讓數(shù)學(xué)活動(dòng)課“生動(dòng)”起來(lái)

胡偉

《整式加減數(shù)學(xué)活動(dòng)》是人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)第二章整式加減新課結(jié)束后的數(shù)學(xué)活動(dòng)課。本節(jié)課旨在類比“數(shù)”來(lái)學(xué)習(xí)“式”的運(yùn)算，讓學(xué)生會(huì)用整式和整式加減運(yùn)算表示實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系。

一、巧用數(shù)形結(jié)合，找準(zhǔn)變量關(guān)系

解題時(shí)，找準(zhǔn)變量關(guān)系一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。教師巧用數(shù)形結(jié)合，能讓學(xué)生通過(guò)直觀的圖形從不同角度去分析，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)題目的變量關(guān)系。

例如，教學(xué)活動(dòng)1時(shí)，筆者出示用火柴拼成的一排由三角形組成的圖形（如圖1），并提問(wèn)：“下圖是用火柴組成的三角形，分別為1、2、3、4個(gè)，請(qǐng)問(wèn)每增加一個(gè)三角形，需要增加幾根火柴？如果有n個(gè)三角形，需要多少根火柴？”

學(xué)生甲回答：第1個(gè)三角形要用3根火柴，每增加一個(gè)三角形需要增加2根火柴，3個(gè)三角形一共需要“3+2+2”根火柴。筆者繼續(xù)提問(wèn)：還有沒(méi)有其他計(jì)算方法？學(xué)生乙回答：把第1個(gè)三角形的第1根看成定量，其他三角形都是增加2根火柴得到的，所以3個(gè)三角形一共“1+2+2+2”根火柴。筆者追問(wèn)：兩個(gè)變量（三角形個(gè)數(shù)和增加的火柴的根數(shù)）有什么數(shù)量關(guān)系呢？學(xué)生丙回答：增加的火柴的根數(shù)是三角形個(gè)數(shù)的2倍。筆者及時(shí)肯定了學(xué)生的回答，又繼續(xù)引導(dǎo)：那么5個(gè)、10個(gè)、20個(gè)、n個(gè)三角形一共需要多少根火柴呢？學(xué)生總結(jié)：增加的火柴再加上1就行了，即1+5×2、1+10×2、1+20×2、1+n×2。

在此基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生把三角形個(gè)數(shù)和所需火柴的根數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái)并制成表格，讓學(xué)生觀察哪個(gè)是不變的量。學(xué)生通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)每增加一個(gè)三角形，要增加2根火柴，所以第一個(gè)三角形的第一根火柴可作為不變的量，即規(guī)律為：2×1+1，2×2+1，2×3+1，2×4+1，…，2n+1。

二、運(yùn)用分類討論，歸納驗(yàn)證規(guī)律

分類討論的方法，有利于探索、驗(yàn)證問(wèn)題中的規(guī)律。我們來(lái)看活動(dòng)2的教學(xué)過(guò)程。筆者出示某公園的門(mén)票價(jià)格，如下表。

光明中學(xué)七年級(jí)兩個(gè)班的學(xué)生去公園游玩，一班有48人，二班有55人。（1）每個(gè)班都單獨(dú)購(gòu)票，各需要多少元？（2）兩個(gè)班一起購(gòu)票，怎樣購(gòu)買門(mén)票更省錢？能省多少錢？（3）如果一班有x人，怎樣求購(gòu)買門(mén)票的錢呢？

教學(xué)中，筆者充分引導(dǎo)學(xué)生分類討論：若你是一班班長(zhǎng)，怎樣購(gòu)買門(mén)票更省錢？學(xué)生甲回答：用48乘對(duì)應(yīng)的票價(jià)25。學(xué)生乙回答：還能按22元的票價(jià)，也就是多買3張票，湊夠51。筆者追問(wèn)：如果兩個(gè)班都買，怎樣購(gòu)買最省錢呢？學(xué)生丙回答：因?yàn)閮蓚€(gè)班人數(shù)合在一起超過(guò)100人了，所以按20元一張的票價(jià)買。筆者因勢(shì)利導(dǎo)：如果一班有x人，怎樣求購(gòu)買門(mén)票的錢？學(xué)生丁回答：分3種情況，x的大小不一樣，列式也不一樣，如果x≤50，則門(mén)票錢為25x;如果51≤x≤100，則門(mén)票錢為22x;如果x﹥100，則門(mén)票錢為20x。

為了更好地鞏固學(xué)生的分類討論的思想方法，筆者出示第2道例題：一種筆記本售價(jià)是2.3元/本，如果一次買100本以上（不含100本），售價(jià)是2.2元/本，請(qǐng)列式表示買n本筆記本所需錢數(shù)（注意對(duì)n的大小有所考慮）。筆者引導(dǎo)學(xué)生討論下面的問(wèn)題：①按照這種售價(jià)規(guī)定，會(huì)不會(huì)出現(xiàn)多買比少買反而付錢少的情況？②如果需要100本筆記本，怎樣購(gòu)買能省錢？學(xué)生通過(guò)分組對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分類討論、探究，提出疑問(wèn)：筆記本的單價(jià)是不是固定不變的2.3元？筆記本的單價(jià)由什么來(lái)確定？通過(guò)討論學(xué)生得出：筆記本的單價(jià)由所購(gòu)買筆記本的數(shù)量來(lái)確定，買不同的本數(shù)就有不同的單價(jià)。買50本所需的錢為50[×]2.3=115（元）;買100本所需的錢為100[×]2.3=230（元）;買101本所需的錢為101[×]2.2=222.2（元）;買200本所需的錢為200[×]2.2=440（元）。筆者總結(jié)：當(dāng)n≤100時(shí)，錢數(shù)為2.3n;當(dāng)n>100時(shí)，錢數(shù)為2.2n。

三、體驗(yàn)探索歸納，達(dá)成深層理解

在教學(xué)活動(dòng)3——月歷的數(shù)學(xué)時(shí)，筆者采取觀察和體驗(yàn)相結(jié)合的辦法，引導(dǎo)學(xué)生由淺入深、由特殊到一般地探索、歸納規(guī)律，并利用規(guī)律解決實(shí)際問(wèn)題，達(dá)成深層理解。

筆者先出示如下四份月歷圖：

隨后出示如下6個(gè)問(wèn)題：①圖2中帶陰影的方框中的9個(gè)數(shù)的和與方框正中心的數(shù)有什么關(guān)系？②如果將圖2帶陰影的方框移至圖3的位置，問(wèn)題①中的關(guān)系還成立嗎？③不改變帶陰影的方框的大小，將方框在月歷中任意移動(dòng)幾個(gè)位置，結(jié)論依然成立嗎？④這個(gè)結(jié)論對(duì)于任何一個(gè)月的月歷都成立嗎？⑤如圖4，兩個(gè)帶陰影的方框里的數(shù)分別是4個(gè)，你能得出什么結(jié)論？⑥如圖5，對(duì)于帶陰影的框中的4個(gè)數(shù)，你又能得出什么結(jié)論？

出示問(wèn)題后，學(xué)生通過(guò)觀察、計(jì)算迅速得出：圖2、圖3帶陰影的方框中的9個(gè)數(shù)的和是方框正中心的數(shù)的9倍。筆者追問(wèn)：月歷上的數(shù)的大小與排列有什么特點(diǎn)？為什么會(huì)出現(xiàn)9倍這樣的結(jié)論？怎樣根據(jù)實(shí)際情況設(shè)未知數(shù)x，列代數(shù)式證明這個(gè)結(jié)論？一名學(xué)生回答：若設(shè)正中心的數(shù)字為x，其他8個(gè)數(shù)加在一起的和為（x-8）+（x-7）+（x-6）+（x-1）+x+（x+1）+（x+6）+（x+7）+（x+8）=9x，9個(gè)數(shù)相加的和為9x，是最中心的數(shù)的9倍。

筆者肯定了學(xué)生的回答，讓學(xué)生繼續(xù)通過(guò)分組探索，歸納出其他幾個(gè)問(wèn)題的答案。問(wèn)題①中，圖2陰影框里的9個(gè)數(shù)之和為3+4+5+10+11+12+17+18+19=11+22+22+22+22=99，即方框內(nèi)9個(gè)數(shù)字的和為99，恰好是正中心數(shù)字11的9倍。因此，11恰好是方框內(nèi)9個(gè)數(shù)字的平均數(shù)。問(wèn)題②中，圖3中方框內(nèi)9個(gè)數(shù)之和為8+9+10+15+16+17+22+23+24=16+32+32+32+32=144，即方框內(nèi)9個(gè)數(shù)字的和為144，恰好是正中心數(shù)字16的9倍。因此，16恰好是方框內(nèi)9個(gè)數(shù)字的平均數(shù)。因此，問(wèn)題①的結(jié)論依然成立。問(wèn)題③中，隨意將方框移動(dòng)幾個(gè)位置，方框內(nèi)9個(gè)數(shù)字的和依然是正中心數(shù)字的9倍，正中心數(shù)字依然是方框內(nèi)9個(gè)數(shù)字的平均數(shù)，結(jié)論依然成立。問(wèn)題④中，這個(gè)規(guī)律對(duì)任何一個(gè)月的月歷都成立。對(duì)于問(wèn)題⑤和問(wèn)題⑥，學(xué)生得出的結(jié)論是：圖4和圖5陰影框中的4個(gè)數(shù)，“對(duì)角線”上的兩個(gè)數(shù)的和相等。

學(xué)生總結(jié)后，筆者引導(dǎo)學(xué)生在掛歷上任意找一個(gè)月，框選9個(gè)數(shù)或4個(gè)數(shù)，實(shí)際體驗(yàn)并且計(jì)算驗(yàn)證。學(xué)生驗(yàn)證后，筆者再進(jìn)行深層次的引導(dǎo)：如果月歷中每行按照奇數(shù)個(gè)數(shù)排，7個(gè)日期一行，或者是按照偶數(shù)個(gè)數(shù)排，6個(gè)日期一行，再框選其中的9個(gè)數(shù)或4個(gè)數(shù)，還有這樣的規(guī)律嗎？學(xué)生通過(guò)探究得出同樣的規(guī)律。

（作者單位：棗陽(yáng)市鹿頭鎮(zhèn)吉河中學(xué)）

責(zé)任編輯? 張敏