìn)一步根據(jù)反饋系統(tǒng)閉環(huán)增益的定義可得到電流泵鎖相環(huán)的閉環(huán)增益為

由式（11）可知，電荷泵鎖相環(huán)共有3 個極點和1 個零點[6]。令式（11）分子為0，求得零點頻率為；令式（11）分母為0，求得兩極點頻率為0，即ωp1，p2=0。第3 個極點的頻率為。因此，可以得到電荷泵鎖相環(huán)幅頻相頻特性波特圖，如圖3所示。其中，ωz為零點頻率；ωUGB為單位增益帶寬頻率，即環(huán)路增益為0 dB 時所對應(yīng)的頻率；ωp3為第3 個極點的頻率；ΦM為相位裕度。

圖3 電荷泵鎖相環(huán)幅頻相頻特性波特圖Fig.3 Bode diagram of charge pump PLL

由式（11）可知電荷泵鎖相環(huán)有2 個頻率為0的極點，再根據(jù)波特圖的性質(zhì)，這2 個直流極點使得環(huán)路增益從0 Hz 開始以-40 dB/dec 的速度下降（如圖3），直至經(jīng)過第一個零點頻率ωz。同樣根據(jù)波特圖的性質(zhì)，這兩個直流極點使得環(huán)路相位從-180°開始（如圖3）。零點（ωz）可以在幅頻上貢獻(xiàn)+20 dB/dec，在相頻上貢獻(xiàn)+90°，使得幅頻和相頻特性曲線上翹。第3 個極點在幅頻上貢獻(xiàn)-20 dB/dec，在相頻上貢獻(xiàn)-90°，再次使幅頻特性曲線以-40 dB/dec 下降，相頻特性曲線再下移90°[6]。觀察圖3 可知，為了使電荷泵鎖相環(huán)這個三階系統(tǒng)穩(wěn)定，第3 個極點的頻率ωp3必須高于單位增益帶寬頻率ωUGB。

根據(jù)波特圖相位圖的定義以及相位裕度的定義，可以得到電荷泵鎖相環(huán)的相位裕度（phase margin，PM）為

式中：第1 項-π 是由2 個直流極點所引入的相位偏移；第2 項是由零點ωz引入的正相位偏移；第3 項是由第3 個極點ωp3引入的負(fù)相位偏移；最后一項-（-π）則是相位裕度的定義規(guī)定的。根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)arctanA-，式（13）可以進(jìn)一步展開為

對式（14）中ωUGB求一階導(dǎo)數(shù)，并令其為0 可得到：

求解式（15）可得到相位裕度ΦM最大時所對應(yīng)的單位帶寬增益ωUGB為

將式（16）代入式（14）中，可得到最大相位裕度為

進(jìn)一步可得到和的關(guān)系為

至此，若給定單位增益帶寬ωUGB和相位裕度ΦM，以及N和KVCO，即可通過式（11）、式（16）、式（17）和式（18）求得R，C1，C2以及Icp的值。

1.6 電荷泵鎖相環(huán)設(shè)計步驟

用于某高保真數(shù)字音頻系統(tǒng)時鐘的電荷泵鎖相環(huán)參數(shù)如表1所示。

表1 高保真數(shù)字音頻系統(tǒng)電荷泵鎖相環(huán)參數(shù)Tab.1 Parameters of charge pump PLL in high-fidelity digital audio applications

根據(jù)第1.5 節(jié)所推導(dǎo)的電荷泵鎖相環(huán)數(shù)學(xué)模型來計算參數(shù)N，R，C1，C2使得電荷泵滿足設(shè)計要求且穩(wěn)定，設(shè)計計算步驟總結(jié)如下：

步驟1計算分頻器倍數(shù)=16。

步驟2單位增益帶寬頻率ωUGB一般為鎖相環(huán)輸入?yún)⒖碱l率Fref的1/20。因此可得。

步驟3由圖3 可知，電荷泵鎖相環(huán)的相位裕度ΦM主要受位于原點的2 個直流極點以及1 個零點所影響。為簡化計算過程，忽略圖3 中第3 個高頻極點的影響，因此式（14）可簡化為

步驟4電容C1主要用于濾除電荷泵輸出電壓的細(xì)小波紋，對整個環(huán)路的穩(wěn)定性影響較小。因此，為了簡化計算過程，可以暫時忽略C1。式（11）中鎖相環(huán)環(huán)路增益可簡化為進(jìn)一步對式（20）取?？傻?/p>

將ωUGB=2π·2 MHz，ICP=100 μA，KVCO=626 MHz/V及RC2的值代入，可得R≈2.8 kΩ。

步驟5將式（21）中結(jié)果代入式（18）可以得。

步驟6由式（18）計算可得C1的值選擇約為C2的1/10，即C1=0.1，C2=5 pF。

至此，一個三階電荷泵鎖相環(huán)電路的系統(tǒng)設(shè)計完成。

2 電荷泵鎖相環(huán)計算機(jī)建模與仿真

按照上文推導(dǎo)電荷泵鎖相環(huán)數(shù)學(xué)模型所搭建的電流泵鎖相環(huán)Simulink 仿真模型，如圖4所示，由脈沖產(chǎn)生器、鑒頻鑒相器（PFD）、電流泵（CP）、環(huán)路濾波（LPF）、壓控振蕩器（VCO）、示波器、反饋回路分頻器組成。其中仿真模型中的參數(shù)與表1所示參數(shù)值相同。

圖4 電荷泵鎖相環(huán)Simulink 仿真模型Fig.4 Simulink model of charge pump PLL

2.1 鑒頻鑒相器仿真模型

鑒頻鑒相器Simulink 仿真模型如圖5所示。由2 個D 觸發(fā)器（D Flip-Flop）和1 個與非門（NAND）以及1 個記憶單元（Memory）構(gòu)成。其中CKREF 為參考時鐘信號，CKFB 為經(jīng)過分頻器輸出的反饋時鐘信號，記憶單元用于模擬鑒頻鑒相器環(huán)路的延遲。

圖5 鑒頻鑒相器Simulink 仿真模型Fig.5 Simulink model of PFD

2.2 電荷泵仿真模型

電荷泵Simulink 仿真模型如圖6所示，由加法器、減法器、二選一開關(guān)（Switch）、乘法器（Product）構(gòu)成。其中Constants 為Simulink 中的常數(shù)模塊，常數(shù)ICP 代表電荷泵的電流值（Icp=100 μA），IMIS 代表電荷泵的失配參數(shù)，理想狀況下IMIS值為0。

圖6 電荷泵Simulink 仿真模型Fig.6 Simulink model of charge pump

2.3 環(huán)路濾波器Simulink 仿真模型

環(huán)路濾波器Simulink 仿真模型如圖7所示，采用Simulink 中的傳輸函數(shù)模塊（Transfer Function），傳輸函數(shù)與式（4）相同，數(shù)值與1.6 節(jié)中步驟4～步驟6 所得到數(shù)值相同。

圖7 環(huán)路濾波器Simulink 仿真模型Fig.7 Simulink model of loop filter

2.4 壓控振蕩器仿真模型

壓控振蕩器仿真模型如圖8所示，其中常數(shù)VTH 為VCO 的開啟電壓（Turn-on Voltage），一般設(shè)置為中值電壓的一半，在此即為0.75 V。增益Gain為VCO 增益KVCO=626 MHz/V，常數(shù)Fint為VCO 的空跑頻率即中值自由震蕩頻率，由表1 可知為450 MHz，增益Gain2 為VCO 運(yùn)行電壓的一半，即1.5 V。輸入給VCO 的電壓信號VVCO首先減去VTH 判斷是否達(dá)到開啟電壓，隨后乘以VCO 增益，再加上Fint得到VCO 運(yùn)行頻率。運(yùn)行頻率再通過增益Gain1，積分器（Integrator），以及正弦波產(chǎn)生函數(shù)（Trigonometric Function）轉(zhuǎn)變?yōu)閂CO 運(yùn)行頻率所對應(yīng)的正弦信號，之后通過量化模塊（Sign）和增益Gain2 轉(zhuǎn)變?yōu)榉讲ㄝ敵鯲COCLK。在此過程中，F(xiàn)VCO 為VCO 輸出信號的頻率信息，VCOFB 為輸出給分頻器模塊的VCO 輸出相位信號。

圖8 壓控振蕩器仿真模型Fig.8 Simulink model of VCO

2.5 反饋回路分頻器仿真模型

分頻器Simulink 仿真模型如圖9所示，VCO 輸出的相位信號VCOFB 首先除以分頻倍數(shù)N=16，隨后通過正弦波發(fā)生模塊（sin）和量化模塊以及1/2 增益模塊轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵龇讲〞r鐘信號CKFB。

圖9 分頻器Simulink 仿真模型Fig.9 Simulink model of frequency divider

3 仿真結(jié)果

如圖10所示，電荷泵鎖相環(huán)環(huán)路濾波器輸出信號在初始1.5 μs 左右穩(wěn)定，表明鎖相環(huán)環(huán)路達(dá)到鎖定狀態(tài)。

如圖11所示，經(jīng)測量鎖定后電荷泵鎖相環(huán)輸出時鐘信號的周期約為1.56 ns，即輸出時鐘頻率為640 MHz，與預(yù)期設(shè)計指標(biāo)相吻合，表明電荷泵鎖相環(huán)達(dá)到設(shè)計要求。

圖11 鎖定后電荷泵鎖相環(huán)輸出時鐘信號與環(huán)路濾波輸出信號Fig.11 Locked output of charge pump PLL and loop filter

如圖12所示，電荷泵鎖相環(huán)輸出信號頻率是輸入信號頻率的16 倍，即輸入信號頻率40 MHz，輸出時鐘頻率640 MHz。

圖12 電荷泵鎖相環(huán)輸出時鐘信號與輸入時鐘信號對比Fig.12 Comparison of charge pump PLL output and input clock signal

4 結(jié)語

電荷泵鎖相環(huán)電路的設(shè)計與仿真分析是電子設(shè)備時鐘系統(tǒng)的重難點。本文針對典型電荷泵鎖相環(huán)，推導(dǎo)了其各模塊以及整體系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上，建立了各模塊電路仿真模型，最后仿真驗證了環(huán)路穩(wěn)定性。仿真證明了所建立電荷泵鎖相環(huán)數(shù)學(xué)模型的正確性，對電荷泵鎖相環(huán)實際電路設(shè)計具有一定參考價值。