基于稀疏子孔徑的大口徑準(zhǔn)直波前評(píng)價(jià)

萬(wàn) 鑫，田愛(ài)玲，王大森，劉丙才，朱學(xué)亮，王紅軍

（1.西安工業(yè)大學(xué) 光電工程學(xué)院 陜西省薄膜技術(shù)與光學(xué)檢測(cè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710021；2.內(nèi)蒙古金屬材料研究所，浙江 寧波 315103）

引言

波長(zhǎng)調(diào)諧干涉儀通過(guò)改變光源波長(zhǎng)實(shí)現(xiàn)移相，相對(duì)于傳統(tǒng)的機(jī)械式移相方式簡(jiǎn)化了機(jī)械結(jié)構(gòu)，對(duì)大口徑光學(xué)元件的檢測(cè)有很好的適用性。在波長(zhǎng)調(diào)諧干涉儀的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中，準(zhǔn)直光路的準(zhǔn)直波前質(zhì)量好壞影響著儀器的檢測(cè)結(jié)果。針對(duì)300 mm口徑的波長(zhǎng)調(diào)諧干涉儀，為了保證系統(tǒng)的檢測(cè)精度，必須對(duì)干涉儀的準(zhǔn)直波前質(zhì)量進(jìn)行評(píng)價(jià)。

準(zhǔn)直波前的評(píng)價(jià)方法主要有剪切干涉法[1-4]、夏克-哈特曼法[5-6]、五棱鏡掃描法[7-8]、子孔徑拼接法[9]等。剪切干涉法和夏克-哈特曼法需要有效口徑與全口徑波前相當(dāng)?shù)母呔葯z具，波前口徑的增大會(huì)導(dǎo)致檢具成本增加和制造困難，不適于評(píng)價(jià)大口徑波前。五棱鏡掃描法通過(guò)擬合采樣波前斜率重構(gòu)波前，一次只能得到波前一條截面法線方向的信息。子孔徑拼接法以延長(zhǎng)測(cè)試周期為代價(jià)保證波前細(xì)節(jié)信息的獲取，測(cè)試效率隨波前口徑的增大而下降，測(cè)試周期過(guò)長(zhǎng)增加了隨機(jī)噪聲對(duì)重構(gòu)精度的影響。由于大口徑干涉儀的準(zhǔn)直波前評(píng)價(jià)主要關(guān)注低頻信息，且波前像差在空間分布上是光滑且連續(xù)的，為提高大口徑準(zhǔn)直波前的測(cè)試效率，采用稀疏子孔徑是有效的解決手段。稀疏子孔徑初始應(yīng)用在光學(xué)成像領(lǐng)域，研究較為成熟[10-12]。稀疏子孔徑在光學(xué)檢測(cè)方面的研究始于19 世紀(jì)80年代[13-14]，近年國(guó)內(nèi)的相關(guān)研究主要取得以下進(jìn)展：2011年閆鋒濤等[15]分析了稀疏子孔徑采樣評(píng)價(jià)大口徑拋光光學(xué)器件的可行性，結(jié)果表明合理的子孔徑分布可以得到反映實(shí)際面形的評(píng)價(jià)結(jié)果；2015年王棪等[16]分析了數(shù)目為3 和4 的兩種稀疏子孔徑模型，結(jié)果表明稀疏子孔徑的數(shù)目、口徑大小、排列方式會(huì)影響重構(gòu)精度；2016年Xu 等[17]采用在對(duì)角線方向排布的單鏈子孔徑排布方式完成了大口徑環(huán)形拋光光學(xué)元件的面形評(píng)價(jià)，評(píng)價(jià)結(jié)果與直接測(cè)試的均方根的差為0.012 λ；2018年羅倩等[18]采用7 個(gè)彼此相切的稀疏子孔徑排布評(píng)價(jià)波前面形，評(píng)價(jià)結(jié)果與直接測(cè)試的均方根的差為0.007 4 λ。目前在光學(xué)檢測(cè)中稀疏子孔徑的應(yīng)用集中在光學(xué)元件或系統(tǒng)的面形檢測(cè)上，證明了通過(guò)有限的稀疏子孔徑數(shù)據(jù)可以得到反映全口徑特征的結(jié)果。

針對(duì)300 mm 口徑波長(zhǎng)調(diào)諧干涉儀準(zhǔn)直波前的評(píng)價(jià)需求，本文提出一種基于稀疏子孔徑的波前評(píng)價(jià)方法。該方法利用稀疏孔徑的波前數(shù)據(jù)，構(gòu)建均勻、等間隔的稀疏子孔徑排布模型，根據(jù)排布模型對(duì)大口徑波前進(jìn)行掃描采樣，運(yùn)用擬合算法重構(gòu)全孔徑波前，實(shí)現(xiàn)對(duì)準(zhǔn)直波前的評(píng)價(jià)。

1 稀疏子孔徑波前評(píng)價(jià)原理

1.1 基本原理

稀疏子孔徑評(píng)價(jià)準(zhǔn)直波前示意圖如圖1（a）所示。本文采用哈特曼波前傳感器作為評(píng)價(jià)子波前的儀器，根據(jù)子孔徑排布移動(dòng)傳感器，依次采樣得到各個(gè)子孔徑的波前數(shù)據(jù)，每一個(gè)采樣子波前都反映了該區(qū)域的全口徑波前，將掃描得到的所有采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)和對(duì)應(yīng)位置信息通過(guò)擬合算法得到重構(gòu)波前，實(shí)現(xiàn)波前評(píng)價(jià)。采樣的掃描路徑如圖1（b）所示。由于稀疏子孔徑的采樣數(shù)據(jù)有限，不同的稀疏子孔徑分布對(duì)重構(gòu)精度的影響不同，為避免重構(gòu)全口徑波前時(shí)造成波前分布函數(shù)各項(xiàng)之間的嚴(yán)重耦合，采用均勻、等間隔分布于全口徑波面的稀疏子孔徑排布模型。

圖1 稀疏子孔徑評(píng)價(jià)準(zhǔn)直波前示意圖Fig.1 Schematic diagram of sparse subaperture evaluation of collimated wavefront

由Zernike 多項(xiàng)式表征的全口徑波前像差分布函數(shù)W(x,y)由下式表示：

式中：L為用來(lái)擬合全口徑波前的項(xiàng)數(shù)；Zs(x,y)為第s項(xiàng)Zernike 多項(xiàng)式；ks是第s項(xiàng)Zernike 多項(xiàng)式的系數(shù)。

根據(jù)最小二乘定理可得：

式中：M為總的采樣點(diǎn)數(shù)；D(xj,yj)為位置(xj,yj)處實(shí)際測(cè)得的第j個(gè)采樣相位值。為得到無(wú)限接近真實(shí)波前的像差分布函數(shù)，即滿足(2)式最小所得到的像差分布函數(shù)，對(duì)（2）式進(jìn)行如下處理：

整理得到：

（4）式是同步擬合算法方程，t是通項(xiàng)。根據(jù)不同t值對(duì)應(yīng)的不同方程，可得到L個(gè)方程組成的超定方程組：

實(shí)際測(cè)得的連續(xù)分布波前是離散相位值，將（5）式寫(xiě)成以下矩陣形式：

式中：A是由L個(gè)Zernike 系數(shù)組成的向量。通過(guò)矩陣求解出全口徑波前系數(shù)A，可得到重構(gòu)的波前像差 分布。

1.2 稀疏子孔徑波前評(píng)價(jià)

為驗(yàn)證稀疏子孔徑評(píng)價(jià)準(zhǔn)直波前方法的可行性，需要進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。以Matlab 隨機(jī)生成的36個(gè)數(shù)據(jù)作為Zernike 多項(xiàng)式系數(shù)來(lái)模擬300 mm 口徑準(zhǔn)直波前像差分布，初始生成的全口徑波前如圖2（a）所示，其中PV 為0.252 4 λ，RMS 為0.031 8 λ。將一組隨機(jī)噪聲疊加到各子孔徑中模擬實(shí)際測(cè)試，噪聲量級(jí)為波前像差分布均方根值的0.1 倍，采用均勻、等間隔的稀疏子孔徑排布方式。每一列中各相鄰子孔徑中心間距和各相鄰列的距離皆為采樣子孔徑半徑的4 倍，子孔徑口徑為全口徑波前尺寸的0.005 倍。具有隨機(jī)噪聲的采樣子孔徑波前分布如圖2（b）所示；根據(jù)同步擬合算法重構(gòu)的波前如圖2（c）所示；模擬波前與重構(gòu)波前的殘差分布如圖2（d）所示，其中PV 為0.002 2 ，RMS為1.787 3e?4 λ。圖2 說(shuō)明該方法能夠評(píng)價(jià)準(zhǔn)直波前質(zhì)量。

圖2 稀疏子孔徑波前重構(gòu)結(jié)果Fig.2 Wavefront reconstruction results for sparse subaperture

2 稀疏子孔徑排布對(duì)波面重構(gòu)的影響

為提高稀疏子孔徑評(píng)價(jià)波前的可靠性，分析該方法中稀疏子孔徑排布方式對(duì)波前重構(gòu)精度的影響。根據(jù)本文采用的均勻、等間隔稀疏子孔徑排布模型，在采樣區(qū)域內(nèi)，采樣子孔徑的間隔和大小決定著子孔徑的排布與采樣信息，是決定稀疏子孔徑排布方式的主要因素。圖3 是稀疏子孔徑的排布示意圖。定義子孔徑的間隔相對(duì)量為ε，用相鄰兩子孔徑的孔徑中心間距l(xiāng)與子孔徑半徑r的比值來(lái)描述；定義孔徑相對(duì)量為κ，用子孔徑直徑d與評(píng)價(jià)波前直徑D的比值來(lái)描述。對(duì)子孔徑間隔和子孔徑大小對(duì)波面重構(gòu)精度的影響進(jìn)行分析，確定能夠有效評(píng)價(jià)全口徑波前的優(yōu)化稀疏子孔徑排布模型。

圖3 稀疏子孔徑排布示意圖Fig.3 Schematic of sparse subaperture arrangement

2.1 子孔徑間隔

在采樣子孔徑尺寸為定量時(shí)，采樣間隔與采樣覆蓋率呈負(fù)相關(guān)，采樣間隔增大會(huì)提高測(cè)試效率，但同時(shí)卻影響重構(gòu)精度，需要分析子孔徑由相切到間隔逐漸增大的分布變化對(duì)重構(gòu)精度的影響。將光學(xué)系統(tǒng)準(zhǔn)直波前的擬合Zernike 多項(xiàng)式系數(shù)導(dǎo)入Matlab軟件作為仿真對(duì)象，疊加隨機(jī)噪聲到各子孔徑中模擬實(shí)際測(cè)試，采用均勻、等間隔的稀疏子孔徑排布，以間隔相對(duì)量ε為變量，分別在ε值取2～6，間隔為0.1，按照每一個(gè)ε值對(duì)應(yīng)的稀疏子孔徑分布重構(gòu)波前，記錄重構(gòu)精度隨不同子孔徑分布的變化規(guī)律。

圖4（a）和4（b）分別為間隔相對(duì)量ε與殘差PV和殘差RMS 的變化關(guān)系。由圖4 可以看出，整體上隨著相對(duì)間隔ε的增大，殘差增大，精度降低，符合采集信息是否完備影響重構(gòu)結(jié)果的準(zhǔn)確性，局部范圍的變化為上下波動(dòng)，且震蕩幅度隨著ε的增大逐漸增大。以殘差的RMS 為主要判斷依據(jù)，結(jié)合殘差的PV 值進(jìn)行定量分析，以間隔相對(duì)量ε取4.3和5.3 作為端點(diǎn)，將間隔分為3 個(gè)區(qū)間，同一區(qū)間內(nèi)精度變化處在同一水平范圍。ε不大于4.3 時(shí)，隨著間隔增大殘差的RMS 值穩(wěn)步增大，殘差的PV 值始終在0.009 5 λ內(nèi)小范圍波動(dòng)，該區(qū)間內(nèi)重構(gòu)精度較高且結(jié)果穩(wěn)定；ε大于4.3 小于5.3 時(shí)，隨著間隔增大殘差的RMS 開(kāi)始出現(xiàn)幾處峰值，殘差的PV波動(dòng)范圍變大，結(jié)果開(kāi)始變得不穩(wěn)定；ε大于5.3 后，隨著ε增大重構(gòu)精度出現(xiàn)多處峰值，震蕩幅度超過(guò)前2 個(gè)區(qū)間，結(jié)果已不可靠。因此在測(cè)試過(guò)程中間隔相對(duì)量根據(jù)評(píng)價(jià)精度要求合理取值，盡量選取小于5.3 倍的子孔徑半徑，小于4.3 倍的半徑最佳。

圖4 不同間隔相對(duì)量ε的重構(gòu)精度結(jié)果Fig.4 Reconstruction accuracy results for different interval relative quantitiy ε

2.2 子孔徑大小

在確定子孔徑排布參數(shù)時(shí)，子孔徑大小的選取主要受限于檢測(cè)儀器自身的口徑尺寸。對(duì)于哈特曼波前傳感器，傳感器的常用口徑小于12 mm，考慮到儀器口徑范圍，將孔徑相對(duì)量 κ取值范圍設(shè)定在0.015～0.039，以κ為變量改變采樣子孔徑的口徑大小。在數(shù)值仿真中采用與上述相同的Zernike 多項(xiàng)式系數(shù)擬合全口徑波前，疊加相同的一組隨機(jī)噪聲到采樣子孔徑。根據(jù)上述分析結(jié)果選取采樣子孔徑的間隔相對(duì)量ε為3.8，設(shè)定孔徑相對(duì)量κ的取值間隔為0.003，對(duì)每一個(gè)孔徑相對(duì)量κ對(duì)應(yīng)的稀疏子孔徑分布進(jìn)行波前重構(gòu)，記錄重構(gòu)精度，如圖5所示。

圖5 不同孔徑相對(duì)量κ的重構(gòu)精度結(jié)果Fig.5 Reconstruction accuracy results for different aperture relative quantityκ

由圖5 可知，在確定孔徑間隔后，仿真選定的子孔徑大小均能以較高精度評(píng)價(jià)全口徑波前，其中殘差的PV 值都小于0.002 5 λ，殘差的RMS 值都小于0.000 3 λ。由于重構(gòu)算法直接作用于相位數(shù)據(jù)，采樣數(shù)據(jù)越多，重構(gòu)結(jié)果越可靠，因此在子孔徑排布的選擇上也要考慮采樣數(shù)據(jù)量。在測(cè)試過(guò)程中，確定子孔徑間隔值后，建議選擇孔徑相對(duì)量 κ為0.027、0.030 和0.036，以300 mm 為評(píng)價(jià)對(duì)象，對(duì)應(yīng)的子孔徑口徑為8.1 mm、9 mm 和10.8 mm。

3 評(píng)價(jià)方法優(yōu)化重構(gòu)分析

根據(jù)分析，采用間隔相對(duì)量ε為3.8，孔徑相對(duì)量κ為0.036 的優(yōu)化稀疏子孔徑排布模型評(píng)價(jià)300 mm口徑的準(zhǔn)直波前。使用最大口徑為 φ11.26 mm 的哈特曼波前傳感器，根據(jù)優(yōu)化的稀疏子孔徑排布模型，采樣口徑為 φ10.8 mm，采樣間隔為9.72 mm。圖6（a）是初始生成的全口徑波前，PV 為0.252 4 λ，RMS 為0.031 8 λ；根據(jù)同步擬合算法得到的重構(gòu)波前如圖6（b）所示；圖6（c）為重構(gòu)全口徑波前與模擬波前的殘差分布，PV 為0.001 6 λ，RMS 為1.689 3e?4 λ。圖6 說(shuō)明通過(guò)稀疏子孔徑的波前數(shù)據(jù)可準(zhǔn)確評(píng)價(jià)大口徑準(zhǔn)直波前。

圖6 稀疏子孔徑波前重構(gòu)結(jié)果Fig.6 Wavefront reconstruction results for sparse subaperture

4 結(jié)論

本文提出的稀疏子孔徑評(píng)價(jià)大口徑準(zhǔn)直波前的方法無(wú)需大口徑高精度的檢測(cè)器具和重疊子孔徑采樣，縮短了測(cè)試周期，平衡了測(cè)試效率與重構(gòu)精度，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)整個(gè)準(zhǔn)直波前的評(píng)價(jià)。通過(guò)分析子孔徑間隔和子孔徑大小對(duì)重構(gòu)精度的影響，確定孔徑相對(duì)量為0.036、間隔相對(duì)量為3.8 的優(yōu)化子孔徑排布方式，對(duì)300 mm 口徑的準(zhǔn)直波前進(jìn)行數(shù)值仿真，得到的重構(gòu)波前殘差PV 值和殘差RMS 值分別為0.001 6 λ和1.689 3e?4 λ，驗(yàn)證了本文方法準(zhǔn)確評(píng)價(jià)大口徑準(zhǔn)直波前的可行性。