疫苗生產(chǎn)模型
——以2021年五一杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題為例

◇四川信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教育部 伍 星

2021年五一杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模A題要求對(duì)10種不同類型的疫苗依次經(jīng)過四個(gè)工位的生產(chǎn)問題進(jìn)行分析，通過借助excel和python分析附件1中50次模擬生產(chǎn)數(shù)據(jù)，了解每個(gè)工位的生產(chǎn)水平；建立整數(shù)規(guī)劃模型，給出最優(yōu)生產(chǎn)順序，采用流水線生產(chǎn)模型，得到生產(chǎn)所需總時(shí)間最短；通過建立規(guī)劃模型安排最高利潤(rùn)的生產(chǎn)計(jì)劃。

1 背景資料

新冠肺炎肆虐全球，給世界帶來了深重的災(zāi)難，各國(guó)為控制疫情紛紛研發(fā)新冠疫苗。由于生產(chǎn)疫苗的規(guī)模較大，為安全起見，防止疫苗包裝出現(xiàn)混亂，每個(gè)工位不能同時(shí)生產(chǎn)不同類型的疫苗，疫苗生產(chǎn)不允許插隊(duì)，即一旦確定進(jìn)入第一個(gè)工位的疫苗生產(chǎn)順序，就要一直保持不變，而且前一種類型的疫苗離開某個(gè)工位后，后一種類型的疫苗才能進(jìn)入這個(gè)工位。

現(xiàn)有YM1-YM10等10種不同類型的疫苗需要生產(chǎn)，每種疫苗生產(chǎn)都需要經(jīng)過CJ1、CJ2、CJ、CJ4等4個(gè)工藝流程。每個(gè)工藝流程一次性均能處理100劑疫苗，這100劑疫苗裝進(jìn)一個(gè)加工箱一起送進(jìn)工位的設(shè)備進(jìn)行處理。而且，只有按照CJ1-CJ2-CJ3-CJ4的順序在4個(gè)工位都進(jìn)行了加工以后，才算完成生產(chǎn)。在此背景下，需要解決如下問題：

（1）疫苗在每個(gè)工位上均進(jìn)行了50次模擬生產(chǎn)，數(shù)據(jù)參照2021年五一杯數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題的附件，下面對(duì)每箱疫苗在所有工位上的生產(chǎn)時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，為疫苗公司的生產(chǎn)提供參考。

（2）為趕時(shí)間，對(duì)10種疫苗進(jìn)行檢測(cè)，建立數(shù)學(xué)模型，制定加工疫苗順序，并計(jì)算生產(chǎn)總時(shí)間。

（3）要求每個(gè)工位每天生產(chǎn)的時(shí)間不能超過16小時(shí)，且同種類型疫苗生產(chǎn)全部完成之后才能生產(chǎn)另外類型的疫苗。建立數(shù)學(xué)模型，在可靠性為90%的前提下安排生產(chǎn)方案，計(jì)算完成任務(wù)的最少時(shí)間。

（4）該疫苗生產(chǎn)公司計(jì)劃在100天內(nèi)選擇部分?jǐn)?shù)量的疫苗進(jìn)行生產(chǎn)，每個(gè)工位每天生產(chǎn)的時(shí)間不能超過16小時(shí)，每種類型疫苗的生產(chǎn)任務(wù)可以適當(dāng)拆分，以最大銷售額為目標(biāo)，安排生產(chǎn)計(jì)劃。

2 問題分析

我們需要解決YM1-YM10十種疫苗，經(jīng)過四個(gè)工位CJ1-CJ2-CJ3-Cj4順序生產(chǎn)，不能改變生產(chǎn)順序，如何使得耗時(shí)最少，效率最高，利潤(rùn)最大，并且在生產(chǎn)時(shí)間不固定的情況下，制定生產(chǎn)順序，使生產(chǎn)更合理化。

對(duì)于問題（1），對(duì)每箱疫苗在所有工位上的生產(chǎn)時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，為疫苗公司的生產(chǎn)提供參考；這是一個(gè)數(shù)據(jù)分析問題，通過使用Excel和spss等軟件處理附件1中的數(shù)據(jù)，分別從均值、方差、最值、概率分布等統(tǒng)計(jì)分析，能夠直觀了解每個(gè)工位生產(chǎn)疫苗的能力水平。我們從三個(gè)方面對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行加工：首先確定每類疫苗在每個(gè)工位上的均值；再確定四個(gè)工位生產(chǎn)情況的均值、方差、最值的分析；最后給出每個(gè)工位的數(shù)據(jù)變化的概率統(tǒng)計(jì)。

對(duì)于問題（2），制定10種疫苗的加工順序，并計(jì)算生產(chǎn)總時(shí)間。這是一個(gè)線性規(guī)劃中的二次分配問題，根據(jù)題目要求忽略次要的影響因素，讓疫苗按一定順序?yàn)橹饕s束條件，建立相應(yīng)的加工生產(chǎn)計(jì)劃總用時(shí)最短的整數(shù)規(guī)劃模型。

對(duì)于問題（3），此問題可以看成是流水生產(chǎn)過程，重點(diǎn)需要考慮的是生產(chǎn)的均衡性、高效性，使流水線生產(chǎn)率最高，所以建立模型：首先按工序先后順序，合理地把任務(wù)分配給每個(gè)工位；其次每個(gè)工位的生產(chǎn)時(shí)間要盡量接近節(jié)拍；最后，各工位空閑時(shí)間要小，并且使工位之間負(fù)荷均勻，以保證流水線時(shí)間損失率最低。

對(duì)于問題（4），這是一個(gè)線性規(guī)劃問題，需要找到目標(biāo)函數(shù)和約束條件，利用lingo軟件求出最大利潤(rùn)。

3 解決問題

3.1 模型一的建立與求解

針對(duì)附件1中給出了每類疫苗在每個(gè)工位上進(jìn)行了50次模擬生產(chǎn)，下面對(duì)每箱疫苗在所有工位上的生產(chǎn)時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。首先考慮了每類疫苗在每個(gè)工位上的均值，可以看到數(shù)據(jù)變化比較大，沒有規(guī)律可循，因此接下來單獨(dú)從每個(gè)工位的生產(chǎn)能力進(jìn)行分析。

（1）四個(gè)工位的生產(chǎn)情況，如表1所示。

表1 四個(gè)工位生產(chǎn)情況

從表1中可以看到，每個(gè)工位生產(chǎn)水平差距不大，CJ4相對(duì)較弱；從數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性看，CJ1較好，標(biāo)準(zhǔn)差最小；但四個(gè)工位生產(chǎn)的最大最小值差距稍大，可能跟疫苗本身有關(guān)。

（2）每個(gè)工位的數(shù)據(jù)變化統(tǒng)計(jì)。

圖1 AM1在四個(gè)工位分布圖

3.2 模型二的模型建立與求解

此問題明顯是根據(jù)生產(chǎn)順序的排列組合，求最小生產(chǎn)時(shí)間的問題。一共有10種疫苗共有10！種可能的排列順序。構(gòu)建一個(gè)10×10的0-1矩陣，每行每列僅有一個(gè)元素為1，其余元素為0，共有10！種矩陣。我們假設(shè)最優(yōu)的方案已經(jīng)找到，即第個(gè)生產(chǎn)的疫苗為。需要求解最小的加工時(shí)間，即第一工位開始工作到最后一工位停止工作的時(shí)間最短。轉(zhuǎn)化為最后一個(gè)加工的疫苗開始第四道工序的時(shí)刻與第四道工序耗時(shí)之和即：

又由假設(shè)可知每個(gè)疫苗依次經(jīng)過CJ1-CJ2-CJ3-CJ4，所以對(duì)于第個(gè)加工的疫苗前一個(gè)工序的結(jié)束時(shí)間必須在不晚于下工序完成后才能進(jìn)行

因此，對(duì)這一問題我們構(gòu)建類整數(shù)規(guī)劃模型，如下：

目標(biāo)函數(shù)

將目標(biāo)函數(shù)以及約束條件轉(zhuǎn)換為編程語言用lingo軟件求解結(jié)果。最后借助python軟件利用10×10的矩陣輸入，進(jìn)行大循環(huán)，驗(yàn)證結(jié)果的正確性，最終得到加工順利如下：

YM10--YM9--YM8--YM7--YM6--YM5--YM4--YM3--YM2--YM1

為了更加清晰的說明生產(chǎn)流程，將各個(gè)疫苗的開始時(shí)間，結(jié)束時(shí)間繪制時(shí)間表，如表2所示。

表2 每種疫苗進(jìn)入和離開工位時(shí)間

3.3 模型三的建立與求解

針對(duì)附件2中10種疫苗不同規(guī)模的生產(chǎn)任務(wù)，規(guī)定每個(gè)工位每天生產(chǎn)的時(shí)間不能超過16小時(shí)，并且每種類型疫苗的生產(chǎn)任務(wù)不可以拆分。因此這是一個(gè)流水線生產(chǎn)任務(wù)。我們這樣建立如下模型：如果第種疫苗在第工位上進(jìn)行，設(shè)，其中。

在可靠性為90%的前提下安排生產(chǎn)方案，為使得使用時(shí)間最少，90%確定隨機(jī)數(shù)據(jù)中較小的量，取前45組數(shù)據(jù)的均值，得到每類疫苗在每個(gè)工位上所需要的時(shí)間，如表3所示。

表3 90%較小數(shù)據(jù)均值

由于同類疫苗在每個(gè)工位生產(chǎn)時(shí)間相同，又因?yàn)槊刻烀總€(gè)車間最多生產(chǎn)16小時(shí)，根據(jù)這個(gè)約束條件，我們需要找出耗時(shí)最多的工位，以此為標(biāo)準(zhǔn)，計(jì)算生產(chǎn)每類疫苗每天最大生產(chǎn)量，以及對(duì)應(yīng)生產(chǎn)天數(shù)如表4所示。

表4 每天生產(chǎn)量及所需天數(shù)

3.4 模型四的建立與求解

疫苗生產(chǎn)公司計(jì)劃在100天內(nèi)選擇部分?jǐn)?shù)量的疫苗進(jìn)行生產(chǎn)，每個(gè)工位每天生產(chǎn)的時(shí)間不能超過16小時(shí)，這是一個(gè)線性規(guī)劃問題，需要找到目標(biāo)函數(shù)和約束條件，不妨設(shè)每天只生產(chǎn)一種疫苗。設(shè)生產(chǎn)每種疫苗的天數(shù)為決策變量。即，設(shè)生產(chǎn)第類疫苗天，目標(biāo)函數(shù)為：

約束條件為：

利用lingo軟件計(jì)算結(jié)果，得到生產(chǎn)每類疫苗的天數(shù)如下：

4 結(jié)語

解決疫苗生產(chǎn)問題，做了相對(duì)理想化的假設(shè)。本文選用了線性規(guī)劃和0-1整數(shù)規(guī)劃模型。對(duì)于問題（2）中的模型，當(dāng)LINGO不能輸出所有最優(yōu)解得情況，在不了解其具解路徑時(shí)，可以通過改變初始的工件各工序耗時(shí)矩陣，求得其它最優(yōu)解，模型選用簡(jiǎn)單有效。在考慮數(shù)據(jù)關(guān)系中，利用圖表的直觀性，清晰明了描述特征。