高一“挖坑” 高三“填埋”

浙江大學(xué)附屬中學(xué)丁蘭校區(qū) 陳作國 施剛良 （郵編：310021）

2019年1 月杭州市高三一模第19題，給高一的學(xué)生當(dāng)做期末復(fù)習(xí)題來做，應(yīng)該也可以，而且得分率也還不錯.筆者今年教高三，高一的時候就給學(xué)生練過，兩個班做出來的同學(xué)還是蠻多的.高一的時候就可以“做出來”，經(jīng)過兩年的學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)，到了高三（2019年1月，筆者教高三），在模擬考中考一下，居然“做不出來了”.這是一件很奇怪的事情，其實也見怪不怪.這與老師的教和學(xué)生的學(xué)有很大的關(guān)系，學(xué)生在高一沒有把問題訂正或理解透徹，指望靠后面的復(fù)習(xí)將問題搞懂，往往是一廂情愿.高一為自己挖的“坑”（這是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)沒有落實到位所造成的“坑”，就像一顆“定時炸彈”），終究是要自己來“填”的，不然掉進去的最終還是自己.

1 試題呈現(xiàn)

設(shè)函數(shù)f(x)＝

（Ⅰ）若k＝1，解方程f(x)＝0；

（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f(x)＝0有四個不同的解，求k的取值范圍.

注第Ⅰ題略，本文主要探討第Ⅱ題.

參考答案依題意0有4個不同的解，而x＝1是其中1個解，所以只需要考慮方程只有3個解.

評注參考答案的方法是巧妙地將(x-1)2寫成|x-1|2，從而提取公因式|x-1|避免分類討論，再通過參變量分離整體考慮函數(shù)圖象的位置關(guān)系，有一種行云流水的感覺.參考答案學(xué)生想不到的主要原因是：將(x-1)2寫成|x-1|2，其實這個變形在初中就學(xué)過，在高一教師還會再強調(diào)的，但學(xué)生可能還是不會靈活運用.這說明學(xué)生的代數(shù)變形能力不強，轉(zhuǎn)化思想欠缺，邏輯推理、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)不高.

2 解法探究

如圖1，當(dāng)相切時k＝-4，兩個圖象有2個交點，所以要使得兩個圖象有3個交點，k的取值范圍為k＜-4.

圖1

后來又有學(xué)生利用另外形式的參變量分離法（將變量與參數(shù)徹底分類）：

圖2

評注在批卷的過程中，這樣做法的學(xué)生不多，即使有學(xué)生畫的圖象也是不準確的.通過參變分離來解決方程根的問題，學(xué)生們是非常喜歡的.因為這樣可以避免分類討論，而分類討論是學(xué)生處理方程或零點問題的“軟肋”.這樣處理的人數(shù)不多主要是：絕對值去掉要分類，也就是說整體的圖象是幾段圖象拼起來的；還有就是分母是兩次的分式函數(shù)，對學(xué)生很有挑戰(zhàn)；兩條漸進線也往往沒有注意到.由此可見學(xué)生畫圖能力和分類討論能力還有待進一步加強.綜合上面的分析，這種圖象沒畫出來，說明學(xué)生在高一學(xué)習(xí)時，對反比例函數(shù)與二次函數(shù)的復(fù)合的性質(zhì)（先考慮定義域，再研究對稱性或單調(diào)性，這是研究函數(shù)圖象的固定“套路”）沒掌握，這對以后研究更復(fù)雜函數(shù)的性質(zhì)是有一定影響的.更深層次的原因是學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)不高所造成的.

上述方法都是通過轉(zhuǎn)化（主要想法就是參變分離或圖象的位置關(guān)系），將問題變得易于解決，這是高一講基本初等函數(shù)時慣用的思想方法.難點就是怎樣通過分類討論和數(shù)形結(jié)合將問題解決.筆者在閱卷時，還發(fā)現(xiàn)有學(xué)生（這樣做的同學(xué)很多，這也是學(xué)生樸素的想法：看到方程就想解出來）是通過直接解方程做的，盡管過程略顯繁瑣，但利用方程的思想解決問題也不失為一種途徑.

（1）當(dāng)k＞0時，因所以方程①的解為只有一解；因所以方程②無解.故k＞0不符合題意.

（2）當(dāng)k＜0時，因所以方程①的解為兩解；因x＝所以方程②只有一解，故k＜0符合題意.

因此，綜上所述，k＜-4.

評注這種解法盡管學(xué)生很容易想到，或多或少都能寫一點，但真正能做出來的不多.主要原因還是要對有解的情況加以分類，通過k的范圍進行分類，對解進行篩選來確定個數(shù)，而不是簡單地將之解出就完事，這對學(xué)生的思維有較高的要求.對這種問題處理的思想方法，學(xué)生在高一都碰到過，關(guān)鍵還是沒有將之消化吸收.其實，如果再進一步觀察方程①與方程②，我們發(fā)現(xiàn)方程①與②的兩根之和都為3，而方程②的根要滿足x＜1，故方程②至多一個解.而方程①與②的解總共要3個，這樣只能方程①有2個，方程②只有1個.接下來的思考過程同下述函數(shù)觀點，此處從略.

如果我們觀點站得高一點，從函數(shù)思想的角度思考的話，解決起來可能要簡潔得多.

因此，綜上所述，k＜-4.

評注利用函數(shù)思想解決方程問題在高一肯定是重點講過的，學(xué)生只抽象理解函數(shù)，這樣就“只見樹木，不見森林”.如果將數(shù)與形結(jié)合起來，通過直接構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)圖象，使得問題的解決變得相對容易，產(chǎn)生一種居高臨下的感覺.不在根的解法上糾纏，整體研究函數(shù)圖象的性質(zhì)，使得根的分布變得清清楚楚.這樣才能真正體現(xiàn)出學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).

3 反思

這道貌似高一學(xué)生做的練習(xí)題，為什么給高三學(xué)生當(dāng)作模擬題來考，最后考得卻不理想呢？筆者談?wù)勛约旱膸c想法：

（1）函數(shù)思想在高一（乃至整個高中）是非常重要的，學(xué)生沒有掌握函數(shù)思想將影響整個高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí).教師在具體的教學(xué)實踐中，沒有將研究函數(shù)的“基本套路”講明白，就會導(dǎo)致昏昏的教師教不出昭昭的學(xué)生.這也是我們沒有將學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)沒有落實到位的原因.于是乎學(xué)生似懂非懂，沒有將之消化吸收，到高三復(fù)習(xí)時不見得就會有好轉(zhuǎn)，所以模擬考一考還是做不來，這也是情理之中的.

（2）方程思想同樣在高一（乃至整個高中）是非常重要的，學(xué)生對方程樸素的理解就是將之解出來，這樣做往往會比較復(fù)雜，其實高中階段的方程主要還是研究方程解的性質(zhì)或通過韋達定理利用設(shè)而不求、整體代換來解決，這對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維有較高的要求.能很好地體現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等核心思想.教師在具體的教學(xué)實踐中，碰到方程問題時，要引導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)的觀點，將解的性質(zhì)放到圖象中研究，這樣可能會使抽象的方程問題形象化，這也是數(shù)形結(jié)合思想的核心所在.事實上，學(xué)生會利用數(shù)形結(jié)合考慮方程問題，但由于對解的個數(shù)情況往往要分類討論，所以最終又半途而廢.

（3）分類討論思想是學(xué)生在高一數(shù)學(xué)中非常“懼怕”的，這也是學(xué)生認為數(shù)學(xué)難學(xué)的一個重要原因，數(shù)學(xué)中許多有點難度的題目往往都要分類討論.可以說，分類討論這種思想的掌握，不可能一蹴而就，往往需要我們在具體問題的解決過程中慢慢滲透，所以在高一練好“童子功”就顯得很有必要.要練好“童子功”，分類討論沒有固定套路可走，這就需要學(xué)生具體問題具體分析，其實有些“真功夫”就是這樣練出來的.正因為沒有固定套路，所以學(xué)生才認為它難學(xué).難學(xué)不是借口，關(guān)鍵還是要掌握分類討論的標(biāo)準，這樣才會不重不漏.這樣才能將邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等核心思想落到實處.

高三復(fù)習(xí)不是將高一階段（和高二）的基礎(chǔ)知識和思想方法“炒一下冷飯”，但沒有高一階段（和高二）的基礎(chǔ)知識和思想方法作為“飯”，想炒出一盤色香味俱全的“飯”也是非常困難的.所以，要使學(xué)生能在模擬考試中考出自己的水平，教師必須在高一階段（和高二）將基礎(chǔ)知識和基本數(shù)學(xué)思想方法滲透到教學(xué)實踐中，學(xué)生能在具體解題過程中靈活地加以運用，師生兩方面著力，這樣復(fù)習(xí)階段的有效性才能凸顯出來.“萬丈高樓平地起”，只有將高一階段（和高二）的基礎(chǔ)夯實了，高三的復(fù)習(xí)與?？疾拍堋按綐蝾^自然直”.