聯(lián)合鯨魚(yú)算法和遺傳算法優(yōu)化GRNN預(yù)測(cè)斜拉索覆冰厚度

汪峰 毛錦偉 劉章軍

摘 要：為了預(yù)測(cè)冬季易結(jié)冰區(qū)斜拉索覆冰的增長(zhǎng)，運(yùn)用灰色關(guān)聯(lián)分析方法分析斜拉索傾角、溫度、濕度、風(fēng)速、降雨量及氣壓對(duì)斜拉索覆冰厚度的關(guān)聯(lián)影響，明確各影響因素的相關(guān)性大小，剔除弱相關(guān)性因素;聯(lián)合遺傳算法（GA）和鯨魚(yú)算法（WOA）選擇最優(yōu)光滑因子，提出一種WOA-GA算法優(yōu)化廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（GRNN）的斜拉索覆冰厚度預(yù)測(cè)方法。其特點(diǎn)是：以輸出值與實(shí)際值均方差作為適應(yīng)度函數(shù)，計(jì)算每個(gè)粒子的適應(yīng)度值;將GA算法的交叉和變異算子引入WOA算法，同時(shí)借助權(quán)重更新策略，提升全局尋優(yōu)的能力，避免WOA算法陷入局部最優(yōu)解;最后，經(jīng)過(guò)迭代尋優(yōu)，輸出最小適應(yīng)度值對(duì)應(yīng)的光滑因子，構(gòu)建GRNN預(yù)測(cè)模型。結(jié)果表明：環(huán)境溫度相關(guān)性最高，其次是傾角、降水量、風(fēng)速、相對(duì)濕度，氣壓關(guān)聯(lián)度最小，呈弱相關(guān)性;相比于傳統(tǒng)的GRNN、WOA-GRNN、PSO-GA-GRNN模型，聯(lián)合鯨魚(yú)算法和遺傳算法優(yōu)化的GRNN覆冰預(yù)測(cè)模型精度較高，其平均絕對(duì)誤差百分比僅為3.58%，均方根誤差為0.58 mm;采用敏感性分析法評(píng)價(jià)影響因素對(duì)模型精度的影響，發(fā)現(xiàn)溫度對(duì)模型影響程度最大，其次是拉索傾角。

關(guān)鍵詞：斜拉索;覆冰預(yù)測(cè);鯨魚(yú)算法;遺傳算法;廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

中圖分類(lèi)號(hào)：U448.27?? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A?? 文章編號(hào)：2096-6717（2022）03-0010-10

收稿日期：2021-03-16

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（51778343）

作者簡(jiǎn)介：汪峰（1979- ），男，博士，副教授，主要從事工程纜索結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制研究，E-mail：wanggoody@126.com。

Received：2021-03-16

Foundation item：National Natural Science Foundation of China （No. 51778343）

Author brief：WANG Feng （1979- ）， PhD， associate professor， main research interest： nonlinear analysis and vibration control of cable structures， E-mail： wanggoody@126.com.

Hybrid whale optimization algorithm and genetic algorithm for optimization of GRNN for predicting stayed cable icing thickness

WANG Feng1， MAO Jinwei1， LIU Zhangjun2

（1. Hubei Key Laboratory of Disaster Prevention and Mitigation; College of Civil Engineering and Architecture， China Three Gorges University， Yichang 443002， Hubei， P. R. China; 2. School of Civil Engineering and Architecture， Wuhan Institute of Technology， Wuhan 430074， P. R. China）

Abstract： In order to estimate the icing growth characteristics of stay cables in the ice prone area in winter， the grey correlation analysis method is used to analyze the correlation effects of inclination angle， temperature， humidity， wind speed， rainfall and air pressure on the icing thickness of stay cables， and the correlation of each influential factor is determined. Then， the genetic algorithm （GA） and the whale algorithm （WOA） are combined to select the optimal smoothing factor， and a WOA-GA Optimized Generalized Regression Neural Network （GRNN） method is proposed to predict the icing thickness of stay cables. Its characteristic is to take the mean square deviation of output value and actual value as fitness function， and to calculate the fitness value of each particle; introducing the crossover and mutation operator of GA algorithm into WOA algorithm; meanwhile， via weight update strategy， the capacity of global optimization is improved， to prevent the WOA algorithm falling into local optimal; finally， through iterative optimization， the smooth factor corresponding to the minimum fitness value was output， and the GRNN pre optimization model was built. The results show that the correlation of ambient temperature is the highest， followed by dip angle， precipitation， wind speed and relative humidity， and the correlation of atmospheric pressure is the lowest; compared with the traditional GRNN， WOA-GRNN and PSO-GA-GRNN models， the proposed GRNN model has high accuracy， with the average mean absolute percentage error of 3.58% and root mean square error of 0.58 mm; The sensitivity analysis method is used to evaluate the impact of the influential factors on the accuracy of the model. It is found that the temperature has the greatest influence on the model， followed by the cable inclination.

Keywords：stayed cable; icing prediction; whale optimization algorithm; genetic algorithm; generalized regression neural network （GRNN）

斜拉橋跨越能力大、結(jié)構(gòu)輕盈、造型優(yōu)美，是大跨度橋梁的重要橋型。斜拉索是斜拉橋的主要承重構(gòu)件，在寒冷冬季，拉索的表面容易結(jié)冰[1]，覆冰會(huì)改變拉索氣動(dòng)外形，誘發(fā)低頻大幅的馳振[2]。當(dāng)結(jié)構(gòu)振動(dòng)或者溫度變化時(shí)，還會(huì)引發(fā)拉索冰凌墜落[3]，危害橋梁運(yùn)營(yíng)安全。

目前，斜拉索覆冰研究主要集中在覆冰后的氣動(dòng)特性，而對(duì)斜拉索早期結(jié)冰增長(zhǎng)及預(yù)測(cè)研究相對(duì)較少。Zarnani等[4]通過(guò)支持向量機(jī)與氣象資料結(jié)合的方式構(gòu)建導(dǎo)線覆冰預(yù)測(cè)系統(tǒng);Homola等[5]通過(guò)對(duì)葉片覆冰流場(chǎng)特性的數(shù)值研究，得到大氣溫度和水滴尺寸變化對(duì)風(fēng)力機(jī)葉片覆冰增長(zhǎng)過(guò)程的影響。黃新波等[6]將監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)通過(guò)學(xué)習(xí)算法產(chǎn)生模糊規(guī)則，并利用模糊邏輯理論建立導(dǎo)線覆冰厚度預(yù)測(cè)模型;黃宵寧等[7]通過(guò)均值算法對(duì)覆冰歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行優(yōu)化選擇，并構(gòu)建LS-SVM覆冰預(yù)測(cè)模型;劉宏偉等[8]通過(guò)建立多變量灰色模型，對(duì)輸電線路進(jìn)行覆冰厚度預(yù)測(cè)。文獻(xiàn)[9-11]從熱力學(xué)、流體力學(xué)等角度，研究了覆冰增長(zhǎng)機(jī)理和過(guò)程。文獻(xiàn)[12-13]根據(jù)歷史監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，通過(guò)對(duì)覆冰增長(zhǎng)的相關(guān)因素進(jìn)行分析，建立了數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)模型。

近年來(lái)，隨著人工智能技術(shù)的發(fā)展，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法逐步應(yīng)用到覆冰預(yù)測(cè)研究領(lǐng)域，不同于物理模型和傳統(tǒng)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)模型，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)針對(duì)覆冰過(guò)程的高維非線性特征具有很強(qiáng)的求解能力，現(xiàn)階段應(yīng)用較為成熟且準(zhǔn)確度較高。趙建坤[14]采用灰色關(guān)聯(lián)分析方法計(jì)算了不同影響因素對(duì)覆冰的相關(guān)性，提出了考慮微氣象的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)覆冰厚度預(yù)測(cè)模型;楊靜等[15]通過(guò)尋找影響覆冰局部變化的規(guī)律性，基于小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建了短期覆冰預(yù)測(cè)模型;王錦文[16]提出了基于改進(jìn)粒子群算法優(yōu)化的NRBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的覆冰預(yù)測(cè)模型，提高了覆冰預(yù)測(cè)精度。Xiong等[17]在BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和支持向量機(jī)等智能預(yù)測(cè)算法的基礎(chǔ)上提出了用思維進(jìn)化算法優(yōu)化結(jié)冰厚度的智能預(yù)測(cè)方法。

上述研究成果為斜拉索覆冰預(yù)測(cè)奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，目前，針對(duì)結(jié)構(gòu)短期覆冰預(yù)測(cè)方法，主要通過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模的方式，常見(jiàn)的有BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（GRNN）等，但BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的訓(xùn)練參數(shù)設(shè)置煩瑣，主觀因素會(huì)過(guò)多影響模型的預(yù)測(cè)精度;而傳統(tǒng)的GRNN求解過(guò)程空間復(fù)雜程度高，需要依靠大量樣本。另外，其他的預(yù)測(cè)模型尋優(yōu)方式單一，缺點(diǎn)突出，如遺傳算法編程復(fù)雜，收斂速度較慢，降低了模型預(yù)測(cè)效率。筆者針對(duì)斜拉索的雨凇覆冰，運(yùn)用灰色關(guān)聯(lián)分析方法，首先分析斜拉索傾角、溫度、濕度、風(fēng)速、降雨量以及氣壓對(duì)斜拉索雨凇覆冰厚度的關(guān)聯(lián)影響，然后聯(lián)合遺傳算法（GA）和鯨魚(yú)算法（WOA）進(jìn)行最優(yōu)光滑因子的選擇，提出一種WOA-GA算法優(yōu)化廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（GRNN）的斜拉索覆冰厚度預(yù)測(cè)方法，并通過(guò)算例與其他預(yù)測(cè)模型進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。

1 GRNN算法優(yōu)化

1.1 廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Generalized Regression Neural Network，GRNN）具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、設(shè)置參數(shù)單一等優(yōu)點(diǎn)[18]。在網(wǎng)絡(luò)模型建立中僅需要調(diào)節(jié)光滑因子σ，從而最大限度地降低人為因素干擾，減少模型建立的隨意性[19]。GRNN結(jié)構(gòu)如圖1所示[20]，包括輸入層（Input Layer）、模式層（Pattern Layer）、求和層（Summing Layer）、輸出層（Output Layer）。

假設(shè)隨機(jī)變量x和y聯(lián)合概率密度f(wàn)（x，y），令x=x0，則y對(duì)于x0的回歸值可表示為

（x0）=∫∞-∞yf（x0，y）dy∫∞-∞f（x0，y）（1）

訓(xùn)練樣本的輸入變量維數(shù)與神經(jīng)元個(gè)數(shù)相等，根據(jù)Parzen窗非參數(shù)估計(jì)法，則概率密度函數(shù)f（x0，y）可表示為

f（x0，y）=1σp+1n（2π）p+12∑ni=1e-d（x0，xi）e-d（y，yi）（2）

d（x0，xi）=∑pj=1x0j-xijσj2（3）

d（y，yi）=（y-yi）2（4）

式中：n為訓(xùn)練樣本的容量;p為隨機(jī)變量x的維數(shù);σ為光滑因子，也稱(chēng)為擴(kuò)展參數(shù)。將式（2）帶入式（1），整理可得

y（x0）=∑ni=1e-d（x0，xi）∫+∞-∞ye-d（y，yi）dy∑ni=1e-d（x0，xi）∫+∞-∞e-d（y，yi）dy（5）

在整體運(yùn)算過(guò)程中，影響GRNN性能的關(guān)鍵參數(shù)為σ（光滑因子）。當(dāng)σ取值過(guò)大，會(huì)使擬合結(jié)果更加趨近于樣本因變量平均值，當(dāng)σ取值過(guò)小，會(huì)使擬合結(jié)果接近訓(xùn)練樣本值，減少了網(wǎng)絡(luò)的泛化能力，降低了模型穩(wěn)定性。因此，對(duì)于GRNN模型預(yù)測(cè)能力的提升，實(shí)質(zhì)上轉(zhuǎn)變成對(duì)光滑因子σ的尋優(yōu)問(wèn)題。

1.2 鯨魚(yú)優(yōu)化算法

鯨魚(yú)算法（Whale Optimization Algorithm，WOA）基本思想來(lái)源于座頭鯨狩獵行為[21]。該算法通過(guò)模擬鯨魚(yú)特有的氣泡網(wǎng)覓食策略來(lái)達(dá)到優(yōu)化目的。以下為尋優(yōu)算法的3個(gè)階段。

1）包圍獵物

由于最優(yōu)問(wèn)題求解并不是先驗(yàn)已知，鯨魚(yú)算法會(huì)通過(guò)隨機(jī)假設(shè)個(gè)體所處位置，在搜索過(guò)程中不斷更新自身位置，其數(shù)學(xué)模型為

D=C→·X*（t）-X（t）（6）

X（t+1）=X*（t）-A·D（7）

式中：t為當(dāng)前迭代次數(shù);X為當(dāng)前個(gè)體坐標(biāo)向量;X*為當(dāng)前位置最優(yōu)解向量。A、C為系數(shù)向量，其公式為

A=2a·r1-a（8）

C=2·r2（9）

式中：a為收斂因子，隨著迭代次數(shù)從2線性減小到0;r1和r2為[0，1]產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)。

2）氣泡網(wǎng)攻擊

鯨魚(yú)通常以氣泡網(wǎng)攻擊的方式進(jìn)行捕食，為了從數(shù)學(xué)角度更好地解讀這種覓食行為，設(shè)計(jì)了收縮包圍機(jī)制和螺旋更新位置兩種方法。

收縮包圍是通過(guò)減少式（8）中的a來(lái)實(shí)現(xiàn)鯨魚(yú)群體向選中個(gè)體逼近的過(guò)程，當(dāng)前個(gè)體位置向量（X，Y）收縮至最優(yōu)位置向量（X*，Y*）。

螺旋更新位置主要是模擬鯨魚(yú)群體靠近獵物的路徑，該方法的數(shù)字表達(dá)式是根據(jù)當(dāng)前位置向量（X，Y）與當(dāng)前最優(yōu)位置（X*，Y*）之間的距離來(lái)確定。

3）隨機(jī)搜索

除了上述氣泡網(wǎng)攻擊以外，鯨魚(yú)會(huì)隨機(jī)搜索獵物，系數(shù)A>1時(shí)，表示鯨魚(yú)在收縮包圍圈外游動(dòng)，此時(shí)鯨魚(yú)個(gè)體根據(jù)彼此位置進(jìn)行隨機(jī)搜索。

WOA算法隨機(jī)初始化一組解，每一次迭代過(guò)程中都會(huì)根據(jù)最優(yōu)解更新自身位置。在尋優(yōu)過(guò)程中，收斂因子a很大程度上會(huì)影響算法的效率;過(guò)大的收斂因子雖然可以提升全局搜索的能力，但搜索速度慢;較小的收斂因子會(huì)增加局部搜索的能力，但容易陷入局部最優(yōu)，導(dǎo)致收斂精度不高，進(jìn)而無(wú)法高效地尋求最優(yōu)解。

1.3 遺傳算法

遺傳算法是一種仿生物學(xué)算法，通過(guò)模擬自然選擇來(lái)尋找最優(yōu)解[22]。在遺傳算法的執(zhí)行過(guò)程中，利用個(gè)體對(duì)環(huán)境的適應(yīng)能力決定染色體的淘汰或者保留?；具z傳算法主要由選擇（Selection）、交叉（Crossover）、變異（Mutation）3種算子組成。

選擇操作是指在原有群體的基礎(chǔ)上以一定概率選擇個(gè)體到新種群中，這種概率往往通過(guò)適應(yīng)度值大小決定。交叉操作是指從群體中選擇兩個(gè)個(gè)體，通過(guò)染色體的交換來(lái)產(chǎn)生新的優(yōu)秀個(gè)體，不同的編碼方式對(duì)應(yīng)不同的交叉方法。變異操作是指從群體中任選一個(gè)個(gè)體，選擇染色體中的一點(diǎn)進(jìn)行變異，從而產(chǎn)生更優(yōu)的個(gè)體。

正是由于選擇、交叉和變異等操作，才使得遺傳算法具有良好的全局尋優(yōu)能力，減少了陷入局部最優(yōu)的可能性。但遺傳算法因結(jié)構(gòu)復(fù)雜，求解時(shí)間也會(huì)進(jìn)一步延長(zhǎng)，限制了局部搜索最優(yōu)解的能力，從而會(huì)在接近最優(yōu)解時(shí)出現(xiàn)停滯。

2 WOA-GA-GRNN覆冰預(yù)測(cè)模型

2.1 混合WOA-GA算法的尋優(yōu)方式

目前基于GRNN的傳統(tǒng)組合算法多采用單一尋優(yōu)方式。例如GA優(yōu)化GRNN[23]。由上述算法的分析可知，WOA-GRNN中的系數(shù)向量A過(guò)于依賴(lài)收斂因子a，在收斂速度和收斂精度上還需要進(jìn)一步調(diào)整;同時(shí)，遺傳算法求解到一定范圍會(huì)出現(xiàn)大量無(wú)用迭代，從而導(dǎo)致計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)、效率低。因此，為解決上述兩種算法的缺陷，本文考慮組合算法的模式，利用串行式[24]方法融合WOA和GA，以輸出值與實(shí)際值的均方差（MSE）作為適應(yīng)度函數(shù)，將GA算法的交叉和變異算子引入WOA算法中，同時(shí)，借助權(quán)重更新策略，提升算法多樣性，加快收斂速度，提高收斂精度。

本文中的算法是以輸出值與實(shí)際值的均方差進(jìn)行方向搜索，均方差越小，說(shuō)明模擬結(jié)果誤差越小，因此，將均方差作為模型適應(yīng)度函數(shù)值求解計(jì)算每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度值，標(biāo)記最優(yōu)個(gè)體位置，其公式為

MSE=1N∑Nn=1yn-y∧n2（10）

為解決鯨魚(yú)個(gè)體在圍獵行為中的選擇問(wèn)題，假設(shè)在收縮包圍機(jī)制和螺旋更新位置兩者中選擇概率均為50%，其數(shù)學(xué)模型為

X*（t+1）=

X*（t）-A·D，p<0.5

X*（t）+D·ebl·cos（2πl(wèi)），p≥0.5（11）

1）交叉變異算子

遺傳算法采取實(shí)數(shù)值編碼，隨機(jī)生成[0，1]之間的捕食行為概率值p，如果p≥0.5，則個(gè)體依據(jù)公式以變異概率Pm對(duì)該個(gè)體進(jìn)行變異操作，得到新的個(gè)體。

X*（t+1）=X*+PmX*（t）-X（12）

若概率值p<0.5且A<1，進(jìn)一步選擇全局最優(yōu)個(gè)體與當(dāng)前個(gè)體進(jìn)行交叉操作，獲得一個(gè)新個(gè)體替換當(dāng)前個(gè)體，交叉概率為Pc，其交叉公式為

Xi（t+1）=Pc×Xi（t）+（1-Pc）Xj（t）

Xj（t+1）=（1-Pc）×Xi（t）+PcXj（t） （13）

Pc為[0，1]間的隨機(jī)數(shù)。Xi與Xj分別為全局最優(yōu)個(gè)體與當(dāng)前個(gè)體。

2）自適應(yīng)權(quán)重更新策略

交叉算子雖然在一定程度上可以提升算法性能，但在局部搜索中，交叉算法結(jié)構(gòu)會(huì)影響優(yōu)化效率，不能很好地平衡預(yù)測(cè)模型在全局與局部之間的關(guān)系。為此，在局部搜索中參考粒子群（PSO）算法的權(quán)重更新策略[25]，當(dāng)p<0.5且A≥1時(shí)，對(duì)輸出值進(jìn)行自適應(yīng)變異更新，如式（14）所示。

X（t+1）=ωX*（t）-ACX*（t）-X（t）（14）

ω=ωmax-Gi（ωmax-ωmin）Gmax（15）

式中：ω為權(quán)重系數(shù);Gmax為最大迭代次數(shù);Gi為當(dāng)前迭代次數(shù)。

當(dāng)?shù)瓿珊?，選取最小適應(yīng)度值對(duì)應(yīng)的光滑因子σ，利用最優(yōu)光滑因子建立GRNN模型，對(duì)測(cè)試樣本進(jìn)行預(yù)測(cè)。

2.2 模型構(gòu)建流程與步驟

WOA-GA-GRNN建模流程如圖2所示，具體建模流程如下：

1）數(shù)據(jù)分割與歸一化。將數(shù)據(jù)集分成訓(xùn)練樣本和測(cè)試樣本，并將測(cè)試樣本分成兩組進(jìn)行交叉驗(yàn)證，鑒于指標(biāo)量綱不同，需要對(duì)試驗(yàn)采取的覆冰厚度、環(huán)境溫度、相對(duì)濕度、風(fēng)速、傾角等不同類(lèi)型的數(shù)據(jù)按式（16）進(jìn)行歸一化處理。

xk=xk-xminxmax-xmin（16）

式中：xmin為原始數(shù)據(jù)的最小值;xmax為原始數(shù)據(jù)的最大值。

2）初始化參數(shù)設(shè)置。確定生成鯨魚(yú)種群X，其中X是由光滑因子σ組成的一維向量，設(shè)置WOA算法以及GA算法的相關(guān)參數(shù)，如種群規(guī)模、迭代次數(shù)、變異概率、交叉概率等。

3）計(jì)算每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度值。以GRNN網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練樣本中輸出值與實(shí)際值的均方差作為適應(yīng)度函數(shù)，計(jì)算每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度值，標(biāo)記最優(yōu)個(gè)體位置。

4）隨機(jī)生成[0，1]之間的捕食行為概率值p，判斷p值大小，若p>0.5，則進(jìn)行變異操作;反之，直接跳轉(zhuǎn)到第5步。

5）若A<1，將全局最優(yōu)個(gè)體與當(dāng)前個(gè)體進(jìn)行交叉操作，選擇交叉后的個(gè)體替換當(dāng)前個(gè)體;若A≥1，操作按照自適應(yīng)函數(shù)值進(jìn)行尋優(yōu)替換，得到新的個(gè)體。

6）比較當(dāng)前個(gè)體適應(yīng)度值與歷史最優(yōu)適應(yīng)度值大小，如果更優(yōu)，則更新為全局極值，進(jìn)一步與全局極值對(duì)比，選取最優(yōu)值作為全局極值。

7）判斷是否達(dá)到終止條件。選用最大迭代次數(shù)作為終止條件，若已達(dá)到，則停止計(jì)算。否則跳轉(zhuǎn)到步驟3）。

8）選取最小適應(yīng)度值對(duì)應(yīng)的最優(yōu)位置向量，即光滑因子σ，利用最優(yōu)光滑因子建立GRNN模型，對(duì)測(cè)試樣本進(jìn)行預(yù)測(cè)。

2.3 模型評(píng)價(jià)指標(biāo)

預(yù)測(cè)效果指標(biāo)通常利用預(yù)測(cè)值和真實(shí)值之間的誤差來(lái)確定，為驗(yàn)證模型預(yù)測(cè)效果的優(yōu)劣性，選用平均絕對(duì)誤差百分比（MAPE）以及均方根誤差（RMSE）作為模型預(yù)測(cè)評(píng)價(jià)指標(biāo)。

1）平均絕對(duì)誤差百分比（Mean Absolute Percentage Error）

MAPE=100%n∑ni=1i，n-xi，nxi，n（17）

2）均方根誤差（Root Mean Squared Error）

RMSE=∑Ni=1（i，n-xi，n）2N（18）

3 仿真及分析

3.1 樣本選取及灰色關(guān)聯(lián)性分析

斜拉索覆冰預(yù)測(cè)較為復(fù)雜，若完全按照實(shí)際情況確定影響因素，則預(yù)測(cè)模型輸入變量數(shù)較多，會(huì)導(dǎo)致模型學(xué)習(xí)效率降低，泛化能力減弱;若過(guò)分簡(jiǎn)化輸入變量的數(shù)量，又會(huì)導(dǎo)致預(yù)測(cè)誤差增大等問(wèn)題。因此，為了準(zhǔn)確預(yù)測(cè)拉索覆冰厚度，探索覆冰厚度增長(zhǎng)過(guò)程與各因素間的相關(guān)關(guān)系，采用灰色關(guān)聯(lián)分析，找出影響拉索覆冰厚度的重要因素，提高預(yù)測(cè)模型求解效率，提升預(yù)測(cè)效果。結(jié)合文獻(xiàn)[26]給出的拉索覆冰試驗(yàn)數(shù)據(jù)，選取試驗(yàn)記錄中18：00至第二天11：00間的環(huán)境溫度、相對(duì)濕度、風(fēng)速、降雨量、氣壓以及不同傾角下的覆冰厚度，如圖3、圖4所示，數(shù)據(jù)采集的時(shí)間間隔為30 min。

試驗(yàn)在同一環(huán)境下設(shè)置了5種傾角，分別為0°、10°、20°、30°和45°，表1記錄了5種傾角下的拉索覆冰厚度，相鄰兩行的時(shí)間間隔為30 min。

利用MATLAB編程計(jì)算，可得到各個(gè)相關(guān)因素與覆冰厚度之間的灰色關(guān)聯(lián)相關(guān)性結(jié)果，如表2所示。

一般而言，灰色綜合關(guān)聯(lián)度分為3類(lèi)，0～0.3為無(wú)相關(guān)性，0.3～0.5為弱相關(guān)性，0.5～1為強(qiáng)相關(guān)性。由表2結(jié)果可知，相關(guān)性大小排序?yàn)椋涵h(huán)境溫度>傾角>降水量>風(fēng)速>相對(duì)濕度>氣壓;其中，與覆冰厚度關(guān)聯(lián)度最高的是環(huán)境溫度，傾角的關(guān)聯(lián)度僅次于環(huán)境溫度，說(shuō)明傾角是斜拉索覆冰預(yù)測(cè)的重要影響因素。風(fēng)速和降水量的關(guān)聯(lián)值相近，相對(duì)濕度關(guān)聯(lián)度排在第5位。雖然氣壓與覆冰增長(zhǎng)有所關(guān)聯(lián)，但關(guān)聯(lián)度處于0.3～0.5之間，屬于弱相關(guān)。

3.2 預(yù)測(cè)模型的驗(yàn)證分析

預(yù)測(cè)模型輸入變量較多時(shí)，會(huì)影響預(yù)測(cè)效率，增大預(yù)測(cè)機(jī)時(shí)。因此，為了降低變量輸入維度，減小訓(xùn)練時(shí)間，同時(shí)，控制預(yù)測(cè)模型的計(jì)算誤差，本文僅選取關(guān)聯(lián)度大于0.5的強(qiáng)相關(guān)性因素，忽略氣壓的弱相關(guān)性影響，傾角、環(huán)境溫度、相對(duì)濕度、風(fēng)速、降雨量作為預(yù)測(cè)模型輸入變量，覆冰厚度作為輸出量。為了驗(yàn)證WOA-GA算法優(yōu)化GRNN預(yù)測(cè)結(jié)果的有效性，分別采用傳統(tǒng)單一的GRNN、WOA-GRNN、PSO-GA-GRNN對(duì)相同訓(xùn)練樣本進(jìn)行比較分析。將表1中35組樣本數(shù)據(jù)分為訓(xùn)練樣本和測(cè)試樣本，其中編號(hào)1～25作為訓(xùn)練樣本，編號(hào)26～35作為模型測(cè)試樣本。

主要參數(shù)設(shè)置：種群數(shù)Size=30，最大迭代次數(shù)N=100，編碼長(zhǎng)度l=7，交叉概率PC=0.7，變異概率Pm=0.3，未經(jīng)優(yōu)化的GRNN在經(jīng)過(guò)多次試驗(yàn)后光滑因子σ取值為0.1。選取輸出值與實(shí)際值的均方差作為適應(yīng)度函數(shù)。模型訓(xùn)練過(guò)程中，將訓(xùn)練樣本劃分為2組進(jìn)行交叉驗(yàn)證。

圖5為4種模型覆冰預(yù)測(cè)值曲線與實(shí)際值曲線的對(duì)比。由圖可知，單一GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和WOA-GRNN模型預(yù)測(cè)值曲線與實(shí)際值差距較大，經(jīng)過(guò)PSO-GA組合優(yōu)化的GRNN網(wǎng)絡(luò)雖然較前兩者有一定的提升，但由于PSO算法極易陷入到局部最優(yōu)值，導(dǎo)致后5組預(yù)測(cè)值與實(shí)際值存在較大偏差。從圖5中的預(yù)測(cè)曲線可以看出，經(jīng)過(guò)鯨魚(yú)算法和遺傳算法的互補(bǔ)，WOA-GA-GRNN預(yù)測(cè)模型的擬合效果更符合覆冰發(fā)展的趨勢(shì)，預(yù)測(cè)值也更接近實(shí)際值。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證模型的有效性，以平均絕對(duì)誤差百分比（MAPE）和均方根誤差（RMSE）作為模型精度的評(píng)價(jià)指標(biāo)，得到的4種模型預(yù)測(cè)精度如表3所示。

由表3對(duì)比可知，WOA-GA-GRNN斜拉索覆冰預(yù)測(cè)模型的相對(duì)誤差均在5%以下。與GRNN預(yù)測(cè)模型、WOA-GRNN模型以及PSO-GA-GRNN預(yù)測(cè)模型相比，WOA-GA-GRNN預(yù)測(cè)模型的平均絕對(duì)誤差百分比較前三者分別下降了65.7%、48.9%、38.3%;與PSO-GA-GRNN預(yù)測(cè)模型相比，經(jīng)過(guò)WOA-GA優(yōu)化后的GRNN預(yù)測(cè)模型均方根誤差下降到了0.58 mm。因此，WOA-GA混合算法優(yōu)化后的GRNN網(wǎng)絡(luò)模型可以進(jìn)一步降低預(yù)測(cè)誤差，模型擬合效果更優(yōu)。

GRNN、PSO-GA-GRNN與WOA-GA-GRNN訓(xùn)練過(guò)程中的適應(yīng)變化曲線對(duì)比如圖6所示。本文算法選取訓(xùn)練樣本中的輸出值與實(shí)際值的均方差作為適應(yīng)度函數(shù)，因此，適應(yīng)度值越小，說(shuō)明均方差越小，GRNN網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)誤差也越小。

由圖6可知，WOA-GA-GRNN模型相較于另外兩種算法在收斂速度上更快。該模型將GA算法的交叉和變異算子引入WOA算法中，更新和優(yōu)化個(gè)體種群，避免了WOA算法陷入局部最優(yōu)解，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔，運(yùn)算速度大幅提升。

3.3 擬合效果分析

決定系數(shù)也稱(chēng)為擬合優(yōu)度，通常用R2表示;決定系數(shù)的范圍為[0，1]，R2越趨近于1，代表模型的擬合效果越好。選取決定系數(shù)作為衡量模型擬合效果的指標(biāo)。4種預(yù)測(cè)模型的決定系數(shù)以及回歸分析對(duì)比如圖7所示。

由圖7可知，WOA-GA優(yōu)化后的GRNN決定系數(shù)最高。這說(shuō)明模型的預(yù)測(cè)效果更加貼合實(shí)際覆冰規(guī)律。相比而言，PSO-GA-GRNN的擬合效果在4種模型中最差，但從表3中的結(jié)果來(lái)看，相對(duì)誤差和均方根誤差卻很小。其原因是決定系數(shù)的計(jì)算類(lèi)似于回歸分析，是從對(duì)整個(gè)測(cè)試樣本的擬合效果出發(fā)，而模型誤差評(píng)價(jià)更看重單個(gè)樣本與實(shí)際值的比較，決定系數(shù)注重整體，而誤差分析更著眼于局部。

因此，無(wú)論從誤差評(píng)價(jià)指標(biāo)還是決定系數(shù)分析結(jié)果來(lái)看，經(jīng)過(guò)WOA-GA優(yōu)化后的GRNN預(yù)測(cè)模型更加適合斜拉索覆冰預(yù)測(cè)。

3.4 因素敏感性分析

利用因素敏感性分析方法可以直觀評(píng)價(jià)出不同影響因素對(duì)模型預(yù)測(cè)精度的敏感程度。

通過(guò)敏感性分析法，對(duì)5個(gè)主要影響因素分別建立預(yù)測(cè)模型，具體過(guò)程為：在其他因素均不發(fā)生變化的情況下，逐次減少單個(gè)因素Xi，建立對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)模型Wi。其中，i為每次減少的主要因素，與之對(duì)應(yīng)的為溫度（X1）、傾角（X2）、相對(duì)濕度（X3）、風(fēng)速（X4）、降雨量（X5），將每一組模型預(yù)測(cè)值與實(shí)際覆冰厚度進(jìn)行比較，具體預(yù)測(cè)結(jié)果如圖8所示。

由圖8可知，在缺少任何一種因素下的預(yù)測(cè)曲線與實(shí)際值曲線有著一定的偏差，每個(gè)樣本點(diǎn)與實(shí)際值之間的誤差較大。

為進(jìn)一步評(píng)價(jià)因素的敏感性大小，將平均絕對(duì)誤差百分比（MAPE）作為敏感程度的評(píng)價(jià)指標(biāo)。計(jì)算得到缺少某種因素條件下模型誤差模型預(yù)測(cè)精度如表4所示。

由表4可知，斜拉索的覆冰厚度對(duì)溫度（X1）最為敏感，缺少溫度條件后的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值平均相對(duì)誤差為11.2%，其次為傾角（X2），缺少傾角后的平均相對(duì)誤差為10.8%，敏感程度最低的是相對(duì)濕度（X3），其平均相對(duì)誤差為7.12%，在缺少風(fēng)速（X4）、降雨量（X5）條件下對(duì)應(yīng)的平均相對(duì)誤差分別為7.22%和7.10%。

實(shí)際上，影響斜拉索覆冰增長(zhǎng)的因素較多，其中，溫度是影響覆冰最基本的條件之一，在拉索表面易覆冰時(shí)的溫度一般為-5～-1 ℃。如果溫度過(guò)高，空氣中液態(tài)水在碰撞拉索表面后因不能迅速凍結(jié)而滴落;如果溫度過(guò)低，液態(tài)水與空氣的熱交換速率加快，水滴在下落的過(guò)程中就已經(jīng)變成雪花，無(wú)法形成覆冰。

斜拉索覆冰本質(zhì)上是一種能量轉(zhuǎn)化的物理過(guò)程，當(dāng)空氣中的過(guò)冷卻液滴碰撞到斜拉索上，與拉索表面形成熱量交換進(jìn)而固化積冰[27]。因此，在覆冰過(guò)程中，過(guò)冷卻水與拉索表面的碰撞和凍結(jié)過(guò)程密不可分。另外，傾角會(huì)影響到液態(tài)水滴碰撞拉索的概率以及液滴的黏附。當(dāng)空氣中的液態(tài)水碰撞到拉索后，因?yàn)榄h(huán)境條件的影響，液態(tài)水滴并不會(huì)立刻結(jié)冰，而會(huì)隨著傾斜的拉索形成滾動(dòng)的水滴，傾角越大，其液態(tài)水滴的勢(shì)能越大，增加了單位時(shí)間內(nèi)滾動(dòng)雨滴的數(shù)量，從而導(dǎo)致覆冰厚度隨著傾角的增加而減小。

4 結(jié)論

提出了一種基于WOA-GA混合算法優(yōu)化廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（GRNN）的斜拉索覆冰厚度預(yù)測(cè)方法，并與傳統(tǒng)的預(yù)測(cè)模型進(jìn)行對(duì)比分析，得到以下主要結(jié)論：

1）傾角、溫度、相對(duì)濕度、風(fēng)速、降水量與斜拉索的覆冰厚度具有較高的關(guān)聯(lián)性，其中，環(huán)境溫度關(guān)聯(lián)性最高，依次是傾角、降水量、風(fēng)速、相對(duì)濕度。氣壓灰色關(guān)聯(lián)度低于0.5，與覆冰厚度呈低相關(guān)性，在模型輸入變量選取時(shí)應(yīng)當(dāng)剔除。

2）WOA-GA-GRNN覆冰預(yù)測(cè)的精度高，誤差小，決定系數(shù)較高。其平均絕對(duì)誤差百分比僅為3.58%，均方根誤差為0.58 mm，平均絕對(duì)誤差百分比較GRNN、WOA-GRNN、PSO-GA-GRNN預(yù)測(cè)模型分別下降了65.7%、48.9%、38.3%。

3）敏感性大小排序?yàn)椋簻囟?gt;傾角>降雨量>風(fēng)速>濕度。缺少傾角條件后的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值平均絕對(duì)誤差百分比高達(dá)10.8%。因此，拉索覆冰預(yù)測(cè)時(shí)，傾角不容忽視。

WOA-GA-GRNN建模方法通過(guò)在WOA中引入遺傳算法的交叉和變異操作，應(yīng)用混合后的算法尋找GRNN網(wǎng)絡(luò)光滑因子最優(yōu)值，克服了GRNN網(wǎng)絡(luò)光滑因子難以確定的缺點(diǎn)，同時(shí)，有效改善了GA算法收斂速度慢和WOA算法粒子收斂精度不高，容易陷入局部最優(yōu)等缺陷。該方法可用于斜拉索冬季覆冰短期預(yù)測(cè)。參考文獻(xiàn)：

[1] 王凱麗， 譚冬梅， 瞿偉廉， 等. 兩種典型覆冰斜拉索氣動(dòng)特性及馳振分析[J]. 噪聲與振動(dòng)控制， 2017， 37（4）： 126-131， 149.

WANG K L， TAN D M， QU W L， et al. Analysis of aerodynamic characteristics and galloping performance for two typical iced stay cables [J]. Noise and Vibration Control， 2017， 37（4）： 126-131， 149. （in Chinese）

[2] 李壽英， 黃韜， 葉繼紅. 覆冰斜拉索馳振穩(wěn)定性的理論研究[J]. 振動(dòng)與沖擊， 2013， 32（1）： 122-127.

LI S Y， HUANG T， YE J H. Theoretical analysis of galloping stability for stay cables with iced accretions [J]. Journal of Vibration and Shock， 2013， 32（1）： 122-127. （in Chinese）

[3] MATEJICKA L， GEORGAKIS C T， SCHWARZ A， et al. Cable surface for the reduction of risk associated with bridge cable ice accretions [J]. Structural Engineering International， 2019， 29（3）： 425-432.

[4] ZARNANI A， MUSILEK P， SHI X Y， et al. Learning to predict ice accretion on electric power lines [J]. Engineering Applications of Artificial Intelligence， 2012， 25（3）： 609-617.

[5] HOMOLA M C， VIRK M S， WALLENIUS T， et al. Effect of atmospheric temperature and droplet size variation on ice accretion of wind turbine blades [J]. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics， 2010， 98（12）： 724-729.

[6] 黃新波， 李佳杰， 歐陽(yáng)麗莎， 等. 采用模糊邏輯理論的覆冰厚度預(yù)測(cè)模型[J]. 高電壓技術(shù)， 2011， 37（5）： 1245-1252.

HUANG X B， LI J J， OUYANG L S， et al. Icing thickness prediction model using fuzzy logic theory [J]. High Voltage Engineering， 2011， 37（5）： 1245-1252. （in Chinese）

[7] 黃宵寧， 許家浩， 楊成順， 等. 基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)算法和LS-SVM的輸電線路覆冰預(yù)測(cè)[J]. 電力系統(tǒng)自動(dòng)化， 2014， 38（15）： 81-86.

HUANG X N， XU J H， YANG C S， et al. Transmission line icing prediction based on data driven algorithm and LS-SVM [J]. Automation of Electric Power Systems， 2014， 38（15）： 81-86. （in Chinese）

[8] 劉宏偉， 陸佳政， 賴(lài)旬陽(yáng)， 等. 輸電線路覆冰厚度短期多變量灰色預(yù)測(cè)模型研究[J]. 高電壓技術(shù)， 2015， 41（10）： 3372-3377.

LIU H W， LU J Z， LAI X Y， et al. Short-term multi-variable grey model in predicting icing thickness on transmission lines [J]. High Voltage Engineering， 2015， 41（10）： 3372-3377. （in Chinese）

[9] MAKKONEN L. Models for the growth of rime， glaze， icicles and wet snow on structures [J]. Philosophical Transactions of the Royal Society of London Series A： Mathematical， Physical and Engineering Sciences， 2000， 358（1776）： 2913-2939.

[10] 孫才新， 蔣興良， 熊啟新， 等. 導(dǎo)線覆冰及其干濕增長(zhǎng)臨界條件分析[J]. 中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)， 2003， 23（3）： 141-145.

SUN C X， JIANG X L， XIONG Q X， et al. Analysis of critical icing conditions of conductor and wet-dry growth [J]. Proceedings of the CSEE， 2003， 23（3）： 141-145. （in Chinese）

[11] 蔣興良， 申強(qiáng). 環(huán)境參數(shù)對(duì)導(dǎo)線覆冰厚度影響的試驗(yàn)分析[J]. 高電壓技術(shù)， 2010， 36（5）： 1096-1100.

JIANG X L， SHEN Q. Experimental research on influence of environmental parameters on the conductor icing thickness [J]. High Voltage Engineering， 2010， 36（5）： 1096-1100. （in Chinese）

[12] 江志紅， 劉冬， 劉渝，等. 導(dǎo)線覆冰極值的概率分布模擬及其應(yīng)用試驗(yàn)[J]. 大氣科學(xué)學(xué)報(bào)， 2010， 33（4）： 385-394.

JIANG Z H， LIU D， LIU Y， et al. Study on the probability distribution simulation of conductor icing and its application test [J]. Transactions of Atmospheric Sciences， 2010， 33（4）： 385-394. （in Chinese）

[13] 鄒明華， 鄧洪洲. 輸電線路設(shè)計(jì)覆冰厚度統(tǒng)計(jì)模型取用[J]. 電網(wǎng)與清潔能源， 2010， 26（1）： 40-44.

ZOU M H， DENG H Z. Study on probability distribution model of designed ice load for transmission lines [J]. Power System and Clean Energy， 2010， 26（1）： 40-44. （in Chinese）

[14] 趙建坤. 架空輸電線路覆冰厚度預(yù)測(cè)模型研究[D]. 北京： 華北電力大學(xué)， 2016.

ZHAO J K. Research on icing thickness prediction model of overhead transmission lines [D]. Beijing： North China Electric Power University， 2016. （in Chinese）

[15] 楊靜， 李英娜， 趙振剛， 等. 基于相空間重構(gòu)小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的短期覆冰預(yù)測(cè)[J]. 傳感器與微系統(tǒng)， 2019， 38（9）： 108-111.

YANG J， LI Y N， ZHAO Z G， et al. Short-term icing forecasting based on phase space reconstruction wavelet neural network [J]. Transducer and Microsystem Technologies， 2019， 38（9）： 108-111. （in Chinese）

[16] 王錦文. 基于改進(jìn)粒子算法優(yōu)化NRBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的覆冰厚度預(yù)測(cè)模型[J]. 電力科學(xué)與技術(shù)學(xué)報(bào)， 2012， 27（4）： 76-80.

WANG J W. Ice thickness prediction model of transmission line based on improved particle swarm algorithm to optimize NRBF neural network [J]. Journal of Electric Power Science and Technology， 2012， 27（4）： 76-80. （in Chinese）

[17] XIONG W， YUAN H J， YOU L. Prediction method of icing thickness of transmission line based on MEAO [J]. Cluster Computing， 2018， 21（1）： 845-853.

[18] SPECHT D F. A general regression neural network [J]. IEEE Transactions on Neural Networks， 1991， 2（6）： 568-576.

[19] 賈義鵬， 呂慶， 尚岳全. 基于粒子群算法和廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的巖爆預(yù)測(cè)[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)， 2013， 32（2）： 343-348.

JIA Y P， LV Q， SHANG Y Q. Rockburst prediction using particle swarm optimization algorithm and general regression neural network [J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2013， 32（2）： 343-348. （in Chinese）

[20] 王文輝， 駱正山， 張新生. 基于PSO-GRNN模型的埋地管道腐蝕剩余壽命預(yù)測(cè)[J]. 表面技術(shù)， 2019， 48（10）： 267-275， 284.

WANG W H， LUO Z S， ZHANG X S. Prediction on remaining service life of buried pipeline after corrosion based on PSO-GRNN model [J]. Surface Technology， 2019， 48（10）： 267-275， 284. （in Chinese）

[21] 李西興， 楊道明， 李鑫， 等. 基于混合遺傳鯨魚(yú)優(yōu)化算法的柔性作業(yè)車(chē)間自動(dòng)導(dǎo)引車(chē)融合調(diào)度方法[J]. 中國(guó)機(jī)械工程， 2021， 32（8）： 938-950， 986.

LI X X， YANG D M， LI X， et al. Flexible job shop AGV fusion scheduling method based on HGWOA [J]. China Mechanical Engineering， 2021， 32（8）： 938-950， 986. （in Chinese）

[22] 丁楊， 周雙喜， 董晶亮， 等. 人工智能方法在土木工程監(jiān)測(cè)中的運(yùn)用[J]. 材料導(dǎo)報(bào)， 2019， 33（Sup1）： 274-277.

DING Y， ZHOU S X， DONG J L， et al. Application comparison of artificial intelligence method in civil engineering monitoring [J]. Materials Reports， 2019， 33（Sup1）： 274-277. （in Chinese）

[23] 王雨， 劉國(guó)彬， 屠傳豹. 基于遺傳GRNN在深基坑地連墻測(cè)斜預(yù)測(cè)中的研究[J]. 巖土工程學(xué)報(bào)， 2012， 34（Sup1）： 167-171.

WANG Y， LIU G B， TU C B. Deformation prediction for deep excavations based on genetic algorithms-GRNN [J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering， 2012， 34（Sup1）： 167-171. （in Chinese）

[24] ROBINSON J， SINTON S， RAHMAT-SAMII Y. Particle swarm， genetic algorithm， and their hybrids： Optimization of a profiled corrugated horn antenna [C]//IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium （IEEE Cat. No.02CH37313）. June 16-21， 2002， San Antonio， TX， USA. IEEE， 2002： 314-317.

[25] 張公凱， 陳才學(xué)， 鄭拓. 改進(jìn)鯨魚(yú)算法在電動(dòng)汽車(chē)有序充電中的應(yīng)用[J]. 計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用， 2021， 57（4）： 272-278.

ZHANG G K， CHEN C X， ZHENG T. Application of improved whale optimization algorithm in ordered charging of electric vehicle [J]. Computer Engineering and Applications， 2021， 57（4）： 272-278. （in Chinese）

[26] 馮一凡， 毛毳. 斜拉索覆冰形態(tài)試驗(yàn)研究[J]. 天津城建大學(xué)學(xué)報(bào)， 2019， 25（1）： 20-25.

FENG Y F， MAO C. Research on the model of ice accretion on inclined cable [J]. Journal of Tianjin Chengjian University， 2019， 25（1）： 20-25. （in Chinese）

[27] 朱永燦. 架空輸電線路覆冰生長(zhǎng)模型及其關(guān)鍵參數(shù)研究[D]. 西安： 西安電子科技大學(xué)， 2017.

ZHU Y C. Research on the icing growth model and key parameters on overhead transmission lines [D]. Xian： Xidian University， 2017. （in Chinese）

（編輯 王秀玲）