一類具疫苗接種影響的2019新型冠狀病毒SEIQR模型穩(wěn)定性分析

李春紅, 王林林, 萬晶晶, 葛 靜

(1. 淮陰師范學院 a. 學報編輯部, b. 數(shù)學與科學學院, 江蘇 淮安 223001;2. 中國礦業(yè)大學 數(shù)學學院, 江蘇 徐州 221116)

人類社會在各個不同的發(fā)展階段,始終飽受著傳染病的困擾,從某種意義上來說,人類發(fā)展史同時也是一部與傳染病的抗爭史。古今中外,一些大規(guī)模的傳染病造成的死亡人數(shù)甚至超過了戰(zhàn)爭。1999年,世界衛(wèi)生組織(WHO)在傳染病的分析報告中曾指出,全世界每小時有1 500人死于傳染病,從曾經(jīng)的鼠疫、天花、重癥急性呼吸綜合征(SARS),到如今的新型冠狀病毒肺炎,可以看到,傳染病一直在威脅著人類的健康。傳染病不斷發(fā)展變化,且很難在短時間內開發(fā)出特效藥,因此,預防和控制疾病的蔓延成為人們應對傳染病的主要途徑。18世紀中期,為了對抗天花病毒,人類歷史上第一個牛痘疫苗應運而生。自人類開始接種牛痘疫苗預防天花以來,疫苗逐漸成為人們有效預防傳染病的重要方法。2020年新型冠狀病毒肺炎疫情迅速爆發(fā),病毒不斷變異,為了阻斷病毒的進一步傳播,各國科研人員正在加緊研發(fā)疫苗。截至2021年7月底,全球已經(jīng)接種超過18億劑次,此次大規(guī)模接種疫苗,對疫情的進一步蔓延起到了很好的控制作用?？梢?疫苗接種率和保護力已成為疫情控制的重要因素。因此,本文將就如何利用數(shù)學模型對2019新型冠狀病毒疫苗接種情況進行理論分析,從而預測其發(fā)展趨勢、感染規(guī)模,并尋求控制疾病發(fā)展的最優(yōu)策略進行研究。

1 模型的建立

2019新型冠狀病毒在傳播過程中存在一定的潛伏期,并且在潛伏期的無癥狀感染者具有極強的傳染性[1-4]。本文將人群分為易感者、無癥狀感染者、有癥狀染病者、隔離者和移除者5類,用S,E,I,Q,R分別表示這5類人群的人數(shù)。 根據(jù)病毒的傳播規(guī)律,建立如下數(shù)學模型:

(1)

式中:ν表示疫苗接種率;θ表示疫苗的保護力;Λ表示易感人群的常數(shù)輸入率;d表示自然死亡率;δ1,δ2,δ3分別表示無癥狀感染者,染病者和隔離者的恢復率;β1表示無癥狀感染者與易感者之間的接觸傳播率;β2表示染病者與易感者之間的接觸傳播率;ε表示無癥狀感染者轉化為染病者的比率;α表示無癥狀感染者,染病者和隔離類的因病死亡率;μ1表示無癥狀感染者被隔離的比率;μ2表示染病者被隔離的比率。 從傳染病學角度考慮,本文參數(shù)都是非負的實數(shù)。

將模型(1)中的5個方程相加可得

取上極限得

故模型(1)正向不變集是

2 平衡點存在性

基本再生數(shù)是指在沒有干預的情況下,在全部是易感人群的環(huán)境中,平均一個患者在一個染病周期里可以傳染的人數(shù),也就是在自由傳播時一個患者平均能感染多少人。在傳染病學上基本再生數(shù)是評估疾病傳染性的關鍵閾值。由下一代感染矩陣方法可推導模型(1)基本再生數(shù)[5-6]

(2)

解之得:

當R0>1時I*>0,S*>0,E*>0,Q*>0,R*>0,所以模型(1)存在唯一的染病平衡點P*=(S*,E*,I*,Q*,R*),定理得證。

3 平衡點穩(wěn)定性

定理1 當R0<1時,無病平衡點P0局部漸近穩(wěn)定;當R0>1時,無病平衡點P0不穩(wěn)定。

設其特征方程的特征根為λ1,λ2,則λ1,λ2滿足方程

λ2+q1λ+q2=0。

(3)

式中:

且λ1,λ2滿足

由Routh-Hurwitz判據(jù)可知,當R0<1時,無病平衡點P0局部漸近穩(wěn)定;當R0>1,λ1λ2<0時,方程(3)存在一個正根,故無病平衡點P0不穩(wěn)定。

定理2 當R0<1時,無病平衡點P0全局漸近穩(wěn)定。

接下來考慮染病平衡點的穩(wěn)定性。

易知系統(tǒng)(1)的前3個方程在整個系統(tǒng)中相對獨立,考慮如下子系統(tǒng):

(4)

令p=β1E*+β2I*,m=d+ε+α+δ1+μ1,n=d+α+δ2+μ2,矩陣的特征方程為

式中:

又因為-mnd+(β1(1-θν)Λn+β2(1-θν)Λε)S*d=0,故

證明 系統(tǒng)(4)的Jacobian矩陣為

式中:m=d+ε+α+δ1+μ1,n=d+α+δ2+μ2,其對應的第二加性的矩陣為

取

矩陣B=PfP-1+PJ[2]P-1可以寫成分塊矩陣

式中:

則

定理5 當R0>1時,模型(1)染病平衡點P*(S*,E*,I*,Q*,R*)是全局漸近穩(wěn)定的。

證明 由定理4可知,當t→+∞時,(S,E,I)→(S*,E*,I*),由模型(1)的極限系統(tǒng)

4 結 論